第04講 簡(jiǎn)單的三角恒等變換含新定義解答題 分層精練（解析版）

第04講簡(jiǎn)單的三角恒等變換(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（23-24高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)角的范圍判定符號(hào)，然后直接由半角公式求解.【詳解】∵，∴，∵，∴由半角公式可得.故選：B2．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于（

）A． B．－ C．－ D．【答案】B【分析】先分析的范圍，確定象限，利用cos2＝求解即可.【詳解】由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以cos<0.所以cos＝－.故選：B3．（23-24高一·全國(guó)·課堂例題）已知，，則（

）（是的半角）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用半角公式求解即可【詳解】∵，∴，∴．故選：A4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則滿足條件的的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】解法一：利用正弦和差公式化簡(jiǎn)得到，從而得到或，結(jié)合，求出滿足條件的的個(gè)數(shù)；解法二：利用和差化積公式得到，從而得到，從而得到或，結(jié)合，求出滿足條件的的個(gè)數(shù).【詳解】解法一：，故或．當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以，，，，；?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，．所以符合題意的共有7個(gè)；解法二：由和差化積公式得到，所以，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以，，，，；?dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，．所以符合題意的共有7個(gè)；故選：C5．（23-24高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用和差化積公式分析運(yùn)算.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：C.6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是銳角，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)倍角公式的變形求出，，再由兩角和的余弦公式求解.【詳解】因?yàn)槭卿J角，所以，因?yàn)?，，所以，，所以．故選：D．7．（23-24高一下·江蘇南京·期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】由萬(wàn)能公式可得，根據(jù)已知得方程求即可.【詳解】由，所以，則，由，則.故選：A8．（23-24高二下·安徽宿州·期中）對(duì)集合和常數(shù)，把定義為集合相對(duì)于的“正弦方差"，則集合相對(duì)于的“正弦方差”為（

）A． B． C． D．與有關(guān)的值【答案】C【分析】先確定集合相對(duì)于的“正弦方差”的表達(dá)式，再利用半角公式，兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】由題知，集合相對(duì)于的“正弦方差”為把，，，代入上式整理得，.故選：C.二、多選題9．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．半角的正弦、余弦公式實(shí)質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來(lái)的B．存在實(shí)數(shù)，使C．D．【答案】ABCD【分析】利用二倍角的余弦可判斷A選項(xiàng)；取，可判斷B選項(xiàng)；利用二倍角的余弦公式可判斷C選項(xiàng)；利用二倍角的正弦和余弦公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，半角的正弦、余弦公式實(shí)質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來(lái)的，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則，，則，另一方面，，所以，，D對(duì).故選：ABCD.10．（22-23高一下·江蘇南京·期中）給出下列四個(gè)關(guān)系式，其中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】根據(jù)兩角和與差的正弦以及余弦公式，展開化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，所以，故D項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題11．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）若對(duì)滿足的任何都有，則數(shù)組．【答案】【分析】根據(jù)題意利用和差化積公式分析求解.【詳解】因?yàn)?，可知，即，則，可知，即.故答案為：.12．（23-24高一下·上海黃浦·期末）已知：，，則.【答案】【分析】由，兩邊平方得到，進(jìn)而求得，兩式聯(lián)立得到，再利用三角恒等變換求解.【詳解】解：由，兩邊平方得：，即，因?yàn)?，所以，所以，兩式?lián)立得，所以，故答案為：四、解答題13．（23-24高一下·河北保定·開學(xué)考試）已知，.(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式可得出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出的值，利用二倍角的正弦、余弦公式、兩角和的正弦公式可求得的值；（2）方法一：求出的取值范圍，利用二倍角的降冪公式求出的正弦值和余弦值，即可得出的正切值；方法二：由代值計(jì)算即可得解；方法三：計(jì)算出的值，利用二倍角的正切公式可得出的方程，求出的取值范圍，即可得出的值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，，所以．?）解：方法一：因?yàn)?，所以，則，，所以，，則．方法二：．方法三：，解得或，因?yàn)?，所以，則，故．14．（23-24高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，求的值．【答案】【分析】先用萬(wàn)能公式求出的值，再根據(jù)得出，最后聯(lián)立可求得答案.【詳解】，則有①，又已知，從而有②．聯(lián)立①②可得，．∴．B能力提升1．（23-24高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）求值：（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用積化和差和和差化積公式，結(jié)合半角公式，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果.【詳解】由積化和差公式可得，故，由和差化積公式可得，故所以.故選：A【點(diǎn)睛】和差化積公式：，，，積化和差公式：，，，.2．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求最大值，也可以利用萬(wàn)能公式統(tǒng)一三角函數(shù)名，再利用換元法結(jié)合四元基本不等式求解即可.【詳解】法一：不妨設(shè)，則，整理得到:,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，而，，故的最大值為.法二：由萬(wàn)能公式得，，代入原式并化簡(jiǎn)得，令，因?yàn)轭}設(shè)中欲求最大值，故可設(shè),故原式轉(zhuǎn)化為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，顯然最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求三角函數(shù)的最大值，解題關(guān)鍵是利用萬(wàn)能公式統(tǒng)一三角函數(shù)名，然后再用四元基本不等式求解，本題也可以直接利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算.3．（23-24高一下·四川遂寧·期末）設(shè)等差數(shù)列滿足：，公差.若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用公式對(duì)式子化簡(jiǎn)，再借助函數(shù)來(lái)處理.【詳解】由，得，由積化和差公式，得，整理，得，所以，因?yàn)楣?，所以，則.所以，設(shè)，其圖像的對(duì)稱軸方程為.由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，所以，解得.則首項(xiàng)的取值范圍是.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)，，，若成立，則稱，具有“性質(zhì)”.（1）試問：①，0是否具有“性質(zhì)2”？②，0是否具有“性質(zhì)4”？（2）若存在及，使得成立，且，1具有“性質(zhì)2”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，，為2021個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，點(diǎn)均不在函數(shù)的圖象上，是否存在，（），且，，使得，，具有“性質(zhì)2020”，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）①具有；②不具有；（2）；（3）存在，理由見解析.【分析】（1）①就是證明不等式是否成立；②令，則，問題轉(zhuǎn)化為，，由一元二次不等式知識(shí)可得；（2）不等式成立，轉(zhuǎn)化為，由，1具有“性質(zhì)2”，結(jié)合已知的范圍，縮小的取值范圍，求得的最小值，再求得）的最大值，從而可得的取值范圍；（3）假設(shè)具有“性質(zhì)2020”，轉(zhuǎn)化為證明：在任意2021個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)中，一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，，滿足，此不等式變形為，而令，由萬(wàn)能公式可得，這樣將等分成2020段，2021個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)在同一段上，使得成立．進(jìn)而完成證明．【詳解】（1）①，0具有“性質(zhì)2”，由基本不等式知后者成立，所以，0具有“性質(zhì)2”；②令，則，，0具有“性質(zhì)4”，，所以，0不具有“性質(zhì)4”；（2）依題意，成立，∵，1具有“性質(zhì)2”，∴，即，∴，則，令，∴在上單調(diào)遞增，則在處取得最小值，∴，又∵，∴；（3）假設(shè)具有“性質(zhì)2020”，則，即證明：在任意2021個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)中，一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，，滿足；證明如下：由，令，由萬(wàn)能公式知，，將其分成2020個(gè)小區(qū)間，則，，……，，這2021個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)落在同一個(gè)區(qū)間，令其為，