2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：直線方程及直線間的位置關(guān)系

第01講直線方程及直線間的位置關(guān)系

（7類核心考點精講精練）

IN.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

給值求值型問題

2023年新I卷，第6題,5分已知點到直線距離求參數(shù)余弦定理解三角形

切線長

求點關(guān)于直線的對稱點

2023年新II卷，第15題,5分由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)

直線關(guān)于直線對稱問題

2022年新II卷，第3題,5分已知斜率求參數(shù)等差數(shù)列通項公式的基本量計算

2022年全國甲卷（理科），

已知兩點求斜率求橢圓的離心率或離心率的取值范圍

第10題,5分

2022年全國甲卷（文科），

求平面兩點間的距離由圓心（或半徑）求圓的方程

第14題,5分

2021年新II卷,第3題,5分己知點到直線距離求參數(shù)根據(jù)拋物線方程求焦點或準(zhǔn)線

2021年全國甲卷（文科），

求點到直線的距離已知方程求雙曲線的漸近線

第5題,5分

2021年全國乙卷（文科），

求點到直線的距離求雙曲線的焦點坐標(biāo)

第14題,5分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5-6分

【備考策略】1.理解、掌握直線的傾斜角與斜率及其關(guān)系

2.熟練掌握直線方程的5種形式及其應(yīng)用

3.熟練掌握距離計算及其參數(shù)求解

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，通常和圓結(jié)合在一起考查，需重點練習(xí)

12?考點梳理

知識講解

1.兩點間的距離公式

A（Xi，yJ，B（X2,y2）,|Aq=J（々—％y+（%—X）?

2.中點坐標(biāo)公式

X]+x2

A（Xi，%）,B（x2,y2）,加（%,丁0）為AB的中點，則：＜2

M+為

%=

2

3.三角形重心坐標(biāo)公式

x

）（國,必）,B（X2,%）,C&，乃）,河（o，%）為AA3建心

xx+x2+x3

3

H+為+%

%=

3

Z+Z?+Z3

3

4.直線的斜率與傾斜角的定義及其關(guān)系

2

（1）斜率：表示直線的變化快慢的程度；k>0,直線遞增，k<0,直線遞減,

（2）傾斜角：直線向上的部分與x軸正方向的夾角，范圍為［0,%）

（3）直線的斜率與傾斜角的關(guān)系：k=tan0

e0°30°45°60°90°120°135°150°

與旦

tan?01V3不存在-V3-1

33

5.兩點間的斜率公式

3（%2。2），kAB=~''

6.直線的斜截式方程

y=kx+b,其中人為斜率，匕為y軸上的截距

7.直線的點斜式方程

已知點尸（為,光），直線的斜率左，則直線方程為：y-y0^k（x-x0）

8.直線的一般式方程

Ax+By+C^O（A2+B2^0）

9.兩條直線的位置關(guān)系

（1）平行的條件

k=k

①斜截式方程：k：y=kiX+h，I?y=k?x+b2,2

也產(chǎn)仇

”2=46

/1//Z<=><

②一般式方程：4：^x+Bly+C1=0,Z2:A2x+B2_y+C2=0,2

A[C2hA,C1

（2）重合的條件

K—左2

①斜截式方程：4y=匕x+偽，4：y=左2%+為，4/2重合=<

b[=瓦

②一般式方程:

A8=A,耳

4:A/+gy+G=0，I、：A2x+B2y+C,=0,《,臺'<

=4G

(3)垂直的條件

①斜截式方程:4y=k1x+b1,/2:y=k2x+b2,”域=kxk2=-1

②一般式方程：

/):A^x+5y+G=0,I,:+B2y+C,=0,/]_!_/,AB?=0

10.點到直線的距離公式

點尸(公,%),直線/：Ax+3y+C=0,點到直線的距離為：1=邑蘭匹

6+笈

11.兩條平行線間的距離公式

3

,Iq-cd

I、:Ax+By+G=0,(：Ax+By+C?—0,d——,

一一VA2+B2

考點一、直線的傾斜角與斜率

典例引領(lǐng)

I_____________________

1.（2024?上海?高考真題）直線x-y+l=0的傾斜角.

【答案】7

4

【分析】求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】設(shè)直線元-y+1=0的傾斜角為aee兀），

易知直線x-y+i=o的斜率為1,

所以tan6=l,

解得。=?.

4

故答案為：―：

4

2.（23-24高二上?青海西寧?階段練習(xí)）已知A（2私2）,B（4,-1）,C（T-附三點在同一條直線上，則實數(shù)加的

值為—.

【答案】5

【分析】根據(jù)三點共線，直線人用BC斜率相等，即可列式計算.

【詳解】根據(jù)題意可得：kAB=-^-=^=kBC,

2m-48

即：病—3%—10=0,（祖―5）（;w+2）=0,

解得=5或—2；

又當(dāng)m=-2時，AC是同一個點，不滿足題意，故舍去；

綜上所述，實數(shù)機的值為：5.

故答案為：5.

3.（23-24高二上?山東棗莊?階段練習(xí)）經(jīng)過A。,m）,8（根-1,3）兩點的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)機的范

圍是■

【答案】（-8,2）。（3,+8）

【分析】由題意可得相片2且斜率無=二二＜0,計算即可得解.

m-2

【詳解】根據(jù)題意機-1W1,即"存2,

且斜率上竺＜0,

m-2

gp(3-m)(m-2)<0,

4

解得〃z<2或：">3.

實數(shù)”，的范圍是（，》,2）u（3,+00）.

故答案為：（-*2）u（3,+8）

4（23-24高二上?福建廈門?期中）已知兩點A（-3,2）,B（2,l）,過點尸（0,-1）的直線/與線段A3（含端點）

有交點，則直線/的斜率的取值范圍為（）

A.（―°o,—1]U[1,+00）B.[-1,1]

C.I-00,--lu[l,+00）D.--,1

【答案】A

【分析】求出直線以、PB的斜率后可求直線/的斜率的范圍.

【詳解】

故直線/的取值范圍為（-8,-1]口（1,+8）,

故選：A.

■?即時檢測

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）直線xsin2-ycos2=。的傾斜角的大小是（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求得直線的斜率，得到左=tan2,結(jié)合傾斜角的定義，即可求解.

【詳解】由直線xsin2-ycos2=0,可得直線的斜率4=當(dāng)=tan2,所以直線的傾斜角為2.

cos2

故選:D.

2.（2024?河南信陽?二模）已知直線2x-y+l=0的傾斜角為a,貝ijtan2a的值是.

4

【答案】

【分析】根據(jù)直線斜率等于傾斜角的正切值，得tana=2,再利用正切的二倍角公式即可得到結(jié)果.

【詳解】由直線2x-y+l=0方程，得直線斜率tana=2,

2tana2x24

所以tan2a=

1—tan2a1-223

5

4

故答案為：

3.（2022?上海?模擬預(yù)測）若2=（2,-4）是直線/的一個方向向量，則直線/的傾斜角大小為一

【答案】萬一arctan2

【分析】先根據(jù)直線方向向量求出斜率，再由直線方向向量和傾斜角關(guān)系求出傾斜角.

-4

【詳解】因為之=（2,-4）是直線/的一個方向向量，所以直線/的斜率左二3二—2,

所以直線/的傾斜角大小為冗-arctan2.

故答案為：乃-arctan2.

考點二、直線的5種方程

典例引領(lǐng)

1.（22-23高三?全國?課后作業(yè)）經(jīng)過點（-3,1）和點（2,-2）的直線方程是.

【答案】3x+5y+4=0

【分析】根據(jù)兩點式求得直線方程.

【詳解】經(jīng)過點（-3,1）和點（2,-2）的直線方程是：￡=M，

整理得3x+5y+4=0.

故答案為：3x+5y+4=0

2.（22-23高二上?山東日照,階段練習(xí)）過點4（4,1）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是

【答案】x-4y=0或x+y—5=0.

【分析】分截距為0和截距不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，待定系數(shù)法進行求解.

【詳解】當(dāng)截距為0時，設(shè)直線方程為>=日，

將4（4,1）代入，可得后=：,

所以直線方程為y=

4

當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為二+2=1,

aa

將4（4,1）代入，可得：a=5,

所以直線方程為尤+>-5=0,

綜上：直線方程為y=或x+y_5=0.

故答案為：x-4y=0或x+y-5=0.

3.（22-23高二上?廣東江門?期末）直線氐+y+2=0的傾斜角及在y軸上的截距分別是（

A.60°,2B.60°,-2C.120°,-2D.120°,2

6

【答案】c

【分析】將直線方程化成斜截式方程，即可求解.

【詳解】直線代工+'+2=0化成斜截式、=-瓜_2,

可知直線的斜率左=-石，故傾斜角為120。，直線在y軸上的截距為-2,

故選：C

4.（24-25高三上?湖南長沙?開學(xué)考試）過點（T,2）,傾斜角為號的直線方程為（）

A.X—y+2=0B.x+y+2=0C.x-y=2D.%—y+l=0

【答案】B

【分析】由題意可得直線的斜率，可得點斜式方程，化為一般方程可得.

【詳解】由題可得直線的斜率為tanl35°=-l,

所以直線方程為：y-2=-（x+4）,

化簡可得：尤+y+2=0；

故選：B

5.（20-21高一?全國，單元測試）如果AC<0,500,那么直線及+8y+C=。不通過（

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】化簡直線方程為直線的斜截式方程，結(jié)合斜率和在y軸上的截距，即可求解.

【詳解】因為AC<0,5.BOO,所以A,B,C均不為零，

由直線方程Ax+8y+C=。，可化為產(chǎn)—萬x+（—萬），

Ar

因為AC<0,且3c>0,可得％=——>0,y軸截距——<0,

BB

所以直線經(jīng)過第一、三、四象限，所以不經(jīng)過第二象限.

故選：B.

即時檢測

3

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）過點4（0,2）且傾斜角的正切值是（的直線方程為（）

A.3A—5y+10=0B.3x—4y+8=0

C.3x+5y—10=0D.3x+4y—8=0

【答案】A

【分析】結(jié)合條件求直線的斜率，再利用點斜式可求結(jié)論.

【詳解】因為所求直線的傾斜角的正切值是3:

7

3

所以所求直線的斜率為1,

由點斜式可知直線方程為y-2=￡（X-0）,

即3x-5y4-10=0.

故選：A.

2.（21-22高二上?湖南?階段練習(xí)）已知直線/過點G。,-3）,H（-2,1）,則直線/的方程為（）

A.4x+y+7=0B.2x-3y-ll=0C.4x+3y+5=0D.4x+3y-13=0

【答案】C

【分析】根據(jù)兩點的坐標(biāo)和直線的兩點式方程計算化簡即可.

【詳解】由直線的兩點式方程可得，

直線/的方程為巖=品，即4x+3y+5=o.

1+3-2-1

故選：C.

3.（23-24高二上,陜西階段練習(xí)）直線x-2y-2=0在x軸上的截距為處在y軸上的截距為6,則（）

A.a=2,b=1B.a=2,b=—l

C.a——2,b=iD.a=—2,b=—l

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由直線的方程，結(jié)合直線截距的定義計算，即可求解.

【詳解】由題意，直線x-2y-2=0,

令x=0,解得>=-1,故Z?=-l；令y=。，解得x=2,所以a=2.

故選：B.

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知直線/的斜率為6,且被兩坐標(biāo)軸所截得的線段長為歷，則直線/的

方程為（）

A.y=6x+-737B.y=6尤+6

C.y=6x±6D.）=6%—6

【答案】c

【詳解】

解析：設(shè)所求直線/的方程為y=6x+A令尤=0,^y=b,與y軸的交點為（0,b）；令y=0,Elx=-g,與

n

無軸的交點為（一巳0）.0被兩坐標(biāo)軸所截得的線段長為收，ffl（-2）2+62=37,解得6=±6,因此所

nn

求直線方程為y=6x±6.

5.（18-19高一下?福建莆田,期中）如果AC<0且*C<0,那么直線Av+4v+C=0不通過（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

8

【分析】化簡直線方程為直線的斜截式方程，結(jié)合斜率和在y軸上的截距，即可求解.

【詳解】因為A-C<0,且3-C<0,所以A、B、C均不為零，

由直線方程Ax+By+C=O,可化為>

A「

因為ACvO,且3?CvO,可得---<0,----->0,

BB

所以直線經(jīng)過第一、二、四象限，所以不經(jīng)過第三象限.

故選：C.

考點三、兩直線平行求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí)）已知直線如+2丫+相+2=。與直線4尤+（機+2）y+2機+4=0平行，

則機的值為（）

A.4B.-4C.2或TD.-2或4

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線平行得到m（〃z+2）=2x4,求出機的值，再檢驗即可.

【詳解】因為直線2y+7篦+2=。與直線4x+（m+2）y+2〃z+4=。平行，

所以根（m+2）=2x4,解得相=2或m=T,

當(dāng)相=2時直線2x+2y+4=0與直線4x+4y+8=0重合，不符合題意；

當(dāng)m=T時直線Yx+2y-2=0與直線4x-2y-4=0平行.

故選：B

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知直線>ax+3y-6=0,直線乙：2x+（a-l）y-4=0,則"a=-2"是"/1〃幺

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用兩直線平行求解。的值，結(jié)合充要關(guān)系的定義判斷即可.

【詳解】由4〃4可得6=。（。-1）,解得。=3或。=-2.

當(dāng)a=3時，/1：3尤+3y—6=0,12：2尤+2y—4=0,顯然4，4重合，舍去，

故4〃/2時，a=—2.

因此"a=-2"是乜〃上的充要條件.

故選：C

9

即時檢測

1.（2024嘿龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知直線4：依+3〉-6=0,直線/2：21+5-1）尸4=0,則"4〃/2"是"4=3

或。=-2"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)直線平行滿足的系數(shù)關(guān)系列式求解。，結(jié)合充分條件、必要條件的概念判斷即可.

【詳解】若直線4：辦+3>-6=。和直線/2：2x+（"7）y—4=。平行，

]QX(Q-1)=2X3

貝“”(-4)#2、(—6)，解得a--2,

所以“〃/「是"。=3或。=-2〃的充分不必要條件.

故選：A

2.（2023,河北保定,三模）已知直線4:ax—5y—1=0,：3x—（a+2）y+4=0,"a=3"是"4〃4"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由直線平行的判斷方法分析"。=3"和""http://的關(guān)系，結(jié)合充分必要條件的定義分析可得

答案.

【詳解】若直線4：“苫一5>-1=0與/2：3龍一（。+2）V+4=0平行,

貝lj—+2)+15=0,解得a=3或a=—5,

所以“a=3"是"乙//4”的充分不必要條件.

故選：A.

考點四、兩直線垂直求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三下,江蘇?階段練習(xí)）已知直線4：、Qx+3y+l=O,若直線4與4垂直，則4的傾斜角是（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】C

【分析】先求出直線4的斜率，再由直線4與4垂直，求出直線4的斜率，然后由傾斜角與斜率的關(guān)系可求

得結(jié)果.

10

【詳解】由gx+3y+l=0,得"一#x-；,則勺=-乎，

因為直線6與4垂直，所以44=T，

所以考與=-1,得

設(shè)直線乙的傾斜角為6，貝UtanO=6，

因為0。＜。＜180。，所以0=60。,

故選：C

2.（23-24高三下?安徽蕪湖?階段練習(xí)）已知直線-3=04：（機—2）x-y+l=0,貝曠根=1"是"，

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【分析】當(dāng)"2=1時可得％/2=T，即當(dāng)時可得"2=1，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.

【詳解】當(dāng)根=1時，l1'.x-y-3=0,l2:-x-y+l=0,

HPli:y=x-3,l2:y=-x+l,則左他=-1，即4，4；

當(dāng)/1_L/2時，皿m-2）+（—1）x（-1）=0,解得機=1.

所以〃加=1〃是“414〃的充要條件.

故選：c

L（2024?四川南充?一模）"機=1"是"直線4：x+（m+l）y+l=0與直線6：（根+1）尤-畋-1=。垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先求出兩直線垂直的充要條件，進而根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若直線乙：x+。九+1“+1=0與直線4：（m+l）尤一根y-l=。垂直，

則1乂（加+1）+（〃7+1）*（-力1）=0,解得加=±1,

所以"加=1"是"直線/1：彳+（%+1”+1=。與直線/2：（機+1）*-叼-1=0垂直”的充分不必要條件.

故選：A.

2.（23-24高三上?河北?階段練習(xí)）已知直線4：ax+2y+Z＞=。與直線4：bx-y+a=。垂直，則/+〃的最小

值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

11

【分析】根據(jù)直線的垂直關(guān)系可得團=2,利用基本不等式即可求得答案.

【詳解】因為直線4：ax+2y+b=0與直線4：bx-y+a=O垂直，

所以必—2x1=0,即"=2,所以〃+6?2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=后或a=b=-&時等號成立.

即a2+b~的最小值為4,

故選：B

考點五、直線的交點坐標(biāo)與距離公式

典例引領(lǐng)

22

1.（2024?廣西柳州?模擬預(yù)測）雙曲線土一L=1的一個頂點到漸近線的距離為（）.

416

A.75B.4C.弋D.20

【答案】C

【分析】求出頂點坐標(biāo)和漸近線方程，然后利用點到直線的距離公式求解.

【詳解】由雙曲線的方程知兩頂點A（-2,0）,4（2,0）,

b

漸近線方程為y=±±x=±2x,

a

,4475

由對稱性，不妨求A到直線y=2x的距離，仁心+㈠）,=『

故選：c.

2.（2024?黑龍江吉林?二模）兩條平行直線jx+y+l=0,Z2：x+y-l=0之間的距離是（）

A.1B.C.2A/2D.2

【答案】B

【分析】利用平行直線間的距離公式即可得解.

【詳解】因為《：x+y+l=。，4：x+y-l=o,

所以它們之間的距離為d=匯）1=e.

V1+1

故選：B.

即時檢測

1.（23-24高二下?廣西?開學(xué)考試）橢圓[2+]2=1的上頂點到雙曲線/一丁=1的漸近線的距離為（）

12

A.J2B.C.2D.-

22

【答案】B

【分析】先求橢圓的上頂點，再求雙曲線的漸近線，然后代入點到直線的距離公式求解.

【詳解】

22

橢圓?+/=1的上頂點為(0,3),

雙曲線y2=i的漸近線方程為k土x,

則橢圓二+X=1的上頂點到雙曲線尤22=J的漸近線的距離為d==逑.

59722

故選：B

2.(23-24高二上?河南?期中)若直線小龍+分一2=。與/2：2x+(/+i)y-2=0平行，則兩直線之間的距離

為()

A.J2B.1C.—D.2

2

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線平行可得。=1,再由平行線間的距離公式即可求得結(jié)果.

【詳解】依題意，由兩直線平行可知2a="+1,解得。=1,

所以兩直線分別為x+y-2=0,x+y-l=0,

可得兩直線之間的距離為苧=—,

V22

故選：C.

考點六、直線恒過定點問題

典例引領(lǐng)

1.(2022高三?全國?專題練習(xí))已知直線(3〃-〃)x+(相+2〃)y-〃=0則當(dāng)〃變化時，直線都通過定點

【答案】(-1443)

77

f3%+y=0

【分析】整理得，皿3尤+y)+〃(-x+2y-1)=0,利用;即可計算求得定點.

［r+2y—l=0

［詳解］整理得，m(3%+y)+n(-x+2y-1)=0

3x+y=0713

從而該直線必過定點(萬/

_;r+2y-l=0廠3

13

13

故答案為：（-三,三）

77

2.（2024?重慶?三模）當(dāng)點P（-LO）到直線/：（32+l）x+（X+l）y—（44+2）=0的距離最大時，實數(shù)2的值為

（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【分析】先求得直線過的定點，再由點尸與定點的連線與直線垂直求解.

【詳解】直線/：（32+l）x+（2+l）y-（4/l+2）=0,

整理得X（3x+y-4）+（x+y-2）=0,

[3x+y-4=0[x-1

由cc，可得J

[x+y-2=0[）=1

故直線恒過點A（l,l），

22

點P（-l,0）到A（l,1）的距離41ax=7（-l-l）+（0-l）=A/5，

■/j_i_0_1

故勉=幣=5；

直線/：（32+l）x+（2+l）y—（4/l+2）=0的斜率％=—^^,

故一絲?N=T，解得X=L

2+12

故選：B.

即時啊

1.（20-21高二上?安徽六安?期末）直線區(qū)-y+1-3左=0,當(dāng)上變動時，所有直線都通過定點（）

A.（3,1）B.（0,1）C.（0,0）D.（2,1）

【答案】A

【分析】直線方程轉(zhuǎn)化為：（彳-3伙-y+l=0,然后令。,+1=0，解方程即可求解.

【詳解】解：直線方程轉(zhuǎn)化為：（x—3）左—y+l=0,

"3=0

令（1八，解得x=3,y=l,

[-y+l=0

所以直線過定點（3,1）,

故選：A.

2.（23-24高三上?四川?階段練習(xí)）已知直線/:（機+l）x-y-3〃?-2=。，則點尸到直線/的距離的最大

值為.

【答案】275

14

【分析】求出直線/所過的定點，確定何時點尸（-L-D到直線/的距離最大，結(jié)合兩點間的距離公式，即可

求得答案.

【詳解】直線/：（加+l）x-y—3加一2=0,即％—y—2+根（x—3）=0,

Ix-y-2=0

由1八，解得x=3,y=l,所以直線/恒過定點43,1）,

[%—3=0

當(dāng)直線/與直線AP垂直時，點到直線/的距離的最大,

最大值為|AP|="（3+1）2+（1+1）2=2逐，

所以點尸（T,T）到直線/的距離的最大值為2百,

故答案為：26

考點七、直線綜合問題

典例引領(lǐng)

1.（24-25高二上?江蘇泰州?階段練習(xí)）已知M（2,5）,N（-2,4）,動點尸在直線/:尤-2丁+3=0上.則怛間+忖2

的最小值為.

【答案】375

【分析】借助線段和的幾何意義求解即可.

【詳解】設(shè)M（2,5）關(guān)于直線/對稱對稱點坐標(biāo)為

戶一2xS+3=0

22x=4，/、

則一，解得y=i，即MF』），

y-51

----X—=-1

[x-22

|PM|+1PA^I=|PM+1PA^I>|M?V|=J（4+2）2+（1—4）2=3石,

所以歸M|+|PN|的最小值為3石.

故答案為：3石.

15

2.（24-25高二上?四川成都?階段練習(xí)）已知直線4：4*+4、+。］=0,（4,4，。1*0）與直線

/2：43+5了+。2=。，（4，5，6*0），則直線4,關(guān)于y軸對稱的充要條件是（）

A.B.a二2

B2G4B2

C.

4B2c,2,A,B2C2

【答案】D

【分析】求出直線4關(guān)于y軸對稱的直線方程，由此得解.

【詳解】直線小4%+/+。1=。（4,4，。戶0）關(guān)于'軸對稱的直線方程為：-V+用y+￡=o,

又4與4關(guān)于y軸對稱，所以-^=3=?.

/12^2

AB,C,

所以直線4與“關(guān)于y軸對稱的充要條件是-?=±二>.

&￡）2C2

故選：D.

3.（24-25高二上?山東濰坊?階段練習(xí)）點尸（-2,-1）到直線/:（l+3X）x+（l+X）y-2-4X=0（XeR）的距離最

大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（）

A.>/13;2x-3y+l=0B.A/lT;3x+_y-4=0

C.厄3x+2y-5=0D.而;2x-3y+l=0

【答案】C

【分析】由直線/的方程求出其所過定點坐標(biāo)，由此確定最大距離及此時直線/的方程.

【詳解】直線/的方程(l+32)x+(l+/l)y—2—42=0可化為x+y—2+X(3x+y—4)=0,

x+y—2=0X=1

聯(lián)立,解得

3x+y—4=0y=i

所以直線/經(jīng)過定點

當(dāng)尸C_L/時，點尸到直線/的距離最大，最大距離為|PC|=J（-2-1）2+（-1一1）2=屆，

因為直線PC的斜率砥c=^1=g，PCD,

所以直線/的斜率與=-：3,

1+323

所以-

1+22

16

所以2（1+3%）=3（1+乃，

所以2+62=3+32,故％=g，

所以直線/的方程為3x+2y-5=0.

故選：C.

4.（24-25高二上?河北石家莊?階段練習(xí)）已知點A（2,-3）,3（-5,-2）,若直線/：m+y+機-1=0與線段AB

（含端點）有公共點，則實數(shù)力的取值范圍為（）

43

A.

354

34

C.

453

【答案】D

【分析】求出直線/過的定點，設(shè)為尸，求出04,右B，結(jié)合圖象，即可確定答案.

【詳角單］由/：如+>+根_1=0可得,_1=（_加）（彳+1）,

即直線/:根Y+y+〃2T=0過定點（-1,1）,設(shè)為P,

-3-14,-2-13

結(jié)合4（2,-3）,3（-5,-2）,貝I］總

2+1一一§'PB--5+1-4

直線/:/nx+y+〃Ll=0與線段48（含端點）有公共點,

則一加2］或一加4一§,BPm<^m>—,

故機的范圍為卜切,-1［g'+x］'

故選：D

??即時啊」

1.（24-25高二上?四川成都?階段練習(xí)）已知平面上兩點A（4,l）,B（0,4）,M是直線3尤-丫-1=0上一動點，則

|惻-|MB|的最大值為（）

5L

A.-B.75C.2亞D.5

【答案】B

17

【分析】求出點8關(guān)于直線3x-y-l=0的對稱點，再由幾何關(guān)系得到ACM三點共線時距離最大,

最后利用兩點間距離求解即可；

cm〃+4y八

3x--------------1=0

22m=3

則,解得

n-41〃=3

Im3

連接MC,AC,可得所以41TMB||=W例T〃C|W|A。，

當(dāng)ACM三點共線時，等號成立，

所以|他4|一］〃/的最大值為J（3一4『+（3一以=75,

故選：B.

2.（24-25高二上?四川成都?階段練習(xí)）平面內(nèi)四個點陷（0,3）,陷（2,0）,加3（4」）,以（6,4）分布在直線

/:Ax+By+C=。的兩側(cè)，且兩側(cè)的點到直線/的距離之和相等，則直線/過定點（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（-2,-3）D.（-3,-2）

【答案】B

【分析】分析可知將的坐標(biāo)代入直線/的方程,得代數(shù)式之和等于0,整理可得C=-3A-23,

代入直線方程即可得結(jié)果.

【詳解】點根（。，3）,限（2,。）,/3（4,1）,想（6,4）分布在直線/:―+為+。=0的兩側(cè)，且兩側(cè)的點到直線/的

距離之和相等，

則將/「知2，知3，/4的坐標(biāo)代入直線/的方程，得代數(shù)式之和等于0,

即Ax1++C+Ax?+By?+C++6y3+C+Ax4+By^+C=0,

則12A+8B+4C=0,即C=—3A—23,

所以直線/：4+B.v—3A-28=0,即A（x—3）+3（y—2）=0,過定點（3,2）.

故選：B.

3.（24-25高二上?陜西西安?階段練習(xí)）過點P（0,-l）作直線/,若直線/與連接4（-2,1）,8（26,1）兩點的線

段總有公共點，則直線/的傾斜角范圍為（）

18

【答案】B

【分析】由題知直線/的斜率-1][與*,再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.

設(shè)直線/的傾斜角為6,O<0<n,

當(dāng)直線/的斜率不存在時，eq,符合，

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的斜率為3

因為點尸（OI）,A（—2,l）,B（26,l）,則％=雇呂=一1，怎"呆?="，

因為直線/經(jīng)過點尸（0,-1）,且與線段A3總有公共點，所以強（-鞏-1]口￥，+/，

L7

JTIT）（TT37r

因為tan9=左，又046<兀，所以T，彳D不二T'

62）（24

TT37r

所以直線/的傾斜角范圍為，—

764

故選:B.

4.（24-25高二上?福建廈門?階段練習(xí)）經(jīng)過點尸（0,-1）作直線/,若直線/與連接A（-2,1）,8（-1,-6-1）兩點的

線段總有公共點，貝心的傾斜角a的取值范圍為（）

A.[0百B.[0,7i）C.[0,—]U（-1-rlD.[0,—]Ut—-

332434

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，求出直線/的斜率范圍，進而求出傾斜角范圍.

【詳解】依題意，直線"的斜率％=—=T，直線尸8的斜率%=一乙一1+1=豆，

由直線/與線段總有公共點，得直線/的斜率左e[-l,否],即TVtanaV百，

當(dāng)-lWtana<0時，而ae[0,7r）,則子工&<無；當(dāng)OvtanavJL,

所以I的傾斜角a的取值范圍為O^冗U[3咚7r，兀）■

34

19

IN.好題沖關(guān)?

一、單選題

1.（2024?河南?三模）已知直線'+3y+C=0與直線y=2x-3垂直，貝I］（）

A.A=~2B^0B.A=2B^0

C.B=-2A^0D.B=2A^0

【答案】D

【分析】由直線垂直的充要條件即可列式得解.

【詳解】直線y=2x-3的斜率為2,又兩直線互相垂直，所以直線—+8y+c=0的斜率為一;，

A1

即—=—且AwO,BrO,所以3=2A去0.

B2

故選：D.

2.（24-25高二上?福建?階段練習(xí)）已知直線/過點（?,3）和（3,2）,且在x軸上的截距是1,則實數(shù)優(yōu)等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】求得直線/的方程，代入點（租,3）的坐標(biāo)，可求機的值.

【詳解】因為直線/在x軸上的截距是工，所以過點（L0）,

又直線/過點（3,2）,所以直線/的斜率為左=導(dǎo)=1,

3-1

所以直線/的方程為：y-O=l（x-1）,即直線方程為x-y-1=0,

又直線/過點0,3）,所以租-3-1=0,解得〃z=4.

故選：D.

3.（23-24高二下?山東棗莊?期中）若點P是曲線y=/-lnx上任意一點，則點P到直線y=x-4的最小距離

為（）

20

A.1B.V2C.2近D.472

【答案】C

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線y=x-4平行的切線方程的切點坐標(biāo)，求出切點到直線的距離

即為所求最小距離.

【詳解】直線V=x-4的斜率上=1,函數(shù)y=--lnx定義域為(0,+8),

點P是曲線＞