2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：二次函數(shù)的綜合

2024年數(shù)學(xué)中考壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：二次函數(shù)的綜合

1.如圖，頂點(diǎn)為尸（2,-4）的二次函數(shù)y=a*+6x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)/（m,n）在該

（2）若乙仍9=90°,求點(diǎn)力的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)4關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為C,點(diǎn)、A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D,設(shè)拋物線

與x軸的另一交點(diǎn)為B,請解答下列問題：

①當(dāng)〃W4時(shí)，試推斷四邊形的的形態(tài)并說明理由；

②當(dāng)〃<0時(shí)，若四邊形/切的面積為12,求點(diǎn)/的坐標(biāo).

解：（1）;圖象經(jīng)過原點(diǎn)，

c=0,

:頂點(diǎn)為尸（2,-4）

.,.拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)（4,0）,

將（2,-4）和（4,0）代入尸a/+6x,

/.a—1,b=-4,

???二次函數(shù)的解析式為y=x-4x；

（2）???NW=90°,

：.APLPO,

（m,m-4勿）,

?.?m-29=一1,

2

(3)①由已知可得。(4-勿，?7),〃(-m,77),B(4,0),

???CD//OB,

,:CD=4,OB=4,

???四邊形的是平行四邊形；

②,??四邊形如切是平行四邊形，n<0,

A12=4X(-n),

：?ri=-3,

：.A(1,-3)或/(3,3).

2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=2*+Ax+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,1),當(dāng)x=2時(shí)，

4

函數(shù)有最小值.

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線軸，垂足坐標(biāo)為(0,-1),拋物線的對稱軸與直線/交于點(diǎn)4在x軸

上有一點(diǎn)B,且AB=顯,試在直線1上求異于點(diǎn)A的一點(diǎn)Q,使點(diǎn)0在△/歐的外接圓

上；

(3)點(diǎn)尸(a,b)為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)〃為坐標(biāo)系中肯定點(diǎn)，若點(diǎn)尸到直線，的距離

始終等于線段掰的長，求定點(diǎn)〃的坐標(biāo).

解：⑴:圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,1),

c—1,

:對稱軸x=2,

k--1,

???拋物線解析式為-^+1；

4

(2)由題意可知/(2,-1),設(shè)8。，0),

,:AB=M，

：.(t-2)2+1=2,

t=l或t—3,

：.B(1,0)或6(3,0),

'：B(1,0)時(shí)，A,B、C三點(diǎn)共線，舍去，

：.B(3,0),

**?AC—2，BC=[]0,

：.ZBAC=9Q°,

.?.△46C為直角三角形，切為外接圓的直徑，外接圓的圓心為6c的中點(diǎn)(三，《)，半

22

徑為畫，

2

設(shè)0(x,-1),則有(x--)2+(-+1)2=(叵)2,

222

，x=l或x=2(舍去)，

：.Q(1,-1)；

(3)設(shè)頂點(diǎn)"(加n),,:PQa,b)為拋物線上一動點(diǎn)，

12

b=+/-5+1,

4

???〃到直線/的距離等于掰

(777-a)2+(77-6)2=(>1)2,

2

?，.1門軟2+(2/?-2加2)a+(/?+z?-2z?-3)=0,

2

Va為隨意值上述等式均成立，

2+2n_2m=0

.?.卜=1,

\m=2

此時(shí)m+n-2n-3=0,

定點(diǎn)〃（2,1）.

3.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-?|■f+6x+c與x軸交于/、8兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,已知氏7=2遙，tanZ6^C=-1-.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸是直線充上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作y軸的平行線交直線

8c于點(diǎn)、。，作PE_L8C于點(diǎn)、E,當(dāng)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求△物的面積；

（3）若點(diǎn)〃為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，以點(diǎn)〃為圓心，加為半徑作0〃當(dāng)?！ㄔ谶\(yùn)動過

程中與直線園相切時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)（請干脆寫出答案）.

：.0B=4,0C=2,

，點(diǎn)6為（4,0）,點(diǎn)，為（0,2）代入尸-中,

2

c=2,b=一,

2

(2)當(dāng)x=2時(shí)，y=3,

：.P(2,3),

,:B(4,0),C(0,2),

直線8c的解析式為y=-/x+2,

?.?如平行于y軸，

：.D(2,1),

:.PD=2,

?.?必平行于y軸，

：.APDE=AOCB,

'：PELBC,

:.NPED=NCOB=9Q°,

:.叢PDEs叢BCO,

.，.△月宏與△6%的面積之比是對應(yīng)邊陽與6。的平方,

?.?△慶:0的面積為4,

，△陶的面積是4X2=±

~5

(3)過點(diǎn)〃作MGLBC于點(diǎn)G,過點(diǎn)〃作MH〃AB于懸H,

:.△MGHsXCOB,

.MHBC_注

??而荻75，

:?！ㄅc直線比'相切，

:.MH=3,

設(shè)點(diǎn)〃（x,--/+—x+2）,

22

如圖1,設(shè)〃（x+5,-+"!"x+2）代入y=~"^"x+2，

x=T或x=5,

；.〃（-1,0）或〃（5,-3）；

如圖2,點(diǎn)〃（x-5,[了2+言;汁2）代入y=-gx+2,

，方程無解，

綜上所述：〃（-1,0）或〃（5,-3）.

4.如圖，拋物線尸ax?+(4a-1)x-4與x軸交于點(diǎn)/、B,與y軸交于點(diǎn)C,且0C=20B,

點(diǎn)，為線段加上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)6重合)，過點(diǎn)。作矩形DEFH,點(diǎn)H、尸在拋物線上，點(diǎn)

￡在才軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)矩形㈤月的周長最大時(shí)，求矩形即月的面積；

(3)在(2)的條件下，矩形㈤X不動，將拋物線沿著x軸向左平移0個(gè)單位，拋物線

與矩形的陽的邊交于點(diǎn)以N,連接秋N.若既恰好平分矩形㈤X的面積，求〃的值.

解：(1)在拋物線了=2*+(4a-1)x-4中,

當(dāng)x—0時(shí),y--4,

.\C(0,-4),

：.0C=4,

?：0C=20B,

：.0B=2,

：.B(2,0),

將8(2,0)代入y=ax+(4a-1)x-4,

得，

，拋物線的解析式為y=l/+x-4;

(2)設(shè)點(diǎn)，坐標(biāo)為(x,0),

?.?四邊形DEFH為矩形,

:.H(x,—f+x-4),

2

y=—x+x-4=—(x+1)2--,

■222

.,.拋物線對稱軸為X=-1,

...點(diǎn)〃到對稱軸的距離為x+1,

由對稱性可知DE=FH=2x+2,

矩形陽汨的周長C=2(2x+2)+2(-—/-x+4)=-f+2x+12=-(x-1)2+13,

2

...當(dāng)x=l時(shí)，矩形㈤M周長取最大值13,

,此時(shí)〃(1,-2),

2

R

...郎=2x+2=4,DH=—,

2

:.s.DEFH=HF?DH=4X^=\Q；

(3)如圖，連接陽EH,DF,設(shè)掰與以交于點(diǎn)G,

過點(diǎn)G作剛的平行線，交.ED于M,交即于點(diǎn)兒則直線敗將矩形㈤區(qū)的面積分成相

等的兩半，

由⑵知，拋物線對稱軸為x=-l,H--),

：.G1,--),

4

設(shè)直線切的解析式為y=kx+b,

將點(diǎn)6(2,0),〃(1,--|)代入，

2k+b=0

解得,k=T,

b=-5

直線期的解析式為尸尹5,

.?.可設(shè)直線腑的解析式為y=^x+n,

將點(diǎn)(-1,-2)代入，得〃=與，

44

直線脈的解析式為尸與x+M

24

當(dāng)y=0時(shí)，x=-4■,

；.〃(-—,0),

2

'：B(2,0),

,將拋物線沿著x軸向左平移微個(gè)單位，拋物線與矩形場部的邊交于點(diǎn)4N,連接欣

N,則初恰好平分矩形㈤歸的面積，

5.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線71：y=-x+6與直線4相交于點(diǎn)A,與x軸相

交于點(diǎn)6,與y軸相交于點(diǎn)G拋物線尸ax?+6x+c(aWO)經(jīng)過點(diǎn)。、點(diǎn)/和點(diǎn)6,已知

點(diǎn)4到x軸的距離等于2.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)〃為直線入上方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)〃到入的距離最大時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

(3)如圖2,戶為射線處的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)戶從點(diǎn)。動身，沿著力方向以每秒加個(gè)單位

長度的速度移動，以，切為邊在以的上方作正方形勿瓢設(shè)正方形AW與△力C重疊的

面積為S,設(shè)移動時(shí)間為力秒，干脆寫出S與力之間的函數(shù)關(guān)系式.

圖1圖3

解：（1）??,點(diǎn)/到X軸的距離等于2,

，點(diǎn)力的縱坐標(biāo)為2,

.*.2=-A+6,

x=4,

：.A(4,2),

當(dāng)y=0時(shí)，-x+6=0,

x=6,

：.B(6,0),

16a+4b+c=2

把4(4,2),B(6,0),0(0,0)代入y=a*+6x+c得，36a+6b+c=0,

c=0

'.1

T

解得：，

拋物線的解析式為y=-3f+gx；

42

（2）設(shè)直線4的解析式為p=而，

???2=4A,

.z_1

2

???直線4的解析式為尸全，

設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（加-當(dāng)/+船），

42

如圖1,過〃作用〃y軸交直線心于C,

G（%，—m）,

2

:.HG=--m+―/Z7--m=-Lnf+m=--（勿-2）+1,

42244

當(dāng)卬=2時(shí)，用有最大值，

...點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（2,2）；

（3）當(dāng)0<t4|?時(shí)，如圖2,過/作的1如于￡,

OA=d42+22=2遙,tan//OF=￡,

■:ZNOP=/BOC=90°,

ZHON=NAOE,

tan/71W=tanN/絲=2，

ON2

'：OP^ON=NM=PM屈t,

：.NH=NM=^-t,

2

s=/x嗎t(yī)+臟t）杼=苧/；

當(dāng)?!<9時(shí)，過點(diǎn)戶作加u軸，

,：ZPOH=ZQON,OP=-^t,

：.OP=ON=NM=PM=^t,

：.NQ=^2-t,

2

可求戶（2t,t）,

直線MP的解析式為y=-2x+51

：.G（5t-6,-5力+12）,

:.GP=3娓（2-t）,AP=2爬-爬t,

.?.峪=6遂-3小，

AMGK=/AGP,

:.叢GPAsAGKM,

:屈,

，S=（泥t）?-口第一/X（.嗎t(yī)-2疾）X（6代-3加力）

乙乙乙J

衛(wèi)與1+40-30；

12

當(dāng)2<tW孕時(shí)，可求7H-t,2t）,

5

則直線"V的解析式為尸

：.K(4-—t,—t+2),

33

■:NQ=^~t,

2

R

?**Q(0,—t),

2

：.MK~李一2巡，

，S=（泥t）2--*I"義旄力X坐力-￡x

(V51-2、5+t-2<\/5)X<\/51=-

o

—t2+10t；

12

6.如圖1,小明用一張邊長為6面的正方形硬紙板設(shè)計(jì)一個(gè)無蓋的長方體紙盒，從四個(gè)角

各剪去一個(gè)邊長為xc勿的正方形，再折成如圖2所示的無蓋紙盒，記它的容積為固加.

(1”關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是y=4f-24*+36x,自變量x的取值范圍是0＜矛＜3；

(2)為探究y隨x的改變規(guī)律，小明類比二次函數(shù)進(jìn)行了如下探究：

①列表：請你補(bǔ)充表格中的數(shù)據(jù)：

x00.511.522.53

y012.51613.582.50

②描點(diǎn)：把上表中各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中（如圖3）描出相應(yīng)的

點(diǎn)；

③連線：用光滑的曲線順次連結(jié)各點(diǎn).

（3）利用函數(shù)圖象解決：若該紙盒的容積超過12c力估計(jì)正方形邊長x的取值范圍.（保

留一位小數(shù)）

),(cm3)

圖1圖2圖3

解：⑴y=x(6-2x)2

=4f-24f+36x(0<x<3),

故答案為：7=4/-24/+36^,0<^<3；

(2)①在y=4/-24V+36x中，

當(dāng)x=l時(shí)，y—16；當(dāng)x=2時(shí)，y—8,

故答案為：16,8；

②如圖1所示,

③如圖2所示,

圖2

(3)由函數(shù)圖象可以看出，若該紙盒的容積超過12c北正方形邊長x的取值范圍也許

為0.4WxWL7.

7.定義：若函數(shù)y=*+6x+c(c=0)與x軸的交點(diǎn)46的橫坐標(biāo)為的，xB,與y軸交點(diǎn)的

縱坐標(biāo)為yc,若xA,項(xiàng)中至少存在一個(gè)值，滿意xA=yc(或&=%■),則稱該函數(shù)為友好

函數(shù).如圖，函數(shù)y=3+2x-3與x軸的一個(gè)交點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為3,與y軸交點(diǎn)C的縱坐

標(biāo)為-3,滿意為=先，稱y=x2+2x-3為友好函數(shù).

(1)推斷尸f-4x+3是否為友好函數(shù)，并說明理由；

(2)請?zhí)骄坑押煤瘮?shù)了=系+/+。表達(dá)式中的b與c之間的關(guān)系；

(3)若y=x2+6x+c是友好函數(shù)，且///為銳角，求c的取值范圍.

解：(1)-4x+3是友好函數(shù)，理由如下：

當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)y=0時(shí)，x=l或3,

-4x+3與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是3,

：.y=x-4^+3是友好函數(shù)；

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=c,即與p軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c,

?：y=x+bx+c是友好函數(shù)，

.??x=c時(shí)，y=0,即(c,0)在p=*+6x+c上，

代入得：0=d+6c+c,

.\0=c(c+Ml),

而cWO,

c=-1；

(3)①如圖1,當(dāng)。在p軸負(fù)半軸上時(shí)，

由(2)可得：c=-6-1,即y=x+bx-b-1,

明顯當(dāng)x=l時(shí)，y=0,

即與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),

則NZCO=45°,

???只需滿意N以力＜45°,即"y。。

cV-1；

②如圖2,當(dāng)。在y軸正半軸上，且/與6不重合時(shí),

明顯都滿意N/O為銳角,

c>0,且cWl；

③當(dāng)C與原點(diǎn)重合時(shí)，不符合題意,

(1)求證：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

(2)設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為為，xz(其中為>苞).若大是關(guān)于a的

函數(shù)、且t=ax2-x”求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(3)若a=l,將拋物線向上平移一個(gè)單位后與x軸交于點(diǎn)/、B.平移后如圖所示，過/

作直線/G分別交y的正半軸于點(diǎn)尸和拋物線于點(diǎn)G且冷1.〃是線段/C上一動點(diǎn)，

求2質(zhì)加7的最小值.

(1)證明：”=甘-4ab=[-3(a-1)]2-4a(2a-6)=4+6a+9=(a+3)2,

Va>0,

???(a+3)2>0,

???拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)解：令y=0,貝!Ja*-3(aT)x+2a-6=0,

._3(軟-1)土(a+3)o或13

??x=-------------------二2或1-，

2aa

Va>0,

???1旦<1且荀〉也,

a

,—O-3

—x=l---'

乙9a

.3

?t=ax-xi=a(l--)-2，

/91a

??t~~a-5；

(3)解：當(dāng)a=l時(shí)，則y=*-4,

向上平移一個(gè)單位得尸3,

令尸0,則1-3=0,

得x二土，m，

二?A(-愿，0),B(J§,0),

?：0P=3

「?直線AC：y=^^~x+l,

y=^-x+l

聯(lián)立：o

_29

y-x-3

f砥

X[=-FX2=^-

解得，

丫1=07

Iy2=3

W37.

即0),rfW)'

:?A0=氏,

在中,

AP=VAO2K）P2=2，

過。作或Ly軸，過〃作如J_f2V于G,過。作Mx軸于H,

:av〃x軸，

：.AGCM=APAO,

又上90°,

:.XAOPsXCGM,

.0P=GM=2

'*AP-CM-T

???2MB+MC=2=2（MB-KJM），

?."至UGV最小距離為CH,

7

.?.質(zhì)。7的最小值為）的長度與，

14

.?.2質(zhì)比的最小值為孝.

9.如圖，拋物線yi=a*+c的頂點(diǎn)為四且拋物線與直線姓=履+1相交于/、6兩點(diǎn)，且點(diǎn)

/在;f■軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2,3）,連結(jié)/KBM.

（1）a—1,c--1,k—1（干脆寫出結(jié)果）；

（2）當(dāng)巧＜乃時(shí)，則x的取值范圍為-1＜矛＜2（干脆寫出結(jié)果）；

（3）在直線4?下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)戶，使得△/第的面積最大？若存在，求出

△/期的最大面積及點(diǎn)尸坐標(biāo).

解：(1)將點(diǎn)6的坐標(biāo)(2,3)代入為=Ax+l得：

3=24+1

解得：k=l

??Y2=X+1

令%=0得：0=x+l

解得：x=-1

：.A(-1,0)

將/(-1,0)、B(2,3)代入刃=薪+。得：

[0=a+c

I3=4a+c

解得：a=l,c=-1

故答案為：1,-1,1；

(2)'：A(-1,0)、B(2,3)

...結(jié)合圖象可得：當(dāng)■<先時(shí)，則x的取值范圍為-l<x<2

故答案為：-l<x<2；

(3)在直線46下方的拋物線上存在一點(diǎn)R使得△力外的面積最大.

如圖，設(shè)平行于直線為=x+l的直線解析式為：y.=x+b

2

y2=x-lz.

由<得：x-l=x+6

y3r4b

*.x-x-1-b=0

令△=()得：1-4(-1-6)=0

解得：b=_^

4

,5

??%—X—-,

4

.,.x-x-1+—=0

4

解得：X1=H=-

:.p(―,-—)

24

，當(dāng)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(5，時(shí)，△/郎的面積最大

24

設(shè)%=X-3與X軸交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C坐標(biāo)為：(3，0),過點(diǎn)。作切，相

44

由平行線間的距離到處相等，可知線段切的長度即為△/即的高的長度

:%=x+l與X軸所成銳角為45

；.△/切為等腰直角三角形

5

'：AC=--一)號

4

V28

-：A(-1,0)、B(2,3)

AB=V(2+l)2+32=3V2

；.△/外的面積為：電

288

在直線48下方的拋物線上存在一點(diǎn)只使得△力郎的面積最大;△/郎的最大面積為烏；

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系-中，一次函數(shù)y=/x-2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)/、B,拋

物線y=*+加+c經(jīng)過點(diǎn)/、6,點(diǎn)尸為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn).

(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1所示，過點(diǎn)戶作9〃y軸，分別交直線力以x軸于點(diǎn)C、D,若以點(diǎn)八B、C

為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)4C、〃為頂點(diǎn)的三角形相像，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2所示，過點(diǎn)戶作戶于點(diǎn)0,連接如，當(dāng)△陽0中有某個(gè)角的度數(shù)等于/

06度數(shù)的2倍時(shí)，請干脆寫出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

解：(1)令x=0,得y=/x-2=-2,則8(0,-2),

令7=0，得0=a牙-2,解得x=4,則/(4,0),

把4(4,0),B(0,-2)代入y—x+bx+c(aWO)中，得：/16+4

lc=-2

解得：2,

c=-2

二拋物線的解析式為：尸系-/-2；

(2)軸,

：.ZADC=90°,

/ACD=ABCP,

以點(diǎn)2B、。為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)/、a〃為頂點(diǎn)的三角形相像，存在兩種狀況:

①當(dāng)/慟=90°時(shí)，如圖1,過戶作期Ly軸于4

設(shè)尸(x,x-1x-2),貝iJC(x,—x-2),

22

ZAB(KZPBN=ZAB(KZOAB=90°,

:./PBN=/OAB,

9：ZAOB=ZBNP=^0°,

:?△AOBSXBNP,

4

.AO_QB即------力------

=2

BNPN-2-(x5x-2)x

解得：歷=0(舍)，X2=w

2

：.P(―,-5)；

2

②當(dāng)/0?=90°時(shí)，如圖2,則8和2是對稱點(diǎn),

7

荀=0（舍），X2=~t

2

7

：.P（-,-2）；

2

綜上，點(diǎn)戶的坐標(biāo)是貯，-5）或（［，-2）；

22

（3）??,a=4,0B=2,NAOB=90。,

：.ZBOA^45°,

：.ZBQP=^2ZB0A,

???分兩種狀況：

①當(dāng)N%=2N以8時(shí)，如圖3,取的中點(diǎn)￡,連接好過刀作尸軸于G,交直線

???OE=AE,

：.ZOAB=ZAOE,

：.ZOEB=2ZOAB=/PBQ,

???OB//PG,

：./OBE=/PHB,

:ABOESXHPB,

?,?~O~B-BE,

PHBH

由勾股定理得：加=*7了=2?掂,

:.BE=?

GH//OB,

?OGBHHnx_BH

OAAB42A/5

2

設(shè)戶(x,/--x-2),則〃(x,—x-2),

22

17

:.PH=±x-2-(x-—x-2)=-*+4x,

22

2二無

-X2+4XVS>

2

解得：Xi=0,X2=3,

.?.點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是3；

②當(dāng)/出舊2/。18時(shí)，如圖4,取的"中點(diǎn)￡,連接陽過戶作用，x軸于G,交直

線AB于H,過。作吃于F,連接AP,則/BPgZOEF,

圖4i

設(shè)點(diǎn)戶(力，2),則〃(t,4t-2),

22

17

：.PH=-^t-2-(/--L力-2)=-d+4b

22

?"=4,0C=2,

**-BC=2yJ^j

：.OE=BE=CE=^,0F=^^-=^=-=^-,

BC55

??*T(1)2-點(diǎn)昌2=平,

叢戚=/AB?PQ=/PH?OA，

：.2娓PQ=4(-/+4t),

o

^=z2t+8t

V5

?：/OFE=/PQB=90°,

:.叢PB—叢EOF,

-2t2+8t3^/5

53

嚕常即Tl=WT=4,

~5~

:.BQ=_8t2乎t

3^5

■:BgpQ=P百,

222

.,-8t+32ts2,z~2t+8tX2-+2/279+91

3后)+(F-)-t+(t亍-2+2)'

44/-388什803=0,

(2t-11)(22t-73)=0,

解得：白=5.5（舍），友=圣

22

綜上，存在點(diǎn)R使得△加0中有某個(gè)角的度數(shù)等于/06度數(shù)的2倍時(shí)，其尸點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為3或

22

11.如圖，拋物線y=a1+6x-/過點(diǎn)/（-如，0）和點(diǎn)6（遮，2）,連結(jié)四交y軸于點(diǎn)

C.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)戶在線段A6下方的拋物線上運(yùn)動，連結(jié)//，BP.設(shè)點(diǎn)戶的橫坐標(biāo)為如AABP

的面積為s.

①求s與0的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)s取最大值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)0,使得若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；若

不存在，說明理由.

備用圖

解：⑴將點(diǎn)-遮，0）和點(diǎn)8（遮，2）代入尸a*+"V，

卜a-?b4=0

得，S，

|3a+V^b蔣=2

（2）①設(shè)直線A6的解析式為y=4x+6,

將點(diǎn)/（-T，0）,B（遮，2）代入,

-J^k+b=O

得,

V3k+b=2

解得，"=返，6=1,

3

...直線的解析式為了=返產(chǎn)1,

3

如圖1,過點(diǎn)戶作X軸的垂線，交A8于點(diǎn)M,

設(shè)P（m,—in+^-^-ni--）,則〃（如乂3研1）,

2323

：.PM=返加1-（」層+返m-_1）=_—nf+—,

323222

S=LpM<XB-XA）

2

=/x（--x（蟲+?）

=一退屋退

22

，s與7的函數(shù)關(guān)系式為s=-近於迥.

22

②在s=-退后+鼻返中，

22

當(dāng)必=0時(shí)，S取最大值色巨,

2

：.P(0,--

2

3

：.CP=-,

2

?S^A鼠尸S/\ABP，

??S^AQB=2S^ABPf

...可使直線向上平移3個(gè)單位長度，得直線了=返丫+4,

3

fV3/

y=-^-x+4

聯(lián)立<‘廠，

_12V31

ly^2x『方

解得，荀=3,x2=-3,

點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4+<^3),(-3,4-、門).

12.某班“數(shù)學(xué)愛好小組”對函數(shù)y=f-2|x|的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下,

請補(bǔ)充完整.

(1)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：其中，m=0

X......-35-2-10125_3……

2

y......35_m-10-1oA3……

I4

(2)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，已畫出了函數(shù)圖象的一部分,

請畫出該函數(shù)圖象的另一部分；

(3)視察函數(shù)圖象，寫出一條函數(shù)的性質(zhì)：圖象關(guān)于y軸對稱(答案不唯一)；

(4)視察函數(shù)圖象發(fā)覺：若關(guān)于x的方程*-2|/=@有4個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍

故答案為：0.

(2)依據(jù)給定的表格中數(shù)據(jù)描點(diǎn)畫出圖形，如圖所示.

(3)視察函數(shù)圖象，可得出：①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，②當(dāng)￡>1時(shí)，y隨x的增大而

增大，③函數(shù)有最小值-1.

故答案為：圖象關(guān)于y軸對稱(答案不唯一)；

(4)由函數(shù)圖象知：?..關(guān)于x的方程/-2|工|=@有4個(gè)實(shí)數(shù)根，

，a的取值范圍是-l<a<-0,

故答案為：-l<a<0.

13.如圖，已知拋物線y=*+6x+c經(jīng)過/(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)戶是對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)△序C的周長最小時(shí)，干脆寫出點(diǎn)戶的坐標(biāo)和周長

最小值；

(3)為拋物線上一點(diǎn)，若&Q加=8,求出此時(shí)點(diǎn)0的坐標(biāo).

解：(1);拋物線y=*+6x+c經(jīng)過4(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),

.1l-b+c=0

19+3b+c=0

解得尸2,

lc=-3

???拋物線的解析式為y=x-2x-3；

(2)連接以交拋物線的對稱軸與點(diǎn)P,

y=x-2^-3,

：.C(0,-3),

???點(diǎn)/與點(diǎn)8關(guān)于x=W^=l對稱，

2

：.PA=PB.

:.AHPC=CHPB.

...當(dāng)點(diǎn)一、a8在一條直線上時(shí)，/代尸C有最小值.

又為定值，

二.當(dāng)點(diǎn)一、a8在一條直線上時(shí)，的周長最小.

7BC=732+32=3V2-Ac=712+32='/10,

...△序C的周長最小值為：236c=6+3M，

設(shè)直線6c的解析式為y=Ax+6,貝43k+b=0,

lb=-3

解得：k=l,b=-3.

?,?直線4?的解析式為尸x-3.

將x=l代入y=x-3得：y=-2,

???點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(L-2),

即當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,-2)時(shí)，△為C的周長最小.最小值為6+3加；

(3)設(shè)0(x,y),則以°/6=去仍?|y|=2|y|=8,

?*?Iy\=4,

Ay=±4.

①當(dāng)y=4時(shí)，x-2x-3=4,解得：氏=1-2后，毛=1+20，

此時(shí)0點(diǎn)坐標(biāo)為(1-2^/2，4)或(1+2次，4)；

②當(dāng)y=-4時(shí)，/-2x-3=-4,解得扁=&=1；

此時(shí)0點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-4)；

綜上所述，。點(diǎn)坐標(biāo)為(1-2血，4)或(1+2^2，4)或(1,-4).

14.如圖，直線尸-x+5與x軸交于點(diǎn)區(qū)與p軸交于點(diǎn)〃，拋物線尸-*+6x+c與直線p

=-x+5交于8,〃兩點(diǎn)，點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)〃是直線加上