2025高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題（八大題型）（解析版）

第12講專題導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：曲線與直線的距離........................................................2

題型二：曲線與點(diǎn)的距離..........................................................7

題型三：曲線與圓的距離..........................................................8

題型四：曲線與拋物線的距離.....................................................11

題型五：曲線與曲線的距離.......................................................13

題型六：橫向距離...............................................................18

題型七：縱向距離...............................................................22

題型八：直線與兩曲線交點(diǎn)的距離.................................................25

03過關(guān)測試....................................................................26

亡法牯自與.柒年

//\\

導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間的距

離問題，再利用導(dǎo)數(shù)法來求距離的最值.方法之一是轉(zhuǎn)化化歸，將動(dòng)點(diǎn)間的距離問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到

直線的距離問題，而這個(gè)“點(diǎn)”一般就是利用導(dǎo)數(shù)求得的切點(diǎn)；方法之二是構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

求解最值.

題型一：曲線與直線的距離

9

【典例1-1](2024?廣西桂林?二模)已知函數(shù)/(x)=(x-/")2+(ae*-3〃z)2(〃?eR)的最小值為X,則正實(shí)數(shù)

()

A.3B.3e-2C.3e2D.3或3e-

【答案】D

【解析】(x-ni)2+(aex-3m)2表示點(diǎn)A(x,ae，)與點(diǎn)B{m,3m)的距離的平方，

點(diǎn)A在曲線y=〃e"上，點(diǎn)B在曲線y=3x上，

如圖，可得。＞0,

設(shè)與y=3x平行的直線與曲線y=oe”相切于點(diǎn)尸5，°e'。).

y'=aex,ae'?=3,…①

點(diǎn)A(x,ae￡)與點(diǎn)8(機(jī),3機(jī))的距離的平方的最小值等于點(diǎn)P(x0,ae9)到直線y=3尤的距離.

3,...p>一3M=3…②

MM、1

結(jié)合①)G)得％o=°，〃=3,或%=2,a=3e-2.

故選：D.

【典例1?2]若函數(shù)％=sin2石——-(%jG[0,^-]),函數(shù)，2=出+3,貝|J(%一+(%一的最小值為()

A亞兀B.(28)2

,~V272

C(1+]8)2D(萬-3/+15y

1272

【答案】B

【解析】設(shè)z=（F-/）2+（y—3）2,則Z的幾何意義是兩條曲線上動(dòng)點(diǎn)之間的距離的平方.

=sin2%--—（%!目。,"］）

???父=2cos2%

???直線%=電+3的斜率為1

JT

二令x'=2cos2x=l，解得x=7，則M=。,

6

即曲線％=sin2x「且在（工,0）處的切線和直線y=尤+3平行,

26

TT

則最短距離為點(diǎn)%。）至口一+3的距離北

???（不—%2）2+（y—%）2的最小值為(?+18)2

72

故選：B

【變式L1】點(diǎn)M是曲線/（力=上上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)“到直線V=%+2的距離的最小值為（）

x

A.V2+—B.V2-—C.述D.正

2e2e22

【答案】C

【解析】因?yàn)?'（%）=與竺，

當(dāng)0<%<e時(shí)，尸（x）>0,y（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)x>e時(shí)，r（A-）<o,/（》）單調(diào)遞減.

由:("=三T=1,所以f+lnx-LO,

易得函數(shù)丫=1+12-1為在(0,+")上單調(diào)遞增函數(shù)，％=1為零點(diǎn)，

此時(shí)M的坐標(biāo)為(1,0),

由點(diǎn)到直線的距離公式可得M到直線y=x+2的距離的最小值為邊.

2

故選:C.

【變式1-2](2024?高三?安徽合肥?期中)點(diǎn)P,。分別是函數(shù)=3x-4,g(x)=Y—21nx圖象上的動(dòng)點(diǎn)，

貝UIPQF的最小值為()

33

A.-(2+ln2)2B.-(2-ln2)2

22

C.-(l+ln2)2D.-(l-ln2)2

【答案】D

【解析】當(dāng)函數(shù)g(x)=*-2Int在點(diǎn)。處的切線與〃x)=3x_4平行時(shí)，最小.

??1

,

g(x)=2x—f令g'(x)=2x——=3得x=2或％=—不(舍)，所以切點(diǎn)為。(2,4—21n2),

xx2

所以IPQI的最小值為切點(diǎn)2(2,4-21112)到直線/(x)=3x-4的距離d=+工2一4]=|21n2-2|,

\/10710

2

所以IPQF的最小值為屋=(1-ln2)2.

故選：D.

【變式1-3](2024?陜西西安.二模)若21n%-周一%+3=0,x2-y2+5=0,則(為_%丫十回一力丫的最小

值為()

A.2A/2B.6C.8D.12

【答案】C

【解析】由題意，設(shè)函數(shù)/(x)=21n;r-x+3,x>0,直線y=x+5,

設(shè)直線y=x+)與函數(shù)y=的切點(diǎn)為尸(x。,%)

22

可得「(無)=--1,可得:優(yōu))=--1=1,解得%=1,可得%=2,

xxo

即切點(diǎn)坐標(biāo)為尸(1,2),則切點(diǎn)到直線x-y+5=0的距離為d==2&,

V2

又因?yàn)?網(wǎng)『+(%-%丫表示點(diǎn)P到直線X-y+5=0的距離為平方，

所以仿一％y+(X-％y的最小值為d?=8.

故選：C.

【變式1-4】已知函數(shù)〃x)=ae*-(a-l)x+l—a(a>。)，g(x)=x+Z>,點(diǎn)尸與。分別在函數(shù)y=/(x)與

y=g(x)的圖象上，若歸。|的最小值為百，則6=()

A.-1B.3C.-1或3D.1或3

【答案】A

【解析】因?yàn)槭?x)=ae*—(a-l),令/''(x)=l,解得尤=0,

而/(0)=。+1-。=1,

則函數(shù)>=/(元)的圖象在點(diǎn)(o,D處的切線方程為y=丈+1,

則IPQ1mto=&,即點(diǎn)(0,1)到直線x-y+6=。的距離為0,

所以與"=/，解得6=3或人="，

當(dāng)人=3時(shí)，y=x+3與函數(shù)/(x)=〃e"—(〃—l)x+l—a(a>0)的圖象相交，

所以6=-1.

故選：A.

【變式1-5］若實(shí)數(shù)a,6,c,d滿足”手=手=1,則m-cP+S-d)?的最小值是()

ba-1

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

【解析】由佇至=1,得6=a-2e°,令“x)=x-2e',則/(x)=l—2e*,

b

令/(x)=0得x=—ln2,當(dāng)x>—ln2時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x<-ln2時(shí),/(x)>0,/(x)單調(diào)遞

增；

由^~^=1,得4=—c+2,令g(x)=—x+2,

a—1

〃x),g(x)的圖像如下圖：

則(a-c)2+(b-表示y=上一點(diǎn)與y=g(x)上一點(diǎn)N(c,d)的距離的平方,

顯然，當(dāng)過M點(diǎn)的的切線與g(x)平行時(shí)，|MN|最小,

設(shè)y=/(x)上與y=g(x)平行的切線的切點(diǎn)為弧(如％),由=-1,解得％=0,

|0-2-2|2

所以切點(diǎn)為M)(0,-2),切點(diǎn)到y(tǒng)=g(元)的距離的平方為|=8,

V1+1

即(a—c)~+{b—d\的最小值為8；

故選：A.

【變式1-6】已知實(shí)數(shù)。，b,c,"滿足|ln(a_l)_〃+|c_d+2]=0,則(a-c)?+S-d＞的最小值為()

A.2A/2B.8C.4D.16

【答案】B

【解析】由Iln(a_1)+1c_d+2|=0得，ln(a—T)—b=O,c—d+2=O,即b=ln(a—1),d=c+2,

("0)2+(6-療的幾何意義為曲線〃=皿.-1)上的點(diǎn)(。力)到直線1=。+2上的點(diǎn)(城)連線的距離的平方,

不妨設(shè)曲線y=ln(x-l),直線y=x+2,設(shè)與直線y=x+2平行且與曲線y=ln(x-l)相切的直線方程為

y=x+m,

顯然直線y=x+2與直線y=》+%的距離的平方即為所求,

由y=ln(x_l),得y'=」7，設(shè)切點(diǎn)為(%,%),

X-L

_^=1

%=2

則，解得m=-2,

y0=ln(x0-l)Jo=0

二.直線y=x+2與直線y=的星巨離為^^=20,

(a-c)2+(6-d)2的最小值為8.

故選：B.

題型二：曲線與點(diǎn)的距離

【典例2-1】若點(diǎn)490)與曲線y=e'上點(diǎn)尸的距離的最小值為2vL則實(shí)數(shù)f的值為()

.In2「彳In2-。In3一In3

A.4----B.4-----C.3+—D.3+——

3232

【答案】D

【解析】先設(shè)切點(diǎn)B,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及最值列式解得實(shí)數(shù)t的值.因?yàn)?A>1,所以，>0,由題意得

以A為圓心，2出為半徑的圓與曲線y=e*相切于點(diǎn)B,設(shè)可占，eW),則在B點(diǎn)處切線的斜率為鏟，所以

eXi

-----ex'=—1

<Xy—t/.—z)2—(%|—/)—12=0

d(X「t￥+(*￥=26

%—t<0%—t=—3,(e'1)~=3.1.&=—In3,f=—In3+3,D.

【典例2-2】(2024.河北石家莊?石家莊二中校考模擬預(yù)測)設(shè)點(diǎn)A?,0),尸為曲線>=，上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A,P

間距離的最小值為石，則實(shí)數(shù)t的值為()

/-53In28In3

A.y/5B.-C.2d----D.2H----

222

【答案】C

【解析】設(shè)尸(X,/),則|AP『=(xT)2+e%記g(x)=e2，+(x-)2,

g\x)=2e^+2(x-t),易知g'(x)=2e2*+2(xT)是增函數(shù),且g'(x)的值域是R,

；.g，(x)=0的唯一解%,且x<%時(shí)，g'(x)<0,x>x。時(shí)，g'(x)>0,即g*)-=g(%),

2A

由題意g(x())=+(%-f)2=6,而g'(尤0)=+2(%-f)=0,x0—t=-e°,

2x

e2M+e4M=6,解得e°=2,x0=殍.

_In2

:.t=e2xn°+/=2H—.

故選：C.

【變式2-1](2024.高三.廣東汕頭.開學(xué)考試)若點(diǎn)4(0,。與曲線y=lnx上點(diǎn)B距離最小值為2石，則實(shí)數(shù)

/為___.

【答案】|ln3+3

【解析】設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(辦山〃?)，對函數(shù)y=lnx求導(dǎo)得y=J,

t—Inm

由題意可知，直線AB與曲線y=lnx在點(diǎn)8處的切線垂直，則勉=y=-加，

—m

得Z=+In帆,

由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|=yjm2+（^-lnm）2=+m4,

由于〔AB]的最小值為2g,即/+/=12,m＞0,解得利=百，

因止匕，/=3+lnV3=3+—ln3.

2

故答案為：1ln3+3

題型三：曲線與圓的距離

【典例3-1】（2024.高三.山東青島?期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,。分別在圓M：（尤-1!1〃2）2+（）；-9）2=；和曲線

y=lnx上，則|尸目的最小值為_.

【答案】忘一；

【解析】由題意得知（出加,根），即圓心/在y=e，上，半徑為?

故|尸0的最小值等于|MQ|的最小值減去半徑g,

設(shè)O（”,ln”），由于＞=^與＞=Inx關(guān)于y=x對稱，

|MQ|的最小值等于。到直線＞的距離的最小值的2倍，

由y=lnx,可得y=L,令工=1,解得〃=1,

xn

故y=in尤在點(diǎn)Q（1,O）處的切線與y=X平行，此時(shí)Q（i,o）至I]y=X的距離最小，

目,|l-0|V2

最小值為匕—=—,

故|MQ|的最小值為白？2后，

則|尸0的最小值等于④-；.

故答案為：42--

【典例3-2】(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測)已知龍，私〃￡尺且xwO,機(jī)2+川=1,則%—根產(chǎn)+”—2十〃

的最小值是()

A.272B.9-472C.1+2&D.8

【答案】B

【解析】代數(shù)式(1+%—加產(chǎn)—％—2+=(l+x-m)2+^x-l+-

2

可以看成點(diǎn)A(八孔)到點(diǎn)3(1+羽％+—-1)距離的平方，點(diǎn)A(zn,〃)在平面直角坐標(biāo)系sO.中，表示單位圓

x

/+?=1上的點(diǎn),

22

點(diǎn)B(1+x,x-\-----1)表示曲線，G)=S-2H-----上的點(diǎn),如下圖所示:

X5—1

22

%2)=2,由，(s)=s-Z+Q=W-E".一1，

2

所以曲線()=s—2+—在點(diǎn)。(2,2)處的切線方程為:y-2=-(x-2)ny=—1+4,

5-1

此時(shí)直線0。與直線y=-％+4垂直于點(diǎn)0(2,2),交圓于點(diǎn)C,

由數(shù)形結(jié)合思想可以確定:

2

當(dāng)點(diǎn)A(叫”)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)B(l+x,x+—-1)運(yùn)用到點(diǎn)。(2,2)時(shí)，AB?有最小值，即

x

AB1=(OD-1)2=(V22+22-1)2=9-472，

故選:B

【變式3-1］若x、a、b為任意實(shí)數(shù),若(a+13+S-2)2=l,則(x-af+(lnx-b)2最小值為()

A.272B.9C.9-4亞D.272-1

【答案】C

【解析】由(。+1)2+(6-2)2=1可得(仍)在以(-1,2)為圓心，1為半徑的圓上，

(x-a)2+(ln.b)2表示點(diǎn)與點(diǎn)(x,lnx)的距離的平方，

即表示圓(x+l)2+(y-2)2=1上動(dòng)點(diǎn)到函數(shù)y=lnx圖像上動(dòng)點(diǎn)距離的平方.

設(shè)(“7,1M)為y=hu,上一點(diǎn)，且在處的y=lnx的切線與和(-1,2)連線垂直，可得

Inm-21

--------------=-1,

m+1m

即有Inm+m2+m=2,

由/(m)=lwn+M+m在機(jī)>0時(shí)遞增，且=可得根=1,即切點(diǎn)為(1,0),

圓心與切點(diǎn)的距離為d=7(1+1)2+(0-2)2=272,

由此可得(x-a-+(lar-b)2的最小值為(2A/2-I)2=9-472.

【變式3-2］若P,。分別是函數(shù)y=V與圓(x+3『+y2=l上的點(diǎn)，則|PQ|的最小值為

【答案】V5-1/-1+V5

【解析】設(shè)圓(x+3y+y2=l的圓心為C(-3,0),半徑為廠=1,

當(dāng)PC垂直于拋物線在點(diǎn)尸處的切線時(shí)，IPQI取得最小值，為|PC|-r,如圖所示，

設(shè)點(diǎn)P(九〃)，則直線PC的斜率為怎c=-7-且病=〃，

m+3

由％2=y矢口，y'—2x,

所以在點(diǎn)P處的切線的斜率為k=2m,

因?yàn)橹本€PC與切線垂直，所以曰?2相=-1,所以2/=_3-機(jī)，

m+3

所以(2m3+2)+(m+1)=0,即(%+l)(2m2-2m+3)=0,

因?yàn)?，/-2根+3=2(根-工)2+9>0恒成立，所以："+1=0,即加=-1,

22

此時(shí),

所以歸C|-r=)(一1+3)2+(1-0)2一1=近-1,即IPQI的最小值為逐-1.

故答案為：A/5-I.

【變式3-3】已知點(diǎn)P為函數(shù)/(x)="的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為圓。-1)2+尸=1上任意一點(diǎn)，則線段PQ

長度的最小值為()

A.V2-1B.1C.72D.73-1

【答案】A

由圓的對稱性可得只需考慮圓心M(1,O)到函數(shù)/(尤)="圖象上一點(diǎn)的距離的最小值.

設(shè)Ax)圖象上一點(diǎn)N(九e),令f(x)圖象上一點(diǎn)N(m,e")的切線為/

由Ax)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=e,即切線/的斜率為k=e"’,

當(dāng)MNJ_/時(shí)，圓心V(l,0)到函數(shù)/(x)=e，圖象上一點(diǎn)的距離最小，

此時(shí)工=-e^,即有2"+機(jī)一1=0,

m—1

由g(x)=e"+x-l,可得g，(x)=2e"+l>0,g(x)遞增，又g(0)=0,

所以根=0,N(0,1),

所以點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)。的距離最小，且為灰,

則線段尸。的長度的最小值為0-1，

故選：A.

題型四：曲線與拋物線的距離

【典例4-1】設(shè)+1]nq-，+^-(a>0,b6R),當(dāng)a,6變化時(shí)，6)的最小值為

【答案】y/2-l.

【解析】='(々一人)2+1]na—~—j+—,

函數(shù)表示點(diǎn)A(a,lna)和臺["?]的距離力口上B的縱坐標(biāo)，

2

畫出"x)=lnx和p=亍的圖像，如圖所示：

^AB+BC=AB+BD-1=AB+BF-1<AF-1,當(dāng)鉆尸共線時(shí)等號成立.

^g(x)=x2+(lnx-l)2,貝ijg〈x)=2見匚~+2x,g*(l)=O,

x

當(dāng)X>1時(shí)，2叵」>-2,故g'(x)=2生王1+2x〉0,函數(shù)單調(diào)遞增;

XX

當(dāng)0<x<l時(shí)，2蛆二!■<一2,^g'(x)=211^+2x<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

XX

§(XL=<?(1)=2>^AF-1<V2-1.

綜上所述：力的最小值是a-1.

故答案為：V2-1-

【典例4-2】設(shè)O=J(x-a)2+1lnx-f]+f+i.(aeR),則￡)的最小值為

A.正B.1C.J2D.2

2

【答案】C

【解析】由題可得：設(shè)/(x)=lnx,g(x)=1x2,所以。為g(x)上任意一點(diǎn)到f(x)上任一點(diǎn)及拋物線焦點(diǎn)的

lnl

距離之和，所以距離表達(dá)式為Jf+(1n尤一1)2，令g)=犬+(功彳_1)2,h\x)=2^+^-，顯然在[。,1]

遞減，口,+◎遞增所以〃(x)1nto=〃⑴=2,故jY+dnx-l)?最小值為友

【變式4-1](2024.湖北.模擬預(yù)測)設(shè)￡>=無一a/+(e*-2&『+a+l,其中e=2.71828,則。的最小值

為()

A.y/2B.V2+1C.73D.73+1

【答案】A

【解析】令2(元,e)P(a,2?),則點(diǎn)。在函數(shù)/(x)=e，圖象上，尸在函數(shù)g(x)=26的圖象上,

容易知道g(x)=2石圖象是拋物線V=4尤圖象的上半部分，

記拋物線焦點(diǎn)為歹(1,0),過尸作拋物線的準(zhǔn)線/：x=-l的垂線，垂足為如圖所示：

則。-a)2+(e%-2孫+a+l=\PQ\+\PM\=\P^+\PF\>\FQ\,

當(dāng)且僅當(dāng)戶在線段尸Q上時(shí)，取最小值.

設(shè)這時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為。(如寸),又尸(x)=e，,

已用一Q

2

所以有寸——_=-l=>e^=l-^0,解得飛=0,即該點(diǎn)為(0,1),

%0—1

所以=點(diǎn),因止匕4n=0.

故選：A.

題型五：曲線與曲線的距離

【典例5-1】(2024黑龍江哈爾濱.高三哈爾濱三中?？计谥?設(shè)點(diǎn)P在曲線y=ln(x-1)上，點(diǎn)Q在曲線

y=e'T上，則|PQ|的最小值為.

【答案】72

【解析】由于曲線y=ln(x-l)是由y=lnx向右平移1個(gè)單位得到的，y=e.是由y=/現(xiàn)右平移1個(gè)單位

得到的，所以「。|的最小值可以看成曲線>=也x上的點(diǎn)與y=d上的點(diǎn)間的最小值，

因?yàn)閥=，與y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對稱，

所以所求的最小值為曲線y=-上的點(diǎn)A到直線丁=x的最小距離的2倍,

設(shè)與直線>=*平行的直線與曲線y=e，相切于點(diǎn)M(x。,*),

因?yàn)閥=e*,由*=1，得看=。，

所以切點(diǎn)“(0,1),

所以點(diǎn)A到直線y=x的最小距離為d=與=也，

V22

所以歸。|的最小值為行，

故答案為：后

【典例5-2】設(shè),c>0,則J(a-6)2+(e"-。r+"(c-6)2+(lnc-6)2的最小值為.

【答案】0

【解析】由兩點(diǎn)距離公式的幾何意義可知府萬71口產(chǎn)表示點(diǎn)(。,內(nèi)到僅力)的距離，

J(c-b￥+(Inc-b￥表示點(diǎn)(c,lnc)至U(4b)的距離，

而(。?)是丫=一工>0)上的點(diǎn)，(c,lnc)是y=lnx上的點(diǎn)，("6)是>=》上的點(diǎn)，且尸e，與y=ln尤關(guān)于

直線y=x對稱，

所以J(a-6)2+(e"-6)2+J(c-1)?+(nc-6)2的最小值可轉(zhuǎn)化為y=e，圖像上的動(dòng)點(diǎn)與y=lnx圖像上的動(dòng)

點(diǎn)最小距離，

顯然，y=e"與平行y=x的切線《的切點(diǎn)和y=ln無與平行y=x的切線4的切點(diǎn)N,它們之間的距離

|"N|就是所求最小距離，

對于y=e)設(shè)切點(diǎn)為(冷兀)，有y'=e"則e'=l,故玉=0,則％=e°=l,故M(0,l),

對于y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(4，％)，有>=:，貝lj=l，故％=1，貝U%=lnl=。，故N(l,0),

所以|肱V|=gT=應(yīng)，所以題設(shè)式子的最小值為0.

故答案為：叵.

【變式5-1](2024?湖北襄陽?模擬預(yù)測)設(shè)點(diǎn)尸在曲線y=e2z+l上，點(diǎn)。在曲線y=l+lnV77T上，則

|「。|的最小值為_.

［答案］：(lMn2)

2

【解析】令/(x)=/a+D、g(x)=ln7^TT分別向上平移一個(gè)單位可得y=e2*+2+i、y=l+lnJx+1,而

/(x)與g(尤)關(guān)于y=x對稱，

??.當(dāng)兩條曲線在P、。處的切線均與y=x+i平行時(shí)，P、。關(guān)于y=x+i對稱，|尸0|有最小，對應(yīng)曲線平移到

/⑺、g(元)后，P、。關(guān)于，=無對稱即可，

.?.令》=尤+1>0,則/(x)=〃z(f)=e",

.??加⑺=2e"=l有"-竽，貝卜”(一竽)=g,即尸(一殍,g),

?1?1口2

??.?P到y(tǒng)=x的距離，」5~T_72(ln2+l),

04

■■\PQ\=2丁二&(1；2+1)

故答案為：同"2+1).

2

【變式5-2】設(shè)點(diǎn)尸在曲線>=尤2+1(》20)上，點(diǎn)。在曲線y=GF(xZl)上，則|尸。|的最小值為.

【答案】巫仁枝

44

【解析】由y=/+l,得：x2=y-l,x=±Jy-l.

所以y=x2+l(x?0)與y=K不互為反函數(shù).

則它們的圖象關(guān)于丁=x對稱.

要使|P0的距離最小，則線段P。垂直直線丫=》.

點(diǎn)尸在曲線>=公+1(%20)上，點(diǎn)。在曲線y=VT萬上，

設(shè)P(x,x2+1),Q(x,y/x-1).

又尸，。的距離為尸或。中一個(gè)點(diǎn)到y(tǒng)=x的最短距離的兩倍.

以。點(diǎn)為例，。點(diǎn)到直線y=x的最短距離

所以當(dāng)百'=1,即彳=3時(shí)，］取得最小值逑,

248

則|PQ|的最小值等于2x%=半.

故答案為：子

【變式5-3】已知點(diǎn)尸在函數(shù)〃x)=xe，+：l的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)g(x)=平的圖象上，則歸0的最小值

為.

x)e\則((0)=1,

在4(0,1)處的切線方程為y-l=lx(x-0),整理可得：好丈+1；

由函數(shù)g(x)=F，求導(dǎo)可得：8。)=上手，則g")=l,

在3(1,0)處的切線方程為y-0=lx(x-1),整理可得產(chǎn)x-l；

由直線AB的斜率Ks=W=T，易知：直線A3分別與兩條切線垂直..

故答案為：故.

【變式5-4](2024?高三?遼寧?期中)如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P,。分別在函數(shù)〃x)=e*+x,g(x)=21nx+；上運(yùn)

動(dòng)，則|尸。|的最小值為一.

y

f(x)=ex+x

g(x)=21nx+i

1234x

【答案】好

2

【解析】如題圖，兩個(gè)函數(shù)都是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，又/'(x)=e'+l,g'(x)=：在定義域上分別單

調(diào)遞增、單調(diào)遞減，所以函數(shù)“X）遞增的速度由慢到快，g（x）遞增的速度由快到慢，設(shè)動(dòng)點(diǎn)p（4%）,

e"+1=—,

x2

。（々,%），當(dāng)且僅當(dāng)滿足：，(e'1+%)一(21噸+；時(shí)，|PQ|取得最小值由圖象的示意圖不難發(fā)

%~X2%

現(xiàn)，該方程組有唯一一組4=0,%=i,所以尸（o,i）,,所以|「。|的最小值為

故答案為：好.

2

【變式5-5】設(shè)點(diǎn)尸在曲線y=eX+i上，點(diǎn)。在曲線y=-l+lnx上，則|PQ|最小值為（）

A.&B.272

C.0（1+歷2）D.0（1-/〃2）

【答案】B

【解析】.y=e*"與y=-l+lnx互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線＞=*對稱

先求出曲線y=e，+i上的點(diǎn)到直線＞=x的最小距離.

設(shè)與直線＞=%平行且與曲線y=e'+i相切的切點(diǎn)尸（七,%）.

/=&*,e*+1=l,解得無o=T...?%=e*i=l.

得到切點(diǎn)p（-u），點(diǎn)P到直線v="的距離〃=號”=&-

"PQI最小值為2及.

故選：B.

【變式5-6］已知函數(shù)y=*的圖象與函數(shù)y=ln（2x）的圖象關(guān)于某一條直線/對稱，若尸，Q分別為它們圖

象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（）

A/21D2&ln2廠A/2（1+1II2）

AA.-----dB.-----C.--------D.V2(l-ln2)

242

【答案】D

【解析】設(shè)P"為函數(shù)y=?圖象上任意一點(diǎn)，則6=三，尸（。⑼關(guān)于直線『的對稱點(diǎn)為Q（6,a）,

又y=ln（26）=lne"=a,即點(diǎn)。修㈤在函數(shù)y=ln（2x）的圖象上,

所以函數(shù)y=［的圖象與函數(shù)，=ln（2勸的圖象關(guān)于直線y=x對稱,

所以這尸，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值等于點(diǎn)尸到直線＞=彳距離最小值的2倍,

由y=土，貝!Jy，=J,

22

函數(shù)y在點(diǎn)P(%,%)處的切線斜率為女=史，令％=e=1,解得/=ln2,%=1,

222

所以點(diǎn)尸到直線y=無距離的最小值為d=嗎斗=應(yīng)…2),

722

所以這尸，。兩點(diǎn)之間距離的最小值為2d=0(1-m2).

故選：D

【變式5-7](2024?高三?寧夏石嘴山?開學(xué)考試)已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸、。分別是曲線>=￡'和曲線>=2也了上的任

意一點(diǎn)，則線段|P0的最小值為()

A.2A/2B.20(1-ln2)C.拒D.72(1-In2)

【答案】B

【解析】因?yàn)関-e*與》=21nx互為反函數(shù)，所以其圖象關(guān)于直線>=尤對稱，

先求出曲線v_￡"上的點(diǎn)到直線的最小距離，該距離的2倍即為所求.

設(shè)與直線y=X平行且與曲線y=e*相切的直線切點(diǎn)為尸(%,%),

1l1l

因?yàn)?r，所以^er#=l,解得x°=ln4,

-22

ln4

所以為=ei=泌？=2，即切點(diǎn)為尸(山4,2),

_2-In4

11（）

點(diǎn)P到直線y=%的距高d=r=V2l-ln2,

V2

所以線段|PQ|的最小值為2應(yīng)(l-ln2).

故選：B

題型六：橫向距離

【典例6-1】(多選題)(2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=e、，g(x)=lnx+l的圖象與直線y=加分

別交于A、B兩點(diǎn)，則().

A.m>0

B.Vm>0,曲線y=/(x)在A處的切線總與曲線y=g(x)在8處的切線相交

c.g目的最小值為1

D.3m>0,使得曲線y=/(x)在點(diǎn)A處的切線也是曲線y=g(x)的切線

【答案】ACD

【解析】設(shè)42的橫坐標(biāo)分別為也，X2,

貝ljex'=In尤2+1=m

由于6為＞0，故機(jī)＞0,故A正確；

當(dāng)根=1時(shí)%=0,4=1,

—（無）=",g〈x）=：,.?/（%］）=（（0）=1,g〈X2）=g'⑴=L

所以曲線y=/（無）在A處的切線總與曲線y=g。）在2處的切線斜率相等，兩切線不相交，故B錯(cuò)誤；

ml

\AB\=X2―玉=e~-Inm,

設(shè)=em-1-lnrn,（//i＞0）,貝ijh\m）=e'"T,是單調(diào)遞增函數(shù)，且〃（1）=0,

所以在（0,1）上〃（租）＜0,〃（加）單調(diào)遞減，在（1,+℃）上，〃（租）＞0,〃（加）單調(diào)遞增，

所以I崗加=M?L=Mi）=i，故c正確;

曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線方程為y-人=/（x-%）,若此切線同時(shí)也是曲線y=g。）的切線，可設(shè)切點(diǎn)

為（%％）,

xx

y0-e'=e'（毛一玉）

則＜%=lnx0+l,

eX1=——1

I/

消去飛得&T）e"=0,

設(shè)0（x）=（x-l）e*-尤，

^（-l）=--+l＞0,^（0）=-l（0,^（2）=e2-2）0,

因?yàn)?（無）的圖象是連續(xù)的，所以°（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)（可以證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)，因與本題結(jié)論無關(guān)，在

此從略），

故（西-1）/-再=0有解，進(jìn)而得到加的值是存在的且大于零的，故D正確.

故選：ACD.

【典例6-2】（2024.江蘇蘇州.一模）己知直線y=a分別與直線y=2x-2,曲線y=2/+x交于點(diǎn)A,B,

則線段AB長度的最小值為

?小生03+In2

【答案】-^―

【解析】.y=2e*+x，V=2e，+l,設(shè)與y=2x-2平行的y=2/+x的切線的點(diǎn)為（無,則切線斜率為

2e與+l,2/。+1=2,%0=—ln2,%=l—ln2,.,.切線方程為y+ln2-l=2(x+ln2),y=2%+ln2+l貝!Jy=2x-2

與y=2x+ln2+l,V”被直線與切線截得的線段長，就是V=。被直線y=2x-2和曲線y=2/+x截得

線段A3的最小值，因?yàn)?。取任何值時(shí)，'=。被兩平行線截得的線段長相等，所以令a=0,可得

—In2—13+In2,,./士3+In23+In2

乙=1，4=---------,42=尤8-無4=---,線c段nA3的B取小值一--,故答案為一--.

【變式6-1】已知直線'=〃"分另I］與直線y=5x-5和曲線y=2e'+x交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn)，則線段MN長度

的最小值是—.

【解析】設(shè)與>=5x-5平行且與y=2e，+x相切的直線的切點(diǎn)為&,2e'"+x。）,

x

因?yàn)閥=2e"+l,?.2e°+1=5,e殉=2,x0=ln2,切點(diǎn)為（In2,4+ln2）,

切線方程為丁一4一In2=5（x-ln2）,即y=5%+4-41n2,

"N長度的最小值就是>=根被V=5%-5與y=5無+4-41n2截得的弦長，

.m+5m+4In2-49-4In2

則有—--------7-----=一7—，

9—41112

故答案為:

5

【變式6-2】直線廣相分別與曲線y=；V-21nx,直線y=x-3交于A,8兩點(diǎn)，則卜到的最小值為

（）

A.MlB.空C.-D.75

422

【答案】C

d

【解析】由題，設(shè)A到直線y=x-3的距離為"，直線y=x-3的傾斜角為a,則sma=畫，

又tana=l,卜及"，故最小即d最小，即為當(dāng)過點(diǎn)A處的切線與直線y=彳-3平行時(shí)最小，

由曲線y'=3x-2=l,x>0,得x=l,所以切點(diǎn)為

可求得點(diǎn)A到直線y=x-3的距離最小值為d=「2=逑

g4

故仙瓦皿=V^min=（,

故選：C

【變式6-3］（2024?陜西銅川?一模）直線y=7"分別與直線y=x、曲線y=4x-lnx交于點(diǎn)A,B,則|A@的

最小值為（）

A.-+ln3B.l+ln3C.1+ln3D.2+ln3

22

【答案】B

【解析】由題意可知，直線丫=機(jī)與直線y=x的交點(diǎn)根)，直線丫=機(jī)與曲線y=4x-lnx交點(diǎn)3(%,相),

滿足m=4%-ln%o(%o>0),

則=Bo—M=|x0-(4x0-lnx0)|=|lnx0-3x0|=|3x0-lnx0|,

設(shè)/(x)=3x-lnx,x>0,貝ij/'(%)=3—工，

由廣(無)>0,得x>g；r(x)<0,得0<x<1,

所以“X)在U上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則〃x)w[J=3xg_ln；=l+ln3,即阿1ml0=l+ln3,

故選：B.

【變式6-4】已知直線>分別與曲線y=e，和曲線y=lnx+l交于P,。兩點(diǎn)，則|尸。|的最小值為()

e1

A.1B.eC.-D.；

22

【答案】A

【解析】因?yàn)橹本€y分別與曲線y=e，和曲線y=lnx+l交于P,Q兩點(diǎn)，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(Ina,a),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(e",a),

所以|PQ|=k"T-lna|,

設(shè)〃a)=ei_lna,則-⑷=e"T_：,

因?yàn)楹瘮?shù)丫=#|?=-：在(0,+8)上都為增函數(shù)，

所以函數(shù):在(0,+。)為增函數(shù)，又/")=0,

所以當(dāng)0<a<1時(shí)，r(a)<0,函數(shù)〃a)=e"T-lna單調(diào)遞減，

當(dāng)”>1時(shí)，/'(a)>0,函數(shù)/(a)=ei-lna單調(diào)遞增，

所以=

所以|尸@=卜1一ma,1,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號，

所以|PQ|的最小值為1.

故選：A.

【變式6-5】已知函數(shù)〃尤)=",g(x)=ln>g的圖象分別與直線,=機(jī)(根>0)交于AB兩點(diǎn)，則國的

最小值為()

13

A.2B.2+ln2C.e+9—D.2e—In—

22

【答案】B

Y1

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)",g(x)=ln]+]的圖像與直線丫=根分別交于A,B兩點(diǎn)，

所以A(lnm,in),B2e"2,"j,其中2e*>lnm，且機(jī)>。，

1

所以|AB|=2e2-in”

令h[x)=2e萬-lnx(x>0)，

則”(%)=26一5-；,令”(x)=0得：x

所以易得：時(shí)，//(%)>0；0<兀<；時(shí)，//(x)<0；

即函數(shù)h(x｝在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

因此人(x)2=2+ln2,B|J\AB\的最小值為2+ln2.

故答案為：B.

題型七：縱向距離

【典例7-1](2024?四川宜賓?模擬預(yù)測)若直線x