2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：證明性、探究性問題 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

微專題42證明性、探究性問題

［考情分析］圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，證明性、探索性問題是常見的熱

點(diǎn)題型，常以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大.

■思維導(dǎo)圖

—證明數(shù)量關(guān)系問題

圓錐曲線的方程一

一證明位置關(guān)系問題

直線方程一必備一常見

證一探究常數(shù)型問題

弦長(zhǎng)公式一知識(shí)明題型

性一探究存在性問題

根與系數(shù)的關(guān)系一、

探—探究直線問題

索

證明一般方法是“設(shè)而不求”,消去參數(shù),性

問-忽略直線斜率不存在的情況

達(dá)到證明的目的題

必備常見

一一忽略基本不等式等號(hào)成立的條件

解決存在性問題通常采用“肯定順推法”,解法誤區(qū)

將不確定性問題明朗化—忽略參數(shù)的范圍

典型例題

考點(diǎn)一圓錐曲線的證明性問題

【典例1］(2023?新高考全國(guó)I)在直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)O'J

的距離，記動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為取

⑴求少的方程；

(2)已知矩形/BCD有三個(gè)頂點(diǎn)在火上，證明：矩形/BCD的周長(zhǎng)大于3韻.

⑴解設(shè)尸(x,>),

則小尸《十卜3,

兩邊同時(shí)平方化簡(jiǎn)得y=x2+(,

故Wxy=x2+^.

⑵證明方法一設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)力KJ,加KJ,理+j在，上，且

a<b<c,

易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0,

貝I左?左8C=-1,a-\-b<b-\-c,

尻+U

令kAB=___4________=a+b=m<0

b-a

同理令kBc=b+c=n>。,且mn=-l,

則m=~~,

n

設(shè)矩形周長(zhǎng)為C,由對(duì)稱性不妨設(shè)|利2|川,

kBC-kAB=c-a=n—m=n+L,

n

易知l+n2>0.

J+x]2(l+x2),x>0,f(x)=2^+^2[2X-x],

則令4)=

令/(x)=0,解得x=?,

當(dāng)【。為時(shí)，f(x)<0,此時(shí)於)單調(diào)遞減,

當(dāng)」…

時(shí)，f(x)>0,此時(shí)｛x)單調(diào)遞增,

則正)“/日千

故-C^Am=亞，即CN3g

2V42

當(dāng)C=3市時(shí)，n=^^,m——也，

2

與當(dāng)(6—a)\1+加2=(6—a'jy/l+n2,

即機(jī)=〃時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故得證.

方法二不妨設(shè)/,B,。在沙上，且A4LZX4,

依題意可設(shè)力層+1,

易知直線A4,￡>/的斜率均存在且不為0,

則設(shè)A4,D4的斜率分別為左和一，由對(duì)稱性，不妨設(shè)因W1,

k

直線AB的方程為y=k(x—。)+層+；,

y=N+；,

則聯(lián)立’1

y=k(x-a)-\~a2-\~一,

[4

22=

得x—kx~\~ka—a0f

/=乃一4(ka—a2)=(k-2tz)2>0,則左W2Q,

貝1||45|=、/1+妁左一23,

同理陽=；i71l：+2q,

\AB\+\AD\=A/1~\~k21k—2a|-j1+"，'左十2“|

Nil—2a|+Ik蟲”.卜+曰

令左2=冽，則冽￡(0,l],

設(shè)義冽)=也吐豈=加2+3冽+，+3,

mm

(2ot1)(ot+1)2

則，(OT)=2OT+3—^=~,

m2m2

令/O)=o,解得冽=:

當(dāng)冽f0,n2j時(shí)，f(m)<0,此時(shí)大加)單調(diào)遞減，

當(dāng)加+8)時(shí)，/(加)>0,此時(shí)八m)單調(diào)遞增，

則1A冽)min=/D=個(gè)，

所以|45|+|442苧，

但A/1+妁左―2a|+1+±132M+LI],

源終取等號(hào)時(shí)V不一致，

此處取等號(hào)的條件為左=1,與

故+\AD\>^~^-.

故矩形48co的周長(zhǎng)大于3?

方法三為了計(jì)算方便，我們將拋物線向下移動(dòng):個(gè)單位長(zhǎng)度得拋物線少'：y=/,

矩形48CD變換為矩形HB'CD',

則問題等價(jià)于矩形/'B'CD'的周長(zhǎng)大于33.

設(shè)爐?0,"),A'(Z1,/?),C'(Z2,d),根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)foNO.

則kA'B'=tl~\-to,kB'C=tl~\~to,

由于4，B'LB'C,

則(九+to)(t2~\~to)——1.

由于B'I=A/1+(九+/o)2優(yōu)]一旬,\B'C'I=1to)2\t2~to\,且￡0介于九，/2之間,

則B'\+\B'

令攵+^=tan8,

介+%=-cot0,MM

貝U/2=tan0—to,t\=—cot6一九，從而

\A'5'I+1/C'\=cot20(2Zo+cot3)+A/1+tan20(tan0—2to),

sin31cos0_2Zo(cossin0)^sin3^+cos30

故B'\+\BfCf\=2t

Qcos2^sin?。sin0cos0sin20cos20

?fo,5-],

①當(dāng)。el4」時(shí),

*心+“/喂!”=%尚2

--——=2意產(chǎn)出.

sin9cos0

(71或

②當(dāng)U,aj時(shí),

由于力4O?2,

從而一cot0一，o4（）vtan9—to.

cot8,Jan9

從而~~一<^o<',

22

又砧20,

故。

2/o(cos8—sin8)?siiPe+cosS。

由此|4'B'\+\BrC'|=

sin9cos0sin20cos2^

sin仇cossin6)(sin9cos0.sin3^+cos3^

>"zI~~

sin2^cos3^sin2^cos2^

1?cos02

cos0sin20sin20sin2^-2cos20

2

(1—cos2^)(1—cos20-2cos20

當(dāng)且僅當(dāng)cos。=也時(shí)等號(hào)成立,

3

故⑷B'|+|3/C|>^,

故矩形周長(zhǎng)大于33.

跟蹤訓(xùn)練1

=2x+4他與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)求雙曲線。的方程；

(2)設(shè)雙曲線C的左頂點(diǎn)為/,直線/2平行于/”且交雙曲線C于N兩點(diǎn)，求證：叢AMN

的垂心在雙曲線C上.

(1)解因?yàn)殡p曲線C的離心率為也，所以‘燮=2,即/=尻，

CT

所以雙曲線C的方程為N—產(chǎn)=層，

聯(lián)立直線/i與雙曲線C的方程X4"3消去y得(2工+43)2=4,

12_,2=Q2,

即(3x)2+]6(3X)+標(biāo)+48=0,

因?yàn)槿伺c雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以/=162—4(。2+48)=0,

解得出=16,

故雙曲線C的方程為止一好=1.

1616

⑵證明設(shè)b：y=2x+加(加W4他)，M(xi,ji),Ng四，

y=2x-\-m,

則M,N滿足

爐-y2=]6,

消去〉得3x2+4mx+m2+16=0,

匕匕2,4mm2+16

所以為十X2=----,X\X2=--------------

33

如圖所示，過4引的垂線交C于另一點(diǎn)〃,

即連接MH,

則直線4H的方程為>=一4一2.

2

70

代入^2=16得3x2—8x—80=0,即x=-4(舍去)或x=^-.

所以點(diǎn)〃為

_3(2xi+冽)(2x2+加)+16(2/2+冽)

所以kA#MH=

(3xi—20)3+4)

3+4)

_12陽％2+6加。1+)2)+32%2+3加2+16m

3%I%2+12(XI+%2)-32x2-80

_4(m2+16)-8m2+3m2+16m+32x2

m2~h16-16m—32x2-80

_—m2+16m+32x2+64_

m2—16m—32X2--64

所以MH_L4N,故H為L(zhǎng)AMN的垂心,得證.

考點(diǎn)二圓錐曲線的探究性問題

【典例2】(2023?石家莊模擬)已知橢圓C：[+，=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為E，F(xiàn)2,焦

距為23，過B的直線m與橢圓C相交于4,5兩點(diǎn)，且△NB仍的周長(zhǎng)為8.

⑴求橢圓。的方程；

⑵若過點(diǎn)G(l,0)的動(dòng)直線〃與橢圓C相交于MN兩點(diǎn)，直線/的方程為x=4.過點(diǎn)m作MPL

于點(diǎn)P,過點(diǎn)N作NQ，/于點(diǎn)。.記△GPQ,叢GPM,△GQV的面積分別為S,與，$2.問是

否存在實(shí)數(shù)人使得力S=0成立？若存在，請(qǐng)求出力的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解⑴設(shè)橢圓。的焦距為2c,貝12c=23,所以c=3,

由橢圓的定義可得△ZB尸2的周長(zhǎng)為+M/2|+|B歹2|=|4成+|5R|+|4B|+Bb2|=4Q=8,

所以q=2,所以62=4一”=22一（■）2=],

所以橢圓c的方程為:+產(chǎn)=1.

（2）存在.由題意可知，直線〃的斜率不為0,其方程可設(shè)為％=小+1,

設(shè)M(xi,yi)9N(X2,聞，則尸(4,yi),。(4,㈤,

x=my-\-1,

聯(lián)立X+產(chǎn)1,

U

可得(加2+4)y+2機(jī)》一3=o,J=4m2+12(m2+4)=16(m2+3)>0,

由根與系數(shù)的關(guān)系可得力+沖=一篇,小戶

2

因?yàn)镾=^PQ\\4-1)=|[yi-y2\=^](y\+yi)-4yiy2

&='NQ|?欣|=|(4—X2)?陽=1[4—(myi+1)],如=；(3—叼2)?卜21,

所以$S2=；（3一切i）（3一切2＞歷方|=；[9—3冽（yi+?2）+冽2PU2]bU2|

4加2+3

m2+4

37m2+3

故近日=沖匕=1,即2屈屈一5=0,

S6A/m2+32

m2+4

所以存在實(shí)數(shù)2=2,使得小/^^一S=0成立.

跟蹤訓(xùn)練2（2023?日照模擬）已知拋物線C：N=2處^＞0）的焦點(diǎn)為尸，E為。上的動(dòng)點(diǎn)，EQ

垂直于動(dòng)直線＞=『《）,垂足為。，當(dāng)AE。9為等邊三角形時(shí)，其面積為43.

（1）求C的方程；

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線/與C相切，且與橢圓［+(=1交于4,3兩點(diǎn)，直線。。與

48交于點(diǎn)試問是否存在/,使得=若存在，求f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解(口?.?△E0F為等邊三角形時(shí)，其面積為43，

...，￡QFsin；=43，解得|￡。=4,

根據(jù)|￡咒|=|￡。|和拋物線的定義可知，。落在準(zhǔn)線上，即＞=:=—§

設(shè)準(zhǔn)線和y軸交點(diǎn)為77,易證/上不。=:,

于是尸Q|cos^=2=\FH\=p,

??.C的方程為x2=4y.

(2)假設(shè)存在3使得14M=WM，則〃為線段45的中點(diǎn)，

設(shè)4^(x00),依題意得。(刈，。，則koQ—~y

%0

由可得,=|,

切線/的斜率々=4o,

2

卜i+12yi+yA

設(shè)4a1,6),5(X2,及)，線段45的中點(diǎn)認(rèn)2'2J,

3=1,

42

142

可得上”+五二弟=0,

42

,(11+%2)(%1-X2)|(yi+y2)(yi—X2)=0

…412

整理可得l1,

Xi~X2Xl+%22

即k「koM=—‘,??~xo'koM=~~9

222

可得koM=1~又koQ—koM~~^

xoxo

...當(dāng)/=—1時(shí)，ko=koM=--,此時(shí)O,M,。三點(diǎn)共線，滿足M為N8的中點(diǎn)，

QX0

綜上，存在f,使得=此時(shí)f的值為一1.

[總結(jié)提升]

證明性問題主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)性質(zhì)

的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明.

存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定的問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元

素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在并設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組），若方程（組）有實(shí)數(shù)解，

則元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在；否則，元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）不存在.注意：當(dāng)

結(jié)論或條件不唯一時(shí)，要分類討論.

班縣突邀

22

1.（2023?湖南師大附中模擬）如圖，橢圓C：[+匕=1（°>2）,圓。：x2+y2=a2+4,橢圓C

a14

的左、右焦點(diǎn)分別為E,Fi.

⑴過橢圓上一點(diǎn)尸和原點(diǎn)。作直線/交圓。于〃，N兩點(diǎn),若|尸尸1卜『7囹=6,求的

值；

⑵過圓。上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線互相垂直.

⑴解設(shè)P（xo,次），由于1PBi+|PB|=2Q司尸產(chǎn)iF+|尸產(chǎn)2|2+2廠人|?甲歹2|=4層，

而|尸產(chǎn)尸/2|=6,

則（xo+c）2+M+（x（）—c）2+yg+12=4a2,

所以xi=2a2—c2—6=a2—2（其中a2—c2=4）,

所以|尸閭"川=（。閭一1。尸1）（。川+1。尸1）=1。盟2一0尸|2=層+4—（端+附

=層+4—（a2-2）=6.

⑵證明設(shè)R（m,n）,則加2+/=Q2+4,即幾2—4=層一冽2,

設(shè)過點(diǎn)尺的圓。的切線斜率都存在時(shí)的方程為》=左。一⑼+/加/層），代入橢圓方程得

4x2+層盧（X—⑼2+/+2k（x—m）n]—4a2=0,

整理得（4+序左2.2-2ka2（km—ri）x+a2（km—n）2—4a2=0,

2

則A=4a4吩（km—n）—4（4+Q2左2）.[層（左機(jī)—幾）2_4/]__0,

即（而一〃）2一/左2-4=0=>（加2一Q2）女2一2冽〃左+層一4=0,

“2--A

kl,后是上述關(guān)于左的方程的兩個(gè)根，則發(fā)如=*「=-1,

m2~a2

即兩條切線的斜率都存在時(shí)，有兩條切線互相垂直；

而當(dāng)過R的切線斜率不存在時(shí)，易知R點(diǎn)的坐標(biāo)為(±°,±2),

此時(shí)顯然兩條切線互相垂直，

綜上，過圓。上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，則兩條切線互相垂直.

2.(2023?聊城模擬)已知雙曲線C：三一M=l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)為凡一條漸近線的傾斜角

a1b1

為60。，且C上的點(diǎn)到尸的距離的最小值為1.

(1)求。的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。(0,0),M(0,2),動(dòng)直線/：>=履+加與C的右支相交于不同兩點(diǎn)/,B,且NN而=

NBFM,過點(diǎn)。作”為垂足，證明：動(dòng)點(diǎn)〃在定圓上，并求該圓的方程.

⑴解設(shè)尸(c,0),

則由已知得?

c—a=1,

c2=a2+b2,

解得。=1,b=Mc=2,

所以。的方程為好一芷=1.

3

(2)證明由(1)得網(wǎng)2,0),前=(—2,2),

8(x2,

設(shè)/(xi,yi),y2)9則■物=(%L2,斐),FB=(X2~2,yi),

于是2)2+j?=A/(XI—2)2+3x?—3=2xi—1,

同理|麗1=2x2—1,

由ZAFM=ZBFM,

得cosZAFM=cosZBFM,

FAFMFBFM

即=,

前的

-2(X2—

0n—2(xi—2)+2yi2)+2j2

2xi—l2x2~1

則(左一l)xi+m+2(左一1)%2+冽+2

2xi—12x2―1

整理得(2加+左+3)(?一&)=0,

因?yàn)閤i#X2,所以2加+左+3=0,

所以I的方程可化為y=k~^--,

2

因此/過定點(diǎn)4'一力，3=?

又因?yàn)椤?7，/,垂足為X,所以動(dòng)點(diǎn)〃在以O(shè)N為直徑的圓上，

該圓的方程為卜02+1+力2=5

O

3.(2023?保定模擬)如圖，雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦距為2由，左、右頂點(diǎn)分別為4B,曲

線C是以雙曲線的實(shí)軸為長(zhǎng)軸，虛軸為短軸，且離心率為1的橢圓，設(shè)尸在第一象限且在雙

2

曲線上，直線交橢圓于另一點(diǎn)直線/尸與橢圓交于另一點(diǎn)N.

(1)求橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)血W與x軸交于點(diǎn)T,是否存在點(diǎn)P使得白=4xK其中白，xr分別為點(diǎn)P,7的橫坐標(biāo))?

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解(1)由已知可設(shè)雙曲線方程為三一二=1,橢圓方程為￡+￡=i,

bza'bz

pz2+/>2=7,

*=4,

2

W-Z)=l今

2

Ia—2b=39

所以雙曲線方程為V—M=l,

43

橢圓方程為芷+丁=1.

43

(2)方法一設(shè)尸(孫QM(xi,yi),N(X2,歹2),^4(—2,0),5(2,0),

y2t

P,A,N三點(diǎn)共線,

制+2