2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：平面向量（四大考向） 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第三講-平面向量(四大考向)-專項(xiàng)訓(xùn)練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

高考對平面向量的考查，一般平面向量的線性運(yùn)算2022?新高考口卷，3

為平面向量基本定理、坐標(biāo)運(yùn)2023?新高考口卷，3

平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算

算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、2024?新高考口卷，3

化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問平面向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算2022?新高考口卷，4

題，如平行、垂直、距離、夾

2023?新高考口卷,13

角等問題的計(jì)算，難度一般不平面向量數(shù)量積的綜合運(yùn)算

2024?新高考口卷，3

|W1O

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷和口卷都考查到了平面向量的垂直運(yùn)算，口卷還結(jié)合了數(shù)量積

的綜合運(yùn)算。總體上來說，平面向量知識點(diǎn)的考查難度依舊是較易的，掌握基本的知識點(diǎn)

和擁有基本的運(yùn)算能力即可。平面向量考查應(yīng)關(guān)注：平面向量基本定理、向量的坐標(biāo)運(yùn)

算、向量數(shù)量積、向量平行與垂直、向量模等知識點(diǎn)，體會數(shù)形結(jié)合思想，強(qiáng)化運(yùn)算求解

能力與轉(zhuǎn)化化歸能力。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角、向

量的模。

三：試題精講

一、單選題

1.(2024新高考□卷-3)已知向量a=(0,1)力=(2,x),若石，(5-44),則％=()

A.-2B.-1C.1D.2

2.(2024新高考□卷-3)已知向量“力滿足忖=1,卜+2*2,且僅-2a)，6,則忖=

()

A.；B.走C.正D.1

222

高考真題練

一、單選題

1.（2022新高考口卷-3）在ABC中，點(diǎn)。在邊48上，BD=2DA.記

CA=777,CD=n,貝l]C8=()

A.3m—2〃B.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

2.(2023新高考□卷-3)已知向量a=(l,l),b=(l,-l),若(￡+")，(￡+成),則()

A.4+〃=1B.%+4=—1

C.，i=lD.〃/=一1

3.(2022新(Wj考□卷4)已知向量。=(3,4),1=(l,0),c=。+亦,若<a,c>=<〃,c>,則％=

()

A.-6B.—5C.5D.6

二、填空題

1.(2023新高考口卷13)已知向量a,b滿足,一*6，,+萬卜慳一可，則

\b\=——■

知識點(diǎn)總結(jié)

一、向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

（1）向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

□交換律

a+b=b+a

求兩個向量和

加法aa

的運(yùn)算□結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則

(Q+Z?)+C=〃+3+C)

求a與6的相反

向量此的和的

減法aa—b=Q+(~b)

運(yùn)算叫做a與6

的差

三角形法則

(1)\Aa\=\A\\a\

=(7l//)a

求實(shí)數(shù)彳與向量(2)當(dāng)；1>0時，2〃與。的方向相同；當(dāng)

數(shù)乘(A+//)a-Xa+jua

a的積的運(yùn)算X<0時，2〃與〃的方向相同；

4(。+b)=Aa+Ab

當(dāng)4=0時，4a=0

二、平面向量基本定理和性質(zhì)

1、共線向量基本定理

如果a=/l6(2eR),則a//6；反之，如果&//6且匕/0,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)2,

使。=勸.(口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘).

2、平面向量基本定理

如果4和g是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量a,都

存在唯一的一對實(shí)數(shù)4,%，使得。=4弓+402,我們把不共線向量弓，4叫做表示這

一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為｛4,弓｝,叫做向量a關(guān)于基底｛《，6｝的

分解式.

3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在△ABC中，若點(diǎn)。是邊上的點(diǎn)，且5￡>=&r>C(2工-1),則向量

AD=AB+AAC在向量線性表示(運(yùn)算)有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往

1+4

往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握.

力

4、三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)4,B,C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)尢〃，使OC=4OA+〃O8,其中

2+〃=1,。為平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A.B、。三點(diǎn)共線

o存在唯一的實(shí)數(shù)4,使得AC=/IAB；

。存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得OC=Q4+2AB；

。存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得OC=（1-團(tuán)。A+203；

o存在4+〃=1,使得OC=A,OA+/uOB.

5、中線向量定理

如圖所示，在ZvlBC中，若點(diǎn)。溟邊3c的中點(diǎn)，則中線向量AD=AC）,反

之亦正確.

三、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

（1）平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與X軸，y軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基

底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量。，有且只有一對實(shí)數(shù)

使。=W+切，我們把有序?qū)崝?shù)對（x,y）叫做向量”的坐標(biāo)，記作a=（尤,y）.

（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有

向量（x,y）「對應(yīng)，向量,一對應(yīng)?點(diǎn)A（x,y）.

（3）設(shè)。=（大,乂），b={xi,y2）,則。+3=（尤[+如％+%），a-b={xY-x2,y1-y2）,即

兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若。=（無,y）,幾為實(shí)數(shù)，則2。=（Ax,/ly），即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘

原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

（4）設(shè)AC7%）,B（x2,y2）,則AB=O3-OA=（X]-%，X-必），即一個向量的坐標(biāo)等

于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

（5）平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

□已知點(diǎn)4元「%），B（無2，%），則48=（々-X],%-%），IAB|=J（x2-占）2+（%f，

□已知°=（占,%），b=（x2,y2）,則a±。=（為±馬，％±%），2°=（2玉,4%），

a-b=\x2+%%,|a|=Jx^+y；.

a//b\y2—x2yx=0,a_L〃oxvx2+y%=0

（5）A、P、3三點(diǎn)共線o。尸=（l-/）OA+rOBQeK）,這是直線的向量式方程.

四、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

已知非零向量4=（不，％）,b={x2,%），。為向量。、b的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模1。1=〃1a=+)?

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos0ab=\x2+yxy2

八ab

夾角cos8=--------

\a\\b\Jx；+y；-5+￡

的充要

ab=QV2+yty2=0

條件

a//b的充要

=0

a=abQbw0)尤1%-尤2%

條件

|a?川與|a||川\a^b\<\a\\b\(當(dāng)且僅

X

1AR+y；?72+工

的關(guān)系當(dāng)a〃辦時等號成立)

【平面向量常用結(jié)論】

(1)平面向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且|入6區(qū)|°||6|.

(2)非零向量夾角為銳角(或鈍角).當(dāng)且僅當(dāng)小6>0且。力曲(2>0)(或。2<0,

且"勸(彳<0))

(3)6在。上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0.

(4)數(shù)量積的運(yùn)算要注意4=0時，ab=Q,但a2=0時不能得至卜/=0或6=0,因

為a_L6時，也有a-6=0.

(5)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：|a|=，cosd=""，等，所

\a\\b\

以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題.

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?廣東深圳?三模）已知向量q,e?是平面上兩個不共線的單位向量，且

AB=ex+2e2,BC=-3ex+2e2,DA=3ex-6e2,則（）

A.A、B、C三點(diǎn)共線B.A、B、。三點(diǎn)共線

C.A、C、。三點(diǎn)共線D.B、C、。三點(diǎn)共線

2.（2024?廣西?三模）已知向量那么向量6可以是（）

A.（1,3）B.卜,:C.（3,-1）D.（3,1）

3.（2024?浙江?三模）已知向量“=。刈，b=若為-辦與6垂直，貝吶等于

（）

A.V2B.6C.3D.6

4.（2024?重慶?三模）已知向量a=（3,l）,b=（-2,x）,若a，（a+6）,則防|=（）

A.2B.3C.2^D.

3

5.（2024?北京三模）若|卻=1,|笳=2,（1力）乜，則向量4與6的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

6.（2024?甘肅蘭州?三模）已知向量。=（1,_2）,。=（-1,-2）,設(shè)。與b的夾角為凡則

sin0=（）

3344

A.--B.-C.一一D.-

5555

7.（2024?河北衡水?三模）已知q,e?是單位向量，ere2=-^,則q+2e?與e2的夾角為

（）

兀2兀

A.B.-C.-D.

~643T

8.（2024?浙江金華?三模）已知時=4,忖=3,卜+可=卜一.，則)

A.-16B.16C.-9D.9

9.（2024?陜西榆林三模）在ABC中，E在邊BC上，且EC=38及。是邊A3上任意一

點(diǎn)，AE與。交于點(diǎn)尸，^CP=xCA+yCB,則3x+4y=（）

33

A.—B.—C.3D.-3

44

10.（2024?江蘇蘇州三模）已知|0-6|=|2°-切=2,且2"6在d方向上的投影向量為

單位向量，則|。|=（）

A.4B.2A/3C.4指D.6

11.（2024?山西呂梁?三模）已知等邊ABC的邊長為1,點(diǎn)，E分別為ABIC的中點(diǎn),

若DF=3EF,則AP=（）

13

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

1uun3uum

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

12.（2023?黑龍江佳木斯?三模）已知非零向量a,6滿足（2a+6）M2a-6）,且向量a

在向量6上的投影向量是且6,

則。與方的夾角是（）

4

A.-B.-C.tD,

6326

13.（2024?四川眉山?三模）已知向量a/,c滿足同=忖=1,同=括，且a+b+c=0，則

cos（a—c,b-c/=（）

VB.考C.一述D.--

1414

二、多選題

14.(2024?安徽?三模)已知向量4=(1,2),[-9=(3,1),則()

A.b=(-2,1)B.a//b

C.albD.在a上的投影向量為.

15.(2024?福建廈門?三模)已知等邊的邊長為4,點(diǎn)。，￡滿足2￡>=2。4,

BE=EC,AE與CD交于點(diǎn)。，則()

21

A.CD=-CA+-CBB.BO-BC=8

C.CO=2ODD.\OA+OB+OC\=y/3

16.（2024?河南?三模）已知平面向量a=（以根+2）,MCR,6=（3,4）,則下列說法正確的

有（）

A.a,6一定可以作為一個基底

B.同一定有最小值

C.一定存在一個實(shí)數(shù)機(jī)使得卜+“=卜_可

D.a,）的夾角的取值范圍是［0,可

17.（2024?山西?三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角

柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同

的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口

ABCDEF,它的邊長為1,點(diǎn)尸是QDE尸內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)，貝I］（）

A.DE=AF--AD

2

3

B.ACBD=-

4

c.若P為E廠的中點(diǎn)，則c尸在上的投影向量為-GET

D.匠+叫的最大值為g

18.（2024?吉林?二模）已知平面向量〃，b,c,=2石，Ml=6,。石=18,且

（a-c,b-c）=60,貝!]（）

A.。與b的夾角為30

B.（a-c）?伍-C）的最大值為5

C.卜|的最小值為2

1「17一

D.若c=xa+yb（無,yeR）,則萬工+,的取值范圍

三、填空題

19.（2024?四川?三模）若向量a=（x,4）與向量6=（1,尤）是共線向量，則實(shí)數(shù)x

20.（2024?上海?三模）已知向量口、）滿足同=2,忖=3,卜+可=4,則

ab=?

21.（2024?遼寧沈陽三模）已知向量。,6滿足同=2,胸+6）力=4,貝I]

12a+6卜.

22.（2024?內(nèi)蒙古?三模）已知單位向量°力的夾角為三，,-根0=豆，則機(jī)=.

23.（2024?重慶?三模）已知單位正方形48CD,點(diǎn)￡是3c邊上一點(diǎn)，若BE=2CE,則

AECE=.

24.(2024?河北張家口?三模)已知向量。=(2,1)涉=(2,0),c=a+4b,若則c在匕

上的投影向量為.

25.(2024?福建漳州?三模)已知向量a=(U)，W=4,且b在a上的投影向量的坐標(biāo)為

(-2,-2),則q與匕的夾角為.

26.(2024?湖南長沙,三模)平面向量a,b,c滿足：a±c,(4且

|?|=|c|=3,什=2,則卜+b+c卜_

參考答案與詳細(xì)解析

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考口卷，

平面向量的線性運(yùn)算

3

2023?新高考口卷,

高考對平面向量的考查，一般

3

為平面向量基本定理、坐標(biāo)運(yùn)平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算

2024?新高考□卷，

算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、

3

化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問

2022?新高考口卷，

題，如平行、垂直、距離、夾平面向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算

4

角等問題的計(jì)算，難度一般不

2023?新高考□卷，

高。

13

平面向量數(shù)量積的綜合運(yùn)算

2024?新高考口卷，

3

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷和口卷都考查到了平面向量的垂直運(yùn)算，口卷還結(jié)合了數(shù)量

積的綜合運(yùn)算?？傮w上來說，平面向量知識點(diǎn)的考查難度依舊是較易的，掌握基本的

知識點(diǎn)和擁有基本的運(yùn)算能力即可。平面向量考查應(yīng)關(guān)注：平面向量基本定理、向量

的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積、向量平行與垂直、向量模等知識點(diǎn)，體會數(shù)形結(jié)合思想，

強(qiáng)化運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸能力。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)

算、向量的夾角、向量的模。

三：試題精講

一、單選題

1.(2024新高考□卷-3)已知向量a=(0,1)力=(2,x),若。_L(b-4a),則尤=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求x的值.

【詳解】因?yàn)槿?U),所以。，-砌=0,

所以—4〃-Z?=04+x2—4x=0,故x=2,

故選：D.

2.(2024新高考□卷-3)已知向量滿足忖=1,卜+20=2,且僅貝州=

()

A.|B.—C.3D.1

222

【答案】B

【分析】由(6-2山。得廣=2a，b，結(jié)合|tz|=1,|<2+2Z?|=2,得

1+4〃?》+4Z?2=1+6b2=4，由此即可得解.

【詳解】因?yàn)閑一2可點(diǎn),所以e-2@6=0,即片=22%，

又因?yàn)閨o|=1,|A+2^|=2,

所以1+4a?b+4b~=1+6b=4?

從而w=q.

故選：B.

高考真題練

一、單選題

1.(2022新高考口卷-3)在ABC中，點(diǎn)。在邊48上，BD=2DA.記

CA=m,CD=n,則CB=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA,所以BO=2D4，即

CD-CB=2(CA-CD),

所以C8=3CD-2CA=3n-2m=~2m+3n.

故選：B.

2.(2023新高考□卷-3)已知向量2=(1」),1=。,T),若(￡+")，(1+而),則()

A.A+//=1B.4+〃=—1

C.au=lD.羽=-1

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出a+勸，a+"b,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求

出.

［詳解］因?yàn)?=(l,l),b=(l,T),所以a+2b=(1+X,1—幾)，o+=+，

由(a+_L(a+jub)可得，(a+/U?)(a+〃》)=0,

即(1+為(1+〃)+(1—#(1—〃)=0,整理得:A//=-l.

故選：D.

3.(2022新高考口卷,4)已知向量a=(3,4),Z>=(l,0),c=a+仍，若<a,c>=<Z>,c>,則/=

()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

,、,,,、9+3/+163+/

【詳解】解：C=(3+r,4),cos(d?=cos°,e),即一乖?-=甘，解得r=5,

故選：C

二、填空題

1.（2023新高考□卷T3）已知向量a,》滿足卜一耳=石，|a+^|=|2a-b|,則

\b\=-------

【答案】&

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令

c=a-b，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.

【詳解】法一：因?yàn)椴?+WM，即（a+4=（2a/y,

口尸2rrrrrrr散用殂2

則a+2a?b+b2=4a2—4a，b+b29整理得〃-2〃6=0，

又因?yàn)?一.=君，即回耳=3,

則22力+抹」丁3,所以M卜石.

rrrrrrrrr

法二：設(shè)貝！1卜卜代,0+匕=0+2a2"-/?=20+"

由題意可得:（c+26）=（2c+b）,貝!）？+4；.1+4抹=4；+4；5+%工

整理得：相」2,即代卜，卜百.

故答案為：陋.

知識點(diǎn)總結(jié)

一、向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

(1)向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

□交換律

a+b=b+a

求兩個向量和

加法匚二

aa

的運(yùn)算□結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則

(Q+Z?)+C=Q+S+C)

求。與b的相反

向量-6的和的

減法aa—b=a+(~b)

運(yùn)算叫做。與6

的差

三角形法則

(1)12a|=|A||a|

XQ/4)=(〃/)a

求實(shí)數(shù)2與向量

(2)當(dāng);1>0時，2。與a的方向相同；當(dāng)(2+

數(shù)乘jLi)a=Aa+jua

。的積的運(yùn)算2<0時，2a與a的方向相同；

4(a+b)=Aa+Ab

當(dāng)4=0時，九?=0

二、平面向量基本定理和性質(zhì)

1、共線向量基本定理

如果。="(XeR),則a//6；反之，如果a//6且匕片0,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)彳，

使。=勸.(口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘).

2、平面向量基本定理

如果q和e；是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量。，都

存在唯一的一對實(shí)數(shù)4,4,使得。=4弓+402，我們把不共線向量q,e?叫做表不這

一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為｛q?｝,4與叫做向量。關(guān)于基底｛q0｝的

分解式.

3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在ZVIBC中，若點(diǎn)。是邊BC上的點(diǎn)，且&)=<WC(6-1),則向量

AB+AC

AD^--.在向量線性表示(運(yùn)算)有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往

1+2

往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握.

B

4、三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)B,C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)尢〃，使0c=+其中

幾+〃=1,O為平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A.B、C三點(diǎn)共線

o存在唯一的實(shí)數(shù)2,使得AC=/IAB；

o存在唯一的實(shí)數(shù)2,使得OC=OA+/L43；

o存在唯一的實(shí)數(shù)2,使得0c=(1-㈤。4+2。3；

=存在2+〃=1,使得OC=/LQ4+〃O8.

5、中線向量定理

如圖所示，在△/$(7中，若點(diǎn)。層邊BC的中點(diǎn)，則中線向量AZ)=g(AB+AC),反

之亦正確.

B

DC

三、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

（1）平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基

底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)

使。=”+切，我們把有序?qū)崝?shù)對（x,y）叫做向量。的坐標(biāo)，記作a=（無,y）.

（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有

向量（x,y）、一對應(yīng)?向量OA,一一對應(yīng)，點(diǎn)A（x,y）.

（3）設(shè)。=（尤1,%）,b={x1,y1）,則a+6=（X]+尤2，X+%），。一6=（占-x2,%-%），即

兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若。=（無,y）,2為實(shí)數(shù),則彳a=（2x,2y）,即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘

原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

（4）設(shè)A（X]，x）,B（x2,y2）,則AB=O3-OA=（占-馬，%-%），即一個向量的坐標(biāo)等

于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

（5）平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

□已知點(diǎn)4（尤I，％）,B（X2,y2）,則43=（馬-X],%-%），IAB1=J（x2-占了+--

口已知0=（占,%），b=（x2,y2）,則a±6=（±±々，％士%），

a

a-b=\x2+%%，I1=小片+y；?

a//b<=>\y2—x2yx=0,aLb<=>x,x2+%%=。

（5）A、P、3三點(diǎn)共線oO尸=（l-r）OA+rOB（feR）,這是直線的向量式方程.

四、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

已知非零向量。=（%，％）,5=（尤2，%），。為向量。、b的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

2

模|a\=<aa1a|=次+_y

數(shù)量積a'b^a\\b\cos0ab=xxx2+

八ab

夾角cose=--------

\a\\b\舊+y；-Jx；+￡

的充要

ab=0%9+M%=°

條件

a//b的充要

0

a-九bQbw0)尤1乃一尤2%=

條件

|a/|與|。|傳||a小區(qū)|a||W（當(dāng)且僅

X

1X/2+M%M,\I2+工

的關(guān)系當(dāng)a〃〃時等號成立）

【平面向量常用結(jié)論】

（1）平面向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且|a2|4|a||b|.

（2）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當(dāng)且僅當(dāng)。電>0且。片9（力>0）（或a2<0,

且aw勸（4<0））

（3）6在。上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0.

（4）數(shù)量積的運(yùn)算要注意a=0時，a-b=0,但a2=0時不能得到Ja=0或。=0,因

為a_l_6時，也有a-6=0.

（5）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：|。|=八，成，cos0=a,a_L6u>a=0等，所

以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題.

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?廣東深圳?三模）已知向量耳，ez是平面上兩個不共線的單位向量，且

AB=q+2e,,BC=—3q+2e,,DA=3q—6e]，則（）

A.A、B、C三點(diǎn)共線B.A、B、。三點(diǎn)共線

C.A、C、。三點(diǎn)共線D.B、C、。三點(diǎn)共線

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線則a=M（2eR）判斷即可.

【詳解】對A,因?yàn)锳B=q+2e2，BC=-3ex+2e2,不存在實(shí)數(shù)幾使得AB=XBC,故

MB、C三點(diǎn)不共線，故A錯誤；

對B,因?yàn)锳B=4+2&2，D4=3g-6。2，不存在實(shí)數(shù)2使得AS=4Z）A,故A、B、D

三點(diǎn)不共線，故B錯誤；

2

對C,因?yàn)锳C=AB+3C=—2e]+4e2，DA=3ex-6e2,則AC=-1ZM,故A、C、D三

點(diǎn)共線，故C正確；

D,因BC=—3A+2g2,BD=—DA—AB=DA=—3百+6是一&—2g?=—4q+4e。，

在實(shí)數(shù)幾使得=故B、C、O三點(diǎn)不共線，故D錯誤.

故選：C

2.（2024?廣西?三模）已知向量a=（T3）,a_Lb,那么向量方可以是（）

A.（1,3）B.C.（3,-1）D.（3,1）

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】對于A,因?yàn)椋?1,3）.（1,3）=-1+9=84,所以a,b不垂直，故A錯誤；

對于B,因?yàn)椋?1,3）；-1,』=1+1=2#0,所以不垂直，故B錯誤；

對于C,因?yàn)椋?1,3）（3,T）=-3-3=-6/0,所以a,萬不垂直，故C錯誤；

對于D,因?yàn)椋═3）（3,l）=-3+3=0,所以0工6,故D正確.

故選：D

3.（2024?浙江?三模）已知向量“=。刈，^=（/?,-1）,若3a-6與6垂直，貝吶等于

（）

A.V2B.6C,3D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)34-6與b垂直，可得（3a-b）-b=0,即可求出加，再根據(jù)模的坐標(biāo)公式

即可得解.

【詳解】3a-b=（2m,4）,

因?yàn)?“-6與》垂直，

所以（3.-6）/=2療-4=0,解得病=2,

所以M=冊2+1=省.

故選：B.

4.(2024?重慶三模)已知向量a=(3,l),b=(-2,x),若a，(a+6),則出|=()

A.2B.3C.2A/5D.

3

【答案】C

【分析】利用已知條件和向量的垂直關(guān)系求出未知量x即可求得b,進(jìn)而得|b|.

【詳解】因?yàn)閍+b=(1,1+尤)，

所以a,(a+。)=3+(1+x)=0,=>x=,故6=(-2,-4),

所以忖=，(-2)2+(-4)2=2婿.

故選：C.

5.(2024?北京三模)若|卻=1,山=2,(1力)小，則向量〃與6的夾角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】根據(jù)(。-為，。，得(a-b)?a0,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出a6,再根據(jù)向量

的夾角公式即可得解.

【詳解】因?yàn)樗?a-b)?a0,

即，-a-b=0，所以a?b=a~=l，

7a-b1

所以…6=麗)，

又0°Wa,>W180°,

所以向量。與b的夾角為60。.

故選：B.

6.(2024?甘肅蘭州?三模)已知向量。=(1,-2)/=(-1,-2),設(shè)一與萬的夾角為凡則

sin9=()

A.--B.-C.--D.-

5555

【答案】D

【分析】用夾角公式計(jì)算出余弦值后，再根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可算出正弦值.

【詳解】因?yàn)椤?(1,-2))=(-1,-2),

所以。為=—3,同二君心卜有',

ca-b3

所以3。=麗=二'

因?yàn)?。為。與2的夾角，所以sin6>=Jl-cos?。=:

故選：D

7.(2024?河北衡水三模)已知q,e；是單位向量，6芻=-；,則q+2e?與e?的夾角為

()

A.-B.-C.-D.—

6433

【答案】A

【分析】先計(jì)算向量《+2?2的模，再計(jì)算弓+2?2與e?的數(shù)量積，進(jìn)而可得夾角的余弦

值，可得答案.

【詳解】卜i+2e?)=ex+-e2+4e2=1-2+4=3,^|e1+2e2|=.

+2e2j-e2=et-e2+2e2=--+2=^,設(shè)q+2e2與e2的夾角為6,

則又6目0,吐故6=?

6

|e1+2e2|-|e2|V32

故選：A.

8.(2024?浙江金華三模)已知同=4,忖=3,卜+6卜卜一可，則-b)=()

A.-16B.16C.-9D.9

【答案】B

【分析】由已知可得a+26〃+?！猚i-2b.a+b，可求得b.a=0,進(jìn)而計(jì)算可求

Q.(Q-b).

【詳解】由卜+4=卜-6|,兩邊平方可得Q+2b?a+b=a—2b+b，

所以〃?〃=0,所以。?(〃—/?)=〃—a?b=42-0=16.

故選：B.

9.(2024?陜西榆林?三模)在一ABC中，￡在邊3C上，且石。=33瓦。是邊AB上任意一

點(diǎn)，A石與8交于點(diǎn)尸，^CP=xCA+yCB,則3x+4y=()

33

A.—B.—C.3D.-3

44

【答案】C

【分析】利用向量的線性運(yùn)算，得CP=CE+E-Cm*8,再利用平面向量

33

基本定理，可得尤==然后就可得到結(jié)果.

44

【詳解】AP、E三點(diǎn)共線，設(shè)EP=fEA(0<r<l),

貝!!CP=CE+￡TP=：C3+fEA=；C3+f]cA-：CBj=fG4+H-：,CB,

33

又CP-xCA+yCB所以％y=------1,即3%+4y=3.

944

故選：C.

10.(2024?江蘇蘇州?三模)已知們=|2〃-b|=2,且2〃-。在a方向上的投影向量為

單位向量，貝Ul》l=（）

A.4B.2A/3C.473D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，分別將［2。-切=2與口-0=2平方，然后作差可得3M=2人6,再

(匕).

2a-a2H-a-b即可求得口，從而得到〃小，即可得到結(jié)果.

由條件可得HH=1,

【詳解】由題意可得I2〃—|=2,所以（2a-=4,即4/—4〃=4,

所以4M-46Z-/?+|Z?|=4口,

因?yàn)椴芬?二2,所以（〃一6）2=4,即2〃必+片=4，

所以忖—"=4口，

口一□可得3忖=2a-b9即=

又2Q-8在。方向上的投影向量為單位向量，

（2a-b\a2「|—a-b2區(qū)|——LI??

則1—=1，即IP=1，解得4=2,

忖HH

貝!|。山=|,（=6,代入口中可得4一2X6+M『=4,解得忖=2指.

故選：B

11.（2024?山西呂梁?三模）已知等邊一ABC的邊長為1,點(diǎn)，E分別為ABIC的中點(diǎn),

若DF=3EF,則AF=()

13

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

1uun3umn

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】B

【分析】?。鸄C,為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】在」ABC中，?。鸄C,叫為基底，

貝！]“卜網(wǎng)=2,（AC,AB）=60,

因?yàn)辄c(diǎn)分別為AB,BC的中點(diǎn)，DF=3EF,

所以斯=go2=：AC,

1"112

所以AP=AE+E戶=5（AB+AC）+[A（j=5A2+zAC.

故選：B.

12.（2023?黑龍江佳木斯?三模）已知非零向量*6滿足（2。+6），（2。-8）,且向量0

在向量〃上的投影向量是36,則。與6的夾角是（）

4

A.色B.色C.qD.史

6326

【答案】A

【分析】根據(jù)（2a+6）M2a-6）,可得（21+孫（22一小0,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得

I4W的關(guān)系，再根據(jù)投影向量的公式即可得解.

【詳解】因?yàn)椋?o+6）”2a_6）,

所以(2Q+Z?).(2Q=4Q-b=0,

所以牛2忖,

因?yàn)橄蛄縜在向量b上的投影向量是更b,

所以卜卜熱卜力卜.二乎》，

即gcos(a,b"=￥^,所以cos(a,b)=[?,

又因?yàn)榱［。，兀］，

所以。與b的夾角是『

0

故選：A.

13.（2024?四川眉山?三模）已知向量a,6,c滿足同=W=lJc|=6,且a+b+w=0,貝!］

cos(a-c,b-c)=()

A,”13

口D.-3-7-336D.

1414R14

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出a.b、aV、b-c,即可求出色-）伍-。）、

a-c\h\b~c\,再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.

【詳解】由題意得5+力=」，則（。+。）2=。2有F+2q.6+F=（g）2,解得q.6=