浙江省浙大附中丁蘭校區(qū)2022-2023學年高一下學期數(shù)學期中試卷（含答案）

浙江省浙大附中丁蘭校區(qū)2022-2023學年高一下學期數(shù)學期中試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．若集合A={1，2，3}，A．{1，2，C．{2，3，2．(x?2)(x+2)>0的一個充分不必要條件是（）A．x≤0 B．x≥0C．x≥3 D．x>2或x<?23．在△ABC中，點D滿足BC=2CD，則A．32AC?C．32AC+4．已知一個扇形的周長為20，則當該扇形的面積最大時，其圓心角的弧度為（）A．1 B．2 C．4 D．55．在直角坐標系中，若角α的終邊繞原點O逆時針旋轉π3得到角θ.已知角θ的終邊經(jīng)過P(?A．43+310 B．43?3106．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，2小時后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）A．402海里 B．403海里 C．803海里 7．函數(shù)f(x)=asinx+3cosx，將f(x)圖像向右平移π3個單位長度后得到函數(shù)A．-1 B．±1 C．-2 D．±28．已知f(x)=4x1+x2，x≥0?4xA．(1，+∞) B．(32，+∞)二、多選題9．已知平面向量a=(1，λ)A．若λ=0，則|B．若a//bC．若a與b的夾角為銳角，則λ<2D．若λ=?1，則a在b上的投影向量為?10．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則下列結論正確的是（）A．若a2+bB．若sinA>sinC．若acosA=bcosD．若△ABC為銳角三角形，則sin11．在平行四邊形ABCD中，E是BC上一點，BE=2EC，F(xiàn)是CD的中點，且AE=2，AF=3，∠EAF=60A．AEB．AF在AE上的投影向量是3C．ACD．|12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠ABC=π3，∠ABC的平分線交AC于點D，且A．a(chǎn)c的最小值是2 B．a(chǎn)+2c的最小值是3+2C．b的最小值是4 D．1a2三、填空題13．青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+1gV．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為．（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：101014．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>015．設函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x+2)=2f(x)，且當x∈(0，2]時，f(x)=x(x?2)，若對任意x∈(?∞，m]，都有16．已知奇函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)?cos(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π四、解答題17．已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，且a，（1）若(a?b（2）求a與2a18．在①asinB?3bcosA=0；②(sinB?sinC)注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.（1）求A；（2）若a=3，且sinC=2sin19．設函數(shù)f(x)=2ax?2a?x（1）討論函數(shù)f(x)的單調性；（2）若f(1)=3，函數(shù)g(x)=a2x+a?2x20．已知函數(shù)f(x)=3sinωx（1）求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)?b，且g(x)在[0，π221．△ABC的內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知acos（1）求A；（2）若△ABC是銳角三角形，c=3，求△ABC周長的取值范圍.22．如圖.某小區(qū)有一塊空地△ABC，其中AB=5米，AC=5米，AB⊥AC，小區(qū)物業(yè)擬在中間挖個小池塘△AEF，E、F在邊BC上（E、F不與B、C重合，且E在B、F之間），且∠EAF=π4，設（1）若θ=π6，求（2）為節(jié)省投入資金，小池塘△AEF的面積需要盡可能的小，試確定θ的值，使得△AEF的面積取最小值，并求出△AEF面積的最小值.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】集合A={1，2，3}，故答案為：D

【分析】利用交集的運算可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】解不等式(x?2)(x+2)>0可得x<?2或x>2，因為{x|x≥3}{x|x<?2或x>2}，故只有C選項中的條件才是“(x?2)(x+2)>0”的充分不必要條件.故答案為：C.

【分析】利用充分條件必要條件與集合的關系求解，可得答案.3．【答案】A【解析】【解答】在△ABC中，點D滿足BC=2則AD=故答案為：A

【分析】根據(jù)向量加法、減法的三角形法則，可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】設扇形所在圓的半徑為r，則扇形弧長l=20?2r，0<r<10，于是扇形的面積S=12rl=r(10?r)=?所以所求圓心角的弧度為lr故答案為：B

【分析】設扇形所在圓的半徑為r，結合已知，用r表示出扇形面積，再利用二次函數(shù)的性質求解可得圓心角的弧度.5．【答案】B【解析】【解答】依題意，r=|OP|又角α的終邊繞原點O逆時針旋轉π3得到角θ，則α=θ?所以cosα=故答案為：B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得sinθ，cosθ，又角α的終邊繞原點O逆時針旋轉π3得到角6．【答案】A【解析】【解答】由題設可得如下示意圖，且∠SAB=40°，∠SAC=70°，即由圖知：∠ABC=105°，則∠C=45°，又AB=80，所以BCsin30°=故答案為：A

【分析】由題意作出示意圖，利用正弦定理求出B，C兩點間的距離即可.7．【答案】A【解析】【解答】依題意g(x)=f(x?π因為函數(shù)g(x)的圖像關于直線x=π所以g(π取x=π6可得，所以asin所以a×(?3解得a=?1，當a=?1時，g(x)=?sin所以g(x)=?2sin其對稱軸方程為x?2π3=kπ+取k=?1可得x=π6，即x=π所以a=?1；故答案為：A.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移法則，可得g(x)的解析式，原條件等價于g(π8．【答案】D【解析】【解答】當x<0時，f(x)=?4x在(?∞，0當x≥0時，f(x)=4x1+x2，顯然函數(shù)y=1x+x在(0，1)上單調遞減，在(f(1)=2，于是當x≥0時，函數(shù)f(x)由f(x)=t有三個不同的解x1，x2，x3，且x1<由4x1+x2=t得：t因此?1x1+1即有g(t)>g(故答案為：D

【分析】討論函數(shù)f(x)的性質，求出t的取值范圍，再結合方程解的意義把?1x19．【答案】B,D【解析】【解答】平面向量a=(1，λ)對于A，當λ=0時，a+b=對于B，a//b，則有?2λ=1，解得對于C，a與b的夾角為銳角，則a?b>0且a與b不共線，當a解得λ>2，由B選項知，當λ≠?12時，a與b不共線，因此對于D，當λ=?1時，a?b=?3因此a在b上的投影向量為a?故答案為：BD

【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，結合平面向量的模的運算以及投影向量的運算，逐項進行判斷，可得答案.10．【答案】A,B【解析】【解答】對于A選項，因為a2+b2<對于B選項，因為sinA>sinB對于C選項，因為acosA=bcos整理可得(a2?b2故△ABC為等腰三角形或直角三角形，C不符合題意；對于D選項，若△ABC為銳角三角形，則A、B均為銳角，正弦函數(shù)y=sinx在(0，π2)上單調遞增，但A、故答案為：AB.

【分析】利用余弦定理可判斷A；利用正弦定理可判斷B；利用余弦定理判斷△ABC的形狀，可判斷C；利用正弦函數(shù)的單調性可判斷D.11．【答案】B,C【解析】【解答】對于A選項，由平面向量數(shù)量積的定義可得AE?對于B選項，AF在AE上的投影向量|AF對于C選項，因為BE=2EC，即AE?AB又因為CF=FD，即可得2AF=又①②可得4AC=3AE對于D選項，由4AC=3=9×22+4×故答案為：BC.

【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可判斷A；利用投影向量的定義可判斷B；利用平面向量的線性運算可判斷C；利用平面向量數(shù)量積的運算性質可判斷D.12．【答案】B,D【解析】【解答】在△ABC中，∠ABC=π3，∠ABC的平分線交AC于點D，且由S△ABD+S△CBD=整理得a+c=ac，即1a+1對于A，ac=a+c≥2ac，于是ac≥4，當且僅當a=c=2對于B，a+2c=(當且僅當2ca=a對于C，由余弦定理得：b=a當且僅當a=c=2時取等號，C不符合題意；對于D，1a2+1c所以1a2+故答案為：BD

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式建立a，c的關系，再利用均值不等式逐項進行計算、判斷，可得答案.13．【答案】0.8【解析】【解答】在L=5+1gV中，當L=4.9時，lgV=?0所以視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為0.8.故答案為：0.8

【分析】根據(jù)給定條件，把L=4.14．【答案】?【解析】【解答】觀察圖象知，A=3，函數(shù)f(x)的最小正周期T=4由f(π3)=?3得：2×π3因此f(x)故答案為：?

【分析】觀察圖象知，A=3，由T=4(7π12?π3)=π，求出ω，由f(15．【答案】(?∞【解析】【解答】因為f(所以f(因為x∈(0，2]時，當x∈(?2k，?2k+2]f(觀察圖象可得，當x∈(?2k，?2k+2]，k∈當x∈(0，2]時，觀察圖象可得，不存在x∈(0，2]，滿足所以x∈(2k，x?2k∈(f(當k=1時，即x∈(2，令2(x?2)(x?4)觀察圖象可得，若對任意x∈(?∞，m]所以m的取值范圍是(?∞故答案為(?∞，

【分析】由f(x+2)16．【答案】(【解析】【解答】函數(shù)f(x)=sin因為該函數(shù)為奇函數(shù)，故φ?π又|?|<π2，所以φ=π因為f(x)在(0，故ωx∈(即ω的范圍是(3故答案為：(

【分析】利用輔助角公式化簡并結合函數(shù)奇偶性求得φ，確定函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的最值和零點情況，列出不等式，即可求得答案.17．【答案】（1）解：因為(a?b即|a也即|a所以1?4λ+λ?1=0，解得λ=0.（2）解：a?|2a所以cos<所以<【解析】【分析】(1)根據(jù)向量的垂直的數(shù)量積表示即可求解出實數(shù)λ的值；

(2)利用向量的數(shù)量積運算律和夾角公式求解出a與2a18．【答案】（1）解：選擇①，asin由正弦定理，得sinA而B∈(0，A∈(選擇②，(sin由正弦定理，得(b?c)2又cosA=b2選擇③，2cos由正弦定理，得2cosA(sinCcosB+cosCsinB)=sinA，即2cosAsin(B+C)=sinA，即2cos又A∈(所以cosA=12（2）解：由若a=3，且sinC=2sin故cosA=b2故S△ABC【解析】【分析】(1)選擇①，由正弦定理邊化角可得sinA?3cosA=0，求得A的值；選擇②，由正弦定理邊化角，再結合余弦定理求得A的值；選擇③，由正弦定理邊化角，再結合兩角和的正弦公式求得A的值；19．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)=2a當0<a<1時，函數(shù)y=a?x在R上單調遞增，則函數(shù)而函數(shù)y=2ax在R上單調遞減，因此函數(shù)當a>1時，函數(shù)y=a?x在R上單調遞減，則函數(shù)而函數(shù)y=2ax在R上單調遞增，因此函數(shù)所以，當0<a<1時，函數(shù)f(x)在R上單調遞減；當a>1（2）解：由f(1)=3得：a?1a=32，又a>0令t=2x?2?x，x∈[0，3]g(因此，當t=2，即2x=1+2所以當x=log2(1+【解析】【分析】(1)按0<a<1和a>1結合指數(shù)函數(shù)的性質，分類討論函數(shù)f(x)的單調性；

(2)由f(1)=3求出a值，利用配方法、換元法結合二次函數(shù)性質求解出g(x)的最小值.20．【答案】（1）解：因為f(x)==3因為函數(shù)圖象相鄰對稱中心之間的距離為π2，故函數(shù)f(x)的最小正周期為π因為ω>0，則2ω=2ππ=2，則ω=1由2kπ?π2≤2x?因此，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為[kπ?π（2）解：因為g(x)=f(x)?b=sin當0≤x≤π2時，由?π6≤2x?π6≤π由π2≤2x?π6≤5π6因為g(x)max=g(g(π要使得函數(shù)g(x)在[0，π2]上有兩個零點，則因此，實數(shù)b的取值范圍是[0，【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換可得fx=sin(2ωx?π6)?12，再由周期公式可求出ω的值，再利用正弦函數(shù)的單調性可求出函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間；

（2）g(x)=f(x)?b=21．【答案】（1）解：因為acos由正弦定理可得sinA即sin==sin因為C∈(0，π)，則sinC>0，所以，3因為0<A<π，則?π6<A?π6（2）解：由正弦定理可得asinA=所以，a=3sinAsinC所以，a+b+c==3因為△ABC為銳角三角形，且A=π3，則0<C<π所以，π12因為tanπ所以，2?3所以，a+b+c=3【解析】【分析】（1）由正弦定理可得3sinA?cosA=2sin(A?π6)=1，得sin(A?π6)=12，由0<A<π可得A22．【答案】（1）解：因為AB⊥AC，AB=AC=5，故△ABC為等腰直角三角形，若θ=π6，