2024-2025學(xué)年人教A版高一數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：第一章 集合與常用邏輯用語 章末題型歸納總結(jié)（含解析）

第一章集合與常用邏輯用語章末題型歸納總結(jié)

目錄

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖........................................................2

模塊二：典型例題................................................................3

題型一：集合的基本概念..........................................................3

題型二：集合的基本關(guān)系..........................................................4

題型三：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算....................................................7

題型四：利用子集關(guān)系求參數(shù)......................................................9

題型五：子集'真子集的個(gè)數(shù)問題.................................................10

題型六：韋恩圖的應(yīng)用...........................................................12

題型七：根據(jù)集合的交'并'補(bǔ)求參問題...........................................15

題型八：充分必要條件的判斷.....................................................18

題型九：充分必要條件的求參問題.................................................20

題型十：全稱量詞與存在量詞.....................................................22

題型十一：集合新定義問題.......................................................24

模塊三：數(shù)學(xué)思想方法...........................................................26

①分類討論思想................................................................26

②轉(zhuǎn)化與化歸思想..............................................................29

③數(shù)形結(jié)合思想................................................................30

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

確定性

概念元素性責(zé)互異性

無序性

自然語言

表示方法列舉法

集合描述法

守包含關(guān)系真

I]相等

Venn圖|-------

運(yùn)算交集

p是q的充分條件p=>q

充分條件、必要條件、充要條件p是q的談到牛q=>p

是的充要條件p—q

常用邏輯用語pq

全稱量詞命題全稱量詞命題的否定

存在量詞命題存命題的否定

模塊二：典型例題

題型一：集合的基本概念

例I.(2024?高一?上海?隨堂練習(xí))下列命題中正確的有().

①很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；

②R表示一切實(shí)數(shù)組成的集合；

③給定的一條長(zhǎng)度為0.3的線段上的所有點(diǎn)組成的集合是有限集；

@2023年聯(lián)合國(guó)所有常任理事國(guó)組成一個(gè)集合.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【解析】對(duì)于①，很小的實(shí)數(shù)是個(gè)不確定的概念，不可以構(gòu)成集合，故錯(cuò)誤；

對(duì)于②，R表示一切實(shí)數(shù)組成的集合，故正確；

對(duì)于③，給定的一條長(zhǎng)度為0.3的線段上的所有點(diǎn)組成的集合是無限集，故錯(cuò)誤；

對(duì)于④，2023年聯(lián)合國(guó)常任理事國(guó)有中國(guó)、俄羅斯、英國(guó)、法國(guó)、美國(guó)，能組成一個(gè)集合，故正確.

故選：C.

例2.(2024?高一?河北邯鄲?階段練習(xí))己知集合〃={僅,6)|仍=16,eN*},則M中元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】依題意，”={(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)},

所以M中元素的個(gè)數(shù)為5.

故選：C

例3.(2024?四川樂山三模)已知集合/={?力產(chǎn)+/410,xeN*,”N*},則集合/的元素個(gè)數(shù)為()

A.9B.8C.6D.5

【答案】C

【解析】4={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},共6個(gè)元素.

故選：C.

例4.(2024?高一?湖北十堰?期末)下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為()

①2eR,②收gQ,③|-3怕N④|一6|eQ

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

例5.（2024?高一?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.OcNB.0e{O}C.{-1}CZD.

【答案】C

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?是元素，N是自然數(shù)集，則OeN,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閧0}與0都是集合，且{0}的元素為數(shù)值，用e表示兩集合關(guān)系不對(duì)，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閆是整數(shù)集，則-leZ,可知{-1}=Z,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)镼是有理數(shù)集，則geQ,故D錯(cuò)誤；

故選：C.

題型二：集合的基本關(guān)系

例6.（2024?高一?福建龍巖?開學(xué)考試）設(shè)集合/={引尸幺-4},8={乂產(chǎn)/一%C={（”）|V=幺一可，

則下列關(guān)系中正確的是（）

A.A=BB.B=A

C.A^CD.2eC

【答案】B

【解析】/={引>-4}=R,5=|y|y=x2-4}={y|y>-4）,

C={（x,y）lV=7-4}中的元素為點(diǎn)，故3口/,

故選：B

例7.（2024?高二?福建泉州?階段練習(xí)）有下列關(guān)系式：①{。,"={6川；?{a,b}^{b,a}.③0={0}；

@{0}=0；⑤0=網(wǎng)；⑥0e{0}.其中不正確的是（）

A.①③B.②④⑤C.③④D.①②⑤⑥

【答案】C

【解析】對(duì)①：因?yàn)榧显鼐哂袩o序性，顯然①正確；

對(duì)②：因?yàn)榧希?集=0。｝,故｛。,6｝［抄,a｝正確，即②正確;

對(duì)③：空集0是一個(gè)集合，而集合｛0｝是以空集為元素的一個(gè)集合，因此。=｛0｝不正確；

對(duì)④：｛0｝是一個(gè)集合，僅有一個(gè)元素0,但是空集不含任何元素，于是｛。｝力0,故④不正確;

對(duì)⑤：由④可知，網(wǎng)非空，于是有0a｛0｝,因此⑤正確；

對(duì)⑥：顯然0e｛0｝成立，因此⑥正確.

綜上，本題不正確的有③④，于是本題選項(xiàng)為C.

故選：C.

例8.（多選題）（2024?高一?四川攀枝花?階段練習(xí)）如圖中陰影部分所表示的集合是（）

A.Nc&M）B.C.（2（MuN））cND.瓜（McN?cN

【答案】AD

A選項(xiàng)：則NnaM=②，故A正確；

B選項(xiàng)：^2V=?+@,則=④，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：務(wù)（MUN）=①，貝I］（用（WuN））cN=0,故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：d（MnN）=①+②+④，［①（McN）］cN=②，故D正確.

故選：AD.

例9.（多選題）（2024?高一?四川攀枝花?階段練習(xí)）如圖中陰影部分所表示的集合是（）

A.Nc（藥M）B.Me（為N）C.（①（MuN））cND.W（McN?cN

【答案】AD

A選項(xiàng)：eM=①+②，則Nn&M=②，故A正確；

B選項(xiàng)：^2V=?+@,則Mn%N=④，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：務(wù)（MUN）=①，貝IJ（%（WuN））cN=0,故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：d（MnN）=①+②+④，⑼（McN）］cN=②，故D正確.

故選：AD.

例10.（2024?高一?湖北十堰?期末）集合M={x|x=5左-2,左eZ},尸={x|x=5〃+3,〃eZ},

S={x|x=10〃7+3,/neZ}的關(guān)系是（）

A.SJPJMB.S=P=M

C.S三P=MD.P=M^S

【答案】C

【解析】任取aeAf,則a=5左一2=5（勺-1）+3,￡eZ,

所以ae尸，所以"三產(chǎn)，

任取6",則6=5"1+3=5（〃]+1）-2,eZ,

所以aeM,所以Pq",

所以M=P,

任取ceS,貝Ijc=10加|+3=5-（2町）+3,/eZ,

所以ce尸，所以S=P,

又8?尸，8eS,

所以SwP,

所以S=P=M，

故選：C.

例11.（多選題）（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)。為全集，集合42,c滿足條件/=那么下

列各式中不一定成立的是（）

A.B^AB.CA

C./n（翻）=/n（D.伴）cB=（/）cC

【答案】ABC

【解析】當(dāng)。={1,2,3},/={1},5={2,3},C={1,2,3}時(shí)，滿足/=

此時(shí)，及C不是A的子集，所以A、B不一定成立；

施={1},（=0,/n（翻）={1},/口（3）=0,所以C不一定成立；

對(duì)于D,若貝IJxgZ,但xe3,因?yàn)閆u8=NuC,

所以xeC,于是xe&/）nc,所以（物4）口8=（”）口。，

同理若Vxe（dRAC,貝l|尤?毛4）口3,（即）ACq（°/）口8,

因此，（瘵4）cB=（°4）cC成立，所以D成立.

故選：ABC.

題型三：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算

例12.（2024?高一?江蘇南京?階段練習(xí)）設(shè)集合1={x[l<x<4},5={x|-l<x<3）,則ACCRB=.

【答案】（3,4）

【解析】因?yàn)?=kH<xV3},

所以43={x|無<-1或x>3},

所以/c?8={x[3<x<4},

故答案為：（3,4）

例13.（2024?高三?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）已知U=R,集合/={x|-l<x<l},5={x|--2x<o}.則

Nn%&）=.

【答案】（T,o]

【解析】由題意，全集U=R,集合/={尤|-1<》<1}=(-1,1),5={X|X2-2X<0}=(0,2),

所以eB=(y>,0)U[2,+<?),所以Znd8=(-!,O].

故答案為：

例14.(多選題)(2024?全國(guó)?二模)已知集合〃={尤[x<2},N={x[y=UT?}，則()

A.M3NB.MDN=M

C.McN=MD.低M)cN={x|2VxW5}

【答案】CD

【解析】N=卜1J=J-x+5}=卜Ix45},:.M=N,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

MuN={x|xW5}=N,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

McN=M,選項(xiàng)C正確；

={x|x>2},(RM)nN=[x\2<x<5},選項(xiàng)D正確.

故選：CD

例15.(多選題)(2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè))已知集合

U={2,3,5,7,11,13,17},^={2,5,7,13],5={3,7,13,17},C={7,13},則下列關(guān)系正確的是()

A.(額)c(閭=u(/u8)B.飄")=飄川)

C.AcC=BcCD.期(/口為=UC

【答案】ACD

【解析】因?yàn)榧稀?{2,3,5,7,11,13,17},4={2,5,7,13},3={3,7,13,17},C={7,13},

可得/U8={2,3,5,7/3,17},/C8={7』3},腕={3,11,17},口8={2,5,11}且瘠(°/)=4瘠(^3)=8,

對(duì)于A中，由(瘵4)n(05)={ll},d(/U8)={ll},可得(腕)c(/)=.ZuB),

所以A正確；

對(duì)于B中，由副3)=4飄*)=8,可得利飄膽)，所以B不正確；

對(duì)于C中，由/nc={7,13},8nc={7,13},可得/cC=8cC,所以C正確;

對(duì)于D中，由電口口3）={2,3,5,11,17},eC={2,3,5,ll,17},所以瘠（/口8）="。，所以D正確.

故選：ACD.

題型四：利用子集關(guān)系求參數(shù)

例16.（2024?高一?上海?隨堂練習(xí)）若集合N={T,3},B=[x\x2+ax+b=6\,且5屋/,求滿足的條

件.

【解析】由872={T3}可知B是A的子集,

①當(dāng)2=0時(shí)，A<0,所以△=a2一46<0;

A=0

②當(dāng)5={-1}時(shí),

\-a+b=0

/-46=0a=2

所以,,,解得

a-b=lb=l;

A=0

③當(dāng)5={3}時(shí),

9+3a+b=0

a2-4b=0

所以

3a+b=-9

l-a+b=0

④當(dāng)8={-1,3}時(shí),

9+3a+b=0

a—b=1

所以

3a+b=

[a=2\a=—6\a

綜上可知，。/滿足的條件為/-在＜0或八?或L或公

\b=lb=9b

例17.（2024?高一?四川?階段練習(xí)）設(shè)集合力={尤，+3》+2=0},5={x|x2+（m+l）x+m=0}.

（1）若3中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)小的值；

（2）若5口/求實(shí)數(shù)加的值.

【解析】（1）解法一：因?yàn)獒?+（加+1卜+加=。，整理可得（X+1）（X+7M）=O,解得X=-l或X=-/M,又B

中只有一個(gè)元素，故加=1.

解法二：2中有且只有一個(gè)元素，所以方程/+（加+1）無+加=0有唯一實(shí)根，從而

A=(m+1)2-4m=(m-1)2=0,所以〃?=1.

（2）由、2+3X+2=0,解得％=—1或%=—2,

由￡+（加+1）、+加=0,整理可得（x+l）（x+加）=0,解得工=一1或1=一加，

BQA,當(dāng)冽=1時(shí)，B={-1},滿足

當(dāng)加=2時(shí)，B={-1,-2}同樣滿足故冽=1或加=2.

例18.（2024?高一?全國(guó)?課后作業(yè)）已知集合/=?-"+4=0},5={1,4},且工屋3,求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

【解析】由題意知丁人仁/，若4=0,則A=〃2—4X4＜0,解得一4＜。＜4,

若/W0,A=q2_i6=0,解得以=4或一4,

當(dāng)。=4時(shí)，則方程為4X+4=0,解得X=2,此時(shí)4={2},不合題意，舍去，

當(dāng)Q=-4時(shí)，則方程為/+4%+4=0,解得x=-2,A={—2},不合題意，舍去，

當(dāng)A〉0,即/—16〉0,解得。＞4或a＜-4,則由題意知『={1,4},

則1,4為方程——qx+4=0兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得〃=1+4=5,

綜上所述。的范圍是{4-4＜。＜4或。=5}.

例19,（2024?高一?全國(guó),課后作業(yè)）設(shè)集合Z={x,2_1=（）},5={x|x2-tzx+/?=0},且Bw0.

（1）若NqB,求實(shí)數(shù)6的值；

（2）若ZqC,且。={-1,2加+1,小},求實(shí)數(shù)加的值.

【解析】（1）由--1=0解得工=±1,所以4={1,-1},

因?yàn)?=5,所以1,-1是集合8中元素，

fl-t7+Z?=0

所以將％=±1代入/-ax+b=0得{,解得Q=0,b=-\.

[l+a+6=0

（2）因?yàn)?[C,由（1）得L-1是集合。中元素，

當(dāng)2加+1=1即加=0時(shí)，此時(shí)C={-1,1,0}符合題意；

當(dāng)加2=1時(shí)，①加=1,此時(shí)。={-1,3,1}符合題意;

②加=-1,此時(shí)不滿足集合元素的互異性，舍去；

綜上加=0或1.

題型五：子集、真子集的個(gè)數(shù)問題

例20.（2024?高一?全國(guó)裸后作業(yè)）設(shè)集合/={（x,y）|尤+y=l},3={卜/獷+必=2},C=A[}B,則集

合c的子集的個(gè)數(shù)是.

【答案】4

[x+y=1cc

【解析】聯(lián)立22c消去V，W2x2-2x-l=0,A=（-2）2+4x2xl>0,

[%+y=2

可知方程有兩解，故集合C中有2個(gè)元素，故C的子集有2?=4個(gè).

故答案為：4

例21.（2024?高二?安徽?階段練習(xí)）設(shè)集合/=1號(hào)??4比€2，，則集合A的真子集個(gè)數(shù)為.

【答案】63

【解析】由/=1號(hào)可知x+3是12的正因數(shù)，

12

即x+3可取1,2,3,4,6,12,故可得——的值依次取12,6,4,3,2,1,

x+3

即/=｛1,2,3,4,6,12｝,

故集合A的真子集有26-1=63個(gè).

故答案為：63.

例22.（2024?高一■全國(guó)?競(jìng)賽）已知集合/7外,如%，…，。/，。7%，々，％，…，。"｝，且">加，給出下列命

題：

①滿足A^C^D的集合C的個(gè)數(shù)為T-m;

②滿足A星C=。的集合C的個(gè)數(shù)為2"力7;

③滿足A^C^D的集合C的個(gè)數(shù)為2"-"'-1;

④滿足A呈C星。的集合C的個(gè)數(shù)為2"~m~2'

其中正確的是.（填上你認(rèn)為正確的所有命題序號(hào)）

【答案】①③

【解析】①滿足NqCq。的集合C的個(gè)數(shù)為｛@m+l，"刃+2，.…，。“｝的子集的個(gè)數(shù)，即2"一皿；

②滿足A星Cu。的集合C的個(gè)數(shù)為他用4+2,…，%｝的非空子集的個(gè)數(shù)，即2"力-1;

③滿足4口C黑D的集合C的個(gè)數(shù)為｛""+1'"加+2，，，，,6｝的真子集的個(gè)數(shù)，即

④滿足A呈C星。的集合C的個(gè)數(shù)為｛5山5+2,…,凡｝的非空真子集的個(gè)數(shù)，即2"-'"一2.

故答案為：①③.

例23.(2024?高三?全國(guó)?專題練習(xí))集合{(x,刈/+/<2廣€乙了€2}的真子集的個(gè)數(shù)是.

【答案】31

［解析］{(x,y)k2+/<2,xeZ,yeZ}={(O,O),(TO),(O,_l),(l,0),(O,l)}共5個(gè)元素，

則真子集的個(gè)數(shù)是2$-1=31.

故答案為：31

例24.(2024?高二?全國(guó)?競(jìng)賽)設(shè)非空集合/={1,2,…,9}滿足VaeZ,則這樣的/的個(gè)數(shù)

為.

【答案】31

【解析】由題設(shè)可得{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},的,

這5組中的每一組中的元素必定同時(shí)出現(xiàn)在集合A中，

故這樣的非空集合A的個(gè)數(shù)為2,-1=31，

故答案為：31

題型六：韋恩圖的應(yīng)用

例25.(2024?高二?河北?階段練習(xí))某班有學(xué)生45人，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，喜歡打籃球的學(xué)生有20人，喜歡打

羽毛球的學(xué)生有32人，其中既喜歡打籃球，又喜歡打羽毛球的學(xué)生有15人，則該班學(xué)生中既不喜歡打籃

球，也不喜歡打羽毛球的學(xué)生有人.

【答案】8

【解析】設(shè)全集為U,集合A表示喜歡打籃球的學(xué)生，集合8表示喜歡打羽毛球的學(xué)生，

如圖所示，由圖可得該班學(xué)生中既不喜歡打籃球，也不喜歡打羽毛球的學(xué)生有45-5-15-17=8人.

故答案為：8

例26.(2024?高二,山西晉中?階段練習(xí))某班45名同學(xué)全部參加除草和植樹兩項(xiàng)勞動(dòng)，依據(jù)表現(xiàn)評(píng)定為優(yōu)

秀和合格兩個(gè)等級(jí)，結(jié)果如下：

優(yōu)秀合格合計(jì)

除草301545

植樹202545

若在兩個(gè)項(xiàng)目中都“合格”的學(xué)生最多為10人，則在兩個(gè)項(xiàng)目中都優(yōu)秀的同學(xué)最多為.

【答案】15

【解析】設(shè)集合A表示除草優(yōu)秀的學(xué)生，集合3表示植樹優(yōu)秀的學(xué)生，全班學(xué)生用集合。表示,

則牛/表示除草合格的學(xué)生，立臺(tái)表示植樹合格的學(xué)生，作出Venn圖，如圖,

設(shè)兩項(xiàng)勞動(dòng)都優(yōu)秀的人數(shù)為x，兩項(xiàng)勞動(dòng)都合格的人數(shù)為九

由圖可彳導(dǎo)20—%+%+30—x+y=45,即％=y+5,

因?yàn)閬Va=10,所以/ax=10+5=15,

即兩個(gè)項(xiàng)目中都優(yōu)秀的同學(xué)最多為15.

例27.(2024?高一?北京?階段練習(xí))某班一共有40名學(xué)生，在剛結(jié)束的學(xué)校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有16人報(bào)名

參加了田賽項(xiàng)目，有20人報(bào)名參加了徑賽項(xiàng)目，田賽和徑賽都沒參加的人數(shù)是都參加的人數(shù)的2倍，則田

賽和徑賽都參加的人數(shù)是.

【答案】4

【解析】40名學(xué)生組成的集合為U,

參加田賽項(xiàng)目的16名學(xué)生組成的集合為A,

參加徑賽項(xiàng)目的20名學(xué)生組成的集合為B,

設(shè)兩個(gè)項(xiàng)目都參加的有x人，則只參加田賽項(xiàng)目的有(16-x)人，

只參加徑賽項(xiàng)目的有(20-x)人，兩項(xiàng)都沒參加的有(4+x)人，

則依題：4+x=2x,所以x=4,

,所以該班學(xué)生中田賽和徑賽都有參加的人數(shù)為4.

故答案為：4

例28.(2024?高一?廣西南寧?階段練習(xí))一群學(xué)生參加學(xué)科夏令營(yíng)，每名同學(xué)至少參加一個(gè)學(xué)科考試.已知

有100名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)考試，50名學(xué)生參加了物理考試，48名學(xué)生參加了化學(xué)考試，學(xué)生總數(shù)是只參加

一門考試學(xué)生數(shù)的2倍，也是參加三門考試學(xué)生數(shù)的3倍，則學(xué)生總數(shù)為.

【答案】108

【解析】設(shè)只參加了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)考試的學(xué)生數(shù)分別為x,V,z；

參加了兩門學(xué)科考試的同學(xué)中參加了數(shù)學(xué)和物理、物理和化學(xué)、化學(xué)和數(shù)學(xué)的學(xué)生數(shù)分別為J。，6;

同時(shí)參加了三門學(xué)科考試的學(xué)生數(shù)為加，如圖所示:

x+b+c+加=100

>+。+〃+加=50

根據(jù)題意可得

2+a+b+加=48

x+y+z+a+b+c+m=2(x+y+z)=

前面三個(gè)等式相加，可得x+y+z+2(〃+6+c)+3加=198.

3JTI

由第四個(gè)等式可得x+y+z=—加，a+b+c=一,

22

3

因此一加+冽+3冽=198,

2

解得加=36.因此學(xué)生總數(shù)為3加=108.

故答案為：108.

題型七：根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)求參問題

例29.(2024?高一?陜西咸陽?階段練習(xí))已知集合,B=[x\a-2r.<x<a+1^.

⑴若C={3,4,1+2a-3},Oe(SnC),求實(shí)數(shù)a的值；

(2)從條件①②③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

條件：①=②/c(、3)=0；③(aN)=R.

【解析】(1)由于Oe(BcC),

a2+2a-3=0

所以解得a=l.

a-2<0<a+2

(2)2<〃+2恒成立，所以5是非空集合.

若選①，AcB=A,4匚B,

Q—2W15

則"2,角牟得OWaW；.

Q+2222

若選②，

{小4a-2或％2〃+2},

a—2<—5

所以一2,解得

a+2>22

若選③，8u(、/)=R,

\A=^x\x<；或—2},

所以一2,解得OWa弓

a+2>22

例30.(2024?高一，江西撫州?階段練習(xí))已知集合N={x|-14x42},8={x|2a<x<l}.

(1)若/口3=8,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若。/)口3中只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)-：A^B=B,:.B^A.

①當(dāng)2azi即。上工時(shí)，5=0滿足題意；

2

②當(dāng)2a<1即時(shí)，B手0；欲使3u4,則有一102a<1,即—

2—22

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍是Q2-

2

(2)易得=1或x>2}

①當(dāng)2azi即。2;時(shí)，5=0,。⑷口5=0不符合題意；

②當(dāng)2a<1即時(shí)，B#0,若(鳥⑷門臺(tái)中只有一個(gè)整數(shù)，則此整數(shù)為-2

_3

依題后、得一3<2。<—2,即—<?！?

2

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是-；34a<-L

2

例31.(2024?高一?山東?階段練習(xí))已知集合/={x|04x42},B={x\a<x<3-2a].

(1)若(4/)U3=R,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若/UB=/,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)閆={x|04xW2},所以<"={x|x<0或x>2},

又2=何。VxV3-2a}且隔N)U8=R,

3-2。>a

所以,a40,解得aWO,

3-2a>2

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是同。VO};

(2)若,則3=/,

當(dāng)2=0時(shí)，3-2a<a,解得a>l：

當(dāng)8片。時(shí)，3-2a2a,即aWl,

ftz>01

要使貝U,。解得。之；，

[3-2a<22

此時(shí)工WaW1；

2

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4。

例32.(2024?高一?四川南充?階段練習(xí))已知集合尸={也/+(3p+l)x+2=0},

0二{x|一一(g+3)x+久q+1)=0},其中p,qwR

（1）若備尸C0=0,求P，q的值；

⑵若對(duì)VxeP，有xeQ,求。，q的取值范圍.

【解析】（1）因?yàn)閭涫珻0=0,所以Q=尸，

又方程/-(q+3)x+久4+1)=0的解為x=2或x=q+l

當(dāng)qwl時(shí)，。={2,q+1},

將x=2代入2無2+(3°+1)x+2=0得°=-2

所以g+l=g,則g=_g,

當(dāng)4=1時(shí)，Q={2},將x=2代入2/+(30+1)x+2=0得0=-2,

綜上p=_2,q=一；，或p=-2,q=l.

(2)若對(duì)Vxe尸，有xeQ,則尸,

當(dāng)A=(3p+l)2-16=0時(shí)，p=-g或P=l,

當(dāng)P=-g時(shí)，P={1},由(1)可得4+1=1，4=0

當(dāng)夕=1時(shí)，尸={—1},由⑴4+1=-1，q=-2

當(dāng)A=(3p+l)2-16>0,BPp<-|或。>1時(shí)，集合尸中含兩個(gè)不同元素，又。中至多兩個(gè)元素，尸U。,

所以gwi且。=2,由(1)得p=—2,,

當(dāng)A=(3p+l)2-16<0時(shí)，gp-1</?<l時(shí)，

P=0,對(duì)geR,尸都成立，

例33.（2024?高一?全國(guó)?課后作業(yè)）已知集合/={a|2aVxVa+3},B={x[x<-1或%>5},若他4）口3=3,

求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】解析由（4/）門8=8,得8從而/口3=0.

①若』=0,則2a>a+3,解得a>3；

②若在數(shù)軸上標(biāo)出集合4,B,如圖所示，

s__r^~i

—12aa+35力

2a>-l

則，a+3W5,解得-24a42.

2

1a<a+3

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是“igaW之珈>3,.

例34.(2024?高一?浙江臺(tái)州?階段練習(xí))設(shè)全集U=R,集合/={x|-2<x<4},8={x11<x<3},

C={x\x<a}.

⑴求/n(”)；

(2)若BI(令C)=0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)即8={中41或x>3},故4I”=『2,1]口區(qū)4).

(2)0C={x\x3a],因?yàn)榱頒)=0,故3.

題型八：充分必要條件的判斷

例35.（2024?高三?福建莆田?開學(xué)考試）若a,beR,則“a>l,且6>1”是“">1,且a+b22”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若且6>1”,則“仍>1,且。+622”,

若已知且。+622”，可取。=,，6=8,滿足。6>1,且a+b22,但不滿足。>1,且方>1,

2

所以“a>l,且6>1”是“仍>1,且a+622”的充分不必要條件;

故選：A

例36.（2024?高一?貴州?階段練習(xí)）若夕：》<0,則夕的一個(gè)充分不必要條件為（）

A.x>-1B.x<1

C.—1<X<1D.x<—1

【答案】D

【解析】依題意可知選項(xiàng)是0的充分不必要條件，則選項(xiàng)的范圍是｛x|x<0｝的子集,

對(duì)于選項(xiàng)A,｛x|x>-l｝不是｛x|x<0｝的子集，故A不滿足；

對(duì)于選項(xiàng)B,｛刈無<1｝不是｛劃》<0｝的子集，故B不滿足；

對(duì)于選項(xiàng)C,｛尤|-1<尤<1｝不是｛x|無<0｝的子集，故C不滿足；

對(duì)于選項(xiàng)D,不是｛x|x<0｝的子集，故D滿足.

故選：D

例37.（2024?高一?遼寧鞍山?階段練習(xí)）若x,yeR,則“》>了”的一個(gè)充分不必要條件可以是（）

A.|x|>|^|B.x2>y2C.;>1D.x-y>l

【答案】D

【解析】對(duì)A,由同〉可，取x=-2,y=l,則x<y,

由x>V,取x=l,.v=-2,則國(guó)<回，

所以國(guó)>|y|是尤>7的既不充分也不必要條件，A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由—取x=-2,y=l,則x<N,

由x>>,取x=l,y=-2,則

所以是的既不充分也不必要條件，B錯(cuò)誤；

Y

對(duì)C,由一>1,?。?—2/=—1,貝！]

y

x

由x>y,取x=l,y=-2,則一<1,

了

所以土>1是x>V的既不充分也不必要條件，C錯(cuò)誤；

y

對(duì)D,因?yàn)闊o一了>1,所以x>y+l>y,即

當(dāng)時(shí)，取x=2.5,y=2,貝l]x_y<l,

所以尤-y>l是“x>N”的一個(gè)充分不必要條件，D正確；

故選:D.

例38.（2024?福建寧德?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在玩一個(gè)猜數(shù)字游戲，甲、乙、丙共同寫出三

個(gè)集合：A=｛xiO<Ax<2｝,B=｛x\-3<x<5],C=0<x<g,然后他們?nèi)烁饔靡痪湓拋碚_描述“△”

表示的數(shù)字，并讓丁同學(xué)猜出該數(shù)字，以下是甲、乙、丙三位同學(xué)的描述，甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù);

乙：是xe/的必要不充分條件；丙：xeC是xe/的充分不必要條件.則“A”表示的數(shù)字是（）

A.3或4B.2或3C.1或2D.1或3

【答案】C

【解析】因?yàn)榇藬?shù)為小于5的正整數(shù)，所以/=30<加<2}=[卜<》<11,

.因?yàn)閤e8是xe/的必要不充分條件，xeC是xe/的充分不必要條件，

所以C是A的真子集，A是5的真子集，

所以9245且22解得2:WA<3,所以“△”表示的數(shù)字是1或2,故C正確.

AA35

故選：C.

題型九：充分必要條件的求參問題

例39.（2024高一?遼寧?階段練習(xí)）已知集合/={x|x<2},5={x[l<x<2-%}為非空集合.

⑴若/。8={小<3},求加的值;

⑵若“xe/”是“xe5”的必要不充分條件，求加的取值范圍.

【解析】（1）因?yàn)镹<3},所以2—機(jī)=3,解得m=—1.

故》的值為-1.

f2-m>1,

（2）因?yàn)椤皒e/”是“xeB”的必要不充分條件，所以3為A真子集，所以.二

[2-m<2,

解得0?加<1.

故加的取值范圍是{間04加<1}.

例40.（2024高一?山西太原?階段練習(xí)）在A充分不必要條件，B必要不充分條件，C充要條件這三個(gè)條

件中選擇一個(gè)補(bǔ)充下面的問題，若問題中的加存在，求加的取值范圍；若問題中的皿不存在，說明理由.

已知集合/={尤卜24x47},B=[x\m+\<x<2m,是否存在實(shí)數(shù)加，使得xe/是xeB的?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】選A：若尤eN是xeB的充分不必要條件，則A是8的真子集，

fm+1<-2[m<-3

故c且等號(hào)不同時(shí)成立，即、/,無解，

2m-1>7m>4

故不存在實(shí)數(shù)加，使得xe/是xeB的充分不必要條件.

選B：若xw/是xeB的必要不充分條件，則B是A的真子集,

當(dāng)5=0時(shí)，m+\>2m-\,解得〃z<2,滿足題意；

[冽+12—2

當(dāng)時(shí)，m+\<2m-\,此時(shí)J1"且等號(hào)不同時(shí)成立,

解得一3(加工4,故2?加(4,綜上有冽?4,

故若xeA^xeB的必要不充分條件，則me(-co,4].

[nt+1=—2

選C：若X”是i的充要條件‘貝故2,1=7,無解’

故不存在實(shí)數(shù)加，使得xe/是xeB的充要條件.

例41.(2024?高一?安徽?階段練習(xí))已知p：-24x410,q:l-〃z4x41+"z,

(1)若p是4的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)%的取值范圍.

(2)若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解析】(1)由〃是g的充分不必要條件，得集合*1-24x410｝是集合任|1-加4x41+用的真子集,

1+m>l-m1+m>l-m

所以<1一加<一2或<1—m<—2

1+m>101+m>10

解得m>9.

所以實(shí)數(shù)冽的取值范圍是冽29.

(2)由〃是夕的必要不充分條件，得集合｛x|l-冽冽｝是集合｛刈-2WxW10｝的真子集,

當(dāng)｛x|l-加+加｝=0,貝！]1一冽>1+冽，即冽<0時(shí)，符合題意；

當(dāng)&|1一加+冽｝W0,即加20時(shí)，

1-m>-2fl-m>-2

解得0〈加W3.

1+m<1011+m<10

綜上可得加《3

例42,(2024?高一?四川眉山?階段練習(xí))已知集合4=｛%|0WxW4｝,B=｛x\l-a<x<l+a｝9是否存在實(shí)數(shù)

a,使得是XEB成立的_____?

(1)當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時(shí)，若問題中的〃存在，求出。的取值范圍，若問題中的〃不存在，請(qǐng)說明

理由？

（2）請(qǐng)?jiān)冖俪浞植槐匾獥l件②必要不充分條件這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問題中橫線部分.若問題

中的。存在，求出。的取值范圍，若問題中的。不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時(shí)，則/=則1-。=0且1+。=4,方程組無解.

??.不存在滿足條件的。.

（2）若選①，則A是B的真子集，則1-。40且1+。24（兩等號(hào)不同時(shí)?。?，JiLl-a<1+a,解得aN3,

.響題中的。存在，且。的取值集合可=同心3｝.

選②，則B是A的真子集，

當(dāng)5=0時(shí)，\-a>\+a,即a<0,滿足B是A的真子集；

當(dāng)時(shí)，1-aWl+a,即a?0,由8是A的真子集，得1-a20旦1+aV4（兩等號(hào)不同時(shí)?。?，解得04a<1；

綜上所述：a<1.

所以問題中的。存在，且。的取值集合/=｛。|a41｝.

例43.（2024?高一?全國(guó)?課后作業(yè)）已知p:-2VxV10,q:l-m<x<l+m（ni>0）,若p是q的必要不充分

條件，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

【解析】因?yàn)椤ㄊ莋的必要不充分條件，

所以｛x|l7〃V尤W1+叫是｛尤1-24x410｝的真子集，

f1-m>-2f1-m>—2

故有Iin或I-n

[1+m<10[l+m<10

解得m<3.

又加>0,所以實(shí)數(shù)冽的取值范圍為｛加I?！醇?lt;3｝.

題型十：全稱量詞與存在量詞

例44,（2024?高二?湖南長(zhǎng)沙?開學(xué)考試）命題“*GQ,tan—EQ”的否定是（）

A.VxGQ,tanx2B.VxGQ,tanx2GQ

C.3xeQ,tanx2GQD.VxgQ,tanx2eQ

【答案】A

【解析】命題“HXEQ,tanfEQ”的否定是VXGQ,tanx2.

故選：A.

Y

例45.（2024?高f遼寧?階段練習(xí)）已知命題0：VxeR----->0,貝!J”為().

x-1

X

A.VxGR,-----W0B.GR,

x-1fr-°

Yx

C.VxeR,——VO或x-l=0D.3xeR40或x—l=0

x-1x-1

【答案】D

【解析】由全稱命題的否定是特稱命題知:

X

原命題的否定為*ER——V0或尤-1=0.

x-1

故選：D

例46.（2024?高一,全國(guó)?單元測(cè)試）已知命題“叫）e{x|-l+3/+。>0”為真命題，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是（）

A.[a\a<-2}B,{a|a<4}C.{a\a>-21D.[a\a>41

【答案】C

【解析】因?yàn)槊}“七。e{x|-lVxVl},-x；+3xo+a>O”為真命題,

所以命題“玉。e{x|-l<x<l）,tz>%?-3%”為真命題,

-3x

所以％VxVl｝時(shí)，a>(%oo)min.

因?yàn)閥=/—3x=（x—：）

所以當(dāng)xe{x|-lVxVl}時(shí)，j/min=-2,止匕時(shí)x=L

所以%?3-1341}時(shí)，?>（x^-3x0）mn=-2,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是聞a>-2}.

故選：C.

例47.（2024?高一?天津?期中）已知。:改<0廣+。-1=0,若0的否定為真命題，則。的取值范圍是（）

A.a<\B.a>-\C.a>—\D.a<l

【答案】D

【解析】由題意命題?>0,x+“—1=0的否定為：Vx<0,x+a—1w0為真命題，

即Vx<0,xwl—〃，故1一〃20,gp6z<1,

故選：D

題型十一：集合新定義問題

52.（2024?高一?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）已知集合4