2024-2025學年遼寧省高二年級上冊期中考試數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年遼寧省高二上學期期中考試數(shù)學檢測試題

、單選題（本大題共8小題）

7T

1.若直線辦-了-3=0的傾斜角為、，則。=（）

A.3B.1C.JlD.V3

3

2.已知直線x-y-l=0與圓（x-a）2+（y+3）2=8（a>0）相切，貝!]。=（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知點/是拋物線C:必=21（。>0）上一點，若/到拋物線焦點的距離為5,且/

到x軸的距離為4,則P=()

A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8

4.已知向量方=(X,1,3),B=(1,-2,3Z),若1〃B,貝!J()

A.x=z=-—B.x=z=—

22

c1

C.x=—,z=-2D.x——2,z——

22

22

5.已知橢圓C:土+匕=1的一個焦點為尸，點尸，。是C上關于原點對稱的兩點.則

43

|尸尸『+|。尸『的取值范圍為（）

A.[1,3]B.[4,6]C.[6,8]D.[8,10]

6.火電廠的冷卻塔常用的外形之一是旋轉單葉雙曲面，可以看成是由雙曲線繞其虛

軸旋轉所成的曲面的一部分（如圖1）,它的優(yōu)點是對流快、散熱效果好.某火電廠的冷

卻塔設計圖紙比例（長度比）為1：50（圖紙上的尺寸單位：m）,圖紙中單葉雙曲面

的方程為X2+/-：Z2=1（-3VZ42）（如圖2）,則該冷卻塔的占地面積為（）

圖1

A.4800兀m2*4B.5000jim2C.52007im2D.54007rm2

22

7.已知橢圓C：土+匕=1,從C上任意一點尸向》軸作垂線段尸P,尸'為垂足，則線段

164

尸P的中點M的軌跡方程為()

2222

A.—+—=1(x^0)B.—+=1(x^0)

6441)3281)

C.x2+y2=4(x^0)D.x2+y2=8(x^0)

jr

8.如圖，在直三棱柱中，ZACB=~,AC=2,BC=1,441=2,點。是

棱NC的中點，點E在棱8耳上運動,則點。到直線C|E的距離的最小值為（

C.V5

二、多選題（本大題共3小題）

9.關于曲線C:mx2+ny2=1,則（）

A.曲線C不可能表示直線

B.若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，貝1]〃＞機＞0

C.若曲線C表示焦點在無軸上的雙曲線，則其焦距為

Vmn

D.若曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，則其長軸長為26

10.如圖所示，在長方體/BCD-HB'C'。'中,44'=6,48=4,40=3,E,尸分別在棱CC

1—?-------—?

和上，C,E=-CE,FE=B,C,+BF,則下列說法正確的是（)

2

A.G棱錐三棱錐FT'NE

B.直線時與ND所成角的余弦值為女叵

13

C.直線40'和平面38力力所成角的正弦值為2叵

21

D.若G為線段3戶的中點，則直線0力〃平面/'GC

22

11.已知直線…（x+2）H*0）與橢圓C:\_+?=l交于監(jiān)N兩點，橢圓C的左、右頂點

分別為48,直線X=2與直線及x軸分別交于點尸，0，。，則（）

A.ATMW的周長為10

B.直線的斜率之積為定值

20

C.當左=1時，線段JW的中點到直線夕。的距離為§

D.若無＞5,則收尸H。創(chuàng)的取值范圍是（釁］

三、填空題（本大題共3小題）

12.在平面直角坐標系苫勿中，O是坐標原點，則過點P（L2）且與直線。尸垂直的直

線的方程為.

13.已知￡（-5,0）,1（5,0）是雙曲線后的兩個焦點，點〃在￡上，且町，V工，若

SAMF'F?=16,則雙曲線E的方程為.

14.已知M（3,0）,拋物線『=4龍的焦點為F,準線為1,點A是直線1與x軸的交

點，過拋物線上一點P作直線1的垂線，垂足為Q,直線PF與MQ相交于點N,若

NA+NP=MN則AAMN的面積為.

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知V/3C的頂點/（3,4）,的中點為監(jiān)/C的中點為",CM所在直線的方程為

》+2了-1=0,3”所在直線的方程為〉=匕

（1）求直線8c的方程；

（2）求V/BC的面積.

16.如圖，在四棱錐P-48c。中，△尸ZD為等邊三角形，平面平面

ABCD,PD±AB,AD//BC,M為4的中點.

（1）證明：DM1AB■,

（2）若/O=2,N8=3C=1,求平面PCD與平面4BCD夾角的余弦值.

17.已知橢圓。：三+/=1的左、右焦點分別為昂巴，過點用作兩條直線4，，直線4與

c交于48兩點.

（1）若的面積為：，求4的方程；

⑵若4與C交于MN兩點，且4的斜率是4斜率的2倍，求|九3|-|/目的最大值.

18.已知圓。:（X-。）2+/=/的圓心。在以點4（-2,0）,川0,-2）為端點的線段的垂直平

分線上，圓。的所有過點河（-M）的弦中最短弦長為2VL

⑴求圓。的方程；

（2）過點（-2,2）的直線/交圓。于尸，。兩點，直線/尸,/0與V軸的交點分別為證

明：線段上W的中點為定點，并求出該定點的坐標.

22

19.在平面直角坐標系My中，不（-3,0）,￡（3,0）分別為雙曲線「：二一4=1的左、右

ab

焦點，已知A,8為雙曲線「上的兩動點，若點A的橫坐標為3,則用的長為4G.

⑴求「的方程；

（2）設癡），A/2（0,V6）,記△/片片的面積為H，△/兇加2的面積為其，若

SRS2,求的取值范圍；

⑶已知點A在x軸上方，直線48過雙曲線「的右焦點片且與>軸交于點P,若「月的

延長線與r交于點c,問是否存在X軸上方的點c,使得

五！+◎+町=2取+月萬+成）ReR）成立？若存在，請求出點C的坐標；若不存

在，請說明理由.

答案

1.【正確答案】D

【詳解】依題意，a=tan|=V3.

故選：D

2.【正確答案】B

【詳解】由題意，得圓心坐標為-3),因為直線與圓相切,

所以圓心(。,-3)到直線x-y-l=O的距離等于半徑，

所以""(誓々I半=2收,解得。=2.

V2V2

故選：B

3.【正確答案】C

【分析】由題意得到|”|=4,XA+^=5,結合式=2px/得到方程，求出。的值.

【詳解】由題意得|為|=4,盯+孑=5,

其中立=2嘰，故2、5一￡)=16,解得。=2或8,

故選C.

4.【正確答案】C

V131

【詳解】因為所以￡=F=9，所以尤=一彳/=一2.

1-23z2

故選：C

5.【正確答案】D

【詳解】取橢圓的另一個焦點為E,連接肉,￡。，則四邊形成尸。為平行四邊形,

設附上m,\QF\=n,由橢圓的對稱性得附+\QF\=\PF\+\PE\=m+n=2a=4,

其中。一。(加WQ+C,BP1<m<3,

所以向「+|0F|2=m2+(4-m)2=2m2-8m+16,

y=2m2-8m+16=2(m-2)2+8,1<m<3,

所以當冽=2時，Wn=8,當加=1或3時，Vmax=l°，

即|尸尸『+怛尸『的取值范圍是［8則

故選：D

6.【正確答案】B

【詳解】令z=-3,可得出/+/=2,這是一個半徑為近m的圓，

根據(jù)比例尺得出實際圓的半徑長為50血m,所以占地面積為兀'(50行『=5()007tm2.

故選：B.

7.【正確答案】C

22

【詳解】設點"(”)，根據(jù)中點的坐標公式可得P(2”)，代入橢圓方程言?=]

得一+r=4,其中尤w0.

故選：C

8.【正確答案】A

【詳解】因為CCJ平面N8C，乙4c2

以C為原點，CA,CB、CG所在直線分別為X、＞、z軸建立如圖所示的空間直角坐

連接G。，則。(1,0,0)、Q(0,0,2),設第0,1,c),其中0VcV2,

所以4萬=(1,0,-2),Qg=(O,l,c-2),

(__\2

則點。到直線QE的距離〃=?麗『-q絲產(chǎn)

V1I1GqJ

?4(7)2

\(C-2)2+1

設f=(c-2『+l,因為ce[0,2],所以則d=(+9

所以，點。到直線GE的距離的最小值為拽，

5

故選：A.

9.【正確答案】BC

【詳解】對于A,當沉=0,〃=1時，方程為/=1,即＞=一1或＞=i,此時方程表示

直線，故A錯誤；

對于B,因為曲線C表示焦點在龍軸上的橢圓，貝1]〃＞0,?。?,

22

土+匕-111

將橢圓方程化為標準形式11一，所以上＞上，貝卜?＞加＞0,故B正確；

———mn

mn

對于C,因為曲線C表示焦點在X軸上的雙曲線，則〃*0,機片0,

將方程化為了-1=1,依題意，焦距2c=2'口+，口=24^三，故C正確；

——\m\n)Vmn

mn

對于D,因為曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則〃＞0,〃7＞0,

/y2

將方程化為了十7=1,依題意工＞工＞0,橢圓長軸長為2a=2、口=.，故D錯誤.

nm\nn

mn

故選：BC.

10.【正確答案】ABD

【詳解】因為屋=礪+反|+至，又而=布+而,所以麗+南+麗=肅+而，

___1__＞2___

又前=和，所以屈=2而，又C￡=]CE,CE=-CC',BB'^CC,

一2----

所以8尸=§AB',綜上可知：瓦尸分別為所在棱的三等分點，由于直線4。不平行于平

面4E尸，

所以兩點到平面ZEF的距離不相等，所以兩個三棱錐的體積不相等，故A正

確；

對于B,以。為原點，所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直

角坐標系，

則E（0,4,4）,尸（3,4,2）,）（3,0,0）,Z）（0,0,0）,所以而=（3,0,-2）,方=（3,0,0）,

EF-DA

則直線跖與所成角的余弦值為卜（正，而'=3岳

40os故B正

79+4x313

確；

對于C,^（0,0,6）^（0,4,0）,5（3,4,0）,則而=（一3,0,6）,麗=（0,0,6）,麗=0,4,0）,

Wm=6z=0

設平面28力力的一個法向量為而=（x）,z）,則V,取而=（一4,3,0）,

DB?應=3x+4y=0

設直線與平面52力力所成的角為e,則

12

sin6?=ICOS/AD7,m\\=嚴J=,

I'/IAD］同j9+36xj9+1625

所以直線和平面88力'。所成角的正弦值為生5,故C錯誤;

對于D,連接B7X,交HC于點H,連接面，則〃萬G,

又。戶N平面HGC',HGu平面HGC,從而?尸〃平面4GC,故D正確.

故選：ABD

11.【正確答案】BD

【詳解】如圖，橢圓C:《+且=1,長軸長2a=6,短軸長26=2石，焦距

2c=2>^1=4,

對于A,直線>=HX+2）過橢圓C的左焦點￡（-2,0）。（2,0）為右焦點,

則ADW的周長為|MD|+W?+pVD|+|NE|=4a=12,故A錯誤；

對于B,設于（勺3）,則?=1/；=_l卜；_9）,

§,同理kk=--,

再+3再一3x；-9ANBN

所以直線/W,NN,8",8N的斜率之積為云，故B正確；

81

對于C,將直線＞=左（尤+2）與卷+：=1聯(lián)立得（5+9/b2+36左~+36/-45=0,

設N（＞2，y2），則公=900（5-3左2）＞0,%+%=-吃后,再%=,

線段跖V的中點到直線P。的距離為2-土芋=2+要萬,

25+9左

」「18左223乜中、口

當r左=1時，2+--^,故c錯誤；

5+947

設尸（2工）,。（2,幻，由4機尸共線得2=9,即4=口=5.（/：2）=%_告,

5再+3%+3玉+3再+3

同理由4N,。共線得q=5左--”,所以％+/2=10"5小：+」^,

%+31再+3X2+3）

,11玉+%2+618左243050

再+3々+3再入2+3&+/）+99k2，入"+芍3k'

所以收刊一|。例=,+修=#,又無＞5,則^€（0,1],故D正確.

12.【正確答案】x+2尸5=0

【詳解】直線。尸的斜率為心，=22-0=2,所以與OP垂直的直線斜率為1

1-02

又直線過點尸（1,2）,可得所求直線的方程為y-2=-g（x-l）,gpx+2y-5=0.

故答案為.x+2y-5=0

13.【正確答案】--^=1

916

【詳解】

M

-i

-2

設雙曲線E的標準方程為［

=l(a>0,6>0),\MF^=m\MF^n,

a

1”

—mn=16mn=32

由已知可得＜2,即

m2+n2-100'

m2+〃2=歸近21|2=100

因為||那|一|丹卜帆_司=20,

所以("？-")2=+〃2-2加〃=4/=36,

22

所以/=9力2=C2_/=16,故雙曲線￡的方程為土—匕=1.

916

22

故答案為.土-匕=1

916

14.【正確答案】勺

33

【詳解】如圖，由法+訴=而，得福+而7=-而，又因為尸（1,0）為河（3,0）,

/（一1,0）的中點,

Ml=2阿，

又因為尸?！∕F,

所…以△人NMFsAMNQP,且L\扁^F\=扁\NF=\了1

所以|尸0|=2|MF|=4.

不妨設POo，yo），且在第一象限，。=2,|P0|=Xo+5=Xo+l=4,解得%=3,

因為點POo/o）在拋物線上，

所以為=26,

所以AAMN的面積義陋=卜"=3%叫仇|=gx；x4x2g=￥.

故答案為.逑

3

15.【正確答案】（l）3x-4y-3=0

（2）5

【詳解】（1）由點5在歹二%上，設點8的坐標是（刃,冽），

則的中點等，1烏］在直線CM上，于是等+2x第-1=0,解得加=-3,

即點3（-3,-3）,

設點C的坐標是。-2%〃），則/c的中點》（-〃+2,*）在直線附上，于是

一〃+2=與，解得"=0,BPC（1,O）,

所以直線5c的方程為二=小生，即3x-4y-3=0.

34

（2）由（1）可得忸，=5,

|3X3-4X4-3|_

又點A到直線5c的距離d=西+(-4)2-2

所以VABC的面積SAABC=-^X5X2=5.

16.【正確答案】（1）證明見解析

⑵當

【詳解】（1）證明：如圖，取ND的中點。，連接尸O,C。,

因為△尸為等邊三角形，所以尸O_L4D.

又因為平面尸4D_L平面ABCD,平面RlDc平面48co=40,P。u平面尸4D,

所以尸O_L平面ABCD.

因為/Bu平面N8CA,所以

又AB^LPD,PDcPO=P,PD,POu平面P4D,所以/B_L平面

因為DMu平面PAD,所以

（2）解：因為/D=2,5C=1,又。為中點，所以40〃BC,40=BC,所以四邊

形N3C。是平行四邊形，所以/8〃OC,

又/B_L平面P/D,所以CO_L平面尸/￡）,

所以OC,OZ）,OP兩兩垂直.

以。為坐標原點，以尸所在直線分別為x軸，歹軸，z軸建立如圖所示的空

間直角坐標系，

則P（0,0,百）,C（l,0,0）,D（0』,0）,所以布=（0,1,-G）,函=（-1,1,0）,

設平面PCD的法向量為而=（x,%2）,

m?PD=0

則_，即耳又Z=],則*=石

m-CD=0

又平面/BCD的一個法向量為加=（0,0,君）,

\m-OP\V3__V7

所以\cos（m,OP

|m|-|d?|-V3-V7-7

所以平面PC。與平面48C。夾角的余弦值為“.

7

17.【正確答案】（l）x-y-l=0或x+y-l=0

【詳解】（1）解：由題意知￡（-1,0）,耳。,0）,易知4的斜率不為0,

設4:》=叼+&/（±,弘）,8（々,%）,

x=my+\

聯(lián)立〈一得（加2+2）y2+2my-1=0,

=1

-2m-1

所以必+%=

所以|乂一為I=「+%)2-4乂/=,

,12」2面+1)A

由s4B=］閨叫|必一刃=一-T~^—=,'

解得加=±1,

所以4的方程為％-歹-1=0或1+尸1=0.

(2)由(1)可知卜Jl+%21「乃卜2夜,；1)=26,——Ay1，

因為乙的斜率是，2斜率的2倍，所以〃7/0,

得河=2后1-金).

所以河一|第=2行］-------1一:&機：—，

(〃廠+24m"+2J2m4+5nr+2

_3A/2<3拒—加

2m2+5+4.4+53，

m

當且僅當機=±1時，等號成立，

所以pw—M4的最大值為孝.

18.【正確答案】(1)—+/=4

(2)證明見解析，(0,2)

-2-0

【詳解】(1)設線段NB的垂直平分線斜率為左'，貝U上'.MB=《?西f=,所以

k'=l.

又線段的中點坐標為(-1，-1),所以線段N8的垂直平分線方程為

y-(-l)=x-(-l),即歹=乙

則圓心。的坐標(見0)在y=x上，所以。=0.

因為|。冏=血，圓。的所有過點M(-M)的弦中最短弦長為2行，

易知最短弦垂直于。河，所以2g三嬴『=2后,所以產(chǎn)=4，

則圓。的方程為一+產(chǎn)=4.

(2)證明：顯然直線/的斜率存在，設其方程為了-2=左5+2),

與圓。的方程/+y=4聯(lián)立并消去V得(1+/)/+(4/+4左口+4/+8左=0,

設尸（演，乂），。（孫力），則X]+%=_4：+羋,玉々=4：譽,A乂）,

1十￡\.\K

直線4尸的方程為了=告（尤+2）,令x=0,得＞=3,所以M0,三

國+2再+2I項+2

同理得"o,%],

1三+2J

所以線段的中點縱坐標為

）。2M?2%]_2目2?2*2（西+馬+4）

-2（X]+2x2+2J尤]+2x2+2XjX2+彳玉+x）+4

八

J4k-+4k8-84

I1+k2J

_1+F=?

=2kT-----------------------------------7-----=2左+

4左2+8左（4左2+4左），4一

..........-+2----------+4

1+F（J/J1+17

所以線段MN的中點坐標為（0,2）,是一個定點.

19.【正確答案】⑴工