高三數(shù)學復習第一篇專題突破專題八系列第2講不等式選講理

第2講不等式選講1/21考情分析2/21總綱目錄考點一

絕對值不等式考點二不等式證實考點三含絕對值不等式恒成立問題3/21考點一

絕對值不等式含有絕對值不等式解法(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<-a;(2)|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a;(3)對形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c不等式,可利用絕對值不等式

幾何意義求解.4/21經(jīng)典例題已知函數(shù)f(x)=|x+3|+|x-a|(a>0).(1)當a=4時,已知f(x)=7,求x取值范圍;(2)若f(x)≥6解集為{x|x≤-4或x≥2},求a值.解析(1)因為|x+3|+|x-4|≥|x+3-x+4|=7,當且僅當(x+3)(x-4)≤0時等號成

立.所以f(x)=7時,-3≤x≤4,故x∈[-3,4].(2)由題意知f(x)=

當a+3≥6時,不等式f(x)≥6解集為R,不合題意;當a+3<6時,5/21不等式f(x)≥6可化為

或

即

或

又因為f(x)≥6解集為{x|x≤-4或x≥2},所以a=1.方法歸納用零點分段法解絕對值不等式步驟(1)求零點.(2)劃區(qū)間,去絕對值符號.(3)分別解去掉絕對值符號不等式.(4)取每個結(jié)果并集,注意在分段討論時不要遺漏區(qū)間端點值.6/21跟蹤集訓(課標全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)畫出y=f(x)圖象;(2)求不等式|f(x)|>1解集.

7/21解析(1)由題意得,f(x)=

y=f(x)圖象如圖所表示.

8/21(2)由f(x)表示式及圖象知,當f(x)=1時,可得x=1或x=3;當f(x)=-1時,可得x=

或x=5,故f(x)>1解集為{x|1<x<3};f(x)<-1解集為

.所以|f(x)|>1解集為

.9/21考點二

不等式證實1.含有絕對值不等式性質(zhì)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.2.算術(shù)-幾何平均不等式定理1:設(shè)a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立.定理2:假如a、b為正數(shù),則

≥

,當且僅當a=b時,等號成立.定理3:假如a、b、c為正數(shù),則

≥

,當且僅當a=b=c時,等號成立.定理4:(普通形式算術(shù)-幾何平均不等式)假如a1,a2,…,an為n個正數(shù),則

≥

,當且僅當a1=a2=…=an時,等號成立.10/21經(jīng)典例題(課標全國Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證實:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.解析(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+

·(a+b)=2+

,所以(a+b)3≤8,所以a+b≤2.11/21方法歸納不等式證實慣用方法不等式證實慣用方法有比較法、分析法、綜正當、反證法等.假如已

知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)絡不顯著,可考慮用分析法;假如待證命題是

否定性命題、唯一性命題或以“最少”“至多”等方式給出,則考慮

用反證法.在必要情況下,可能還需要使用換元法、結(jié)構(gòu)法等技巧簡

化對問題表述和證實.12/21跟蹤集訓設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a-c=d-b,證實:(1)若ab>cd,則

+

>

+

;(2)

+

>

+

是|a-b|<|c-d|充要條件.證實(1)因為(

+

)2=a+b+2

,(

+

)2=c+d+2

,由a+b=c+d,ab>cd得(

+

)2>(

+

)2.所以

+

>

+

.(2)①若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因為a+b=c+d,所以ab>cd.13/21由(1)得

+

>

+

.②若

+

>

+

,則(

+

)2>(

+

)2,即a+b+2

>c+d+2

.因為a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.所以|a-b|<|c-d|.綜上,

+

>

+

是|a-b|<|c-d|充要條件.14/21考點三

含絕對值不等式恒成立問題1.f(x)>a恒成立?f(x)min>a;f(x)<a恒成立?f(x)max<a;f(x)>a有解?f(x)

max>a;f(x)<a有解?f(x)min<a;f(x)>a無解?f(x)max≤a;f(x)<a無解?f(x)min≥a.2.定理1:假如a,b是實數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≥0時,等號成立.定理2:假如a,b,c是實數(shù),那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)≥0時,

等號成立.15/21經(jīng)典例題(洛陽第一次統(tǒng)一考試)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.(1)將f(x)解析式寫成份段函數(shù)形式,并作出其圖象;(2)若a+b=1,?a,b∈(0,+∞),

+

≥3f(x)恒成立,求x取值范圍.解析(1)由已知,得f(x)=

函數(shù)f(x)圖象如圖所表示.16/21(2)∵a,b∈(0,+∞),且a+b=1,∴

+

=

(a+b)=5+

≥5+2

=9,當且僅當

=

,即a=

,b=

時等號成立.∵

+

≥3(|2x-1|-|x+1|)恒成立,∴|2x-1|-|x+1|≤3,結(jié)合圖象知-1≤x≤5,∴x取值范圍是[-1,5].17/21方法歸納處理含參數(shù)絕對值不等式問題慣用兩種方法(1)對參數(shù)分類討論,將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)問題處理;(2)借助于絕對值幾何意義,先求出f(x)最值或值域,然后再依據(jù)題目

要求,求解參數(shù)取值范圍.18/21跟蹤集訓(沈陽教學質(zhì)量檢測(一))已知函數(shù)f(x)=|x-a|-

x(a>0).(1)若a=3,解關(guān)于x不等式f(x)<0;(2)若對于任意實數(shù)x,不等式f(x)-f(x+a)<a2+

恒成立,求實數(shù)a取值范圍.解析(1)當a=3時,f(x)=|x-3|-

x,即|x-3|-

x<0,∴-

<x-3<

x,解得2<x<6,故不等式解集為{x|2<x<6}.(2)f(x)-f(x+a)=|x-a|-|x|+

,原不等式等價于|x-a|-|x|<a2,由絕對值不等式性質(zhì),得|x-a|-|x|≤|(x-a)-x|=|a|,原不等式等價于|a|<a2,又a>0,∴a<a2,解得a>1.19/211.(課標全國Ⅲ,23,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m解集非空,求m取值范圍.隨堂檢測解析(1)f(x)=

當x<-1時,f(x)≥1無解;當-1≤x≤2時,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;當x>2時,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1解集為{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-

+

≤

,且當x=

時,|x+1|-|x-2|-x2+x=

.故m取值范圍為

.20/212.(寶雞質(zhì)量檢測(一))已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若對任意x1∈R,都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)a取值范圍.解析(1)由||x-1|+2|<5得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,得不等式解集為{x|-2<x<4}.(2)因為對任