2025高考數(shù)學二輪復習：拋物線（二大考向） 專項訓練【含答案】

2025高考數(shù)學考二輪專題復習-第十七講-拋物線（二大考向）-專項訓練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對拋物線的考查，重點拋物線的定義、標準方程、2024?新高考□卷，

是幾何性質(zhì)10

（1）拋物線的定義、幾何圖

2022?新高考□卷，

形、標準方程。

11

（2）拋物線的簡單幾何性質(zhì)

拋物線的定義、直線與拋物2022?新高考口卷，

（范圍、對稱性、頂點、離心

線的綜合運用10

率）。

2023?新高考口卷，

（3）直線和拋物線的位置關

10

系及綜合應用。

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷未考查拋物線，口卷考查了拋物線與直線、圓知識點的綜

合，涉及到拋物線的知識點主要有準線和定義，難度適中。拋物線是高考考查的熱

點，其中拋物線的定義、方程、焦點、準線及其幾何性質(zhì)的應用是考查的重點。而且

拋物線在多選題中考查的比較頻繁，考生可以多多加強練習。預計2025年高考還是主

要考查拋物線的定義和直線與拋物線的綜合運用。

三：試題精講

一、多選題

1.（2024新高考□卷T0）拋物線C：y2=4x的準線為/,尸為C上的動點，過尸作

。4:/+口-4）2=1的一條切線，。為切點，過P作/的垂線，垂足為3,則（）

A./與相切

B.當尸，A,8三點共線時，|尸。|=而

C.當|PB|=2時，PA1.AB

D.滿足I尸川冒依|的點?有且僅有2個

高考真題練

一、多選題

1.（2022新高考□卷T1）已知。為坐標原點，點A（1,D在拋物線C:f=2py（p>0）

上，過點8（。,-1）的直線交C于尸，。兩點，則（）

A.C的準線為y=TB.直線48與C相切

C.|OP|-|O（2|>|OA|2D.\BP\-\BQ|>|BA|2

2.（2022新高考□卷TO）已知。為坐標原點，過拋物線C:y2=2px（p>0）焦點JF的直

線與C交于4,8兩點，其中/在第一象限，點M（P，。），若IA可=|4W|,則（）

A.直線AB的斜率為2#B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<\SO°

3.（2023新高考□卷TO）設。為坐標原點，直線y=-若（xT）過拋物線

C:y2=2px（p>0）的焦點，且與C交于跖N兩點，/為C的準線，則（）.

Q

A.p=2B.|M^|=-

C.以血W為直徑的圓與/相切D.為等腰三角形

知識點總結(jié)

一、拋物線的定義

平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線/（尸任/）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F

叫拋物線的焦點，定直線/叫做拋物線的準線.

注：若在定義中有尸e/,則動點的軌跡為/的垂線，垂足為點尸.

二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)

拋物線的標準方程有4種形式：y1=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py{p>0）,

其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向

圖形IV

TfV

標準

y2=2px(p>o)y2=-2px(p>o)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

頂點0(0,0)

范圍%>0,y^Rx<0,yeR”0,xeRy?0,XGR

對稱軸X軸y軸

焦點%,。）F(-g,0)尸（o,g砥0,-9

離心率e=l

Pp

準線方程x=---x--一

222

焦半徑

AF=x,+RAF=-x]+"AF=y+—

121212

【拋物線常用結(jié)論】

2

1、點P（x0,y0）與拋物線y=2Px（p>0）的關系

（1）尸在拋物線內(nèi)（含焦點）

（2）P在拋物線上oy；=2px0.

（3）P在拋物線外O￥>2W0.

2、焦半徑

拋物線上的點尸?,%）與焦點F的距離稱為焦半徑，若丁=29（°>0）,則焦半徑

\PF\=xo+^,|PF|mm=f-

3、0（0>0）的幾何意義

p為焦點/到準線/的距離，即焦準距，p越大，拋物線開口越大.

4、焦點弦

若AB為拋物線>2=2?（0>0）的焦點弦，4（無1，%），B（x2,y2）,則有以下結(jié)論：

（1）X1X2=（.

⑵

（3）焦點弦長公式1：|AB|=+x2+p,xl+x2>2yfx^=p,當X]=w時，焦點弦取

最小值2p,即所有焦點弦中通徑最短，其長度為2P.

焦點弦長公式2：|A3|=二^（a為直線AB與對稱軸的夾角）.

sina

2

（4）AAO3的面積公式：5.08=—2一（a為直線與對稱軸的夾角）.

2sma

5、拋物線的弦

若48為拋物線y1=2px（p〉0）的任意一條弦，4（4弘）,3（%2，%），弦的中點為

貝IJ

（1）弦長公式：|AB|=’I+%2,—4I：Ji+_%|（%二=左'°）

(2)kAB=—

%

(3)直線的方程為y-%=上(%-/)

%

(4)線段的垂直平分線方程為,-%=-&(%-%)

P

6、求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法(4法)

4

(1)y2=加(4。0)焦點為(*0),準線為兀=-2

(2)/=加缶。0)焦點為?4),準線為,二―4

44

如y=4尤2,即焦點為(o,_L),準線方程為>=一_1

41616

7、參數(shù)方程

/=2PMp>0)的參數(shù)方程為卜=2Pt2(參數(shù)feH)

[y=2pr

8、切線方程和切點弦方程

拋物線/=2px(p>0)的切線方程為yoy=p{x+x0),(毛,%)為切點

切點弦方程為=p(元+尤0)，點(%,%)在拋物線外

與中點弦平行的直線為%y=p(x+x0),此直線與拋物線相離，點(%,%)(含焦點)是

弦的中點，中點弦的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的

結(jié)果.

9、拋物線的通徑

過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑.

對于拋物線V=2?(0>0),由A(￡,0),B(W,-p),可得|AB|=2p,故拋物線的通

徑長為2P.

10、弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關系：%="

k

11、焦點弦的?？夹再|(zhì)

已知A（%j）、8（尤2，%）是過拋物線丁=2。*5>0）焦點口的弦，M是AB的中點，/是

拋物線的準線，MN±l,N為垂足.

（1）以至為直徑的圓必與準線，相切，以4F（或8尸）為直徑的圓與y軸相切；

（2）FN±AB,FCLFD

2

（3）x{x2-；%%=-p

（4）設或），/,。為垂足，則A、。、。三點在一條直線上

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?重慶?三模）已知拋物線V=4尤的焦點為尸，過點尸的直線/交拋物線于/,

3兩點，點A在第一象限，點。為坐標原點，且SAOF=2SB”，則直線/的斜率為

（）

A.2&B.百C.1D.-1

2.（2024?河南三模）已知拋物線C：y2=2px（0>O）的焦點為尸，點P（m,-2⑹在C

上.若以尸為圓心，歸尸|為半徑的圓被,軸截得的弦長為26,則該圓的面積為（）

A.4冗B.6兀C.9兀D.IOTI

3.（2024?山東濟南?二模）已知拋物線C：y=6x的焦點為產(chǎn)，準線為/,尸是/上一點,

。是直線尸尸與C的一個交點，若FP=3FQ,則尸卜（）

75

A.-B.3C.-D.2

22

4.（2024?北京順義?三模）設M是拋物線/=4x上的一點，尸是拋物線的焦點，。足

坐標原點，若/。M=120。，貝（）

A.5B.4C.3D.2

5.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）過拋物線V=2x上的一點尸作圓C：（x-4）2+/=1

線，切點為A,B,貝||4?”尸?？赡艿娜≈凳牵ǎ?/p>

A.1B.4C.戈D.5

6.（2024?河北張家口?三模）已知拋物線V=2y的焦點為尸，。為原點，直線＞=2尤+f

與該拋物線交于N兩點，且貝IJ|MF|+|NB|=（）

A.12B.13C.14D.15

7.（2024?新疆?三模）已知拋物線C：y-x的焦點為尸，在拋物線C上存在四個點P,

11

M,Q,N,若弦PQ與弦的交點恰好為R且則西+南=（）

A.克B.1C.JlD.2

2

8.（2024?山西運城?三模）已知拋物線C：V=4x的焦點為歹，動點〃在C上，點8與

點A（l,-2）關于直線/:y=x-l對稱，則守的最小值為（）

MD

A.立B.4C.@D.-

2233

二、多選題

9.（2024?廣東汕頭?三模）已知拋物線C：/=2/（。＞0）的焦點為廠，。為坐標原

點，動點P在C上，若定點滿足四耳=2|0同，則（）

A.C的準線方程為x=-2B.△PMF周長的最小值為5

C.四邊形0PMF可能是平行四邊形D.的最小值為-3

10.（2024?黑龍江?二模）拋物線C：V=2px（0>O）的焦點廠到準線的距離為4,過拋物

線的焦點作兩條互相垂直的直線，與拋物線C分別交于點A,B和點N,則

（）

A.拋物線C的準線方程是x=T

B.過拋物線C的焦點的最短弦長為8

C.若弦的中點為（m,2）,則直線MN的方程為y=2尤-4

D.四邊形AWBN面積的最小值為128

11.（2024?遼寧大連?一模）已知拋物線C：/=4y的焦點為尸，準線/與，軸的交點為

D,過點歹的直線〃，與拋物線C交于4,8兩點，點。為坐標原點，下列結(jié)論正確的

是（）

冗

A.存在點/、8,使NAOBW,

B.若點M是弦A3的中點，則點M到直線/的距離的最小值為2

C.D尸平分NAD2

D.以AF為直徑的圓與無軸相切

12.（2024?河北?二模）已知。為坐標原點，焦點為尸的拋物線C：/=2點（p>0）過點

M（2,l）,過M且與ON垂直的直線/與拋物線C的另一交點為N,則（）

A.p=2B.\MF\=3

C.|ACV|=12>/5D.直線/與拋物線C的準線相交于點

（3.-1）

13.（2024?河南?二模）已知。是坐標原點，過拋物線C:y2=4x的焦點b的直線/與拋

物線C交于A3兩點，其中A在第一象限，若|A耳=33耳，點知（1,祖）在拋物線C上，

則（）

Q

A.拋物線C的準線方程為x=-lB.|AB|=|

C.直線/的傾斜角為gD.\MF\^\OF\

14.（2024?河北滄州?二模）已知歹為拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點，直線/過尸且與

C交于A,2兩點，。為坐標原點，尸（2,%）為C上一點，且|產(chǎn)典=3,貝ij（）

A.過點加（2,-3）且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條

B.當,A03的面積為2夜時，\AF\-\BF\=^

C.AC?為鈍角三角形

D.2|AF|+忸刊的最小值為3+2行

15.（2024?湖北襄陽?二模）拋物線C:Y=2py的焦點為尸，尸為其上一動點，當尸運動

到0,1）時，\PF\=2,直線/與拋物線相交于AB兩點，下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線的方程為：x2=8y

B.拋物線的準線方程為：y=-i

C.當直線/過焦點尸時，以工尸為直徑的圓與x軸相切

D.|AF|+|BF|>4

16.（2024?河北三模）已知廠為拋物線C:/=4y的焦點，”（/乂），N（%,%）為拋物

線上不同的兩動點，分別過N作拋物線C的切線，兩切線交于點尸，則（）

A.若%+%=T百，則直線的傾斜角為，兀

B.直線9的方程為-2%=。

C.若線段MV的中點為。，則直線P。平行于了軸

D.若點尸在拋物線C的準線上，則尸

17.（2024?黑龍江佳木斯?三模）過拋物線C：尸=2°匹上的一點“（2,4）作兩條直線

L，h，分別交拋物線C于4,B兩點,F為焦點、（）

A.拋物線的準線方程為x=-2

B.過點加（2,4）與拋物線有且只有一個公共點的直線有1條

C.^FM+FA+FB=O,貝!!|引川+|冏+|用卜9

D.若kAM+kBM=0,則kAB=-1

22

18.（2024?安徽?三模）已知拋物線C,:y=px（p＞0）和C2:y=2pX的焦點分別為耳B，

動直線/與G交于兩點，與交于尸（鼻。3），。（項/4）兩點，其中

小力＞。,%，%＜。，且當/過點尸2時，為為=-4,則下列說法中正確的是（）

A.G的方程為V=2x

B.已知點貝I」MH+M用的最小值為3

1111

C.—+—=—+—

X%%”

\MP\

D.若勒=2,則與，昧g的面積相等

三、填空題

19.（2024?北京?三模）已知拋物線C：V=4x的焦點為尸，則尸的坐標為；過點

尸的直線交拋物線C于A,B兩點，若|AF|=4,則43的面積為.

20.（2024?北京?三模）已知拋物線C：y=4x的焦點為區(qū)準線與x軸的交點為/，點

3在C上.若I陽1=2,則直線AB的方程為.

21.（2024?安徽?二模）已知拋物線>=辦2的焦點廠，直線/過F與拋物線交于A,B兩

點，若4（4,4）,則直線/的方程為,一。鉆的面積為（。為坐標原

點）.

22.（2024?陜西榆林?三模）若直線/：y=x+3與拋物線G：f=i2y和圓

G：一+0-3）2=1從左到右依次交于點A&CD,貝|陰+|CD|=.

23.（2024?四川自貢?三模）已知圓C的圓心是拋物線d=8y的焦點，直線2x-y-3=O

與圓C相交于A,B兩點，|小?|=2,則圓C的半徑為.

24.（2024?河北石家莊?二模）設拋物線。：丫2=2°十5>0）的焦點為產(chǎn)，準線為/.斜率為

力的直線經(jīng)過焦點產(chǎn)，交C于點A,交準線/于點B（A,8在x軸的兩側(cè)），若

|AB|=16,則拋物線C的方程為.

25.（2024?湖北黃岡?三模）已知拋物線C：V=x的焦點為尸,A,B是拋物線C上關于

其對稱軸對稱的兩點，若AFLOB,。為坐標原點，則點A的橫坐標為

參考答案與詳細解析

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對拋物線的考查，重點拋物線的定義、標準方程、2024?新高考口卷，

是幾何性質(zhì)10

（1）拋物線的定義、幾何圖

2022?新高考口卷，

形、標準方程。

11

（2）拋物線的簡單幾何性質(zhì)

拋物線的定義、直線與拋物2022?新高考口卷，

（范圍、對稱性、頂點、離心

線的綜合運用10

率）。

2023?新高考口卷，

（3）直線和拋物線的位置關

10

系及綜合應用。

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷未考查拋物線，口卷考查了拋物線與直線、圓知識點的綜

合，涉及到拋物線的知識點主要有準線和定義，難度適中。拋物線是高考考查的熱

點，其中拋物線的定義、方程、焦點、準線及其幾何性質(zhì)的應用是考查的重點。而且

拋物線在多選題中考查的比較頻繁，考生可以多多加強練習。預計2025年高考還是主

要考查拋物線的定義和直線與拋物線的綜合運用。

三：試題精講

一、多選題

1.（2024新高考□卷T0）拋物線C：V=4尤的準線為/,尸為C上的動點，過尸作

OA:/+（y-4）2=l的一條切線，。為切點，過P作/的垂線，垂足為3,則（）

A./與-A相切

B.當尸，A,3三點共線時，|PQ|=A

C.當|P3|=2時，PA±AB

D.滿足I尸川=1尸0的點p有且僅有2個

【答案】ABD

【分析】A選項，拋物線準線為產(chǎn)-1,根據(jù)圓心到準線的距離來判斷；B選項，

產(chǎn),A3三點共線時，先求出P的坐標，進而得出切線長；C選項，根據(jù)怛同=2先算出

尸的坐標，然后驗證七AB=T是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，|尸耳=|依|,

于是問題轉(zhuǎn)化成|以|=|正石的尸點的存在性問題，此時考察"的中垂線和拋物線的交

點個數(shù)即可，亦可直接設尸點坐標進行求解.

【詳解】A選項，拋物線/=4x的準線為x=-l,

A的圓心(0,4)到直線x=-i的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準線/和A相切，A選項正確；

B選項，尸,43三點共線時，即尸則尸的縱坐標％=4,

由蟾=4%，得到辱=4,故尸(4,4),

此時切線長|PQ|="="2_『=后,B選項正確；

C選項，當|即=2時，0=1,此時城=4辱=4,故尸(1,2)或P(l,-2),

4-24-2

當尸(1,2)時，A(0,4),B(-l,2),即4==—2,k=-----=2

0—1ABv—(―i)9

不滿足

當P(l,-2)時，A(0,4),B(-l,2),kpA=^-^-=-6,心B=^4J=6,

0—10—(—1)

不滿足七AB=T；

于是PA_LAB不成立，C選項錯誤；

D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化

根據(jù)拋物線的定義，|尸耳=|尸耳，這里尸(1,0),

于是|R4|=盧到時尸點的存在性問題轉(zhuǎn)化成=I依I時尸點的存在性問題，

A(0,4),"l,0),AF中點g,21,AF中垂線的斜率為-，-=；,

于是AF的中垂線方程為：丫=三歲，與拋物線>2=4x聯(lián)立可得丁-16>+30=0,

O

A=162-4X30=136>0,即AF的中垂線和拋物線有兩個交點，

即存在兩個P點，使得1PAi=戶可，D選項正確.

方法二：(設點直接求解)

設pf,由依二可得3(-匕)，又40,4),X|R4|=|PB|,

根據(jù)兩點間的距離公式，JS+(-4)2=￡+1,整理得產(chǎn)-1&+30=0,

V164

A=162-4X30=136>0,則關于r的方程有兩個解，

即存在兩個這樣的P點，D選項正確.

故選：ABD

高考真題練

一、多選題

1.（2022新高考口卷口1）已知。為坐標原點，點A（l,l）在拋物線C:Y=2py（p>0）

上，過點WO,T）的直線交C于P,。兩點，則（）

A.C的準線為y=TB.直線48與C相切

C.|OP|-|O2|>|OA|2D.\BP\-\BQ|>|BA|2

【答案】BCD

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B,利用

距離公式及弦長公式可判斷C、D.

【詳解】將點A的代入拋物線方程得1=2人所以拋物線方程為爐=y,故準線方程為

>=-；，A錯誤；

4

L=Wg=2,所以直線A3的方程為y=2x-l,

[y=2x—l

聯(lián)立，可得J—2x+l=0,解得x=l9故B正確；

設過8的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線c只有一個交點，

所以，直線/的斜率存在，設其方程為、=丘-1,尸（和/）,。（無2，%）,

Iy=kx—1

聯(lián)立,2_y，得V-履+1=0,

A=^2-4>0

2

所以'x,+x2=k,所以％>2或左<一2,%必=（再尤2）=1，

x{x2=1

所以|?！复ā?。|=小%%（1+%）（1+為）=7他>辰2=1左1>2=|3|2,故C正確;

因為\BQ\=y/l+e\x2\,

所以|8尸|?|8。|=（1+妤）|中21=1+左?>5,而|BA『=5,故D正確.

故選：BCD

2.（2022新高考□卷TO）已知O為坐標原點，過拋物線C:y2=2px（p>0）焦點廠的直

線與C交于/,8兩點，其中/在第一象限，點M（P，。），若|AF|=|AM|,則（）

A.直線A2的斜率為2卡B.\OBUOF\

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<180°

【答案】ACD

【分析】由|”|=|40|及拋物線方程求得4學,當），再由斜率公式即可判斷A選

項；表示出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線求得B（g,一個），即可求出判斷B選

項；由拋物線的定義求出|AB|=要即可判斷C選項；由OAOBvO,M4MB<0求得

NAOB,ZA7WB為鈍角即可判斷D選項.

【詳解】對于A,易得/（合0）,由|AF卜|AM|可得點A在月W的垂直平分線上，貝?。〢

P

點橫坐標為^+P=3p,

2-4

代入拋物線可得丁=2?￥=2〃2,則A（2,遍），則直線4B的斜率為

4242

---=2^6,A正確；

3￡_￡

42

_1p

對于B,由斜率為26可得直線的方程為尤=［后>+；,聯(lián)立拋物線方程得

,一士口丫―p2，

則乎p+x邛P，貝!|%=一等，代入拋物線得,萼"=2p?%,解

設3（再,%）,

則I。同=/圖=￥^刈。同=勺B錯誤;

對于C,由拋物線定義知：網(wǎng)=￥+^+°=獸>22=4|叫，c正確;

3pp十y/6pr46p3p八

對于D,OAOB==-^-<0,貝！|/AO5

4323

為鈍角,

又MAE=（/坐）.（T，一冬一XT）+與卜警（-平<。，則

ZAMB為鈍角，

XZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360,貝!l/OAM+NOBM<180,D正確.

故選：ACD.

3.(2023新高考口卷?10)設。為坐標原點，直線y=-G(x-l)過拋物線

Uy?=2px(p>0)的焦點，且與C交于X,N兩點，/為C的準線，則().

Q

A.p=2B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.OW為等腰三角形

【答案】AC

【分析】先求得焦點坐標，從而求得〃，根據(jù)弦長公式求得|MN|,根據(jù)圓與等腰三角

形的知識確定正確答案.

【詳解】A選項：直線y=過點（1,0）,所以拋物線。：,=2/（0>0）的焦點

網(wǎng)1,0）,

所以勺1,。=2,2片4,則A選項正確，且拋物線C的方程為產(chǎn)=4x.

B選項:設知（苔,為）,N@,網(wǎng)），

由卜:一f（無一”消去丁并化簡得3fTOx+3=（x—3）（3x-l）=0,

y=4x

解得玉=3,馬=3,所以|MM=%+%+P=3+g+2=藍，B選項錯誤.

C選項：設MN的中點為A,”,N,A到直線/的距離分別為

因為4=3（4+辦）=；（必+阿）=如用，

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以為直徑的圓與直線/相切，C選項正

確.

D選項：直線y=-括即-6=。,

。到直線后+,-合。的距離為八.

所以三角形弧的面積為?$小乎

由上述分析可知％=-73（3-1）=-2y/3,y2=

所以|0叫=,32+卜2/)=A/^T,|ON|=JU+=g，

所以三角形0M7V不是等腰三角形，D選項錯誤.

故選：AC.

知識點總結(jié)

一、拋物線的定義

平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F史I)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F

叫拋物線的焦點，定直線/叫做拋物線的準線.

注：若在定義中有產(chǎn)e/,則動點的軌跡為/的垂線，垂足為點尸.

二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)

拋物線的標準方程有4種形式：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0),

其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向

標準

y2=2px(p>o)y1=-2px(p>o)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

頂點0(0,0)

范圍x>0,yeRx<0,yeRy>0,xeRy<0,xeR

對稱軸X軸y軸

焦點嗚,。）F(-j,0)F(O,g

離心率e—\

_Pppp

準線方程xr----X=一

22戶萬

焦半徑

AF=x+—AF=-Xj+—AF=y,+^

x1212

AU，%)

【拋物線常用結(jié)論】

1、點P（X0,%）與拋物線V=2p尤（P>0）的關系

（1）P在拋物線內(nèi)（含焦點）oW<2px0.

（2）P在拋物線上oy；=2wo.

（3）P在拋物線外oy：>2p/.

2、焦半徑

拋物線上的點P（x0,%）與焦點P的距離稱為焦半徑，若y2=2°x（p>0）,則焦半徑

附=%+勺I^L=f-

3、〃（P>。）的幾何意義

P為焦點/到準線/的距離，即焦準距，P越大，拋物線開口越大.

4、焦點弦

若AB為拋物線V=2px（p>0）的焦點弦，A5,%）,B（x2,y2）,則有以下結(jié)論：

（1）X^2=~~~.

2

⑵yiy2=-p-

（3）焦點弦長公式1：|AB|=xy+x2+p,X]+（22J%N=P，當無1=當時，焦點弦取

最小值2p,即所有焦點弦中通徑最短，其長度為2。.

焦點弦長公式2：,2|=二^（a為直線9與對稱軸的夾角）.

11sin2a

（4）AA0B的面積公式：5.08=—J（a為直線相與對稱軸的夾角）.

2sma

5、拋物線的弦

若48為拋物線y2=20x（p>0）的任意一條弦，人（石,%）,3（%2，%），弦的中點為

"%,%）（%。0），貝!J

（1）弦長公式：[Afi]=，1+左2,_4|=J1+'^"1_（"二=kW0）

⑵kAB=—

為

（3）直線43的方程為y-/）

%

（4）線段43的垂直平分線方程為y_%=—&（%_/）

P

6、求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法（4法）

4

(1)y2=Ac(A)0)焦點為(4,0),準線為尤=上

44

(2)Y=Ay(A*0)焦點為(0,4),準線為了=一4

44

如y=4尤2,即f=2,焦點為(o,_L),準線方程為>=-J_

41616

7、參數(shù)方程

V=2/(。>0)的參數(shù)方程為卜一2"(參數(shù)feR)

[y=2pf

8、切線方程和切點弦方程

拋物線/=2px(p>0)的切線方程為yoy-p(x+x0),(尤0,%)為切點

切點弦方程為yoy=p(x+x0)，點(%,%)在拋物線外

與中點弦平行的直線為為y=p(x+x。)，此直線與拋物線相離，點(%,%)(含焦點)是

弦的中點，中點弦Z3的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的

結(jié)果.

9、拋物線的通徑

過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑.

對于拋物線丁=2px(0>0),由A《，0),B(g-p),可得|AB|=2p,故拋物線的通

徑長為2。.

10、弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關系：

0k

11、焦點弦的?？夹再|(zhì)

已知A(和》)、3(尤2，%)是過拋物線丁=2。直0>0)焦點尸的弦，M是的中點，/是

拋物線的準線，MN±l,N為垂足.

(1)以至為直徑的圓必與準線/相切，以4F(或3Q為直徑的圓與y軸相切;

(2)FN±AB,FCLFD

2

(3)xtx2-；%%=-p

(4)設。為垂足，則A、O、。三點在一條直線上

名校模擬練

一、單選題

1.(2024?重慶?三模)已知拋物線V=4尤的焦點為尸，過點下的直線/交拋物線于/,

3兩點，點A在第一象限，點。為坐標原點，且SA.F=2SB”，則直線/的斜率為

()

A.2及B.73C.1D.-1

【答案】A

【分析】設直線A5的傾斜角為利用拋物線的焦半徑公式體司=三^，

1-COS6Z

忸尸|=1」^表示出何口、\BF\,再根據(jù)S?=2S.,求出cosa,利用同角三角函

1+COS6Z

數(shù)的基本關系求tanc,就是直線的斜率.

【詳解】如圖:

設直線傾斜角為a,拋物線的準線/:x=-l

作W/于根據(jù)拋物線的定義，|AM=|AF|=|D尸|+|AF|-cosa=2+|AF|-cosa,

22

所以|AF|=~,類似的|8用=——.

l-cos。1+cosa

由SA0f=2SBOF知IAb1=213尸|,得cosa=；,故左=tana=2jL

故選：A

2.（2024?河南三模）已知拋物線C：y2=2px（0>O）的焦點為F,點尸（加,-20）在C

上.若以尸為圓心，歸同為半徑的圓被y軸截得的弦長為26，則該圓的面積為（）

A.4兀B.6兀C.9兀D.1071

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的定義，可以得到該圓的半徑為一4+p!，再利用弦長公式，結(jié)合

P2

已知即可解出P=2,最后根據(jù)該圓的半徑計算面積即可.

【詳解】由于網(wǎng)北-2&）在/=2沖上，故8=2勿7,即m=所以

根據(jù)拋物線的定義，|尸司就是點尸到直線x=-4的距離?+￡,

112pl

從而該圓的半徑為54+金p

4

由于圓心p到y(tǒng)軸的距離為一，故該圓被y軸截得的弦長為2

p

從而據(jù)已知有4瀉

=2下,

故5=）+"一J]=4解得P=2.

所以該圓的半徑為一4+§n=54+弓2=3,故面積為9膜

p222

故選：C.

3.（2024?山東濟南?二模）已知拋物線C:y2=6x的焦點為F，準線為/,尸是/上一點,

。是直線尸尸與C的一個交點，若FP=3FQ,則|。/=（）

75

A.-B.3C.-D.2

22

【答案】D

【分析】由題意解出。點橫坐標，由拋物線的定義求解.

【詳解】由題意可知：拋物線C：V=6x的焦點為尸g,oj,準線為/：x=-^，

設尸,看,，則電（一3,小校=卜-”。｝

因為W=3FQ,貝！|一3=3得無0=：,

由拋物線定義得|。/卜:+3=2.

故選：D.

4.（2024?北京順義?三模）設河是拋物線V=4尤上的一點，尸是拋物線的焦點，。足

坐標原點，若/0m/=120。，則-閭=（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】過點加作拋物線準線/的垂線，垂足為點N,連接FN,分析出..mH為等

邊三角形，求出但N|,即可得解.

【詳解】過點加作拋物線準線/的垂線，垂足為點N,連接引V,如下圖所示：

因為NOFM=120。，肱V//x軸，貝！|/RVW=60。，

由拋物線的定義可得=所以.FNM為等邊三角形，則/WM=60。，

拋物線y2=4x的準線方程為.x=-l,

設直線x=T交x軸于點E,則/ENF=30。，

易知|EF|=2,NFEN=90°,貝”引⑷=|剛=2出刊=4.

故選：B.

5.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）過拋物線;/=2x上的一點尸作圓C：（工-4?+丁=1的切

線，切點為A,B,貝”4?口尸?？赡艿娜≈凳牵ǎ?/p>

A.1B.4C.>/6D.5

【答案】D

【分析】設尸（%，為）,利用圓的切線性質(zhì)，借助圖形的面積把|知卜|尸。表示為與的函

數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即可.

【詳解】設尸（X。，為）,則y；=2%,圓C的圓心C（4,o）,半徑r=1

由尸AP3切圓C于點A3,得PCLA反尸ALAC,

2

貝?。﹟?|PC|=2sAeB=4SPAC=2\PA\-\AC|=27|PC|-1=2j（尤0-4尸+y；一1

2

=2d6與+15=27（X0-3）+6>2A/6,當且僅當％=3時取等號，

所以145Hpe的最小值為2而，ABC不是，D是.

故選：D

6.（2024?河北張家口?三模）已知拋物線f=2y的焦點為尸，。為原點，直線y=2尤+f

與該拋物線交于N兩點，且OMJ_ON,貝IJ|MF|+|NF|=（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】B

【分析】將拋物線與直線聯(lián)立，利用韋達定理，求解出國=-2r,%?%=/，利用垂直

關系，&2=-1求解人即可得到％+%，代入IM用+|NF|=%+與+%+與即可得到

赴玉22

答案.

【詳解】設/住,%）,N（%,%）,將直線與拋物線聯(lián)立［廠：：〉，

消去y有：尤2-4x-2t=0,有玉+々=4,尤］“2=-2/,則

1

%-y2=（2%+/）（2X2+/）=4%.%2+2小玉+x2）+t=一8，+8%+?=5,

由于OMLON,因此&2=T,即二=一1,得至!）/=2,

X2%—2t

因此%+=2再+%+2%2+1=8+2+2=12,

由于拋物線中。=1,拋物線上點到焦點距離等于到準線的距離,

pP

因此IM尸|+|冊|=%+,+%+5=12+1=13.

故選：B

7.（2024?新疆?三模）已知拋物線C：V=x的焦點為尸，在拋物線C上存在四個點尸,

11

M,Q,N,若弦PQ與弦MN的交點恰好為R且則西+西=（）

A.克B.1C.JlD.2

2

【答案】B

【分析】由拋物線的方程可得焦點F的坐標，應用拋物線焦點弦性質(zhì)|尸司=產(chǎn)飛，

1-COS0

|。司=/上飛，。用=丁、，加刊=丁、，結(jié)合三角的恒等變換的化簡可得

1+cos。l+sm0111-sm。

111

西+師=方即可求解.

【詳解】由拋物線。：產(chǎn)=》得20=1,則p=g,尸（；,0）,

不妨設PQ的傾斜角為人。＜。＜3

則由|尸尸|cosO+p=|PH，PTQHCOS9=|Q典得「刊=匚梟，fQFl=—^—）

\MF\=___￡___=P\NF\=一號—\=

所以josg+d1+sin。，l+cosg+41-sinO,

2P

2PMN

得|PQ|=|尸川+|QF|=-^^-\\=sinQ+。）Acos20,

1-cos^+1+COS0sin26"

8.（2024?山西運城?三模）已知拋物線C:y2=4x的焦點為尸，動點M在C上，點B與

點關于直線/:y=x-l對稱，則而的最小值為（）

A.立B.|C.@D.-

2233

【答案】A

【分析】根據(jù)對稱性可得B（T，。），即點8為C的準線與x軸的交點，作跖以垂直于C