2025高考數(shù)學一輪復習：拋物線方程及其性質(zhì)（學生版）

第06講拋物線方程及其性質(zhì)

（5類核心考點精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯(lián)考點

切線長

2023年新II卷，第10題,6分根據(jù)拋物線方程求焦點或準線

直線與拋物線交點相關問題

由導數(shù)求函數(shù)的最值

拋物線標準方程（不含參）

2023年新I卷，第22題,12分

求直線與拋物線相交所得弦的弦長基本（均值）不等式的應用

求平面軌跡方程

拋物線定義的理解

根據(jù)焦點或準線寫出拋物線的標準方程

2023年新H卷,第10題,5分無

求直線與拋物線的交點坐標與地物線焦

點弦有關的幾何性質(zhì)

根據(jù)拋物線方程求焦點或準線求直線與拋物線相交所得弦

2022年新I卷，第11題,5分

判斷直線與拋物線的位置關系的弦長

拋物線定義的理解數(shù)量積的坐標表示

2022年新II卷,第10題,5分

求直線與拋物線的交點坐標已知兩點求斜率

根據(jù)拋物線方程求焦點或準線

2021年新I卷，第14題,5分無

根據(jù)拋物線上的點求標準方程

2021年新II卷，第3題,5分根據(jù)拋物線方程求焦點或準線已知點到直線距離求參教

2020年新I卷，第13題,5分求拋物線焦點弦長無

2020年新II卷，第14題,5分求拋物線焦點弦長無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分

【備考策略】1.熟練掌握拋物線的定義及其標準方程，會基本量的求解

2.熟練掌握拋物線的幾何性質(zhì)，并會相關計算

3.會求拋物線的標準方程，會拋物線方程簡單的實際應用

5.會求拋物線的相關最值

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容,常?？疾闃藴史匠痰那蠼?、基本量的計算及最值的求解,

需重點強化訓練

12?考點梳理

考點4拋物線中的最值問題

考點5拋物線的簡單應用

知識講解

1.拋物線的定義

平面上一動點P(x,y)到定點F(^,0)的距離與到定直線/：x=-T的點的軌跡叫做拋物線

2.拋物線的圖形

3.數(shù)學表達式

M=附

4.標準方程的推導

設p(x,y),由定義可知：附=|必|

^(%--|)2+/=x+g,等式兩邊同時平方得:

22

/P\22/P\22P22P

（x-y）+》=（x+j）n%一夕工+亍+＞二1+p%+亍n）2=2px

2

5.拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì)

隹占

八、、八、、

X軸正半軸X軸負半軸y軸正半軸y軸負半軸

位置

5

Pl

\5」/

(不、

0

圖形-57T\

-5

標準

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

方程

焦點

年。）(-y,0)嗎）（o，-9

坐標

準線p

x=-EX=一一

方程222

6.通徑

通徑長：2p,半通徑長：p

7.焦半徑（拋物線上的點到焦點的距離）

橫軸眄尸|=|無o|+K

焦半徑2

縱軸力尸耳=聞+《

8.焦點弦的性質(zhì)

?2

（1）%%=一。1%尤2=彳

一X+X+”一2P⑸{A￡8丹mm=17T

-X+X+p-.[1+COS。1—COsOJmin

x2sin6

pi（6）ZCFD=90°

⑶SAAOB=SACOD=壽萬（7以AB為直徑的圓必與準線方勒

⑷帚血T定值）⑻得2（焦點弦中垂線問畫

考點一、拋物線的定義

3

典例引典

I_________________

1.（2024?上海?高考真題）已知拋物線V=4x上有一點尸到準線的距離為9,那么點尸到x軸的距離為.

2.（2023?北京?高考真題）已知拋物線C：V=8尤的焦點為產(chǎn)，點”在C上.若“到直線x=-3的距離為5,

貝尸|=（）

A.7B.6C.5D.4

1.（2023高三?全國?專題練習）動點尸到直線尤+4=0的距離減去它到點“（2,0）的距離等于2,則點P的

軌跡是（）

A.直線B.圓C,雙曲線D.拋物線

2.（2024?陜西西安?一模）平面上動點M到定點尸（3,0）的距離比M到>軸的距離大3,則動點M滿足的方

程為.

考點二、拋物線的標準方程

典例引領

1.（2024高三下?江西新余?專題練習）請寫出一個以（0』）為焦點且以坐標軸為對稱軸的拋物線方

程：.

2.（2024?貴州畢節(jié)?三模）已知點（1,2）在拋物線C：y=2p/（p>0）上，則拋物線。的準線方程為（）

1111

A.x=——B.x=——C.y=——D.y=——

2828

3.（2024?寧夏石嘴山?三模）如圖，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點廠的直線/交拋物線于兩點A、B,交其

準線于C,AE與準線垂直且垂足為E,若忸。=2忸石/詞=3,則此拋物線的方程為（）

27人_

C.y=2D.y?—3x

4

即0唧（

1.（2024.北京?高考真題）拋物線V=16x的焦點坐標為.

2.（2024?陜西安康?模擬預測）過點（2,-3）,且焦點在V軸上的拋物線的標準方程是（）

2c2422n

A.x=-3yB.x=-C.x———yD.x=-4y

3.（23-24高三下?湖北?開學考試）已知拋物線C的頂點在原點，焦點廠在坐標軸上，點廠關于其準線的對

稱點為（6,0）,則C的方程為（）

A.y2=-8xB.y2=-4xC.y2=SxD.y2=4x

考點三、拋物線的幾何性質(zhì)

典例引領

1.（24-25高三上?重慶沙坪壩?開學考試）已知點40,6）在拋物線C:y2=2px上，則A到C的準線的距離

為.

2.（24-25高三上?黑龍江?階段練習）已知拋物線。：丁=2°叱°>0）的焦點為b，若拋物線上一點“滿足

IMF1=2,ZOFM=60°,則〃=（）

A.3B.4C.6D.8

3.（24-25高三上?河南焦作?開學考試）己知點A（2p+l,3p+￡|在拋物線C:d=2py（p>0）上，則C的焦

點與點（1,2）之間的距離為（）

A.4B.eC.2D.&

4.（2024?山西晉中?模擬預測）已知拋物線尤②=2緲（a>2）的焦點為R尸為拋物線上一點，且滿足|尸典=5,

4

設直線PF的傾斜角為6,若COS6=M，則點尸的坐標為.

即時檢測

1.（2024?江西?一模）已知點尸（1,%）是拋物線。:尸=2。乩"0）上一點，且點尸到C的焦點距離為2,則

P=.

2.（2024?山東聊城?二模）點P在拋物線y=8x上，若點p到點（2,0）的距離為6,則點尸到V軸的距離為（）

A.4B.5C.6D.7

3.（23-24高三下?全國?開學考試）拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為尸，。上的點到產(chǎn)的距離等于到直線

5

九二一1的距離，則，=（）

11

A.2B.1C.-D.-

24

4.（23-24高二上?江蘇南通?階段練習）已知〃是拋物線V=8x上一點，尸是拋物線的焦點，。為坐標原點.若

NMFO=120,則線段板的長為.

考點四、拋物線中的最值問題

典例引領

1.（2024?陜西?二模）已知拋物線C:y2=2/（0>0）上的點尸到定點Q（2p,0）的最小距離為2,貝U

P=.

2.（2024?福建莆田?二模）已知拋物線y2=4x的焦點為產(chǎn)，點M在拋物線上.若點。在圓（尤-3）?+y2=1上，

則+的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2024?江西鷹潭?一模）已知拋物線/=16y的焦點為尸，尸是C上的動點，過點尸作直線y=左"-4）+4

的垂線，垂足為Q,則|尸。|+|尸產(chǎn)|的最小值為.

4.（2024高三?全國?專題練習）已知尸是拋物線>2=2x上的點，。是圓（x7y+yJl上的點，則儼目的最

小值是（）

A.2B.2夜C.273D.3

5.（2023?河南開封?模擬預測）已知拋物線C:升=8x,尸為C上一點，A（-2,0）,B（2,0）,當嚼最小時，

點尸到坐標原點的距離為（）

A.2百B.30C.273D.8

即時檢測

1.（2024,陜西安康?模擬預測）已知拋物線方程為yJ4x,點A（l,0）,3（2,T），點尸在拋物線上，則|9|+歸卻

的最小值為.

2.（2024?全國?二模）已知點尸為拋物線y2=8尤上一點，過點P作圓C：（尤-5y+丫2=1的兩條切線，切點

分別為M，N,則cosNM/W的最小值為（）

2911

A.—B.-C.—D.—

231012

3.（2024?四川成都?三模）已知點RQ分別是拋物線C:y2=4x和直線=；上的動點，若拋物線C的焦點

6

為尸，則|PQ|+|Q尸|的最小值為（）

A.3B.2+73C.2A/3D.4

4.（2023?遼寧撫順?模擬預測）設O為坐標原點，尸是以尸為焦點的拋物線V=4x上任意一點，M是線段

尸尸上的點，且|PM|=3|A/F|,則直線的斜率的最大值為（）

A.72B.eC.&D.近

322

考點五、拋物線的簡單應用

典例引領

I_____________________

1.（2024?全國?模擬預測）某社會實踐小組在調(diào)研時發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的

橋面跨度為21.6m,拱頂距水面10.9m,路面厚度約1m.若小組計劃用繩子從橋面石欄放下攝像機取景，

使其落在拋物線的焦點處，則繩子最合適的長度是（）

A.3mB.4mC.5mD.6m

2.（2023,河南?模擬預測）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有"溫潤""淡遠""清新"的特征.如

圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為3cm,碗蓋口直徑為8cm,碗體口直徑為10cm,

碗體深6.25cm,則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8.25cm

3.（23-24高三上?湖南長沙?階段練習）假設一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬A3為

2m,渠深OC為1.5m,水面跖距A3為0.5m,則截面圖中水面寬EF的長度約為（）（行“414，

V3?1.732,A/6?2.449）

AT------f------7B

O

A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m

7

即0唧（

1.（23-24高三下?陜西安康?階段練習）在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運動軌跡

均可近似看作是拋物線的一部分.這些碎片能達到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線也是拋物線的一部

分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線.若某次定向爆破中安全拋物線達到的最大高度為30

米,碎片距離爆炸中的最遠水平距離為60米,則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準線的距離為米.

2.（2023?河北張家口?二模）探照燈、汽車前燈的反光曲面、手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面等都是拋物鏡

面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈、汽車前燈、手

電筒的設計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直

徑是80cm,燈深40cm,則光源到反射鏡頂點的距離為（）

B.10cmC.30cmD.40cm

3.（2024?山西晉城,一模）吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱

江東路.霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設該

拋物線的焦點到準線的距離為P米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩

根吊索之間的距離均為。米（將每根吊索視為線段）.已知最中間的吊索的長度（即圖中點A到橋面的距離）

為b米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點8到橋面的距離）為（）

169"+pb169/+29

C.------------匕-米D.-----------------不

P2P

ML好題沖關?

基礎過關

8

一、單選題

1.（2024?福建廈門?模擬預測）若拋物線丁=加的準線經(jīng)過雙曲線/一y=2的右焦點，則加的值為（）

A.-4B.4C.-8D.8

2.（2024?山東濟寧?三模）已知拋物線C:y2=2p%（p〉0）的焦點為尸，過尸且斜率為2的直線/交拋物線C于

A,B兩點，若|A3|=5,則〃=()

]_

A.B.1C.一D.2

22

3.（2024?河南?模擬預測）已知拋物線。：丁=2加（。>°）上的點（m,2）到原點的距離為2后，焦點為凡準

2冗

線/與x軸的交點為過C上一點尸作尸。皿于。，若/FPQ=三,則歸口=（）

11J32

A.-B.-C.—D.-

3233

4.（2024?四川南充?一模）已知拋物線y2=2p%（p>0）的焦點為R拋物線上一點尸（U）滿足|尸尸|=2,則拋

物線方程為（）

A.B.y2=^xC.y2=2xD.y2=4x

5.（24-25高三上廣西?階段練習）已知小孫1）為拋物線C：f=20（〃>0）上的一點，點A到拋物線。焦點

的距離為2,則0=（）

1

A.2B.1C.-D.4

2

（5\

6.（2024?安徽?模擬預測）已知拋物線C：/=2/（°>0）的焦點為尸，若點AppW在C上，則△Q4F的

面積為（）

A.4A/2B.85/2C.4D.8

7.（2024?重慶?模擬預測）A3是拋物線y2=2°x（p>0）上的不同兩點，點f是拋物線的焦點，且△Q4B的

重心恰為尸，若|4/1=5,則。=（）

A.1B.2C.3D.4

8.（24-25高三上?貴州貴陽,階段練習）已知點A是拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，若A到拋物線焦點的

距離為5,且A到x軸的距離為4,貝1］。=（）

A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8

二、填空題

9.（2024?山西太原?模擬預測）己知等腰梯形A3。的四個頂點在拋物線石：丁=4尤上，>|AB|:|CD|=1:2,

則原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為.

10.（24-25高三上?云南?階段練習）動圓〃經(jīng)過原點，且與直線x=-2相切，記圓心M的軌跡為C,直線

y=0x與C交于A,3兩點，則|AB|=.

9

能力提升

I_______________

一、單選題

1.（2024?山西運城?三模）己知拋物線C：V=4x的焦點為歹，動點M在C上，點3與點A。,-2）關于直線

MF

/:y=x-l對稱，則礪■的最小值為（）

1

AB.一

-T2

一\PF\

2.（2。24?福建泉州?一模）已知拋物線E的焦點為F,點"在E上，M為PF的中點，則的最小值為（）

A.弓B.72C.1D.20

3.（2024?全國?模擬預測）在直角坐標系尤Oy中，已知點打1,0）,E（-2,0）,M（2,2）,動點尸滿足線段PE

的中點在曲線丁=2尤+2上，則|PM|+|P典的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

二、多選題

4.（2024?全國?模擬預測）設/為拋物線C：V=2px（p>0）的焦點，點A（3,2?）在C上，過點3（-3,0）的直

線交C于M,N兩點，則下列說法中正確的是（）

A.拋物線C的方程為丁=2了B.拋物線C的焦點為。,0）

C.直線與C不相切D.|OM|?|ON|>|E4『

5.（2024?廣東汕頭三模）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為歹，。為坐標原點，動點尸在C上，若

定點M（2,出）滿足|MF|=2|0同，則（）

A.C的準線方程為x=-2B.△PMF周長的最小值為5

C.四邊形OPMF可能是平行四邊形D.尸”.02的最小值為-3

三、填空題

PB

6.（23-24高二下?四川德陽?期中）已知拋物線C：V=4x,尸為C上一點，A（-2,0）,B（2,0）,當同最小時，

點P到坐標原點的距離為.

7.（2024?福建福州?模擬預測）傾斜角為2的直線經(jīng)過拋物線C：V=i2x的焦點尸，且與C交于A,8兩點，

。為線段AB的中點，尸為C上一點，則|勿|+「。|的最小值為.

8.（2024?湖北黃岡?三模）已知拋物線C:y2=x的焦點為EA,8是拋物線C上關于其對稱軸對稱的兩點,

若。為坐標原點，則點A的橫坐標為.

10

9.（2024?福建泉州?模擬預測）已知O為坐標原點，矩形的頂點A,C在拋物線V=4y上，則頂點B

的軌跡方程為.

10.（2024?河北?模擬預測）拋物線C:/=4x上的動點尸到直線y=x+3的距離最短時，P到C的焦點距離

為.

受題感啰—

1.（2024?天津?高考真題）圓。-1）2+/=25的圓心與拋物線;/=2?尤（0>0）的焦點/重合，A為兩曲線的

交點，則原點到直線AF的距離為.

2.（2023?全國?高考真題）已知點A（l,6）在拋物線C：y2=2p尤上，則A到C的準線的距離為.

3.（2023?全國?高考真題）設O為坐標原點，直線y=-G（x-l）過拋物線C：V=2px（p>0）的焦點，且與

C交于M,N兩點，/為C的準線，則（）.