2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義：平面向量基本定理及其拓展（爪子定理）（高階拓展）（學(xué)生版+解析）

第03講平面向量基本定理及其拓展

（“爪子定理”）（高階拓展）

（3類核心考點(diǎn)精講精練）

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年全國乙卷文數(shù)，第6數(shù)量積的運(yùn)算律

用基底表示向量

題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示

2022年新I卷，第3題,5分用基底表示向量無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解平面向量基本定理及其意義

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

3.掌握基底的概念及靈活表示未知向量

4.會(huì)綜合應(yīng)用平面向量基本定理求解

【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積基本定理的基底表示向量、在平面幾何圖形中的應(yīng)用問題，易

理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。

知識(shí)講解

1.平面向量基本定理

如果ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一

對(duì)實(shí)數(shù)九，h,使a=/liei+22e2.

其中，不共線的向量ei,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

（1）.基底ei,e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底.

（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題

（1）只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無窮多組.

（2）利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、

減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.

3.形如AD=xA3+yAC條件的應(yīng)用（“爪子定理”）

“爪，，字型圖及性質(zhì)：A

（1）己知AB,AC為不共線的兩個(gè)向量，則對(duì)于向量AD,必存在羽y,使得/\

AD=xAB+yAC,則8,。,。三點(diǎn)共線ox+y=1/\

DC

當(dāng)0<x+y<l,則。與A位于BC同側(cè)，且。位于A與BC之間

當(dāng)尤+y>l,則。與A位于3C兩側(cè)

x+y=l時(shí)，當(dāng)尤>0,y>0,則。在線段上；當(dāng)孫<0,則。在線段延長線上

A

（2）己知。在線段3C上，且|班>:|CD|=加:人則AD=-------AB+-------AC/\

m+nm+n//'

3、AD=xAB+yAC中光,y確定方法?Z__Z-------

°tnDn

（1）在幾何圖形中通過三點(diǎn)共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定演y

（2）若題目中某些向量的數(shù)量積己知，則對(duì)于向量方程A￡>=xA8+yAC,可考慮兩邊對(duì)同一向量作數(shù)

量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解

（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于尤,y的方程，

再進(jìn)行求解

考點(diǎn)一、基底的概念及辨析

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）下列各組向量中，可以作為基底的是（）.

A.4=（。,。）,七=。，-2）B.ex=（-1,2）,e2=（5,7）

C.，=（3,5）,e2=（6,10）D.q=（2,—3）,e2=（g，—j）

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如果令，4是平面a內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為

平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（）

A.q與。十%B.0—2e?與G+2^

C.6]+&2與6一。2D.G+2q+64

3.（2023高三?福建?階段練習(xí)）下列向量組中，可以用來表示該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的是（）

A.a=(1,2),b=(0,0)B.a=(1,2),Z?=(—1,—2)

C.a=(1,2),b=(5,10)D.a=(1,2),b=(—1,2)

1.（2023?陜西西安?一模）設(shè)左eR,下列向量中，可與向量q組成基底的向量是（）

A.b=(k,k)B.0=（一左,一女）

C.d=(左2+1，左2+1)D.e=(左?—1,左2_1)

2.（2023高三?全國,專題練習(xí)）設(shè),?｝為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（）

A.G+4才口G—e?B.46+2^2和2e2—4,

C.2G+/和G+/D.ex-2/和4^2+2q

考點(diǎn)二、平面向量的基本定理綜合

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國?高考真題）在,ABC中，點(diǎn)。在邊上，班＞=2ZM.記。4=利。。=”，則CB=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

2.（全國?高考真題）在ElABC中，AD為3C邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則防=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在ABC中，M是的中點(diǎn)，AN=3NC,CM與3N相交于點(diǎn)尸，則AP=（）

3113

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

5555

1331

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2442

1.（廣東?高考真題）在平行四邊形ABC。中，AC與BD交于點(diǎn)O,￡是線段。。的中點(diǎn)，AE的延長線與

CD交于點(diǎn)尸,若AC=a，BD=b，則AF'=

A.—ciH—bB.—ciH—bC.—ciH—bD.-ciH—b

42332433

2.（2024?山西呂梁?三模）已知等邊的邊長為1,點(diǎn)2石分別為A5,5。的中點(diǎn)，若DF=3EF，則Ab=

（）

1513

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

iiuun3uum

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

3.（22-23高一下?河南洛陽?階段練習(xí)）在ABC中，點(diǎn)M是A3的中點(diǎn)，N點(diǎn)分AC的比為AN：NC=1:2,3N

與CM相交于設(shè)A5=/AC=b,則向量AE=（）

1-1712,2.13,4

A.-QH—bB.-ci-\—bC.-dH—zbD.-4H—b7

32235555

考點(diǎn)三、“爪子定理”的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（全國?高考真題）設(shè)。為11ABe所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且5c=38,則（）

1414

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

4141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

ABC中，AN=-NC,P是BN上的一點(diǎn)，若AP="?AB+2AC,則實(shí)數(shù)m的值為（

2.如圖，在,

311

9532

A.——B.—C.—D.—

11111111

-1.2

3.如圖，在.ABC中，AN=-NC,P是BN上的一點(diǎn)，若AP="?AB+—AC,則實(shí)數(shù)〃z的值為（

311

9532

A.—B.—C.—D.—

11111111

1.（2024?云南昆明?一模）在J1BC中，點(diǎn)。滿足A￡>=4OB,則（）

1331

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4444

1441

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

5555

2.（2024?廣東廣州?一模）已知在中，點(diǎn)。在邊上，且50=5。。，則AO=（）

151uum5uuu1441

A.-AB+-ACB.-AC+-ABC.-AB+-ACD.-AB+-AC

66665555

3.（2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測）如圖，在一ABC中，點(diǎn)。在BC的延長線上，忸q=，

如果AD=xA8+yAC,那么（）

1313

A.x=一,y=一B.x=——,y=—

2222

1313

C.x=，y=D.x=-,y=-

~2~22

4.（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）（多選）在ABC中,記A8=,AC=6，點(diǎn)。在直線3C上，且友）=3DC.

若40=+4，則竺的值可能為（）

n

11

A.—2B.—C.—D.2

33

IN.好題沖關(guān)

1.（2024?上海浦東新?三模）給定平面上的一組向量G、4,則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的

是（）

A.2q+e2和q-e?B.q+Se?和%+3q

C.一q和2q-6qD.q和q+q

2.（2024?浙江紹興?二模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，EC=2BE.DF=2FC，記A8=a,AD=Z?,

則后尸=（

A.L+L12-

B.——a——b

3333

2121

C.一〃H—b7D.—a——bz

3333

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，EB=2AE,BF=FC,記==則.=（）

217B.2/

A.—a——b

3232

D-

3223

2

4.（2024?山東濟(jì)南?二模）在「ABC中，E為邊AB的中點(diǎn)，BD=-BC,則（）

A.--AB+-ACB.-AB+-AC

6363

C.-AB+-ACD.-AB--AC

6363

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知等邊三角形ABC的邊長為2,尸為ABC的中心，PELAC,垂足為￡,則

PE=（）

122uuiiiuum

A.—ABH—ACB.--AB+-ACC.--AB+-ACD.——AB+-AC

33366333

6.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在梯形ABCD中，OC=3AB,E為線段AD的中點(diǎn)，。尸=2FC，則E尸=（）

A.-BA+-BCB.--BA+BCC.--BA+-BCD.-BA+-BC

22222

7.(2024?四川?模擬預(yù)測)已知平行四邊形A3CD中，E為AC中點(diǎn).尸為線段AO上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn),

設(shè)AB=a,=6,則E尸=()

117317

A.——a——bB.——a——b

4242

1-1；13

C.——a——bD.——a——bZ

2424

8.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測）已知在梯形ABCD中，A3〃C￡）且滿足4?=2DC,￡為AC中點(diǎn)，尸為線段A3上

靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)AB=a,AD=b＞則EF=（）.

213」

A.—a——b7B.C.D.L-

324612226

9.（2024?廣東汕頭?三模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE=2EC,D?=FC，則EF=)

A.一-AB+-AZ)B.--AB--AD

2323

C.--AB+-ADD.--AB--AD

3232

10.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）在,ABC中，AB=a,AC=b,若AC=2EC,BC=2DC,線段與班交

于點(diǎn)尸，則C尸=（）

A.L+Z

B.—a——b

333

C-匕+2-12

D.——a—b7

3333

一、單選題

1.（2024?福建漳州?模擬預(yù)測）在ABC中，D是邊3C上一點(diǎn)，且3。=2DC,E是AC的中點(diǎn)，記AC=丸AO=人

則BE=（）

5775

A.—n-3mB.-n-3mC.-m-3nD.—m—3n

3222

2.（2024?遼寧?二模）已知平行四邊形ABC。，點(diǎn)尸在△5CD的內(nèi)部（不含邊界），則下列選項(xiàng)中，”可能

的關(guān)系式為（）

1313

A.AP=-AB+-ADB.AP=-AB+-AD

5544

2324

C.AP=-AB+-ADD.AP=-AB+-AD

3433

3.（2023?湖南?一模）在中，點(diǎn)。滿足AO=2O民E為△5CD重心，設(shè)BC=%,AC=〃，則AE可表

示為（）

1212

A.—m+—nB.——m+—n

3333

5858

C.——m+—nD.—m+—n

9999

4.（22-23高三上?全國?階段練習(xí)）在平行四邊形ABC。中，BE=2ED-AF=AC+2AB,若

EF=2AS+/zAr＞（A,//eR）,則一=（）

A.1B.2C.4D.8

5.（2024?內(nèi)蒙古包頭?一模）如圖，在菱形ABCD中，AB=4,ZABC=60,E,尸分別為AB,BC上的點(diǎn)，

BE=3EA，8尸=3”.若線段上存在一點(diǎn)M，使得+尤DA（xeR），則DATCA等于（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）在ABC中，。是8C的中點(diǎn)，直線/分別與交于點(diǎn)M,瓦N,且

4

AB=-AM,AE=2ED,AC=AAN,則4=()

8575

A.—B.—C.-D.一

5342

7.(2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測)在一ABC中，BD=2DC，過點(diǎn)。的直線分別交直線AB、AC于點(diǎn)E、F,

S.AE=mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,貝!J機(jī)+2〃的最小值為()

8

A.2B.夜C.3D.-

二、多選題

8.（2024?河北廊坊?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，43=6,8。=4,石是86的中點(diǎn)，尸是。C上的一點(diǎn),

且Db=2FC,則下列說法正確的是（）

B.AF=-AB+AD

3

C.AE-AF=28D.AE-AF=32

三、填空題

9.（23-24高三上?天津和平?階段練習(xí)）如圖，在.ABC中，AB=2,AC=3,AB.AC=3,點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，

點(diǎn)E在邊AC上，3AE=AUBE交AD于點(diǎn)/，設(shè)=XAB+〃AC（/l,〃eR）,則4+〃=；點(diǎn)6是

線段8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BF.FG的最大值為.

3

10.（2024,天津?模擬預(yù)測）如圖，在ABC中，AB=2,AC=5,cosZCAB=-,。是邊8C上一點(diǎn)，且

3

8D=2O。.若=記尸。二入川+4水^^川金區(qū)3則幾+/二;若點(diǎn)尸滿足3P與4方共線，

BP

PA1PC，則——的值為.

AD

C

Di

1.（2020?山東?高考真題）已知平行四邊形ABCD,點(diǎn)E,尸分別是AB,3C的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)AB=

AD=b，則所等于（）

A.+B.萬卜-Z?）C.耳僅-G）D.3a+b

2.（全國?高考真題）在BBC中，AB=c9AC=b-若點(diǎn)。滿足50=20。，則AD=（）

2152,2112

A.—7b+—cB.—c——bC.—7b——cD.—7b+—c

33333333

3.（?全國?高考真題）在一ABC中，D是A5邊上一點(diǎn).若AD=2D民CD=；C4+XC5,則2的值為（）

2112

A.-B.—C.—D.----

3333

4.（全國?高考真題）中，點(diǎn)D在A3上，CZ）平分/ACB.若CB=a，CA=b，同=1，忖=2,貝

12213443

A.—ciH—bB.—ci—bC.—aH—bD.—QH—b

33335555

5.（安徽?高考真題）在YA3CD中，AB=a,AO=b,AN=3NC,M為BC的中點(diǎn)，則MN=.（用a、b

表示）

6.（北京?高考真題）在蜘BC中，點(diǎn)M,N滿足AM=2MC,BN=NC,^MN=xAB+yAC,則x=

y=?

7.（江蘇?高考真題）如圖，在4ABe中，。是BC的中點(diǎn)，E在邊上，BE=2EA,與CE交于點(diǎn)。.若

AB

A8-AC=6AO-EC，則力的值是.

第03講平面向量基本定理及其拓展

（“爪子定理”）（高階拓展）

（3類核心考點(diǎn)精講精練）

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年全國乙卷文數(shù)，第6數(shù)量積的運(yùn)算律

用基底表示向量

題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示

2022年新I卷，第3題,5分用基底表示向量無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解平面向量基本定理及其意義

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

3.掌握基底的概念及靈活表示未知向量

4.會(huì)綜合應(yīng)用平面向量基本定理求解

【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積基本定理的基底表示向量、在平面幾何圖形中的應(yīng)用問題，易

理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。

知識(shí)講解

1.平面向量基本定理

如果ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一

對(duì)實(shí)數(shù)71,h,使a=/hei+22e2.

其中，不共線的向量ei,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

（1）.基底ei,e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底.

（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題

（3）只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無窮多組.

（4）利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、

減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.

4.形如AD=xA5+yAC條件的應(yīng)用（“爪子定理”）

“爪，，字型圖及性質(zhì)：A

（1）已知AB,AC為不共線的兩個(gè)向量，則對(duì)于向量AD,必存在羽y,使得/\

AD=xAB+yAC?則瓦。,。三點(diǎn)共線ox+y=1//\

B乙pc

當(dāng)0<x+y<l,則。與A位于同側(cè)，且。位于4與之間

當(dāng)x+y>l,則。與A位于3C兩側(cè)

x+y=l時(shí)，當(dāng)尤>0,y>0,則。在線段上；當(dāng)孫<0,則。在線段延長線上

A

（2）已知。在線段3C上，且加:人則AD=—^—A3+—AC7/\

m+nm+n//'

3、A。=xAB+yAC中確定方法/_/-----

D

mDn

（1）在幾何圖形中通過三點(diǎn)共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定x,y

（2）若題目中某些向量的數(shù)量積己知，則對(duì)于向量方程AD=xA8+yAC,可考慮兩邊對(duì)同一向量作數(shù)

量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于l,y的方程，再進(jìn)行求解

（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于的方程，

再進(jìn)行求解

考點(diǎn)一、基底的概念及辨析

典例引領(lǐng)

I___________________

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）下列各組向量中，可以作為基底的是（）.

A.4=（0,0）,e2=（1,-2）B.ex=（-1,2）,e2=（5,7）

c.4=（3,5）,e2=（6,10）D.=（2,-3）,e2

【答案】B

【分析】不共線的非零向量可以作為向量的基底.

【詳解】因?yàn)?=(-1,2)與6=(5,7)不共線，其余選項(xiàng)中4、02均共線，所以B選項(xiàng)中的兩向量可以作為基

底.

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))如果q?是平面a內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為

平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()

A.q與4+&2B.2e?與q+Ze?

C.q+a2與0—?D.q+3/與2d]+6/

【答案】D

【分析】分別驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)中的兩向量是否共線即可選出正確答案.

【詳解】選項(xiàng)A中，設(shè)4+e?"q,無解，則兩向量不共線；

/、f2=1

選項(xiàng)8中，設(shè)6—24=4,+2/),貝U,,,無解，則兩向量不共線；

II=—Z

/、f2=1

選項(xiàng)C中，設(shè)A+02=4(6-a)，貝"，無解，則兩向量不共線；

[1=-Z

選項(xiàng)。中，6+3%=；(2q+6?2),所以兩向量是共線向量.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了基底的涵義，考查了兩向量是否共線的判定.本題的關(guān)鍵是判斷兩向量是否共線.

3.(2023高三?福建?階段練習(xí))下列向量組中，可以用來表示該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的是()

A.a=(1,2),6=(0,0)B.a=(1,2),6=(-1,-2)

C.a=(1,2),b—(5,10)D.a=(1,2),0=(-1,2)

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量基本定理可知，表示平面內(nèi)的任意向量的兩個(gè)向量不能共線，結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷.

【詳解】表示平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的兩個(gè)向量不能共線，

A.向量6是零向量，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故A錯(cuò)誤；

B.a=-b，兩個(gè)向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故B錯(cuò)誤；

C.b=5a，兩個(gè)向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故C錯(cuò)誤；

D.不存在實(shí)數(shù)彳，使6=%，所以向量a,6不共線，所以可以表示平面內(nèi)的任意向量，故D正確.

故選:D

1.(2023?陜西西安?一模)設(shè)ZeR,下列向量中，可與向量4組成基底的向量是()

A.b=(k,k)B.c=

C.d=^k2+1,k2+1）D,e=（lc-1,k2-1）

【答案】C

【分析】根據(jù)構(gòu)成基地向量的條件不共線的兩個(gè)非零向量解決.

【詳解】對(duì)于AB項(xiàng)，若左=0時(shí)，^=（0,0）,c=（0,0）不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以AB都錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，若改=±1時(shí)，e=（0,0）不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以D錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?+1x0,又因?yàn)閮?1卜（-1）-儼+1卜1W0恒成立,說明d與q不共線，復(fù)合構(gòu)

成基向量的條件，所以C正確.

故選：C

2.（2023高三?全國?專題練習(xí)）設(shè),七｝為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（）

A.q+e?和q-e2B.4q+2e2和2/-4q

C.2q+e2和G+ge2D.q-2e?和4e,+2q

【答案】C

【分析】根據(jù)基底的概念確定正確答案.

【詳解】平面向量的基底由兩個(gè)不共線的非零向量組成，

C選項(xiàng)中，2q+4=,即2q+e?和q為共線向量，

所以它們不能作為基底.

其它選項(xiàng)中的兩個(gè)向量都沒有倍數(shù)關(guān)系，所以可以作為基底.

故選：C

考點(diǎn)二、平面向量的基本定理綜合

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國?高考真題）在,A5c中，點(diǎn)。在邊A3上，BD=2DA.記QtinCDu”，則CB=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊上，BD=2DA,所以3O=2D4，即CD-CB=2（CA-C￡＞）,

所以CB=3CD-2cA=3n-2m=-2m+3n.

故選：B.

2.（全國,高考真題）在回ABC中，AD為8C邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則班=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得=+之后應(yīng)用向量

31

的加法運(yùn)算法則一三角形法則’得到g.+Ac,之后將其合并，得到郎下一步應(yīng)

31

用相反向量，求得日之-/C,從而求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

；5A+；（5A+AC）

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=

2224

24444

31

所以所產(chǎn)一嚴(yán),故選A。

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加

法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在一ABC中，M是AB的中點(diǎn)，AN=3NC,CM與3N相交于點(diǎn)尸，則人尸=（）

311-3

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

5555

1331

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2442

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算、三點(diǎn)共線等知識(shí)列方程組，由此求得正確答案.

【詳解】設(shè)=+由加是AB的中點(diǎn)，得AB=2AM，

4

由AN=3NC，得AC=§AN,

4

所以A尸=+S.AP=AAB+-^AN,

由CM與相交于點(diǎn)尸可知，點(diǎn)P在線段CM上，也在線段上,

2/l+〃

由三點(diǎn)共線的條件可得L4」解得，5所以”=；1■十:3AC.

A+—//=1

故選：B

1.（廣東?高考真題）在平行四邊形ABC。中，AC與BD交于點(diǎn)、O,E是線段0。的中點(diǎn)，AE的延長線與

CD交于點(diǎn)F若AC=a，BD=b，則AF=

A.—a+—bC.—a+—bD.—a+—b

422433

【答案】B

【分析】利用平面幾何知識(shí)求解

【詳解】如圖，可知

DF

一__-.一2一-2——》2一一-

AF=AC+CF=AC+-CD=AC--AB=AC--(AO+OB)

=AC--（-AC--BD\=a--\-a--b\=-a+-b,選B

3（22）3（22J33

【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算及其幾何意義，同時(shí)要注意利用平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，

2.（2024?山西呂梁?三模）己知等邊"C的邊長為1,點(diǎn)9E分別為ABIC的中點(diǎn)，若。尸=3E尸，則”=

13

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

1uufl3u?

C.-AB+ACD.-AB+-AC

2

【答案】B

【分析】?。鸄C,AB｝為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】在"ABC中，?。鸄C,為基底，

貝I］陷==2,（AC,碼=60,

因?yàn)辄c(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，DF=3EF,

所以斯」￡>2」AC,

24

所以A/=AE+跖=—（AB+AC）+—AC=-A5+±AC.

2V7424

故選：B.

3.（22-23高一下?河南洛陽?階段練習(xí)）在.ABC中，點(diǎn)〃是AB的中點(diǎn)，N點(diǎn)分AC的比為4V：=1:2,BN

與CM相交于E,設(shè)AB=a,AC=b,則向量AE=（）

11712,21z3也

A.—aH—bB.—ciH—bC.—ciH—bD.