2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)講義：圓中的切線方程、切點弦方程及圓系方程（高階拓展、競賽適用）（學(xué)生版+解析）

第03講圓中的切線方程、切點弦方程及圓系方程

（高階拓展、競賽適用）

（6類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

切線長

2024年新II卷,第10題,6分圓中切線問題根據(jù)拋物線方程求焦點或準(zhǔn)線

直線與拋物線交點相關(guān)問題

給值求值型問題

2023年新I卷，第6題,5分圓中切線問題

余弦定理解三角形

2022年新I卷，第14題,5分圓的公切線方程判斷圓與圓的位置關(guān)系

2021年新I卷，第11題,5分切線長直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等，分值為5-6分

【備考策略】1.熟練掌握圓中切線問題的快速求解

2.熟練掌握圓系方程的快速求解

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的拓展內(nèi)容，需要大家掌握二級結(jié)論來快速解題，需強化練習(xí)

知識講解

一、圓中切線問題

1.已知圓方程為：12+y2+6+或+/=0（2）2+石2—4尸＞0）,

若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是：

xox+yoy+D^^+E^^+F=O-,

2.已知圓方程為:/+/=72,

若已知切點P(毛,%)在圓上，則該圓過P點的切線方程為x()x+%〉=r2;

3.已知圓方程為圓：(x—af+(y—6)2=/.

⑴過圓上的由燈加點的切線方程為h一可原一①+也一為⑶一與二尸

⑵過圓外一點(九o，M)作圓的兩條切線，則切點弦方程為(不―G(x—。)+(為一切⑶―1=尸

4.過圓外一點？(％,%)引圓(標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方程)的切線長度

d=J片+必+。/+@o+F(一般方程)=J(x0-4+(%-一/(標(biāo)準(zhǔn)方程)

二、常見的圓系方程

1、同心圓圓系

(1)以(〃])為圓心的同心圓圓系方程:(x-a)2+(y-b)2=2(2>0)；

⑵與圓元之+,2+Dx+Ey+尸=0同心圓的圓系方程為:犬N+,2+Dx+Ey+2=0；

2、過線圓交點的圓系

過直線Ax+為+C=0與圓/+y2+瓜+4+尸=。交點的圓系方程為：

尤2+》2+Dx+Ey+F+2(Ax+By+C)=0(2GR)；

3、過兩圓交點的圓系

222

過兩圓G:J+y+￡)]%+￡],+K=0,C2:x+y+D2X-\-E2y+F2=0

父點的圓系方程為f+,2+D、x+4y+片+4(%?+y2_|_D?X++F2)—0o(AW—1,此圓系不含

C*2:%?+y2+D?x+E2y+F2—0)

⑴特別地，當(dāng)2=-1時,上述方程為一次方程，兩圓相交時，表示公共弦方程;兩圓相切時，表示公切線方程.

⑵為了避免利用上述圓系方程時討論圓過。2,可等價轉(zhuǎn)化為過圓C1和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:

f+J_1_D]X+￡]y+片+X[(D]_I)?)%+(用一石2)y+(E_F?)]=0

考點一、過圓上一點的切線問題

典例引典

I_________________

1.(23-24高二上?四川成都,階段練習(xí))過點P(3,4)作圓(::f+/=25的切線/,求切線/的方程

2.(23-24高三下?福建,開學(xué)考試)過點尸。,0)的直線/與圓C:(尤-3y+(y+l)2=5相切，則直線/的方程為

A.y=x-lB.y=2x-2C.y=3-3xD.y=l-x

1.（22-23高二上?上海浦東新?期中）已知圓f+尸=8,則過點”（2,-2）的圓的切線方程為.

2.（11-12高二上?浙江杭州?期中）圓d+y2—4冗=0在點尸［百）處的切線方程為（）

A.x+y/3y-2=0B.x+yfiy-4=0

C.x—+4=0D.x—y/3y+2=0

考點二、過圓外一點的切線問題

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?陜西西安,階段練習(xí)）過點尸（3,-1）且與圓C：Y+y2-2x-6y+6=0相切的直線方程為一

2.（22-23高三上?湖南長沙,階段練習(xí)）過點（3,1）作圓（x-iy+（y-2）2=4的切線，則切線方程為（）

A.3x—4y—5=0B.3x+4y—13=0

C.3x+4y-13=0或x=3D.3%一4y-5=0或1=3

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知圓C:/+y2-2尤一2y+l=0,過點尸（3,2）作圓C的兩條切線，切點分別為A,

B,則—ACB的正切值為（）

1.（24-25高三上?山東濰坊?開學(xué)考試）已知圓C:/+y2-2x=0,則過點尸（3,0）的圓C的切線方程是（）

A.y=±g（x-3）B.y=±2（x-3）

C.y=±^^（尤—3）D.y=+A/3（x—3）

2.（22-23高二上?湖南岳陽?期中）經(jīng)過P（2,3）向圓/+「=4作切線，切線方程為（）

A.5尤—12y+26=0

B.13x-12y+10=0

C.5%-12丁+26=。或1=2

D.13x-12y+10=0或％=2

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)過點尸（0,-君）與圓C:/+y2-4x_l=0相切的兩條直線的夾角為a,則

cosa=

1

C.D.

99

考點三、切點弦方程

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知圓C:（x-l）2+（y-2）2=9外一點P（T2）,過點P作圓C的兩條切線,

切點分別為A和則直線A3的方程為.

2.（2024?浙江?模擬預(yù)測）過點Af（CM）作圓。|：（x-2）,+（y-2）2=1的兩條切線，切點分別為A,B,則原點

。到直線的距離為（）

A.75B.72C.73D.20

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知圓C：（x+l『+（y+2）2=2,點A（l,0）,若直線4/4V分別切圓C于M,N兩

點，則直線的方程為（）

A.x+y-4=0B.x+y+2=0C.x-y-4=0D.x-y+2=0

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知圓。:％2+,2一2X一4丁_4=0外一點尸（-4,-1）,過點P作圓C的兩條切

線，切點分別為A和則直線A5的方程為.

考點四、切線長

典例引領(lǐng)

1.（2024?四川攀枝花?三模）由直線上的一點P向圓（x-4『+y2=4引切線，切點為。，則|尸。的最小

值為（）

A.y/2B.2C.屈D.20

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知尸為直線/：%-y+l=0上一點，過點尸作圓C:（x-l）2+y2=l的一條切線，

切點為4貝U|PA|的最小值為（）

A.1B.&C.V3D.2

1.（24-25高三上?陜西?開學(xué)考試）由直線＞=x+l上的一點向圓f+V-6x+8=0引切線，則切線段的最小

值為（）

A.3B.2A/2C.77D.m

2.（24-25高三上?湖南衡陽?階段練習(xí)）已知圓C:（x-l『+y2=l,過直線3x+4y-13=0上的動點尸作圓C

的一條切線，切點為4則1PAi的最小值為（）

A.2B.4C.6D.3

考點五、圓中的公切線問題（含根軸）

典例引領(lǐng)

1.（23-24IWJ二下,山東,開學(xué)考試）圓G：/++8x—2y+9=0和圓G：/+V+6x—4y+11=0的公切線方

程是（）

A.y=-x+\B.>=一％+1或y=x+5

C.y=-x+5D.丁=%+1或y=2x+5

2.（23-24高二下?江蘇鹽城?階段練習(xí)）（多選）已知直線/與圓G：（x-2y+（y-3）2=8和圓C2：

（尤+2y+（y+iy=8者B相切，則直線/的方程可能為（）

A.x+y-l=0B.x-y+5=0C.%一丁一3=0D.x-y-7=0

1.（2024?河北張家口?三模）圓G:（%-1）2+y2=1與圓C?:（x-5）2+（y-3）2=36的公切線的方程為.

2.（23-24高三下?江蘇鎮(zhèn)江?開學(xué)考試）與圓f+V=1和圓（x-A/2）2+（yy=9都相切的直線方程是

考點六、圓系方程

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知圓系方程（尤-“if+（y-2根）2=5（meR,根為參數(shù)），這些圓的公切

線方程為.

12

2.（24-25高二上?全國,課后作業(yè)）若圓A:x+y+Dxx+6>+4=。與圓_8:尤2+了2+D2x+E2y+F2=0相交，

我們把經(jīng)過圓A和圓B交點的圓稱為圓A、圓2的圓系方程，其方程可設(shè)為

22

x+y~+Dyx+Ety+Fx+A^x+y^+D2x+E2y+=0（^2.—1）.根據(jù)以上信息，解決如下問題：已知圓

G：/+/+2x-3=0與C?:爐+>2_dx-5=0交于M,N兩點，貝I］以政V為直徑的圓的一般方程為.

1.（2023高三?全國?專題練習(xí)）（多選）已知圓O:Y+y2=4和圓M：x2+y2-4x+2y+4=0相交于A,B兩

點，下列說法正確的是（）

A.所有過點AB的圓系的方程可以記為（爐+丫2-4）+力（/+丫2-4%+2,+4）=（）（其中&R,2^-1）

B.直線AB的方程為>=2x+4

C.線段A3的長為迷

5

D.兩圓有兩條公切線尸-2與4%+3y-10=。

1%.好題沖關(guān).

一、單選題

1.（23-24高二上,江蘇連云港,期中）圓/+/一4工=0在點尸（1,一6）處的切線方程為（）

A.x+\/3y+2=0B.x+yfiy-4=0

C.X-A/3^+4=0D.x-y/3y+2=0

2.（2023高三?全國?專題練習(xí)）過點P（-2,-3）向圓％2+y2—8x—4y+ll=0引兩條切線，切點是4、勾，則

直線的方程為（）

A.6%+5y+25=0B.6x+5y—25=0

C.12x+10y+25=0D.12x+10y—25=0

二、填空題

3.（23-24高三上?浙江?階段練習(xí)）過圓V+y2=i上點尸［一號，呼］的切線方程為.

4.（2023?天津武清?模擬預(yù)測）已知點41,0）,8（2,0）,經(jīng)過點2作圓。-貨+（y-2『=5的切線與V軸交于

點尸，則|AP|=.

5.（23-24高三上?湖北?開學(xué)考試）已知過點尸（3,3）作圓。:/+丁=2的切線，則切線長為.

6.（23-24高三上?河北邢臺?期末）已知圓O:V+y2=4,過作圓。的切線/,則直線/的傾斜角

為.

7.（2023?江西?二模）己知圓0|：/+/=1,圓2：（A2>+）?=4.請寫出一條與兩圓都相切的直線方

程：.

8.（2023?河南?模擬預(yù)測）寫出與圓C：a+l）2+y2=l和圓。=i都相切的一條直線的方

程.

9.（22-23高二上?河北邢臺?期末）已知圓E的方程為爐+/-4.%=。，則過點P（4,3）的圓E的切線方程

為.

三、解答題

10.（2024高三?全國?專題練習(xí)）平面上有兩個圓，它們的方程分別是爐+/=16和?+y2-6x+8y+24=0,

求這兩個圓的內(nèi)公切線方程.

一、單選題

1.（23-24高三上?廣西百色,階段練習(xí)）圓M:（x-2）2+（y-l）2=l,圓N:（x+2『+（y+1『=1,則兩圓的一

條公切線方程為（）

A.x+2y=0B.4%+3y=0

C.x-2y+-\[s-0D.x+2y-y/5=0

2.（23-24高二上?江西?階段練習(xí)）過點4（4,0）作圓C：尤?+丁_以_分=0的切線乙與V軸交于點B,過點

。（0,-2）的直線與乙，X軸及y軸圍成一個四邊形，且該四邊形的所有頂點都在圓G上，則點G到直線8G

的距離為（）

A,包2V13

513

「6岳-8A/10C8A/I（）-2713

C.——或」一D.——或二—

135513

3.（23-24高二上?廣東?期末）在平面直角坐標(biāo)系宜為中，已知圓C:（尤+iy+（y_2）2=2,若圓

。:（尤-a）2+（y-l）2=2上存在點尸，由點尸向圓C引一條切線，切點為且滿足|PM|=應(yīng)|P。|,則實

數(shù)。的取值范圍為（）

A.[-V7-1,V7-1]B.M,2]C.[-3,3]D.[-2,4]

4.（23-24高三上?廣東?階段練習(xí)）已知圓M：x2+y2+4x-6y+12=0,尸為x軸上的動點，過點P作圓M

的切線切R4,PB,切點為A,B,則四邊形P4WB面積的最小值為（）

A.2B.2&C.2D.40

5.（23-24高三上?浙江?開學(xué)考試）過圓O:一+丁=9上一點尸作圓M:1）?+（y-if=1的兩條切線PA,PB,

切點、為A,B,當(dāng)—AP3最大時，直線A3的斜率為（）

A.-72B.72C.-1D.1

二、多選題

6.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知圓C：（x-2）2+y2=l,P是直線/：x+y=0上的一個動點，過點尸作圓C的

切線出,PB,切點分別是A,B,則下列說法中正確的是（）

A.圓C上恰有一個點到直線/的距離為：B.切線長B4的最小值為1

2

C.|川|的最小值為&D.直線A3恒過定點

7.（2023?廣西,模擬預(yù)測）已知圓C：V+y2=2,點p為直線八尤一2y-4=0上一動點，點。在圓C上,

以下四個命題表述正確的是（）

A.直線/與圓C相離

B.圓C上有2個點到直線/的距離等于1

C.過點P向圓C引一條切線PA,其中A為切點，貝1]|/訓(xùn)的最小值為手

D.過點尸向圓C引兩條切線上4、PB,A、8為切點,則直線A3經(jīng)過點

三、填空題

8.（23-24高三上?湖南衡陽?階段練習(xí)）寫出與圓（x-l）2+（y-2）2=1和圓（x+以+（y+2）?=1都相切的一條

直線的方程.

9.（23-24高二上?河北石家莊?階段練習(xí)）過點尸向圓G：x2+y2-2x-3y+3=0作切線，切點為A,過點P

向圓C2：/+y2+3x-2y+2=0作切線，切點為8,若|如月尸8|,則動點尸的軌跡方程為

10.（23-24高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知圓C:（x-3y+（y-4）2=4,過直線/：4x+3y+l=0上一動點

P作圓C的兩條切線，切點分別為A,B,則|胡+網(wǎng)的最小值為.

1.（2024?全國?高考真題）（多選）拋物線C：產(chǎn)=以的準(zhǔn)線為/,P為C上的動點，過尸作。A:Y+（y-4）2=l

的一條切線，。為切點，過P作/的垂線，垂足為8,則（）

A./與。?相切

B.當(dāng)尸，A,8三點共線時，

C.當(dāng)|尸2|=2時，PA±AB

D.滿足1PAi斗尸8|的點尸有且僅有2個

2.（2023?全國?高考真題）過點（。,-2）與圓/+丁-以-1=0相切的兩條直線的夾角為。，貝|sina=（）

A.1B.—C.巫D.叵

444

3.（2022?全國?高考真題）寫出與圓爐+y2=i和（x-3y+（y-療=16都相切的一條直線的方

程.

4.（2021?天津?高考真題）若斜率為石的直線與V軸交于點A,與圓爐+（〉-葉=1相切于點2,則

5.（2021?全國,高考真題）（多選）已知點P在圓（元-5）2+（y-5）2=16上，點A（4,0）、B（0,2）,則（）

A.點尸到直線A3的距離小于10

B.點P到直線的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時，|/狎=30

D.當(dāng)乙PBA最大時，|P"=3應(yīng)

6.（2020?全國?高考真題）已知回M：x2+y2-2x-2y-2=0,直線/：2x+y+2=0,尸為/上的動點，過點

尸作團M的切線PA尸8,切點為當(dāng)0最小時，直線AB的方程為（）

A.2x-y-l=0B.2x+y-l=0C.2x—y+l=0D.

第03講圓中的切線方程、切點弦方程及圓系方程

（高階拓展、競賽適用）

（6類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

切線長

2024年新II卷,第10題,6分圓中切線問題根據(jù)拋物線方程求焦點或準(zhǔn)線

直線與拋物線交點相關(guān)問題

給值求值型問題

2023年新I卷，第6題,5分圓中切線問題

余弦定理解三角形

2022年新I卷，第14題,5分圓的公切線方程判斷圓與圓的位置關(guān)系

2021年新I卷，第11題,5分切線長直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等，分值為5-6分

【備考策略】1.熟練掌握圓中切線問題的快速求解

2.熟練掌握圓系方程的快速求解

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的拓展內(nèi)容，需要大家掌握二級結(jié)論來快速解題，需強化練習(xí)

知識講解

一、圓中切線問題

4.已知圓方程為：％2+y2+6+或+/=0（02+石2—4尸＞0）,

若已知切點%）在圓上，則切線只有一條，其方程是：

XX

xQx++D°^+E，。｝+F=0;

5.已知圓方程為:/+/=',

若已知切點P(尤0，%)在圓上，則該圓過p點的切線方程為/X+=F2；

6.已知圓方程為圓：(x-ay+(y-6)2=尸.

⑴過圓上的《(知陽)點的切線方程為(%-a)(x-a)+(%-/?)(y-/2)=/.

⑵過圓外一點(九0，為)作圓的兩條切線，則切點弦方程為5—a)(x—a)+(%—b)(y—〃)=/.

4.過圓外一點P(%,%)引圓(標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方程)的切線長度

-2

d=+yl+DXQ+Ey0+F(一般方程)=^(%0-a)+(y0-bf-r(標(biāo)準(zhǔn)方程)

二、常見的圓系方程

1＞同心圓圓系

⑴以(。,6)為圓心的同心圓圓系方程:(尤—1)2+(y—價2=2(2＞0)；

(2)與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圓的圓系方程為:x2+y2+Dx+Ey+A=0;

2、過線圓交點的圓系

過直線Ax+By+C=0與圓元之+＞？+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程為：

x2+y2+Dx+Ey+F+2(Ax+By+C)=0(2GR)；

3、過兩圓交點的圓系

過兩圓G：%?+y2+D]X+gy+耳=0,g+y?+D^x+E2yF2-0

父點的圓系方程為公+y?+D]X+E]y+耳+力(％2+y2+D2X+E2y+F2)—0o(/iW—1,此圓系不含

C*2:%2+y之+D2x+E2y+F2-0)

⑴特別地，當(dāng)4=-1時,上述方程為一次方程，兩圓相交時，表示公共弦方程;兩圓相切時，表示公切線方程.

⑵為了避免利用上述圓系方程時討論圓過。2,可等價轉(zhuǎn)化為過圓G和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:

爐+J_1_D[X+&y+片+2[(D]_。2)x+(石1—62)y+(4—F?)]二。

考點一、過圓上一點的切線問題

典例引領(lǐng)

1.(23-24高二上?四川成都?階段練習(xí))過點尸(3,4)作圓C:/+y2=25的切線/,求切線/的方程

【答案】3x+4y-25=0

【分析】當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為：x=3,由圓心到直線的距離等于半徑判斷；當(dāng)直線的斜率存

在時：設(shè)直線方程為y-4=后"-3),由圓心到直線的距離等于半徑求解.

【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為：龍=3,

圓心到直線的距離為〃=3工5=廠，不成立；

當(dāng)直線的斜率存在時：設(shè)直線方程為丁-4=左(彳-3),即依-y+4-3左=0,

圓心到直線的距離等于半徑為：〃=上&=5,

J—+1

解得％=-：a，所以直線方程為：=3

即3x+4y—25=0.

故答案為：3x+4y-25=0.

2.(23-24高三下?福建?開學(xué)考試)過點「。,0)的直線/與圓C1x-3)2+(y+iy=5相切，則直線/的方程為

()

A.y=x-lB.y-2x-2C.y=3-3xD.y=1-x

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，點P在圓C上，由切線性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【詳解】由點P在圓C上，又由直線尸C的斜率為上㈢=-L，

1-32

可得直線/的斜率為2,則直線/的方程為＞=2x-2.

1.(22-23高二上?上海浦東新?期中)已知圓產(chǎn)+丁=8,則過點M(2,-2)的圓的切線方程為.

【答案】y=x—4

【分析】根據(jù)切線與過切點的半徑垂直即可求解.

【詳解】點=(2,-2)在圓尤2+)2=8上,圓心為0(0,0),

心”=三爰=一1，所以切線的斜率左=1，

2—。

則過點”（2,-2）的圓的切線方程為y+2=x-2,

即y=x-4.

故答案為：y=x-4,

2.（11-12高二上?浙江杭州?期中）圓f+/-4x=0在點尸（1，⑹處的切線方程為（）

A.x+^f3y-2=0B.x+^y-4=0

C.+4=0D.x-6y+2=0

【答案】D

【分析】容易知道點尸（1,君）為切點，圓心（2,0）,設(shè)切線斜率為鼠從而2^=_1,由此即可得解.

【詳解】將圓的方程Y+V-4尤=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x-2）2+y2=4,

回點尸（1,若）在圓（無一2），丁=4上，回點尸為切點.

從而圓心與點P的連線應(yīng)與切線垂直.

又團圓心為（2,0）,設(shè)切線斜率為匕

回上史j=T,解得k=趙.

2-13

回切線方程為無一百y+2=0.

故選：D.

考點二、過圓外一點的切線問題

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí)）過點尸（3,-1）且與圓C：無2+/一2了一6、+6=0相切的直線方程為_

【答案】片3或3x+4y-5=0

【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再分切線的斜率存在與不存在兩種情況

討論，分別求出切線方程.

【詳解】圓C：x2+y2-2x-6^+6=0BP（x-1）2+（y-3）2=4,圓心為。（1,3）,半徑r=2,

當(dāng)切線的斜率不存在時，直線％=3恰好與圓C相切；

當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線為y+l=k（x-3）,即乙一，一3左-1=0,則、=護汨廠2,

3

解得左=-=,所求切線方程為3%+4y-5=。，

4

綜上可得過點P（3,-l）與圓。相切的直線方程為九=3或3%+4y-5=0.

故答案為：x=3或3x+4y—5=0

2.（22-23高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）過點（3,1）作圓（了-1）2+（丫-2）2=4的切線，則切線方程為（）

A.3x—4y—5=0B.3x+4y—13=0

C.3兀+4y—13=0或1=3D.3無一4丁一5=0或l=3

【答案】D

【分析】根據(jù)切線斜率是否存在分類討論，利用圓心到切線距離等于半徑可求結(jié)果.

【詳解】由圓心為（1,2）,半徑為2,斜率存在時，設(shè)切線為〉=左（》-3）+1,

可得左=:所以y=jx_3)+l,即3x—4y—5=0；

貝M=

斜率不存在時，彳=3,顯然與圓相切,

綜上，切線方程為3元-4y-5=0或x=3.

故選：D.

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知圓C:x2+y2-2x-2y+l=0,過點尸（3,2）作圓C的兩條切線，切點分別為A,

B,則/ACB的正切值為（）

4433

A.—B.一C.——D.-

3344

【答案】A

【分析】設(shè)出切線方程，然后根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，然后根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)得答案.

【詳解】由題可得,圓C:（x-由+0-1）2=1的圓心為C（l,l）,半徑牛=1.

易知切線PA,PB的斜率都存在,

設(shè)切線的方程為》一2=依尤-3）,即反一丫一3左+2=0,

一7\k-l-3k+2\\2k-l\1

，圓心C到切線的距禺d=—而淳—=本/=1，

4

解得左=0或左=§,

如圖，設(shè)點8在點A下方,

4

/.tanZAPB=—

3

/、4

tan^ACB=tan(TI—X.APB^=——(提不：由圓的性質(zhì)可知NAP5+NACS=TI).

另法：由題可得，圓C：a-l）2+（y-l）2=l的圓心為C（l,l）,半徑廠=1.

易知直線＞=2是圓C的一條切線，不妨設(shè)切點為A,則tanNACP=2.

又tan/BCP=tan/ACP（提示：圓的切線的性質(zhì)），tanZACB=------------=——-=―一

1-tan-ZACP1-2-3

故選:A.

1.（24-25高三上,山東濰坊?開學(xué)考試）已知圓C:d+y2-2x=0,則過點尸（3,0）的圓C的切線方程是（）

B.y=±2（x-3）

c

->=±*》-3）D.y=±&（x-3）

【答案】C

【分析】首先說明點在圓外，再設(shè)點斜式方程，利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，解出即可.

【詳解】將尸（3,0）代入圓方程得于+02-2x3=3＞0,則該點在圓外，

C:x2+y2-2x=0,即C:（x-l『+y2=l,則其圓心為（1,0）,半徑為1,

當(dāng)切線斜率不存在時，此時直線方程為x=3,顯然不合題意，故舍去，

則設(shè)切線方程為：丁=無（％-3）,即丘-尸3笈=0,

則有上空=1,解得左=±立，止匕時切線方程為y=±立（》一3）.

VF+133''

故選：C.

2.（22-23高二上?湖南岳陽?期中）經(jīng)過*2,3）向圓/+「=4作切線，切線方程為（）

A.5%—12y+26=0

B.13x-12y+10=0

C.5元-12y+26=0或x=2

D.13尤-12y+10=0或無=2

【答案】C

【分析】根據(jù)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合點到直線的距離公式求得正確答案.

【詳解】（1）當(dāng)切線的斜率不存在時，直線x=2是圓的切線；

（2）當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為/：＞-3=左（》-2）,

由（0,0）到切線距離為〃=匕1=2得左="，

，左+112

止匕時切線方程為＞-3=1（》一2）即5*-12＞+26=（）.

故選：C

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))設(shè)過點P(0,-6)與圓C:/+y2-4x-l=0相切的兩條直線的夾角為a,則

cosa=()

,1R4行__1N4A/5

9999

【答案】A

【分析】解法L如圖，由題意確定圓心坐標(biāo)和半徑，求出sinZAPC,cosN鏟C,由二倍角的余弦公式求出

cosN4PB即可求解；解法2：如圖，由題意確定圓心坐標(biāo)和半徑，利用余弦定理求出cosNAPB即可求解;

解法3：易知切線斜率存在，利用點到直線的距離公式和斜率的定義求出tane,進(jìn)而求出cosZ4PB即可.

【詳解】解法1：如圖，0X2+/-4X-1=O,即(尤-2>+y2=5,

則圓心C(2,0),半徑r=喬，過點尸(0,-6)作圓C的切線，切點為A,B,連接AB.

因為PC=3,貝！sinZAPC=—,cosZAPC=—,

33

則cosZAPS=cos2ZAPC-sin2ZAPC=-1<0,即—APB為鈍角，且?為銳角，

所以cosa=cos(7t-ZAPB)=g,

故選：A.

解法2：如圖，HIx2+y2-4A--1=0,即(x-2)2+y?=5,則圓心C(2,0),半徑廠=石,

過點尸(0,-君)作圓C的切線，切點為A,B,連接AB.因為PC=3,則以=PB=2,

因為以2+產(chǎn)產(chǎn)-2必.PBcosZAPB=CA2+CB2-2CA-CBcosZACB,

S.ZACB=n-ZAPB,貝!|4+4_8cos^4FB=5+5_10cosZACB,

即4-4cosZAPB=5-5cosZACB,解得cosZAPS=-j<0,

即NAPB為鈍角，且。為銳角，則cosa=COS（TT-ZAPB）=1.

故選：A.

解法3：0x2+/-4x-l=0,即（x—2）2+V=5,則圓心C（2,0）,半徑—石，

若切線斜率不存在，則切線方程為%=0,則圓心到切點的距離d=2<>不合題意;

若切線斜率存在，則設(shè)切線方程為丫=丘-百，即丘-y-君=0,

12%-厲_

則圓心到切線的距離d=1.1=75，解得勺=。,七=Y4，

V^+i

所以tana」，=4后=堊區(qū),又a為銳角，

1+勺k2COS<7

由sin26Z+cos2a=l解得cosa=g.

故選：A.

考點三、切點弦方程

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知圓。:（X-1）2+（丫-2）2=9外一點P（T,2）,過點P作圓C的兩條切線,

切點分別為A和B,則直線A3的方程為.

【答案】x=-1

【分析】由二級結(jié)論：若點”（七,為）在圓外，過點”引圓的兩條切線，切點為則切點弦（兩切點

的連線段）所在直線的方程為（尸。）&一。）+（廠"）（%一》）=/（圓的方程為（%-域+（丫-6）2=/）,代入

即可的直線A3的方程.

【詳解】由題意，切點弦AB所在直線的方程為：

（-4-l）（x-l）+（2-2）（j-2）=9,

化簡得：尤=-：4

故答案為：尤=-，4

2.（2024?浙江?模擬預(yù)測）過點”（。,1）作圓0"。-2）2+0-2）2=1的兩條切線，切點分別為A,B,則原點

。到直線AB的距離為（）

A.75B.72C.君D.2夜

【答案】A

【分析】首先求解四邊形MAOR的外接圓的方程，再求解直線A3的方程，即可求解點到直線的距離.

【詳解】由圖可知，O.A1MA,OtB±MB,

則",A,Or8四點共圓，圓的直徑是點M（0,l）,Q（2,2）,

jMt?!|=^22+（2-l）2=5/5,的中點坐標(biāo)為1，3

所以四邊形MAQB的外接圓的方程為"-1），卜-3.

即f+y2_2x_3y+2=0,圓。］+J-4x-4y+7=0,

兩式相減得直線AB的方程2x+y-5=0,

_-5廠

貝!原點至IJ直線2x+y—5=0的距離d=J"。=8

V22+l2

故選：A

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知圓C：（x+l『+（y+2）2=2,點4（1,0）,若直線4/4V分別切圓C于M,N兩

點，則直線MN的方程為（）

A.x+y-4=0B.x+y+2=0C.x-y-4=0D.x-y+2=0

【答案】B

【分析】方法一：利用直線AC,MN,得出%v=T,在Rt^AMC中，利用幾何關(guān)系求出=遍及

ZCAM=^,進(jìn)而可求出點4（1,0）到直線MN的距離，再利用點到直線的距離公式即可求出結(jié)果；方法二：

利用直線為圓C和以AC為直徑的圓的公共弦，求出以AC為直徑的圓，即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意得直線AC垂直平分線段MN,又圓C：（x+iy+（y+2）2=2,所以圓心C（-l,-2）,一夜，

又由A（l,0）,C（-l,-2）,得直線AC的斜率七c=l，所以直線MN的斜率勺^=-1，

可設(shè)直線建V的方程為x+y+f=O,又“|=J（1+1）2+程=2"rM="AM_LCW,

在Rt^AMC中，卜jAC2_cAf2=幾，sinZCW=——=^-==-,

AC2122

得到ZCAM=^,則點A(LO)到直線MN的距離d=\AM\cosZCAM

即1=?=逑，解得，=2或t=T,

722

當(dāng)t=T時，直線MN與圓C相離，不符合題意，所以直線MN的方程為無+y+2=0.

一題多解因為4%加分別是圓C的切線，所以CM，AM,CNLAN,

所以點M,N在以AC為直徑的圓上.因為C(-l,-2),A(l,0),

所以以AC為直徑的圓的圓心為(0,-1),半徑為r=JAC|=：xV22+22=近

故以AC為直徑的圓的方程為Y+(y+l)2=2,又因為圓C：(x+iy+(y+2y=2,

所以直線MN的方程為V+(y+l)2-[(x+iy+(y+2)]=0,化簡得尤+>+2=0,

故選：B.

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知圓C:*+丁-2x-4y-4=0外一點尸(-4,-1),過點尸作圓C的兩條切

線，切點分別為A和B,則直線A3的方程為.

【答案】5x+3y-2=0

【分析】由二級結(jié)論：若點〃(尤0,%)在圓外，過點M引圓的兩條切線，切點為加|,加2,則切點弦(兩切點

的連線段)所在直線的方程為：xox+yoy+D-^^+E-^^-+F=0(圓的方程為苫②+丁+小+4+?二。),

代入即可的直線的方程

【詳解】由題意，切點弦所在直線的方程為：

..x—4.y—1._

—4x—y—2---------4---------4=0,

22

化簡得：5x+3y-2=0.

故答案為：5x+3y-2=0.

考點四、切線長

典例引領(lǐng)

I_____________________

1.（2024?四川攀枝花?三模）由直線y=龍上的一點P向圓（彳-4）2+丁=4引切線，切點為。，則戶。|的最小

值為（）

A.72B.2C.瓜D.20

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，求得|PQ|=J儲一產(chǎn)=,/_4,由此可知-=^^=20時，|PQ|取得最小值，

由此即可求解.

由已知有：圓的圓心（4,0）,半徑為廠=2,直線的一般方程為彳->=。，

設(shè)點尸到圓心的距離為則有尸QLCQ,所以|PQ|=J屋一戶=&2一4,

所以d取最小值時，|PQ|取得最小值，

因為直線上點P到圓心的距離最小值為圓心到直線的距離，

所以d=*口=2叵，故|PQ|的最小值為《儲-產(chǎn)=J8-4=2.

故選：B

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知P為直線/：x-y+l=。上一點，過點尸作圓C:（x-l）2+y2=l的一條切線,

切點為4貝山尸山的最小值為（）

A.1B.0C.6D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合勾股定理以及點到直線的距離公式求解即可.

【詳解】連接C4,則|PA|=7|PC|2-1，

1°+|=逝＞1

而|PC|的最小值為點C到直線/的距離d=

JF+(T)2

所以EL=J（碼、1=

1.

故選：A.

1.（24-25高三上?陜西?開學(xué)考試）由直線＞=x+l上的一點向圓d+丁-6x+8=0引切線，則切線段的最小

值為（）

A.3B.2后C.77