2024年高三數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)專練：函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性（解析版）

重難點(diǎn)專題01函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式......................................................1

題型2利用奇偶性、周期性對(duì)稱性求值..............................................7

題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值.....................................................11

題型4對(duì)稱性、奇偶性的運(yùn)用.....................................................14

?類型1對(duì)稱軸..............................................................15

?類型2中心對(duì)稱+軸對(duì)稱構(gòu)造周期性.........................................18

?類型3“類”周期函數(shù)......................................................24

?類型4對(duì)稱性解決恒成立...................................................28

題型5三角函數(shù)中的對(duì)稱性問題...................................................33

題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題...........................................................37

題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題...........................................................41

題型8兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱問題.......................................................45

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式

中上劃重點(diǎn)

1、對(duì)于任意瓦，回2G（-8,0］何豐02）,均有等警<0成立，注意功能用來判斷函數(shù)的單

團(tuán)1一02

調(diào)性（有具體函數(shù)時(shí)，直接求導(dǎo)可求單調(diào)性）；

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配圖解不等式

3、涉及到偶函數(shù)時(shí)：如果口朝上：誰離對(duì)稱軸（日=0）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就大；如果口朝下：

誰離對(duì)稱軸（團(tuán)=0）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就小.

00

【例題1】（2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)回（團(tuán)+2）=log3（3+3-）,若

0（0-1）>0（20+1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.(-8,-2]B.[―2,1]

C.(-8,-2]U[o,+8)D.(-00,-2]u[￡+8)

【答案】B

00

【分析】設(shè)團(tuán)（勒=0（0+2）=log3（3+3-），則可得回（①為偶函數(shù)，且在［0,+8）單調(diào)遞增，

所以師）的圖象關(guān)于直線回=2對(duì)稱，在［2,+8）單調(diào)遞增，則將回國-1）>0（20+1）轉(zhuǎn)化為

|0-1-2|>|20+1-2|,從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

00

【詳解】設(shè)團(tuán)?=0（0+2）=log3（3+3-）,

0

因?yàn)閳F(tuán)（-回）=log3（3-+3?）=0（0）,

所以回（回）為偶函數(shù)，

所以回（回+2）的圖象關(guān)于直線回=。對(duì)稱，

所以回（回）的圖象關(guān)于直線回=2對(duì)稱，

設(shè)回=3回+3-0，則回'=31211n3-3尚n3=（3口-3-0）ln3,

令團(tuán)'>0,則3?—3-?>0,得回>0,

所以回=3?+3一.在（0,+8）上遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)回=bg3回在定義域上單調(diào)遞增，

所以回（回）在［0,+8）單調(diào)遞增，

所以回（回）在［2,+8）單調(diào)遞增，

因?yàn)閳F(tuán)（團(tuán)-1）>0（20+1）,

所以|回一1一2|>|20+1-2|,

所以便-3）2>（20-1）2，化簡得（回+2）（30-4）<0,解得一2<0<^.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為卜2,『

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷出回（回）的圖象關(guān)于直線回=2對(duì)稱，

在［2,+8）單調(diào)遞增，從而可求解不等式.

【變式1-1]1.(2023?湖南常德?常德市一中?？寄M預(yù)測)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)

滿足回(回)-0(-0)=0(e0+e-0),且在(0,+8)上有回色)+等<0若實(shí)數(shù)a滿足回(2回)-

0(0+2)-2雕-2回+雕-同-2+2e-?-220,則a的取值范圍為()

A.[-|,2]B.,+8)C.(一8,一||U[2,+8)D.(—8,2]

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)回(回)，利用偶函數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)法的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的

關(guān)系，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】?0(0)-0(-0)=0(e0+e-0),(10(0)-5=0(-0)-呈.

令團(tuán)(回)=0(0)-則回(回)=0(-0),即回(回)為偶函數(shù).

又回G(0,+8)時(shí),0'(0)=0(0)+等<0.

所以團(tuán)(即在(0,+8)上單調(diào)遞減.

由0(20)-0(0+2)-20e-2H+0e-0-2+2e-a~220,得0(20)一春2團(tuán)(團(tuán)+2)一篝,即

0(20)>0(0+2).

又回(團(tuán))為偶函數(shù),

所以團(tuán)(|2囿)2團(tuán)(|回+2|),

所以121al<|0+2|,即4日2<02+40+4,解得一:<0<2,

所以a的取值范圍為[-|,2]

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)回(回)，利用偶函數(shù)定義和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的

單調(diào)性，再利用偶函數(shù)和單調(diào)性即可解決抽象不等式.

【變式1-U2.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)團(tuán)電=sin(0—1)+e2—e1^-0+4,

則滿足回(回)+0(3-20)<6的目的取值范圍是()

A.（3,+8）B.（1,+8）C,（-8,3）D.（-8,1）

【答案】B

HB

【分析】構(gòu)造團(tuán)（團(tuán)）=sin團(tuán)+e-e--0,0GR,發(fā)現(xiàn)團(tuán)（團(tuán)）為奇函數(shù)，然后回（回）是回（回）向右平

移1個(gè)單位長度,向上平移3個(gè)單位長度,可得回但）的對(duì)稱中心為Q,3）,能得到6=0（0）+

0（2-0）,通過求導(dǎo)可發(fā)現(xiàn)回（團(tuán)）在R上單調(diào)遞增，繼而求解不等式

【詳解】解：假設(shè)團(tuán)（回）=sin囪+e0-e-0-0,0eR,

所以回（一回）=sin（-0）+e-0-e0+E,所以田（團(tuán)）+0（-0）=0,

所以回（酚為奇函數(shù)，

而團(tuán)（團(tuán)）=sin（0-1）+e0-1-e1-0-（0-1）+3是團(tuán)（回）向右平移1個(gè)單位長度,向上平移3

個(gè)單位長度，所以團(tuán)（團(tuán)）的對(duì)稱中心為（1,3）,所以6=0（0）+0（2-E）,

由團(tuán)（回）=sin（0-1）+e?T-e1-0-0+4求導(dǎo)得2'?=cos（0-1）+e0-2+e1-0-1=

因?yàn)?備22Ji擊=2,當(dāng)且僅當(dāng)eaT=*即曰=i,取等號(hào)，

所以因依）>0,所以團(tuán)（團(tuán)）在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)閳F(tuán)（國）4-0（3-20）<6=0（0）+0（2-團(tuán)）得回（3-20）<0（2-0）

所以3-20<2-E,解得回>1,

故選：B

【變式1-1]3.（2023?湖北武漢統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)團(tuán)（即=e0-1+e一回+砰_2回，若

不等式團(tuán)（2-膽）<0（02+3）對(duì)任意回G回恒成立，則實(shí)數(shù)回的取值可能是（）

A.-4B.C.V2D.3V2

【答案】BC

【分析】令回=回-1,得到團(tuán)（田）=即+e-a+回2—1,推得團(tuán)（回）為偶函數(shù)，得到回（回）的圖象

關(guān)于回=1對(duì)稱，再利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)回>1時(shí)，團(tuán)⑻單調(diào)遞增，當(dāng)團(tuán)<1時(shí)，頻）單調(diào)遞減，把

不等式轉(zhuǎn)化為|1-釀I（團(tuán)2+2恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)團(tuán)（回）=e?T+e1-0+02-20,

令團(tuán)=團(tuán)-1,貝幗=團(tuán)+1,可得回（回）=e?+e-?+砰-1,

可得回（一回）=e-0+e?+（-E）2-1=e?+e-?+砰一i=團(tuán)（團(tuán)），

所以團(tuán)（回）為偶函數(shù)，即函數(shù)回（回）的圖象關(guān)于團(tuán)=1對(duì)稱，

又由直（回）=e?-e-0+20,令師）=0（0）=e0-e-0+20,

可得目（回）=e0+e-0+2>0,所以團(tuán)（回）為單調(diào)遞增函數(shù)，且回（0）=0,

當(dāng)團(tuán)>0時(shí)，團(tuán)’（回）>0,團(tuán)（團(tuán)）單調(diào)遞增，即回>1時(shí)，回（回）單調(diào)遞增；

當(dāng)團(tuán)<0時(shí),0（0）<0,團(tuán)（團(tuán)）單調(diào)遞減,即回<1時(shí),團(tuán)（團(tuán)）單調(diào)遞減,

由不等式團(tuán)（2-00）<團(tuán)（團(tuán)2+3）,可得|2-aa-l|<|02+3-1|,BP|1-EB|<02+2

所以不等式|1-00|<02+2恒成立,即一團(tuán)2一2<團(tuán)團(tuán)一1<團(tuán)2+2恒成立,

所以霄+%+：>?的解集為R,所以團(tuán)2-4<OHC-0）2-12<0,

（,02-00+3>0

解得-2<0<2,結(jié)合選項(xiàng)，可得BC適合.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛本題的關(guān)鍵是利用換元法設(shè)回=0-1，從而得到回（回）=e?+e-?+砰_1,

證明其為偶函數(shù)，則得到團(tuán)（回）的圖象關(guān)于回=1對(duì)稱，再結(jié)合其單調(diào)性即可得到不等式組，

解出即可.

【變式1-U4.（2021?廣西?廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）設(shè)團(tuán)（酚是定義在

R上的偶函數(shù),且當(dāng)回>0時(shí),0（0）=砂（0>1）.若對(duì)任意的回6[0,0+1],均有團(tuán)（團(tuán)+0）>

砰（回）,則實(shí)數(shù)回的最大值是（）

A.-|B.-|C.OD.1

【答案】B

【解析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得團(tuán)>。時(shí)砰（回）=0（20）,進(jìn)而根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)在

0>。上的單調(diào)性，將不等式很成立問題轉(zhuǎn)化罔+0|>2回對(duì)任意的回e[0,0+1]恒成立，若回+

0>0,易于得出矛盾，在回+回<0時(shí)利用不等式恒成立的意義不難求得回的最大值.

【詳解】當(dāng)國e[0,0+1]時(shí)，02（0）=（00）2=020=0（20）,

若對(duì)任意的團(tuán)G[0,0+1],均有團(tuán)（團(tuán)+0）>砰（回）即為團(tuán)（回+0）>0（20）,

由于團(tuán)>1,當(dāng)日>0時(shí)，0（0）=砂為單調(diào)遞增函數(shù)，

又■.?函數(shù)回（助為偶函數(shù)，

.-.0（0+0）>團(tuán)（2團(tuán)）等價(jià)于|團(tuán)+0|>|20|,即旭+0|>20（---H￡[0,0+1]）,

由區(qū)間的定義可知回>一1,若回+0>0,于是回+0>2回，即回>0,

由于國的最大值為團(tuán)+1,故回2回顯然不可能恒成立；

0+0<0,E+0<一2回,即回<+1<--團(tuán),即團(tuán)<

故回的最大值為-半

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，涉及指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，分類討論思想，關(guān)鍵

是回>。時(shí)回2（回）=0（20），化歸為日（團(tuán)+E）>0（20）,再利用偶函數(shù)和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為旭+0|>

2回對(duì)任意的回G[0,0+1]恒成立，注意對(duì)回+回的符號(hào)的分類討論.

【變式1-1]5.（2020?湖南邵陽?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)團(tuán)（團(tuán)）是定義在回的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+

8）上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)回滿足回（Iog3回）+0（log/）22回（1）,則實(shí)數(shù)回的取值范圍是

【答案】[|,3]

【分析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式化簡為團(tuán)（|1鳴固）>0（1）,再利用函數(shù)在[0,+8）上的

單調(diào)性即可轉(zhuǎn)化為|log3因<1,然后求得回的范圍.

【詳解】因?yàn)槿?團(tuán))為R上偶函數(shù),則師)=0(-0)=0(|0|),

所以國(log也)=0(-log30)=0(log3ffl)=0(|log30|),

3

所以回(Iog3團(tuán))+回(log工團(tuán))=20(|log0|)>20(1),§P0(|log0|)>0(1),

333

因?yàn)閳F(tuán)(回)為0+8)上的減函數(shù),Ilog31al>0,1>0,所以|噂3國<1,

解得一1<log30<1,所以"田W3,回的范圍為E，3].

【點(diǎn)睛】1.函數(shù)值不等式的求法：(1)利用函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)函數(shù)值等性質(zhì)將函數(shù)值不

等式轉(zhuǎn)化為團(tuán)(團(tuán))與回(回2)大小比較的形式：團(tuán)(團(tuán)1)>0(02)；

(2)利用函數(shù)單調(diào)性將團(tuán)(回1)>回(團(tuán)2)轉(zhuǎn)化為自變量大小比較的形式，再求解不等式即可.

2.偶函數(shù)的性質(zhì):0(0)=0(-0)=0(|0|)；奇函數(shù)性質(zhì)：-0(0)=0(-0)；

3.若回(日)在D上為增函數(shù),對(duì)于任意團(tuán)1，團(tuán)2e團(tuán)，都有回1<明=0(01)<0(02)；

若回(團(tuán))在D上為減函數(shù),對(duì)于任意比,團(tuán)2G0,都有團(tuán)1〈團(tuán)2=0(01)>團(tuán)(田2).

題型2利用奇偶性、周期性對(duì)稱性求值

*上噌重點(diǎn)

函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧

設(shè)函數(shù)回=0(0),0e0,0>0.

①若日(回+0)=0(0-0),則函數(shù)的周期回=20;

②若回(回+0)=-0(0),則函數(shù)的周期團(tuán)=20；

③若回(回+回)=盍，則函數(shù)的周期回=20；

④若回(回+回)=—六，則函數(shù)的周期回=20；

⑤團(tuán)(回+0)=0(0+0),則函數(shù)的周期回=|0-0|

【例題212022?全國高三階段練習(xí)圮知函數(shù)師)，師)是定義在R上的偶函數(shù)胤3)=2,

若對(duì)任意回eR，都有回國+6）=0（0）+0（3）,對(duì)任意團(tuán),06R且團(tuán)+團(tuán)=4,都有團(tuán)（團(tuán)）=0（0）,

則回（99）+0（59）=.

【答案】2

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)回（團(tuán)），回國）的周期性，再利用性質(zhì)計(jì)算作答.

【詳解】因函數(shù)回（回）是R上的偶函數(shù),且任意回GR,都有回（回+6）=0（0）+0（3）,

則當(dāng)團(tuán)=一3時(shí),團(tuán)（3）=0（-3）+0（3）=20（3）,即回（3）=0,有團(tuán)（團(tuán)+6）=0（0）,

則回（回）是以6為周期的周期函數(shù),0（99）=0（16X6+3）=0（3）=0,

又函數(shù)回（回）是R上的偶函數(shù)，且任意回,回￡R且回+0=4,都有回（回）=0（0）,

則對(duì)V回￡R,回（回）=時(shí)4—回）=0（0-4）,函數(shù)回（團(tuán)）是以4為周期的周期函數(shù)，

0（59）=0（24X4+3）=0（3）=2,所以團(tuán)（99）+團(tuán)（99）=2.

故答案為：2

【變式2-1】1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)回（回）存在導(dǎo)函數(shù)回'（回），且

滿足回（—回）=0（0）,0（4-0）=回（—回），則曲線回=回（回）在點(diǎn)（2022,國（2022））處的切線方程可能

是（）

A.0=0B.I3=0C.0=0+1D.0=-0+1

【答案】B

【分析】利用回國）是偶函數(shù)、周期為4，得團(tuán)（回）關(guān)于回=2對(duì)稱，0=2022是回（國）的對(duì)稱軸，

即回=2022是回?的極值點(diǎn)，從而回'（2022）=0,可得答案.

【詳解】團(tuán)（團(tuán)）的定義域?yàn)槿?由團(tuán)（-團(tuán)）=團(tuán)（團(tuán)）可知，齦回）是偶函數(shù),

由團(tuán)（4—團(tuán)）=團(tuán)（—團(tuán)）可知，田（團(tuán)）周期為4,

因?yàn)閳F(tuán)（回）=0（-0）=0（4-0）,故回（回）關(guān)于回=2軸對(duì)稱，

又因?yàn)?022^2+505x4,所以回=2022也是回（回）的對(duì)稱軸，

因?yàn)閳F(tuán)（回）在R上存在導(dǎo)函數(shù)a'（回），

所以回=2022是回（回）的極值點(diǎn)，

即回'（2022）=0,曲線回=回（團(tuán)）在點(diǎn)（2022,團(tuán)（2022））處的切線斜率為0,

故切線方程可能為團(tuán)=0.

故選：B.

【變式2-1］2.（多選）（2022?山東?濰坊七中高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)回=團(tuán)電的定義域?yàn)榛?

且滿足回Q+0）=0（1-0）,0（01一2）+0（-0）=0,當(dāng)團(tuán)e［一1,1］時(shí),0（0）=-|0|+1,則下

列說法正確的是（）

A.回=回（回+1）是偶函數(shù)B.回=回國+3）為奇函數(shù)

C.函數(shù)回=團(tuán)（團(tuán)）-回回|有10個(gè)不同的零點(diǎn)D.湍給回（回）=1

【答案】ABC

【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可推導(dǎo)得到團(tuán)（團(tuán)）關(guān)于直線回=環(huán)口點(diǎn)（-1,0）對(duì)稱，且周期為8；令

0（0）=0（0+1），/?=0（0+3）=-0（0-1）,由奇偶性定義可得回（團(tuán)）,力（團(tuán)）的奇偶性,知

AB正確；作出回?和日=1g圓的圖象，根據(jù)圖象可得兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定函數(shù)零點(diǎn)

個(gè)數(shù)，知C正確；根據(jù)周期性可求得酩駕團(tuán)（回）=-1,知D錯(cuò)誤.

【詳解】0（1+回）=0（1-E）,0（2+0）=0（-0）,且回（回）關(guān)于直線回=［對(duì)稱；

又回（團(tuán)一2）+團(tuán)（一團(tuán)）=0,0（0+2）=-0（0-2）,且團(tuán)（團(tuán)）關(guān)于（一1,0）中心對(duì)稱；

???13（0+4）=-0（0）,0（0+8）=-0（0+4）=0（0）,

則回（團(tuán)）是周期為8的周期函數(shù)；

對(duì)于A,令回（團(tuán)）=0（0+1）,則于一團(tuán)）=0（-0+1）=0（1+團(tuán)）=0（0）,

0（0+2）為偶函數(shù),A正確;

對(duì)于B,令方(團(tuán))=0(0+3)=-0(0-1),貝！］%(一回)=-0(-0-1)=-0(2+(回+1))=

-0(0+3)=-4(0),

0(0+3)為奇函數(shù)，B正確;

對(duì)于C,作出團(tuán)(回)和回=1g圓的圖象如下圖所示，

當(dāng)圈|>10時(shí),lg|H|>1,又回(團(tuán))G[-1,1],

由圖象可知：日(回)與回=1g間共有10個(gè)不同的交點(diǎn)，

則團(tuán)=團(tuán)(回)-他|團(tuán)|有10個(gè)不同的零點(diǎn)，C正確；

對(duì)于D,0(1)+0(2)+…+團(tuán)(8)=0,

湍號(hào)團(tuán)(回)=253X[13(1)+0(2)+■?■+0(3)]-13(2024)=0-0(8)=-1,D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【變式2-1】3.(2023浙江溫州?模擬預(yù)測癥義在R上的函數(shù)回⑨滿足團(tuán)(回+1)+0(0-1)=

0(2022),0(-20+1')=0(20+5),若曰(()=]貝靦(2022)=,湍菖03(0-

然?

【答案】0-50

【分析】依題意可得師+4)=0(0),即可得到回(回)是以4為周期的周期函數(shù)，再由回(-2日+

1)=0(20+5),可得回(2)=0(4)=團(tuán)(0),即可求出團(tuán)(2022),從而得到團(tuán)(回+1)+0(0-1)=0

且回國+i)=0(1-0),再根據(jù)回(|)=?,即可求出回?,B(|),B(|),最后利用并項(xiàng)求和

法計(jì)算可得.

【詳解】解：因?yàn)閳F(tuán)(回+1)+0(0-1)=0(2022),所以團(tuán)(回+2)+0(0)=0(2022),

所以團(tuán)(團(tuán)+4)+0(0+2)=團(tuán)(2022),則團(tuán)(國+4)=0(0),

所以團(tuán)(回)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以13(2022)=0(2),又團(tuán)(—2團(tuán)+1)=0(20+5),所以團(tuán)(2)=0(4)=0(0),

又回(2)+0(0)=0(2022),所以團(tuán)(2022)=0,

即回(回+1)+0(0-1)=0且日(團(tuán)+3)=0(1-0),

由回G)=|,所以嗚=，唬)=-]叱)=-：，

所以￡肥％03^0--^=-(1+2—3-4)+-(5+6—7—8)+,,,+-(97+98—99—200)

=jx(-4)X25=-50.

故答案為.0]-50

題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值

中f我1占

對(duì)于回(回)本身不具有奇偶性，通過構(gòu)造(通常將尾巴常數(shù)變?yōu)?),構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函

數(shù)的對(duì)稱性，求函數(shù)值.

【例題3](2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)師)=ln(0+^1+02)+1+4在[-8,8]±

的最大值和最小值分別為回、回，則回+回=()

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】設(shè)回(回)=ln(0++砰)+]回e[-8,8],證明函數(shù)目(回)為奇函數(shù)，則有回(日)max+

0(0)min=0,從而可得出答案.

【詳解】解：設(shè)曰?=ln(0+?+團(tuán)2)+(,回e[-8,8],

因?yàn)閳F(tuán)(-團(tuán))=In(—團(tuán)+力+團(tuán)2)-|=ln(^^)-；-0(0)

所以函數(shù)回（回）為奇函數(shù)，

所以團(tuán)?max+師）min=。，

所以團(tuán)（&max+團(tuán)（團(tuán)）min=［回（團(tuán)）max+/+［回（團(tuán)）min+圖=8,

所以回+回=8.

故選：A.

【變式3-1］1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)團(tuán)電=函3+0sin0+3,若回（回）=1,

則團(tuán)（—回）=（）

A.-1B.2C.5D.7

【答案】C

【分析】令團(tuán)（回）=003+0sin0,利用函數(shù)奇偶性計(jì)算作答.

【詳解】設(shè)團(tuán)（團(tuán)）=0（0）-3=回回3+051（,0,

則團(tuán)（一團(tuán)）=0（-0）3+Esin（-0）=-aa3-0sin0=-0（0）,即函數(shù)3（回）是奇函數(shù),

0（0）=0（0）+3,則團(tuán)（田）+0（-0）=0（0）+3+0（-13）+3=6,而回（團(tuán)）=1

所以團(tuán)（—團(tuán)）=5.

故選：C

【變式3-1】2.（2022?河南高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)目（回）=lain聯(lián)+0sin0+3，若回（回）=

IZI—1

1,則團(tuán)（-回）=（）

A.-1B.2C.5D.7

【答案】C

【分析】設(shè)回（回）=0（0）-3=0ln^+0sin0,再利用函數(shù)的奇偶性求解即可

121—1

【詳解】設(shè)團(tuán)⑻=0（0）-3=0ln—+0sin0,

0—1

貝靦（一回）=團(tuán)伯型三+團(tuán)5皿（一回）=-Eln--0sin0=-E（0）,

故團(tuán)（一團(tuán)）-3=-[0（E）-3],即團(tuán)（一團(tuán)）-3=-0（0）+3,

所以團(tuán)（一團(tuán)）+0（0）=6.

故回（一回）+0（0）=6,

因?yàn)閳F(tuán)（回）=1,所以回（一回）=6—1=5.

故選：C

【變式3-1]3.（2022河南省淮陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)時(shí)助=（島-

1）sin（0+?）-3,則回（助在卜上的最大值與最小值之和為.

【答案】-6

【分析】把回（①的圖象向上平移3個(gè)單位長度，可得函數(shù)回（回）=-（島-1）cos目的圖象，

可證得團(tuán)（回）為奇函數(shù)，在卜上回（團(tuán)）的最大值與最小值之和為0,從而得出答案.

【詳解】由題意，得團(tuán)（日）=（蓋]'-2）sin（日+—J—3=—j—cos0-3,

把回（日）的圖象向上平移3個(gè)單位長度，可得函數(shù)回（回）=-（品-1）cos日的圖象.

當(dāng)團(tuán)6卜n,n]時(shí)，0（-0）=-（島-1）cos（-0）=（島-1）cos0=-0（0）,即日（回）為奇函

數(shù)，

則在卜TT,Tt]上回（回）的最大值與最小值之和為0,

故回（國）在卜TT,n]上的最大值與最小值之和為-6.

故答案為：-6.

【變式3-1]4.（2022?江西?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)

0（0）=0ln（Via2+l-0）+0sin0-2（^00/0）,若回（回）=2,則回（-回）=.

【答案】-6

【分析】令團(tuán)（團(tuán)）=團(tuán)（回）+2,由奇偶性定義可知回（回）為奇函數(shù)，由回（-團(tuán)）=-日（回）可構(gòu)造方程求得

0(-0).

【詳解】v0(0)=0(E)+2=0ln(702+1-0)+0sin0(^00^0^),

-0sin0,/.0(-0)+0(0)=0||1(02+1-02)+0=0,

.,舊（助為R上的奇函數(shù)；

???0(0)=0(0)+2=4,.,.0(-0)=-0(0)=-4,gP0(-0)+2=-4,

解得：0(-0)=-6,

故答案為：6

【變式3-1】5.若函數(shù)回⑻=瞄+2修巧團(tuán)＞0苗最大值為M最小值為N,且M+N=4,

則實(shí)數(shù)回的值為

【答案】2

【詳解】試題分析：由題意，0?=瞄+2器+'訪團(tuán)=t+誓,顯然函數(shù)g（X）=寫詈是奇函

數(shù)，1,函數(shù)3（回）最大值為回,最小值為回，且回+回=4,，眸t=-（N-t）,即2t=團(tuán)+0=4,.-.t=2,

故答案為2.

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義.

題型4對(duì)稱性、奇偶性的運(yùn)用

即「我重點(diǎn)

函數(shù)對(duì)稱性（異號(hào)對(duì)稱）

（1）軸對(duì)稱：函數(shù)回（助對(duì)于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)回滿足日（回+回）=0（0-0）,則函數(shù)回（回）關(guān)于

直線回=等對(duì)稱，特別地當(dāng)日（回）=0（20-①時(shí)，函數(shù)回（回）關(guān)于直線回=回對(duì)稱；

2.如果函數(shù)目=回（助滿足回國+0）=0（0-0）,則函數(shù)回=回（回）的圖象關(guān)于直線團(tuán)=回對(duì)稱.

3.0=0（0-團(tuán)）與團(tuán)=（0-回）關(guān)于直線回=等對(duì)稱.

（2）點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)回（&關(guān)于直線（回,0）對(duì)稱，則

①日(回+0)=-0(0-0)

②回(回)=-0(20-0)

③日(一回)=-0(20+0)

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)回(勒關(guān)于直線但回)對(duì)稱，則

①回(回+0)=-0(0-0)+20

@0(0)=-0(20-0)+20

③日(一回)=-0(20+0)+20

?類型1對(duì)稱軸

【例題4-1](2022?寧夏?銀川一中高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)回=回(回)的定義域?yàn)?-8

,1)u(1,+8),且團(tuán)(回+1)為奇函數(shù)，當(dāng)回<1時(shí)，0(0)=-02-40，貝靦(回)=羊勺所有根之

和等于()

A.4B.2C.-12D.-6

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性求和即可.

【詳解】解：當(dāng)團(tuán)<I時(shí)，0(0)=-儼+40)=-(團(tuán)+2)2+4,

，對(duì)稱軸為團(tuán)=~2,

1?-0(0+1)為奇函數(shù),

0(0+1)=-0(-0+1),

???0(0)=-0(2-0),

回四關(guān)于Q,o)中心對(duì)稱，

設(shè)(團(tuán)，田)為日=0(0)(0>1)圖像上任意一點(diǎn)，

則(2-回,一回)在團(tuán)(回)=一解-4回上,

-0=一（4一回）2+4,

即團(tuán)=（回―4）2—4,

對(duì)稱軸為團(tuán)=4.

不妨設(shè)比＜“＜回3＜團(tuán)4，

由二次函數(shù)的對(duì)稱性知

團(tuán)+團(tuán)2=2X（-2）=-4,

03+回4=2X4=8,

0（0）=芋斤有根的和為8-4=4.

故選：A.

【變式4-1]1.已知函數(shù)回（回）=2薩-21_齊⑵-2+22巧—團(tuán)2有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)回=（）

A.-2B.C.-1D.或—1

22

【答案】A

【解析】函數(shù)目（田=2那/_軟（20v+22與一日2有有唯一零點(diǎn)，設(shè)回—[=回，

則函數(shù)3（回）=2團(tuán)回一齊（2回+2-0）-團(tuán)2有唯一零點(diǎn)，貝|]2日?qǐng)A一齊（2回+2巧=023elU-a

（2t+2-t）=a2,

設(shè)團(tuán)（回）=2團(tuán)回一：回（2?+2-0），;回（一團(tuán)）=2回國一加（2一?+20）=0（0）,.'.0（0）

為偶函數(shù)，

?函數(shù)回（0）有唯一零點(diǎn)，二團(tuán)=日（回）與團(tuán)=團(tuán)2有唯一的交點(diǎn),

此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,2—回=睜，解得回=-2或團(tuán)=2（舍去）,故選A.

【變式4-1】2.已知函數(shù)3（回）（回e團(tuán)）滿足回（回）=回（回-回）若函數(shù)3=忸2_00_5|與回=回（回）的

圖像的交點(diǎn)為（比,%）,（回2,回2），…，（%，%），且Xl=M?=20,則團(tuán)=

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】求出f（x）的對(duì)稱軸，y=|x2-ax-5歸勺圖象的對(duì)稱軸，根據(jù)兩圖象的對(duì)稱關(guān)系，求

和，解方程可得所求值.

【詳解】'（X）=f（a-x）,

?.f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，

又y=|x2-ax-5］的圖象關(guān)于直線x4對(duì)稱，

當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，兩圖象的交點(diǎn)兩兩關(guān)于直線x4對(duì)稱，

「.xi+X2+X3+...+Xm=}a=2m,解得a=4.

S

當(dāng)奇數(shù)時(shí)，兩圖象的交點(diǎn)有個(gè)兩兩關(guān)于直線對(duì)稱另一個(gè)交點(diǎn)在對(duì)稱軸

mm-11_一

-2

0-1團(tuán)r

/.Xl+X2+X3+...+Xm=a*y+-=2m.

解得a=4.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次型函數(shù)圖象的對(duì)稱性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

【變式4-1】3.已知函數(shù)回（回）=詈而s,下面是關(guān)于此函數(shù)的有關(guān)命題，其中正確的

（IZr+1）11ZJ—zlZJ+z）

有

①函數(shù)回（回）是周期函數(shù);

②函數(shù)回（回）既有最大值又有最小值；

③函數(shù)回（回）的定義域?yàn)榛?且其圖象有對(duì)稱軸；

④對(duì)于任意的團(tuán)G（-1,0）,回’（回）＜0（回'（回）是函數(shù)回（回）的導(dǎo)函數(shù)）

A.②③B.①③C.②④D.①②③

【答案】A

【詳解】函數(shù)回（團(tuán)）定義域?yàn)榛兀?dāng)日7+8或一8一回時(shí),0（0）0,5.0=0,0=±1,0=±2,

團(tuán)=±3，……時(shí)，0（0）=0,且均為變號(hào)零點(diǎn).又因?yàn)楹瘮?shù)滿足回（回）=7+黑7+2）=

也助??；黑恐”+2]=團(tuán)Q—回），所以函數(shù)回（勒關(guān)于直線回=樹稱，函數(shù)圖像如下圖，

故②③正確.

點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的綜合知識(shí)：

①函數(shù)回（回）對(duì)于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)團(tuán),存在非零常數(shù)回，滿足回（回+回）=0（0）,則函數(shù)回（國）為

周期函數(shù)；

②函數(shù)團(tuán)（團(tuán)）對(duì)于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)團(tuán)滿足團(tuán)（團(tuán)+0）=0（0-0）,則函數(shù)回（回）關(guān)于直線團(tuán)=誓對(duì)

稱，特別地當(dāng)回（回）=0（20-團(tuán)）時(shí)，函數(shù)回（回）關(guān)于直線回=回對(duì)稱；

③在函數(shù)回（回）定義域（回，回）內(nèi)，存在常數(shù)國使得回（回）=0,則回=團(tuán)叫做函數(shù)的零點(diǎn).

?類型2中心對(duì)稱+軸對(duì)稱構(gòu)造周期性

關(guān)于對(duì)稱中心與對(duì)稱軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論

1.若函數(shù)有兩個(gè)對(duì)稱中心1,0）與（上0））,則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.

2.若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸x=a與x=b,則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.

3.若函數(shù)有一個(gè)對(duì)稱中心（a,0）與一條對(duì)稱軸x=b,,則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|.

【例題4-2］已知函數(shù)回（①為定義域?yàn)榛氐呐己瘮?shù)，且滿足回G+回）=回G—團(tuán)），當(dāng)團(tuán)e

［-1,o］時(shí)，0（0）=-固若函數(shù)回（回）=團(tuán)（回）+震在區(qū)間卜9,2。］上的所有零點(diǎn)之和為

【答案】5

【詳解】??,足團(tuán)（1+0）=0（|-0）,.-.0（0）=0（2-0）,又因函數(shù)回（回）為偶函數(shù),.'.0（0）=

0（-0）=0（2+團(tuán)），即團(tuán)（團(tuán)）=0（2+團(tuán)），.,.團(tuán)=2，令回（回）=0,0（0）=—,，即求日（團(tuán)）與團(tuán)=—

20—120—1

9

交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.”黑行+會(huì),

作出圖象:

由圖象可知有10個(gè)交點(diǎn)，并且關(guān)于G,0中心對(duì)稱，二其和為-=5故答案為：5

【變式4-2】1.定義在回上的奇函數(shù)回（回）滿足團(tuán)（2-回）=0（0）,且在［0,1）上單調(diào)遞減，若方程

0（0）=-1在［0,1）上有實(shí)數(shù)根，則方程回（回）=］在區(qū)間［-1,11］上所有實(shí)根之和是（）

A.30B.14C.12D.6

【答案】A

【解析】根據(jù)條件可得出霞團(tuán)）的圖象關(guān)于團(tuán)=［對(duì)稱，回（回）的周期為4,從而可考慮回（回）的一

個(gè)周期利用［T3］根據(jù)團(tuán)（團(tuán)）在辦）上是減函數(shù)可得出回（回）在Q,2］上是增函數(shù)國⑻在（-1,0）

上是減函數(shù)，在［2,3)上是增函數(shù)，然后根據(jù)回(回)=-1在。1)上有實(shí)數(shù)根，可判斷該實(shí)數(shù)根

是唯一的，并可判斷回(回)=-1在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并得這兩實(shí)數(shù)根和為2,

從而得出回(回)=-I在區(qū)間［-1,11］這三個(gè)周期內(nèi)上有6個(gè)實(shí)數(shù)根，和為30.

【詳解】由回(2-回)=回(回)知函數(shù)回(回)的圖象關(guān)于直線回=［對(duì)稱，

■.-0(2-0)=0(0),回(團(tuán))是月上的奇函數(shù),

.-.0(-0)=0(0+2)=-0(0),

.-.0(0+4)=0(0),

二回(既的周期為4,

考慮日(回)的一個(gè)周期，例如［-［,3］,

由師)在［0,1)上是減函數(shù)知團(tuán)(團(tuán))在(1,2］上是增函數(shù),

回(回)在(-1,0］上是減函數(shù)，回⑻在［2,3)上是增函數(shù)，

對(duì)于奇函數(shù)回(團(tuán))有團(tuán)(0)=0,0(2)=0(2一2)=0(0)=0,

故當(dāng)回e(0,1)時(shí),0(0)<0(0)=0,當(dāng)團(tuán)e(1,2)時(shí),0(0)<0(2)=o,

當(dāng)團(tuán)G(—1,0)時(shí),0(0)>0(0)=0,當(dāng)回C(2,3)時(shí),0(0)>0(2)=0,

方程回(回)=-1在［0,1)上有實(shí)數(shù)根，

則這實(shí)數(shù)根是唯一的，因?yàn)榛?回)在(0,1)上是單調(diào)函數(shù)，

則由于回(2-回)=0(0),故方程回(回)=-1在(1,2)上有唯一實(shí)數(shù)，

在(一1,0)和(2,3)上回(回)>0,

則方程回回=-1在(-1,0)和(2,3)上沒有實(shí)數(shù)根,

從而方程回(回)=-I在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)回￡［-1,3］,方程團(tuán)(團(tuán))=-1的兩實(shí)數(shù)根之和為團(tuán)+2-0=2,

當(dāng)回G［-1,11］,方程回(回)=-1的所有6個(gè)實(shí)數(shù)根之和為團(tuán)+2-回+4+回+4+2-0+回+

8+2—13+8=2+8+2+8+2+8=30.

故選：4

【點(diǎn)睛】本題考查了由團(tuán)(2日-回)=琬)可判斷團(tuán)(回)關(guān)于回=回對(duì)稱，周期函數(shù)的定義，增函

數(shù)和減函數(shù)的定義，考查了計(jì)算和推理能力，屬于難題.

【變式4-2]2.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)回國)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且回(3-回)+0(-0)=0,

若曲線回=回①)在(6,回⑹)處切線的斜率為4，則曲線回=回(回)在(-2022,團(tuán)(-2022))處的切線

方程為()

A.回=一4團(tuán)-8088B,0=40+30855回=一加—?D.八加+學(xué)

【答案】B

【分析】由函數(shù)回(回)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得出回(o)=0,再由團(tuán)(3-田)+0(-0)=0得出函

數(shù)師)的最小正周期為日=6,由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)具有相同的周期性可得函數(shù)回畫的最小正

周期為回=6,由此可得選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)回(回)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以回(0)=0,

因?yàn)榛?3-0)+0(-0)=0,團(tuán)(6—田)+團(tuán)(3—回)=0,兩式相減可得，團(tuán)(6—團(tuán))=0(-0),故

團(tuán)=6,故回(一2022)=0(0)=0；

因?yàn)閳F(tuán)'(一2022)=0(0)=回'(6)=4,故所求切線方程為回=4回+8088,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，以及導(dǎo)函數(shù)的周期性，求原函數(shù)的切線問題，屬

于較難題.

【變式4-2】3.若函數(shù)回=回(助是回上的奇函數(shù)，又回=0(0+0為偶函數(shù)，且-2<0!<02<1

時(shí)，[0(02)-回(比)](回2一瓦)>0,比較團(tuán)(2017),0(2018),回(2039)的大小為()

A.0(2017)<團(tuán)(2018)<回(2。9)B.0(2018)<0(2017)<團(tuán)(2019)

C.團(tuán)(2018)<0(2015)<0(2017)D.回(2029)<回(2018)<0(2017)

【答案】D

【分析】由題意可知，函數(shù)回=團(tuán)(團(tuán))的周期團(tuán)=4,再由當(dāng)—2<<02<［時(shí),

［0(02)-0(07)］(02-07)>0可知函數(shù)回=回(回)在［一乙4上為增函數(shù)，然后計(jì)算比較即可.

【詳解】?.?函數(shù)回=回(團(tuán))是回上的奇函數(shù)，又回=0(0+1)為偶函數(shù)，

A0(-0)=-0(0),0(-0+1)=0(0+1),

.--0(0)=0(0+4),即函數(shù)0=團(tuán)(團(tuán))的周期回=4,

一】W也<回2W1時(shí)，回2-比>0，［團(tuán)(日2)-0(01)1(02一瓦)>0,

???0(02)-0(07)>。即團(tuán)(團(tuán)2)>0(01),函數(shù)團(tuán)=團(tuán)(回)在［—1,1］上為增函數(shù)，

?-?0(2017)=團(tuán)(1+4X504)=0(1),0(2018)=團(tuán)(2+4X504)=0(2)=0(0),

0(2019)=0(-1+4X505)=0(-1),

0(2019)<0(2018)<0(2017).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

【變式4-2】4.侈選)(2023福建福州福建省福州第一中學(xué)?？级?定義在R上的函數(shù)團(tuán)(團(tuán))

.0(0),其導(dǎo)函數(shù)分別為日@)、團(tuán)’(日),若回(回)=回(一回),0(-1)=1,0(0)+0(0-1)=02-

1,國(回)+回(回+1)=團(tuán)-sin；目,貝［］()

A.面口是奇函數(shù)

B.回(回)關(guān)于(—1,1)對(duì)稱

C.回(回)周期為4

D.0(1)+0(3)+0(5)+???+0(99)=-1225

【答案】ABD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,利用已知條件回(回”回(一回)，即得結(jié)果.對(duì)于選項(xiàng)B,由題意可推導(dǎo)出

回'國-1)為偶函數(shù)，0(0+1)為奇函數(shù)，所以值(-1+回)+0(-1-0)]'=0,即回(一1+0)+

0(-1-0)=2即可證明；對(duì)于選項(xiàng)C,由回(回)關(guān)于(L0)對(duì)稱和回(回)關(guān)于(一1,1)對(duì)稱,即得結(jié)

果.對(duì)于選項(xiàng)D通過賦值利用C中推導(dǎo)的結(jié)論回(回+4)-0(0)=-2和已知條件回(-1)=1,

由等差數(shù)列的前回項(xiàng)和即得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榛?回)=回(—①可得為團(tuán)(回)偶函數(shù)，所以回@)=-0(-0),則回'(團(tuán))為奇函數(shù)，故A

正確；

因?yàn)榛?回)+0'(0-1)=02-1,回(回)偶函數(shù),0=02-1時(shí)偶函數(shù),

所以回'(回-1)為偶函數(shù)，所以回‘(回)關(guān)于回=-1對(duì)稱，

因?yàn)榛?(回)+回(回+1)=0-sin^0,回'(團(tuán))為奇函數(shù)，0=回一singta為奇函數(shù)，

所以回(回+1)為奇函數(shù)，回(回)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，

01(-1-0)=0'(-1+0),[0(-1+0)+0(-1-0)],=0'(-1+0)-0,(-1-0)=0,

則團(tuán)(-1+0)+0(-1-0)=回其中回為常數(shù)，又回(―1)=1故團(tuán)=2,有團(tuán)電關(guān)于(-1,1)對(duì)稱,

B正確；

令團(tuán)等價(jià)于回+1,0(0)+0(-2-0)=2,所以回(一2-0)=2-0(0),

因?yàn)閳F(tuán)(回)關(guān)于(i,o)對(duì)稱,所以回(回+1)=-0(-0+1),

所以令團(tuán)等價(jià)于回+3,所以回國+4)=-0(-0-2),所以團(tuán)(團(tuán)+4)-0(0)=-2,

故可看成數(shù)列比+4-%=-2,

而因?yàn)榛?回)關(guān)于(1,0)對(duì)稱,所以團(tuán)Q)=0,0(3)=-0(-1)=-1,

故嘰回5,國，…，回97是以4=0(1)=0為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，

甌町加…，回99是以回3=0(3)=-1為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，

所以回(回)沒有周期性，故C不正確;

25X24

0（1）+0（5）+0（9）+…+13（97）=25X0+---X（-2）=-600

0（3）+0（7）+0（11）++0（99）=25X（-1）+至聲X（-2）=-625,

所以回Q）4-0（3）+0（5）+…+0（99）=-600-625=-1225,故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:本題考查利用抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)周期性、對(duì)稱性、奇偶性的問題；

對(duì)于與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，有如下結(jié)論：

①若團(tuán)（團(tuán)）連續(xù)且可導(dǎo)，那么若回（團(tuán)）為奇函數(shù)，貝帕（團(tuán)）為偶函數(shù)；若回（即為偶函數(shù)，則團(tuán)'（團(tuán)）為

奇函數(shù)；

②若回（即連續(xù)且可導(dǎo)，那么若回@）關(guān)于回=回對(duì)稱，