2024-2025學(xué)年山西省忻州市高二年級上冊1月期末考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山西省忻州市高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

「3-5八7

1.已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為3一;,5H—7—9~\----

4,8,16,則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可

以為()

A.2H

2"+1+(-1嚴(yán)

2〃+1+(-1產(chǎn)^^

C.2"

?2〃一1

2〃+1+(—1)〃-------

D.2"

2.已知直線4：5%+(。_3),+io=o,直線4：(Q+l)x+y+Q=。,若〃〃2,則。=()

A.4B.-2C.4或-2D.3

3.已知等比數(shù)列包｝的前〃項(xiàng)和為邑，若邑=3X2"M+2,則幾=（）

A.3B.-3C.6D.-6

1

4.若數(shù)列｛""｝滿足出=11,"+11-見，則縱5=（）

11110

A.I。B.11C.10D.11

八/、x-6

/(X)-v

5.函數(shù)e的極大值為（）

-6-1c-8八一9

A.eB.eC.eD.e

6.過拋物線U/=2px（p>0）的焦點(diǎn)的直線與拋物線。相交于1,8兩點(diǎn)，若線段

中點(diǎn)的坐標(biāo)為（42后），則P=（）

A.4B.3C.2D.1

7,在三棱錐尸-/BC中，刃_|_平面/5。,/8/。=90。,。陽廠分別是棱/8,5。,。尸的中

點(diǎn),/2=/C=2,P/=3,則直線CP與平面。跖所成角的正弦值為（）

563岳2而

萬

A.BB.13C.D.

8.若函數(shù)/（、）,8。）的導(dǎo)函數(shù)都存在,/(x)[g(x)+1]+f(x)g'(x)>4x3恒成立，且

/（l）=g（l）=l；則必有（）

A./⑵g（2）＜16B./⑵[g⑵+1]<17

〃⑵

C./(2)g(2)>16D.2)[g+1]>17

二、多選題（本大題共4小題）

9.等差數(shù)列｛"J的前n項(xiàng)和為邑，若%=9$4=3%,則（）

A.二"｝的公差為1B.仞"｝的公差為2

C.54=18D.%023=2025

10.己知函數(shù)"X）的導(dǎo)函數(shù)/（X）的圖象如圖所示，則（）

A.AM在（-3,-1）上單調(diào)遞減

B.，（x）在（T，2）上單調(diào)遞增

C."X）有2個(gè)極大值點(diǎn)

D.AM只有1個(gè)極小值點(diǎn)

2?

11.已知儂"0,在同一個(gè)坐標(biāo)系下,曲線mx+ny=儂與直線必+〃產(chǎn)加〃的位置可

能是（）

A.B.

12.已知函數(shù)”且關(guān)于X的方程卜3］+叭X）+洸=°有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則

下列說法正確的是（）

A.當(dāng)x＞0時(shí)，/（x）＞0

B.“X）在（L+°°）上單調(diào)遞減

C.加的取值范圍是I21

D.加的取值范圍是＜e+e

三、填空題（本大題共4小題）

s=2t——(0<10)

13.物體位移s（單位：m）和時(shí)間，（單位：S）滿足函數(shù)關(guān)系片,

則當(dāng)，=2時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為m/s.

丫2

（J—__y2=1廠

14.已知雙曲線，3.,直線/：V=x+m被C所截得的弦長為446,則加=

15.若直線工+3夕-1=0是圓/+9-25-8=°的一條對稱軸，則點(diǎn)42,6）與該圓上任

意一點(diǎn)的距離的最小值為.

16.在數(shù)列機(jī)｝與也｝中,已知W2,%+bn+l=2Q+"）,a^bn+l=2atibn,則

1=

。2023------°2023

四、解答題（本大題共6小題）

17.己知函數(shù)“外=3/-4/.

（1）求曲線V=在點(diǎn)（T/（T））處的切線方程;

（2）求，（x）在［T，2］上的最值.

S_3n2+9n

18.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S",且"―一2一.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

a—(,?

⑵設(shè)“/用，求數(shù)列也小的前〃項(xiàng)和北.

19.已知直四棱柱'8CO-45CQ的底面/8C￡)是菱形，且/加=60。，/8=/4=2,￡,

尸分別是側(cè)棱44，cq的中點(diǎn).

(1)證明：四邊形匹歹2為菱形.

(2)求點(diǎn)C到平面BDF的距離.

20.已知正項(xiàng)數(shù)列｛“/滿足味|=可\數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和為邑，且曲+|=2￡+2,

%=b、=2

⑴求｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式;

14y

(2)證明.-='a>1

2V222

X2%y

C.:―+T=1(4Z>6>0)C2=l(a>6>0)

21.已知橢圓。b與雙曲線的焦距之比

為萬.

(1)求橢圓G和雙曲線02的離心率；

(2)設(shè)雙曲線02的右焦點(diǎn)為F,過尸作尸軸交雙曲線于點(diǎn)p(尸在第一象限)，

A,3分別為橢圓G的左、右頂點(diǎn)，AP與橢圓G交于另一點(diǎn)。，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明:

^BP'k()p=k0Q+kop

〃/、lnx+fl

/(X)—、

22.已知函數(shù)x,xe[lr,i+oo).

⑴討論”x)的單調(diào)性.

(2)是否存在兩個(gè)正整數(shù)為，*2,使得當(dāng)%時(shí)，(再-々)2=xr月？若存在，求出

所有滿足條件的不，&的值；若不存在，請說明理由

答案

1.【正確答案】D

【分析】觀察數(shù)列的項(xiàng)的特點(diǎn)，找到各項(xiàng)之間的規(guī)律，即可寫出一個(gè)通項(xiàng)公式，結(jié)合選

項(xiàng)，即得答案.

【詳解】觀察可知，該數(shù)列的前面整數(shù)部分為奇數(shù)2〃+1,后面分?jǐn)?shù)部分正負(fù)相間，首

項(xiàng)的分?jǐn)?shù)部分為負(fù)，

分母為2",分子為2"-1,

_Y/”2〃—1

u.=2〃+1+(-1)----

故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為2",

故選：D

2.【正確答案】A

【分析】由直線平行的必要條件列出方程求解參數(shù)，并注意回代檢驗(yàn)是否滿足平行而不

是重合.

【詳解】因?yàn)椤侗?，所?”3)(a+l)=5xl,即/-2a-8=(a-4)(q+2)=0,得。=4或

u——2

當(dāng)。=4時(shí)，4：5x+y+10=0,/2:5X+J+4=0；符合題意；

當(dāng)q=-2時(shí)，4：5x-5y+10=0,l2:-x+y-2=0《，4重合

故0=4.

故選：A.

3.【正確答案】D

^-=2,n>2—=2

【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合等比數(shù)列的定義，得到4,即可求解.

【詳解】由S"=3X2"+I+2,

+1

當(dāng)心2時(shí)，??=^-^-1=3X2-+A-(3X2"+A)=3-2"；可得為一’一,

當(dāng)〃=1時(shí)，[=S]=3x2?+4,

2

a2_3x2_

因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等比數(shù)列，可得/3x22+2，解得力=-6.

故選：D.

4.【正確答案】D

【分析】探索數(shù)列的周期性，根據(jù)數(shù)列的周期性求指定項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?f1一%.所以數(shù)列｛“/周期為3的

數(shù)列.

所以0985=fl328x3+l=ai

110

11=u,=—

出二11,所以1—%=11,

10

=Q[=

故11.

故選：D

5.【正確答案】B

【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)極大值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到答案

【詳解】“到一e*,當(dāng)x<7時(shí)，f'M>0,

當(dāng)x〉7時(shí)，/'（X）<0

/（x）=—/⑺=號」

所以3的極大值為e7e7.

故選：B.

6.【正確答案】A

【分析】利用點(diǎn)差法及中點(diǎn)與焦點(diǎn)坐標(biāo)分別表示直線的斜率，可建立關(guān)于P的方

程，求解可得.

=20%，

【詳解】設(shè)"（％"%）,'（尤2，%）,則1黃=2/2，,

兩式作差得，K-y[=（必+%）（%-%）=2p（無1一工2）,

當(dāng)士=%時(shí)，則45中點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)12人不滿足題意；

2P

當(dāng)再W%2時(shí)，得再_%2%.

設(shè)線段48中點(diǎn)因?yàn)榭鴺?biāo)（42收），且過焦點(diǎn)尸，

所以弘+力=4夜，

,_2P_2>/2-0

則的斜率2,

解得°=什

故選：A.

7.【正確答案】B

【分析】建系，求出平面。跖的法向量為加=（二°，2）,再代入線面角的公式求解即可.

【詳解】因?yàn)槭?,平面NBC,都在面N8C內(nèi)，

所以PALAC,PALAB

又NBAC=9Q°,所以工/C,所以尸兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，“民"C，”尸的方向分別為x，％z軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

3d

aeS1±

M1--

則C（0,2,0）,尸（0,0,3）,D（1,0,0）,E（1,1,0）D20

3d

ade

o-

w20

設(shè)平面DE尸的法向量為應(yīng)=（""）,

C-.1y=0

m?DE=0,<3

貝和方=0,所以]-x+y+]Z=0取z=2,得4=（3,0,2）,

設(shè)直線°尸與平面尸所成的角為9,

所以知”卜。，（岳⑹|=肅第=[

所以111.

故選：B

8.【正確答案】D

【分析】由/'(x)[g(x)+1]+/(x)g'(x)>4/,得[/(x)g(x)]'+/'(x)>(x“)，設(shè)函數(shù)

//(x)=/(x)g(x)+/(x)-x\利用導(dǎo)數(shù)證明/z(x)單調(diào)遞增,所以〃(2)>力⑴，據(jù)此即可求

解.

3

【詳解】由/'(x)[g(x)+1]+/(x)g'(x)>4x；得[/(x)g(x)]'+/'(x)>(無4),

4

設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)g(x)+/(x)-x；則h\x)=f\x)[g{x)+1]+/(x)g'(x)-4/>0,所以

〃(x)單調(diào)遞增，所以"(2)>3),

即/(2)g(2)+/(2)-24>/(l)g(l)+/(1)-1\

因?yàn)?(I)=g(D=1,所以/(2)g(2)+/(2)-16>1；

即/(2)[g(2)+l]>17

故選：D.

9.【正確答案】ACD

【分析】列出方程組，求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，判斷A,B；根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)

公式以及前〃項(xiàng)和公式即可判斷C,D.

/q+6d=9

【詳解】設(shè)｛“〃｝的公差為小由%=9,3=3%,得（4%+6d=3%+94,

|?i=3

解得【"=1,故A正確，B錯(cuò)誤；

S4=4q+6d=18。2。23=q+2022（7=2025QD正確

故選：ACD

10.【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)系一一分析即可.

【詳解】由圖可知，當(dāng)-3<》<-1時(shí)，/'（x）<0,所以“X）在（-3,-1）上單調(diào)遞減，

當(dāng)-l<x<2時(shí)，/'。）>0,所以，（x）在（T2）上單調(diào)遞增，A,B均正確.

當(dāng)x<-3時(shí)，/'00>0,當(dāng)-3<x<-l時(shí)，/'（x）<0,當(dāng)x>-l時(shí)，>0（

所以/⑴的極大值點(diǎn)為-3,/（X）的極小值點(diǎn)為-1,C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD.

11.【正確答案】BD

Xy

/+/一］+-1

【分析】先根據(jù)題意得到曲線為"m，直線為〃m，再根據(jù)當(dāng)機(jī)=〃>0,

">m>°,m>n>0,〃>°>小時(shí)，曲線及直線的橫截距與縱截距的關(guān)系即可逐項(xiàng)判

斷.

22

工+匕=1￡+Z=i

【詳解】因?yàn)榧?片°，所以曲線為〃,直線為"m

當(dāng)加=〃>0時(shí)，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯(cuò)誤;

當(dāng)〃〉加〉0時(shí),曲線表示焦點(diǎn)在龍軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確;

當(dāng)優(yōu)>”>0時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正

確；

當(dāng)機(jī)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負(fù)，則

D正確.

故選：BD.

12.【正確答案】ABD

【分析】對）（X）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究/（X）的圖象判斷AB,令‘一了，將問題轉(zhuǎn)

化為了G）i和〃x）=,2共有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合了CO的圖象判斷CD.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知當(dāng)x>°時(shí)，/（x）>0,當(dāng)x<0時(shí)，

A正確;

,1—X

因?yàn)閑：令*（x）>0解得x<i,令/'（x）<。解得x>l,

所以“X一^在（一叫1）上單調(diào)遞增，在（L+00）上單調(diào)遞減，B正確；

又當(dāng)x趨于+oo時(shí)，,GO趨于0,當(dāng)x趨于-co時(shí)，/（X）趨于-co,當(dāng)x=l時(shí)，

/（x）=；

e,

故可作了（x）的草圖如圖，

X

I-----

令e',貝（］/+M+加=0,即方程/+而+〃2=0的兩根為4國，

若1=°是方程/+加+優(yōu)=°的根，則冽=0,顯然不符合題意，

因?yàn)榉匠?+〃"+〃?=°有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

0<‘1<一(1

<e0<%<-

_1\e

所以Le或"<。，

>

t2=-f->l+mf-l+m=Om=__1—

當(dāng)e時(shí)，VeJlej解得e2+e所以他=加＜。，即/"2異號，不滿足

題意；

\e1m八

八~2"I-----FZ77>0,-----<m<0

當(dāng)時(shí)，即有l(wèi)e-e解得e+e

2?|

即加的取值范圍為Iere人c錯(cuò)誤，D正確;

故選：ABD

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是作出函數(shù)圖象，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)根的分布從而得到相關(guān)不

等式，即可求出冽的范圍.

9

13.【正確答案】E/2.25

【分析】對位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系求導(dǎo)，代入，=2即可求解.

/=2+-2/,=2+4?=-9

【詳解】尸，則心234

9

故答案為.X

14.【正確答案】±3/

【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)弦長公式求解

【詳解】設(shè)雙曲線。與直線/交于“(斗,)1(%,%)兩點(diǎn),

丁…

由='+機(jī)’消去歹整理得2/+6mx+3加2+3=0,貝|

/、c3/+3

A=36/_8(3加2+3)=12加2—24〉0皿日加2c口再+%=-3加戶用=—~—

<)，解得m>2,且2

|四=拒|X]_%21=+%2)—41]%2=X,\j37776

所以

由亞XJ3/-6=4指，解得加2=18,所以加=±3亞

故士3后

15.【正確答案】1

【分析】利用圓關(guān)于直線對稱可知該直線過圓心3°),可得。=1,再利用定點(diǎn)到圓上

點(diǎn)距離的最值的求法即可求得結(jié)果.

【詳解】由題可知，該圓的圓心為3°),直線x+3y-l=°過圓心，

則”1=0,解得。=1,

則該圓的方程轉(zhuǎn)化為(xT)2+/=9,該圓圓心為°，°),半徑為3,

易知圓心與尸(2，折的距離為J(2T)j=2,

故點(diǎn)PQ，5與該圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為3-2=1.

故1

16.【正確答案】1

x+x{1+1)

【分析】由已知計(jì)算.用6用可得a“b.為常數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)果.

「1%+12g+“)11

-----------1----------=----------------------=-----------------------=---------1-------

【詳解】由題意知，％加%+也+12%b"an",

{1+1}±+1=1+1=1+1=1

所以冊b,為常數(shù)列，即冊b?aAb,22,

11,

------------1------------=1

所以“2023。2023.

故1.

17.【正確答案】(1)24X+V+17=°；

(2)最大值為16,最小值為T.

【分析】(1)求出函數(shù)/(刈的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

(2)由(1)中信息，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)〃x)在［T，2］上的單調(diào)性，再求出最值.

【詳解】(1)函數(shù)/0)=3--41,求導(dǎo)得/'(x)=,則/，(f=一24,而

/(T)=7,

所以曲線V=〃x)在點(diǎn)(-lj(-l))處的切線方程為夕-7=-24(尤+1),即24x+y+17=0.

(2)由/'(x)==0,得x=0或x=l,

由/'(x)=12x3-12x2＞。，得%＞］,

顯然當(dāng)尤＜1時(shí)，恒有/'(x)=12x3-12/4°,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號，

因此/(X)在(1，2］上單調(diào)遞增，在［TD上單調(diào)遞減，而〃T)=7,

〃1)=!/(2)=16；

所以/(X)在［T,2］上的最大值為16,最小值為-1.

18.【正確答案】⑴""=3"+3

⑵小慫

【分析】（1）利用％電的關(guān)系式即可求得｛"」的通項(xiàng)公式為。”=3〃+3；

〃

.b—1______1____T/—_____

（2）由（1）可得"?+1”+2,利用裂項(xiàng)相消求和可得'2?+4,

【詳解】（1）當(dāng)”=1時(shí)，a'=S'=6,

(『()〃

_Q_3〃+9"31+91=3+3

當(dāng)"之2時(shí)，22

4—6a”—3"+3

所以｛“"｝的通項(xiàng)公式為%=3〃+3

111

(n+1)(〃+2)n+\n+2

1n

n+22〃+4

19.【正確答案】（1）證明見解析

V2

⑵2

【分析】（1）取8的中點(diǎn)G,可證得以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)

系，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)法證明8尸=即其=尸〃及網(wǎng)=煙即可.

（2）運(yùn)用空間向量點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）取°的中點(diǎn)G,連接NC,NG,

因?yàn)榈酌?BCD是菱形且N4BC=60。,所以A/C。為等邊三角形，

所以/GLOC,

又ABHCD,所以NGLN8,

易知兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x,%z軸的正方

向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由4B=A4=2,

可B（2,0,0）,C^V3,0）Z）^l,V3,0）￡（0,0,l）,F（l,V3,l）￡>,（-1,73,2）

證明：由上可得而=G，G，1）=甌，屜=（-2，?！唬?兩，

所以BF〃叫BE皿，且網(wǎng)=有=|網(wǎng),

所以四邊形EBFA為菱形.

(2)設(shè)平面的尸的法向量為k=(x/，z),因?yàn)榧?=(-1,6,1)/

BF?力=0—x+y/3y+z=0

所以t8"萬=0,即i-3x+島=0,取x=l,得"=(1，G「2)

sc=(-1,73,0)

"而向2V2

?7=-----=--=__

同2及一2

所以點(diǎn)C到平面廠的距離

2,〃=1,

b”=

20.【正確答案】（1）?！?丁3n,n>2.

（2）證明見解析

【分析】（1）對數(shù)列｛""｝兩邊取對數(shù)，再結(jié)合“累乘法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式；對數(shù)列

也｝,根據(jù)前”項(xiàng)和求通項(xiàng)公式；

（2）利用錯(cuò)位相減求和法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和，然后再證明不等式.

【詳解】（1）因?yàn)棰芮覟?2,所以

lgg?+1_n+\

所以lga；+i=lga：",即〃炮?！?1=（"+1）愴。"=>坨?！?

n

--lg-a-?-?lga?_,?????l-g-?-3-?l-g-g-----?-?---1-??-2?????3?2\-g-a-n--幾

當(dāng)“22時(shí)，1ga?-ilga-2-----尼的咆/”一2n-3-------21,所以Iga,

因?yàn)?=2,所以1幅?！?〃，所以%=2”.

%=2也符合上式，所以?！?2”.

、彳〃=]日寸b]~2S]+2—2bl+2—6

因?yàn)閼?yīng)M=2S〃+2,所以當(dāng)“22時(shí)，("_1)"=2S“T+2,

b.+\_b,

叫-(“一，即Q

所以當(dāng)〃22時(shí),+I1)4=2,〃，

bn是以與會為首項(xiàng)的常數(shù)歹u，

所以當(dāng)〃22時(shí),數(shù)列

—=3(w>2),a/、

即〃，所以2=3〃("N2),

2,〃=1,

所以也J的通項(xiàng)公式為“

3n,n>2.

殳+—..+%=1+與卜…+與

(2)因?yàn)椋?1％%a3an~2

所以2白4223242"+,

1

13333〃ccN3〃

2￡q22232〃2"12〃+i113〃+6

1-=以

兩式相減得i7~^,所

金為22n"2

-1七4=1山＜R

因?yàn)樗匀諈n％,故-1ai2

Vio2VW

21.【正確答案】（1）橢圓￡的離心率5，雙曲線G的離心率5

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合橢圓、雙曲線的方程與性質(zhì)運(yùn)算求解;

p（2V103]

P\-------a,一a

5

（2）由（1）可知I5）t聯(lián)立方程求點(diǎn)。的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式分析證明

【詳解】（1）橢圓）的焦距2%=2〃2_斤，雙曲線02的焦距2c2=2，/+、,

2yja2-b213

c/。小b2=~a2

則2&T+6-2,整理得5,

cl=a2-b2=-a2c1=a2+b2=-a2

從而5,5

=q=VFO_c1_2Vw

故橢圓G的離心率Ga5,雙曲線02的離心率"a5

22

G：.+—1

2廂31

p---Q,-QaJ2

5----5—a

（2）由（1）可知橢圓5

2廂-5

y=------(-X+Q)

因?yàn)?（-a,0）,所以直線加>的方程為5

2V10-5.、

V=---(x+a)

22

X1y_[

二32一

-a

1

聯(lián)立方程組5,整理得(8-2廂)/+(13-4加爾+(5-2廂)a=0,

5-2廂22V10-5

—UXn----------f=QXn=--------------7=^0,

則8-2A/TO,則8-2V10,

、

2而-5(i=3(2')“’2廂-53(2710-5)

Q?Cl,iCI

%=e5(8-2710),1^8-27105(8-2710)

可得5即7，

33

-a一Q

5353

2V102V10-52V10-29壇=：

--------a-a--------a

因?yàn)?5x。5

912+3麗3312+3V10

k.k

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