2024學(xué)年北師大版成都九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末模擬卷（含答案解析）

2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷

（四川成都專(zhuān)用）

（考試時(shí)間：120分鐘,分值：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：北師大版九年級(jí)上冊(cè)全部?jī)?nèi)容（95%）+八年級(jí)下冊(cè)（5%）。

5.難度系數(shù)：0.65o

A卷（共100分）

第I卷（共32分）

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題

目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）.

1.南湖公園是長(zhǎng)春市著名旅游景點(diǎn)之一，圖①是公園中“四角亭”景觀(guān)的照片，圖②是其航拍照片，則圖③

【答案】B

【解析】由題意可知圖③是從“四角亭”上方看到的，即為俯視圖.故選B.

2.目前中國(guó)是世界上高鐵運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)、規(guī)模最大、速度最快的國(guó)家，中國(guó)高鐵也成為中國(guó)人引以為傲的

國(guó)家名片.某高鐵交通路線(xiàn)從鄭州東站出發(fā)，?？空军c(diǎn)依次為新鄉(xiāng)東站一鶴壁東站一安陽(yáng)東站一……一

北京西站，若從鄭州東站到北京西站共設(shè)計(jì)了56種往返車(chē)票，這條線(xiàn)路共有多少個(gè)站點(diǎn)？若設(shè)這條線(xiàn)路

共有x個(gè)站點(diǎn)，則滿(mǎn)足題意的關(guān)于x的一元二次方程的一般形式為（）

A.x(x-l)=56B.x2+x-56=0C.x2-x—56=0D.x2-x+56=0

【答案】C

【解析】設(shè)這條線(xiàn)路共有x個(gè)站點(diǎn)，根據(jù)題意，得x（x-l）=56,整理，得/-了-56=0,故選：C.

3.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形

B.在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就是概率

C.若順次連接某四邊形的四邊中點(diǎn)得到一個(gè)正方形，則原四邊形一定是正方形

D.如果一個(gè)三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

【答案】D

【解析】A.對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

B.在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率接近概率，但頻率不是概率，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符

題意；

C.若順次連接某四邊形的四邊中點(diǎn)得到一個(gè)正方形，則原四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直，而對(duì)角線(xiàn)

相等且互相垂直的四邊形不一定是正方形，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D.如圖，ZUBC中49為8c邊上的中線(xiàn)，S.AD=-BC,：.AD=BD=CD=-BC,

22

ZB=ZBAD,ZC=ADAC,*/NB+ABAD+ZC+ADAC=180°,

ABAD+ACAD=AB+AC=90°,即N"C=90。，△/BC為直角三角形，

如果一個(gè)三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，故此說(shuō)法正確，符合

題意.故選：D.

4.“黃金比例分割法”是啟功先生研究的一套楷書(shū)結(jié)構(gòu)法，是將正方形按照黃金分割的比例來(lái)分割，形成“黃

金格”（如圖，四條與邊平行的線(xiàn)的交點(diǎn)都是黃金分割點(diǎn)），漢字的筆畫(huà)至少要穿過(guò)兩個(gè)黃金分割點(diǎn)才

美觀(guān).若正方形“黃金格”的邊長(zhǎng)為8cm,四個(gè)黃金分割點(diǎn)組成的正方形的邊長(zhǎng)為（）

A.（4囪一4卜mB.（8?-l6kmC.（^12-4^5jcmD.（24-85/^cm

【答案】B

【解析】如圖，C、。是線(xiàn)段"的兩個(gè)黃金分割點(diǎn),

左線(xiàn)右線(xiàn)

,?,線(xiàn)段48的長(zhǎng)為8cm，，/。=8。=。^48=4（逐一1,111,

CD=BD-（AB-AC）=BD-（AB-BD）=2BD-AB,CZ）=8（75-1）-8=（875-16）cm,

二四個(gè)黃金分割點(diǎn)組成的正方形的邊長(zhǎng)為（8--16km.故選：B.

5.如圖，電路上有S，S?,S，邑四個(gè)斷開(kāi)的開(kāi)關(guān)和一個(gè)正常的小燈泡乙將這些開(kāi)關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè),

能讓燈泡發(fā)光的概率為（）

【答案】D

【解析】將這些開(kāi)關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，所有等可能的結(jié)果有:

閉合兩個(gè)的情況有：（H，邑），（E，邑），⑸，邑），⑸，M），@，國(guó)），區(qū)，S3

閉合三個(gè)的情況有：（4,S],風(fēng)），（E，S],S4）,（5,,S3,S4）,（邑，$3，邑），

閉合四個(gè)的情況有：⑸，$2，S3,S4）,故這些開(kāi)關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)共11種，

其中能讓燈泡發(fā)光的結(jié)果有：（4,風(fēng)），（A,SJ,（邑，邑），（S,S,），區(qū),s”邑），（H，S],邑）,

區(qū),邑，邑），（S，M，J），（E,S2,S3,凡），共9種，

9

???將這些開(kāi)關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率為三.

故選D.

斤2+1

6.已知反比例函數(shù)y=^—L,則下列說(shuō)法正確的是（）

x

A.函數(shù)圖像分布在第二、四象限B.y隨X的增大而減小

C.如果兩點(diǎn)（2,%）都在圖像上，則必〉為D.圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)

【答案】D

【解析】A.???上2+i>o,.?.反比例函數(shù)了=￡±1圖像分布在第一、三象限，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題

X

思；

B.在每一象限內(nèi)，V隨x的增大而減小，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.?.?M=%=C±l>o,.?,%<%,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

—12

D.反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故該選項(xiàng)正確，符合題意.

故選D.

7.如圖，點(diǎn)￡是正方形48CD內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，連接0E,以DE為腰在DE的右側(cè)作等腰直角三角形DEF,

連接EC,AF,G為/廠(chǎng)的中點(diǎn)，連接DG,隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論正確的是（）

1B

A.EC=2DGB.EC=y/?.DGC.EC=-AFD.EC=—AF

22

【答案】A

【解析】如圖，延長(zhǎng)4。到點(diǎn)尸，使得4D=OP,連接尸尸，

:四邊形A8CD是正方形，，/O=a),ZADC=90。，:.CD=DP,

：ADEF是等腰直角三角形，???DE=DF,NEDF=90°,

ZCDF+ZCDE=ZCDF+ZPDF=90°,ZCDE=NPDF,

：.ADECADFP&AS),：.EC=FP,

:點(diǎn)G為/尸的中點(diǎn)，點(diǎn)。為NP的中點(diǎn)，是A4尸尸的中位線(xiàn),

：.FP=2DG,：.EC=2DG,故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)/重合時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合,

：.EC=AF,故選項(xiàng)C,D錯(cuò)誤;

故選A.

/G3

8.如圖‘已知在△"C中’點(diǎn)G是中線(xiàn),上一點(diǎn)，且行二,點(diǎn)D、E分別在邊,數(shù)上’可經(jīng)過(guò)

點(diǎn)G,那么下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）

A.如果40=38。，那么。E〃2CB.如果點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，那么/D:AD=3:2

ARATAF）AF

C.喂+會(huì)的和是一個(gè)定值D下土裝的和是一個(gè)定值

ADAE

【答案】D

【解析】A.?:AD=3BD,；.丁「

AB4

,,AG_3.ADAG

AH~4'"AB~AH'

C.DG//BH,C.DE//BC,即該選項(xiàng)正確，符合題意;

B.如圖，作8尸〃交。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸,

AA

E\；M

\/

B%△c

:.ABDFSAAGD,KGHSKFB,—=—,-=—=BF=2GH.

BDBFBFBC2

?：-=-,：.AG=3GH,:總=也=^=>；.AD:BD=3:2,即該選項(xiàng)正確;

AH4BDBF2GH2

cABACAD+BDAE+CE,BD〔CE、BDCE

ADAEADAEADAEADAE

作作昉〃期交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,作5/〃/2/交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M,

.BD_BFCECM

AS△CMEs八AGE,

BDF^AGD,'?茄—前，~AE~~AG

.BDCEBFCMBF+CM

____?___—____?____—___?_：_B_F__〃AH,CW〃/A,???四邊形BQWF是梯形,

*ADAE~AGAG~2AG

???4H是中線(xiàn)，???G”是梯形5cMF的中位線(xiàn)，：.BF+CM=2GH.

ABAC、BDCE、BF+CM、2GH8

??9=3：.AG=3GH,——+——=2+——+——=2+------------=2+--------

?AH~4ADAEADAE2AG3GH3

ACQ

‘.而+定=3為定值,故該選項(xiàng)正確;

ADAP

D.?「A’B'C正確,由排除法可知而+工的和是一個(gè)定值不正確,符合題意.故選D.

第n卷（共68分）

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每題4分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上）

9.有四組一元二次方程：①f+7x+8=0和8/+7x+l=0；?x2-x-6=0^-6x2-x+l=0；?2x2-5=0

和-5/+2=0；?4X2-9X+3=0^3X2-9X+4=0.這四組方程具有共同特征，我們把具有這種特征

的一組一元二次方程中的一個(gè)稱(chēng)為另一個(gè)的“關(guān)系方程”.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根但沒(méi)有“關(guān)系

方程”的一元二次方程：.

【答案】X2-X=Q（答案不唯一）

【解析】根據(jù)題中“關(guān)系方程”的的特征可知：形如g2+云+c=0和32+反+。=0這樣的一元二次方程

互為“關(guān)系方程”，沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的一元二次方程一定沒(méi)有“關(guān)系方程”，再根據(jù)條件“有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根”

可知，/-》=0是滿(mǎn)足條件的一元二次方程.故答案為：x2-x=0（答案不唯一）

10.為了解該微信二維碼中間帶微信圖標(biāo)小正方形區(qū)域的面積，某小組同學(xué)做了拋擲點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

如下:

在正方形內(nèi)投擲的點(diǎn)數(shù)〃1002003004006008009001000

落入小正方形區(qū)域的頻數(shù)加915273450667683

0.090.09

落入小正方形區(qū)域的頻率絲0.0750.0850.0830.08250.0840.083

n00

試估計(jì)“點(diǎn)落入小正方形區(qū)域內(nèi)”的概率（精確到0.01）.

【答案】0.08

【解析】觀(guān)察表格發(fā)現(xiàn)：隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，“點(diǎn)落入小正方形區(qū)域內(nèi)”的頻率逐漸穩(wěn)定到0.08附近,

..?估計(jì)“點(diǎn)落入小正方形區(qū)域內(nèi)”的概率為0.08,故答案為：0.08.

11.寧霞做測(cè)量陽(yáng)光下旗桿長(zhǎng)度的試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)校的旗桿是在一個(gè)臺(tái)座上的（如圖所示）.經(jīng)測(cè)量旗桿底部

8點(diǎn)到臺(tái)座邊緣C的距離為1m,每級(jí)臺(tái)階高0.2m,階面長(zhǎng)0.3m,旗桿落在水平地面上的影長(zhǎng)

B￡=16.4m,此時(shí)，豎直放在水平地面上1m長(zhǎng)的測(cè)桿的影長(zhǎng)為1.5m,則學(xué)校的旗桿高度初是

m.

）卜、

DE

【答案】11.4

【解析】如圖，記48、延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)為。，

X

C

ODE

由題意知，05=3x0.2=0.6m,00=1+2x0.3=1.6m,OE=OD+DE=18m,

???豎直放在水平地面上1m長(zhǎng)的測(cè)桿的影長(zhǎng)為1.5m,

.AO_

T-T，BP,解得，4。=12,

-OE1.51o1.5

.?.NB=NO-O2=11.4m,故答案為：11.4.

12.如圖，△4BC中，A,5兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-1,0),以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的

下方作△/BC的位似圖形△48'C,并把△N8C的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍，設(shè)點(diǎn)8的橫坐標(biāo)是-3,則點(diǎn)

B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)是

【答案】3

【解析】過(guò)點(diǎn)B、夕分別作ADLx軸于。,8'￡，工軸于￡,如圖,ABDC=NB'EC=90°,

?/AABC的位似圖形是△WB'C,.?.點(diǎn)8、C、8'在一條直線(xiàn)上,

.CDBC

/.ZBCD=NB'CE,MBCDs/\B'CE，

"'~CE^^C

又"

B'C2CE2

又???點(diǎn)8的橫坐標(biāo)是-3,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-1,0),：.CD=2,；.CE=4,

???點(diǎn)"的橫坐標(biāo)為3,故答案為：3.

13.如圖，矩形N8CD中，48=3,BC=4,以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BC,BD于點(diǎn)、E,

F,再分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于;跖長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)P作射線(xiàn)3尸，過(guò)點(diǎn)C作3P的垂線(xiàn)分別

交BD,AD于■苴M,N,則CN的長(zhǎng)為.

【答案】Vio

【解析】如圖，設(shè)BP與CN交于點(diǎn)、O,與CD交于點(diǎn)、R,作RQL8D于點(diǎn)Q,

\,矩形ABCZ）中，AB=3,BC=4,:.CD=AB=3,BD=^BC2+CD2=5.

由作圖過(guò)程可知，8P平分NCAD,?.?四邊形Z8CD是矩形，CD18C,

又?；RQLBD,RQ=RC,在RtABCR和RtA^QR中，

[RQ=RC..

\RSBCR絲RtA80R（HL）,:.BC=BQ=4,

\BR—BR

QD=BD-BQ=5-4=1f設(shè)RQ=RC=x,則Q&=CO-CK=3-x,

在RtADQ?中，由勾股定理得?；?=00?+距2,即（3-X）2=心+/,

44/-------------4/—

解得％=_,/.CR=~.；.BR=<BC、CR2=—屈.

333

父4

???SBCR=-CRBC=~BROC,OC=CRBC=4—=-V10.

皿22BR4^5

3

ACOR=2CDN=90°,Z.OCR=NDCN,AOCRS^DCN,

?席溫，即抓一；解得C.

DCCN~1~~CN

故答案為：V10.

三、解答題（本大題共5小題，其中14題12分，15-16題，每題8分，17-18題，每題10分，共48分.解

答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

14.（滿(mǎn)分12分）（1）在①x-l<3,②一［21,③2（4x-3）+5W7中任選2個(gè)組成不等式組并解不等式

組；

（2）解方程：①2/+4x-5=0.②x2-10x-ll=0.

x-l<3①

【解析】（1）選①②，分，

I2

解不等式①得：x<4,（1分）

解不等式②：-^―>1,3x-l>2,3x23,x>l,（3分）

不等式組的解集為：l?x<4；（4分）

（2）①解：2/+4x-5=0,

?.-/?2-4ac=42-4x2x（-5）=56>0,（5分）

-4±A-4±2舊

，（7分）

2x22x2

,-2+V14

■-x.=-----;（8分）

2

②解：x2-10x-ll=0,

x2-10x=ll,（9分）

x2-10x+52=11+52,（10分）

（x-5『=36,（11分）

x-5=±6,

Xj=11,x2=-l.（12分）

15.（滿(mǎn)分8分）游戲是生活中有趣味的社交活動(dòng)，是人類(lèi)終身不可缺少的伴侶，更是家庭歡樂(lè)的源泉.小

剛父親和小剛二叔玩一種游戲，游戲規(guī)則：兩人只可以說(shuō)出“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲(chóng)”中的任何

一個(gè)，同時(shí)各說(shuō)出一個(gè)后定勝負(fù)，其中“木棒”勝“老虎”、“老虎”勝“公雞”、“公雞”勝“小蟲(chóng)”、“小蟲(chóng)”勝“木

棒”.其它情況，則為平局.例如，小剛父親說(shuō)“老虎”，小剛二叔說(shuō)“公雞”，則小剛父親勝；又如，兩

人同時(shí)說(shuō)“蟲(chóng)子”，則為平局；再如，一人說(shuō)“公雞”，一人說(shuō)“木棒”，則為平局.

⑴每一次小剛父親說(shuō)出“老虎”的概率是；

（2）如果用A,B,C,。分別表示小剛父親說(shuō)的“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲(chóng)”；用4，片，G，D

分別表示小剛二叔說(shuō)的“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲(chóng)”，那么某一次說(shuō)出時(shí)小剛父親勝小剛二叔的概

率是多少？用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法加以說(shuō)明；

（3）你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)π偢赣H和小剛二叔公平嗎？為什么？

【解析】（1）:共有“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲(chóng)”4種情況,

，每一次小剛父親說(shuō)出“老虎”的概率為:；（2分）

（2）列表如下：

小剛二叔

4G2

小剛父親

A(44)(44)(4G)(42)

B伊，4）（民班(B,Q)

C(C4)(c，G)(C2)

D（24）（。，4）（2G）（。，2）

由表格可知，共出現(xiàn)了16種等可能的結(jié)果，其中小剛父親勝小剛二叔的結(jié)果有4種，（5分）

41

???某一次說(shuō)出時(shí)小剛父親勝小剛二叔的概率為啟=:；（6分）

164

41

（3）解：由表格可知某一次說(shuō)出時(shí)小剛二叔勝小剛父親的概率為7=：,（7分）

164

???1=1.?.兩人獲勝的概率相等，這個(gè)游戲?qū)π偢赣H和小剛二叔是公平的.（8分）

44

16.（滿(mǎn)分8分）如圖，皮＞為一條寬為4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤與東岸的高度差為3

米（即CE=3米），因?yàn)槭┕ば枰?，現(xiàn)準(zhǔn)備將東岸的泥沙通過(guò)滑軌送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已經(jīng)

建好一座固定滑軌一端的鋼架，現(xiàn)準(zhǔn)備在東岸找一個(gè)點(diǎn)P作為另一端的固定點(diǎn)，已知吊籃的截面為直

徑為1米的半圓（直徑MN=1米），繩子加="=1.3米，鋼架高度2.2米（22=2.2米），距離防洪

堤邊緣為0.5米（2C=0.5米）.

（1）西岸邊緣點(diǎn)C與東岸邊緣點(diǎn)。之間的距離為多少米？

（2）滑軌在運(yùn)送貨物時(shí)保持筆直，要想做到運(yùn)輸過(guò)程中吊籃一定不會(huì)碰到點(diǎn)C,則。P的長(zhǎng)度應(yīng)大于

多少米.

A

0

/

^

￡

r

岸

東岸

西n

r

【解析】（I）如圖所示，連接CZ）,

由題意可知/CED=90°,CE=3,DE=4,（1分）

則由勾股定理可得：CD=，。爐+上2=打+42=5.（3分）

:.MK=gMN=；,：.QK=\\,32-[^\=1,2,（5分）

:滑軌在運(yùn)送貨物時(shí)保持筆直,要想做到運(yùn)輸過(guò)程中吊籃一定不會(huì)碰到點(diǎn)C,設(shè)切點(diǎn)為J,延長(zhǎng)0K交CO

與點(diǎn)W.則ZECD=ZCWK,???NCED=AKJW=90°,:.^CED^^WJK,（6分）

KWJKKW0.5

5573

AKW=-則CG至少為1.2+—二一米，

89840

,:/AOP=/GEP=9。。,NGPE=NAPO,

PFGF

AGPES八APO,-----=-----,（7分）

POAO

設(shè)尸Z）=x,則尸E=x+4,

73193

GE=GC+CE=F3=----,AO=3+2.2=5.2,PO=x+4+0.5=4.5+x,

4040

1_937373

???x+4_40，解得％=S，故答案為：（8分）

-二~7773030

4.5+x5.2

17.（滿(mǎn)分10分）小江制作了如圖一款托盤(pán)天平，在天平支點(diǎn)。左邊托盤(pán)力（固定）中放置一個(gè)物體，在

右邊托盤(pán)尸（可在3c上左右移動(dòng)，OB=10cm）中放置一個(gè)可以裝水的容器（容器的質(zhì)量忽略不

計(jì)）.在容器中加入一定質(zhì)量的水，改變托盤(pán)尸與點(diǎn)。的距離x（cm）（10<xW40）,可以使天平左右平

衡，記錄天平平衡時(shí)容器中加入的水的質(zhì)量，得到下表：

托盤(pán)尸與點(diǎn)。的距離x/cm402420161210

加入的水的質(zhì)量?g610121520.124

AOBPC

=0

⑴①請(qǐng)?jiān)谒o的平面直角坐標(biāo)系中作出V關(guān)于x的函數(shù)圖象.②觀(guān)察函數(shù)圖象，并求》關(guān)于x的函數(shù)

表達(dá)式.

Q（g）

32廠(chǎng)---廣-廠(chǎng)―一廠(chǎng)一7一一廠(chǎng)-一廠(chǎng)一、

28一千一卜一卜一卜―卜一卜一卜一卜一卜T

24__I___?___I___?___I___?___?___?___?___?

20

16——L—4—4-4-；

12——

8———

4—；----；----；----[----；----<----1----；----；----;

-0]~4_81216202428323640^Cm）

（2）若在容器中加入的水的質(zhì)量y（g）滿(mǎn)足7.5Wy424,求天平平衡時(shí)托盤(pán)P與點(diǎn)O的距離x（cm）的

取值范圍.

（3）根據(jù)杠桿原理，天平平衡時(shí)，左盤(pán)物體質(zhì)量02=右盤(pán)物體質(zhì)量OP（不計(jì)托盤(pán)與橫梁質(zhì)量），其中

CM=8cm.小江為了改進(jìn)托盤(pán)天平使得它能在右盤(pán)倒入小于6g水時(shí)天平也能平衡，不妨設(shè)小江在天平

右盤(pán)容器中倒入5g水，他準(zhǔn)備更換左盤(pán)中的物體，更換的物體質(zhì)量分別有35（g）,29（g）和20（g）三款

可供選擇，保持其他條件不變.請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算幫助小江從上述三款物體中挑選合適質(zhì)量的物體，并求

此時(shí)天平保持平衡時(shí)托盤(pán)P離。點(diǎn)的距離.

【解析】（1）①描出各點(diǎn)連線(xiàn)得到圖象為:

k

設(shè)反比例關(guān)系式為y=￡,則左=40x6=240,

...反比例關(guān)系式為了=—：（3分）

X

240

（2）當(dāng)歹=7.5時(shí)，x=---=32；

7.5

當(dāng)>=24時(shí)，、=2"40=10；（4分）

24

???在第一象限內(nèi)歹隨x的增大而減小，

???當(dāng)7.5工〉（24,貝lJ104xW32；（6分）

（3）當(dāng)左盤(pán)中的物體質(zhì)量為35（g）時(shí)，。尸=言”=56cm>40cm,不符合題意；（7分）

29x8

當(dāng)左盤(pán)中的物體質(zhì)量為29（g）時(shí)，。?=46.4cm>40cm,不符合題意；（8分）

當(dāng)左盤(pán)中的物體質(zhì)量為20（g）時(shí)，。尸=agq=32cm,符合題意；（9分）

...小江挑選質(zhì)量為20（g）的物體，這時(shí)OP長(zhǎng)為32cm.（10分）

18.（滿(mǎn)分10分）綜合與實(shí)踐：

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形與旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

如圖1,在直角三角形Z3C中,

CP

(1)操作發(fā)現(xiàn)：分別取邊48、NC的中點(diǎn)D、E,連接DE,則二的比值為

DB

(2)變換探究：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△4D'E',連接AD，、CE',得到△48。和A/CE',直

CF'

線(xiàn)8。與直線(xiàn)C2T相交于點(diǎn)尸，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三y的比值是否發(fā)生變化？直線(xiàn)3。與直線(xiàn)CE，相交所形

BD

成的夾角(不超過(guò)90。)的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)就圖2說(shuō)明理由.

(3)拓展應(yīng)用：在△/￡>￡旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)ABCF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出ABC廠(chǎng)的面積.

【解析】（1）V^ACB=90°,ABAC=30°,BC=2,

：.AB=2BC=4,AAC=43BC=,

；D、E分別為邊48、ZC的中點(diǎn)，

/.AD=BD=-AB=2,AC=CE=-AC=^,=（2分）

22BD2

CF'

（2）笠；的比值不變；

BD

;旋轉(zhuǎn)，AAE'=AE=43,AD'=AD=2,ZD'AE'=ZBAC=30°,（3分）

/.—=立，/BAD'=ZCAE'=30°+ZCAD',

AD'2

...江=獨(dú)=且=至，：.ABAD'sMAE',（4分）

AB42AD'

A—=—=^l,ZAE'C=NBD'A,

BD,AB2

設(shè)AD，與CE，交于點(diǎn)、G,：.ZAGE'=/FGD',（5分）

ZAE'C=ABD'A,：.ZE'FD'=ZD'AE'=30°,

...直線(xiàn)區(qū)D'與直線(xiàn)CE'相交所形成的夾角(不超過(guò)90。)的大小為定值，不發(fā)生改變；(6分)

由（2）知NCFB=NE'FD'=30°,：.CH=^CF=l,（7分）

/.FH=6CH=G,:.BF=2FH=273,

:.SABCF=gBF,CH=；x2g\=6（8分）

②當(dāng)3尸=。尸時(shí)，過(guò)點(diǎn)5作8NLCF,設(shè)BN=x,

NCFB=30°,BF=2BN=2x,NF=43BN=岳，

：.CN=CF-NF=BF-NF=（2-0x,（9分）

在RtA8NC中，由勾股定理，得：BC2=CN2+BN2,

：.22=（2-V3）2X2+X2,解得：x?=?+2,

?C1S1,22>/3

??S=—CF?BN=-'2x'X=x=-------F2.

.BCF223

綜上：43（才的面積為G或撞+2.（10分）

3

B卷（共50分）

一、填空題（每題4分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上）

19.一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，若這個(gè)正三棱柱的表面積為24+8』，則。的值是

主視圖左視圖

俯視圖

【答案】2

【解析】???由左視圖知底面正三角形的高為26，

...底面正三角形的邊長(zhǎng)為4,底面正三角形面積為gx4x2g=4人，

:這個(gè)正三棱柱的表面積為24+8百，,3x40+2x46=24+8。，=2,故答案為：2.

20.如圖，在RM/5C中，//C5=90。，ZC=8,BC=6,將繞點(diǎn)8按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到

△48G，現(xiàn)隨機(jī)地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率為.

25

【答案】歷

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)4作于點(diǎn)a.

222

?ZC8=90。，AC=8,BC=6,■,AB=^AC~+BC=7§+6=10.

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知BA}=BA=\Q,ZA.BH=30°,

:.AH=-BA=5,?.S.=—Z5-4〃=—xl0x5=25,

i2i'△4bA2i2

=—?AC?BC=—x8x6=24,

???現(xiàn)隨機(jī)地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率為=竟25*=余25.故答案為：亮25.

21.關(guān)于x的一元二次方程/+2加x+2〃=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于了的一元二次方程

/+2町+2機(jī)=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，給出三個(gè)結(jié)論：①這兩個(gè)方程的根都負(fù)根；②

(7n-l)2+(n-l)2>2；③-142加-,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是.

【答案】3個(gè)

【解析】①兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，兩個(gè)根同號(hào)，由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系有，

％=2">o,必?%=2加>o,yI+y2=-2M<0,x,+x2=-2m<0,這兩個(gè)方程的根都為負(fù)根，①正

確；

②由一元二次方程的根的判別式有：A=b2-4ac=4m2-Sn>0,A=b2-4ac=4n2-Sm>0,

4m2-8n>0>4n2—8m>0>m2-2n>0>n~—2m>0,

m2-2m+l+n2-2n+l=m2-2n+?2-2m+2>2,(m-1)2+(n-1)2>2,②正確；

③由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得2加-2〃=必%+%+%=(必+1)(%+D-1,

由必、力均為負(fù)整數(shù)，故（弘+1＞（%+1）20,故2加-2/2為,

同理可得：2n-2m=x^x2+xt+x2=(%,+l)(x2+1)-1,得2n-2m2-1,即2加-2〃W1,故③正確,

故答案：3個(gè).

22.如圖，已知等邊三角形。48與反比例函數(shù)y=：（左＜0,x＜0）的圖象交于4、2兩點(diǎn)，將△。/3沿直線(xiàn)。8

翻折，得到AOCB,的值為.

【答案】早

【解析】分別過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn)2作y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)E,F,連接班，過(guò)點(diǎn)。作A5的垂線(xiàn)，垂足

為M,過(guò)點(diǎn)E作如圖,

?.?八4。是等邊三角形,

k

???/、8兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=￡（左＜0,x＜0）的圖象上，且反比例函數(shù)關(guān)于二四象限的角平分線(xiàn)對(duì)稱(chēng),

X

直線(xiàn)OW是二四象限的角平分線(xiàn)，NBOF=45°-30。=15。，

由折疊的性質(zhì)得：4OC=60。，.1/CO5=45。，

軸，；./CEO=90°,.■./OCE=45°,是等腰直角三角形，CE=OE,

由題意得08=8C,

BE=BE,CE=OE,&CBE、OBE（SSS）,NOBE=ZCBE=30°,，

ZBEF=NOBE+ZBOE=45°,

?.?8尸_1/軸，：./3尸￡=90。，二/斤班=45。，，48￡'尸是等腰直角三角形，；.5尸=即,

?.?AF_Ly軸，CEJ_.y軸，BF//CE,

BDBF.BDEF

/\BDFs/\CDE,

CD~CE'"CD~OE

設(shè)等邊△NOB邊長(zhǎng)為2x,則4B=O8=OC=2x,MB=MA=x,

22

=岳，S^AOB=^AB-OM=^x,由折疊得：S^B0C=V3x,

?.?△。?！晔堑妊苯侨切?，二。72=。爐+。岳!，BP4x2=2CE2=2OE2,

：.CE=OE=4ix（負(fù)值舍去），，，3=：°￡C￡=x2，（凡BOC-S皿E）=￡^f，

2

■-sBOE=-OB-PE=^-X,.-.PE=^-X,-.-ZOBE=30°,ZBPE=9Q°,BE=2PE=（^>-\\x,

222'

?：ABEF是等腰直角三角形，BF1+EF2=BE1,即2BF?=2EF2=BE2,

（G0

6V6-V2______x

BF=EF=—BE=-_—x,BD_EF2J_百一1，故答案為:

22~CD~~OE~V2x2

23.如圖，在菱形4BCD中，AB=6,乙4=60。，點(diǎn)尸是4D邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段3C繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到線(xiàn)段"N（點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M）,當(dāng)點(diǎn)/與點(diǎn)”的距離最小時(shí)，A4W的面積為

____9A/3-9

【答案］*

2

【解析】以/為原點(diǎn)，4□所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，過(guò)8作2GJ.AD于G,設(shè)交延長(zhǎng)

線(xiàn)于“，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的左側(cè)時(shí)，如圖，

設(shè)尸(x,0),則/P=x,

AB=6,ABAD=60°,

AAG=AB=3,BG=&G=30：.PG=AP-AG=x-3,

:將線(xiàn)段2c繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線(xiàn)段MM(點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M),

：.MN±BC,PB=PM,ZBPM=90°,MN=BC=6,

：.MN±AD,AMPH=90°-ZBPG=ZPBG,：,ZMHP=90°=ZBGP,

：.^BGP^APHM(AAS),：.PG=MH=x-3,BG=PH=3日

:.AH=PH-AP=3拒-x,:.M(x-3出,x-3),

373-3

AH=?.?S04n31AH-MN=]1X-37-3—-3x6R=-973---9

2-Mm

當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)P的右側(cè)時(shí)，如圖，同理可得5，的=油二9.

△AiVll'i2

故答案為：959.

2

二、解答題（本大題共3小題，其中24題8分，25題10分，26題12分，共30分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、

證明過(guò)程或演算步驟.）

24.（滿(mǎn)分8分）我校為增強(qiáng)學(xué)生們的實(shí)踐能力，新穎社團(tuán)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效率與學(xué)習(xí)時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行了研究

和調(diào)查，研究發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)行為開(kāi)始后學(xué)習(xí)效率逐漸升高，但長(zhǎng)時(shí)間學(xué)習(xí)容易造成的疲勞使得學(xué)習(xí)效率達(dá)

到高峰后逐漸下降，下表是社團(tuán)研究團(tuán)隊(duì)記錄的研究數(shù)據(jù)：

學(xué)習(xí)效率與學(xué)習(xí)時(shí)間統(tǒng)計(jì)表（備注：學(xué)習(xí)效率用0至1的數(shù)字表示）

學(xué)習(xí)時(shí)間（時(shí)間）405060

學(xué)習(xí)效率0.64m1

記錄學(xué)習(xí)效率時(shí)，每10分鐘為一個(gè)記錄單元.

⑴若40分鐘到60分鐘增長(zhǎng)率相同，求m的值.

（2）研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)時(shí)間1小時(shí)，學(xué)習(xí)效率達(dá)到頂峰，1小時(shí)后學(xué)習(xí)效率逐漸下降，而且學(xué)習(xí)時(shí)間每增加

10分鐘，學(xué)習(xí)效率值下降0.2.若將學(xué)習(xí)時(shí)間（分鐘）與學(xué)習(xí)效率值的乘積叫做學(xué)習(xí)效能，當(dāng)學(xué)習(xí)效能

低于20的時(shí)候?yàn)闊o(wú)效學(xué)習(xí)，此時(shí)必須停止學(xué)習(xí).恰逢我校調(diào)整每晚作業(yè)時(shí)間，規(guī)定作業(yè)時(shí)間不少于1

個(gè)小時(shí)，根據(jù)以上研究成果計(jì)算每晚作業(yè)時(shí)間的合理范圍.

【解析】（1）設(shè)40分鐘到60分鐘的增長(zhǎng)率為x,

根據(jù)題意得：0.64（l+x）2=l,（2分）

解得：玉=-2.25（舍去），x2=0.25,（3分）

所以40分鐘到60分鐘的增長(zhǎng)率為25%,

所以〃?=0.64x（1+25%）=0.8.（4分）

（2）設(shè)學(xué)習(xí)1小時(shí)后，