2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第2部分專題5解析幾何第2講圓錐曲線的定義方程及性質(zhì)教案理

PAGE1-第2講圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)[老師授課資源][備考指導(dǎo)]圓錐曲線命題方向高考中一般2道選擇、填空題，1道大題，命題時(shí)三種圓錐曲線全部考查，選擇、填空題考兩種圓錐曲線，大題考一種．①選擇、填空題以考查圓錐曲線定義基本性質(zhì)為主，堅(jiān)持四個(gè)原則．1°數(shù)形結(jié)合，畫圖.2°定義活用(距離轉(zhuǎn)化).3°有關(guān)結(jié)論引用.4°特別值法，盡量不能小題大做(大量運(yùn)算).5°平面幾何學(xué)問應(yīng)用(角平分線，中位線，Rt△)．②大題的難度有所轉(zhuǎn)化，駕馭基本題型及解析幾何處理問題的基本思想．題型：定值、定點(diǎn)、最值、范圍．思想方法：設(shè)而不求，特別到一般，整體代換．2°重視圓錐曲線的切線問題．3°重視求軌跡方程(干脆法、定義法、相交點(diǎn)法、點(diǎn)差法)．4°重視圓錐曲線的類型(焦點(diǎn)位置)．5°圓錐曲線的焦點(diǎn)弦長問題，敏捷應(yīng)用極坐標(biāo)．6°重視以雙曲線漸近線為背景的題目．7°重視向量在解析幾何中工具利用，如轉(zhuǎn)化垂直，x1x2＋y1y2，轉(zhuǎn)化銳角或鈍角．8°重視弦長公式|AB|＝|x1－x2|eq\r(1＋k2)＝eq\f(\r(Δ),|a|)eq\r(1＋k2)的化簡技巧．9°易忽視設(shè)直線方程時(shí)沒探討斜率k不存在狀況．[做小題——激活思維]1．已知橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，焦距等于4，離心率為eq\f(\r(2),2)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1C[由題意可得2c＝4，故c＝2，又e＝eq\f(2,a)＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝2eq\r(2)，故b＝eq\r(2\r(2)2－22)＝2，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1.]2．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，則△PF1F2的面積為()A．30 B．25C．24 D．40C[∵|PF1|＋|PF2|＝14，又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2，∴Seq\s\do10(△PF1F2)＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×8×6＝24.]3．過點(diǎn)F(0,3)且和直線y＋3＝0相切的動圓圓心的軌跡方程為()A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12yD[由拋物線的定義知，過點(diǎn)F(0,3)且和直線y＋3＝0相切的動圓圓心的軌跡是以點(diǎn)F(0,3)為焦點(diǎn)，直線y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為x2＝12y.]4.點(diǎn)M(1,1)到拋物線y＝ax2準(zhǔn)線的距離為2，則a的值為()A．eq\f(1,4) B．－eq\f(1,12)C．eq\f(1,4)或－eq\f(1,12) D．－eq\f(1,4)或eq\f(1,12)C[拋物線y＝ax2化為x2＝eq\f(1,a)y，它的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,4a)，點(diǎn)M(1,1)到拋物線y＝ax2準(zhǔn)線的距離為2，可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4a)))＝2，解得a＝eq\f(1,4)或－eq\f(1,12).]5．“k＜9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[因?yàn)榉匠蘣q\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線，所以(25－k)(k－9)＜0，所以k＜9或k＞25，所以“k＜9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.]6．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(1,4)x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±xC[因雙曲線方程C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，故選C.][扣要點(diǎn)——查缺補(bǔ)漏]1．橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)(1)定義：|PF1|＋|PF2|＝2a；如T2.(2)焦點(diǎn)三角形的面積：S△PF1F2＝b2taneq\f(α,2).(3)離心率：e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))；如T1.(4)焦距：2c.(5)a，b，c的關(guān)系：c2＝a2－b2.2．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b≠0)的幾何性質(zhì)(1)離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))；(2)漸近線：y＝±eq\f(b,a)x.3．拋物線的定義、幾何性質(zhì)(1)如圖，|MF|＝|MH|.如T3，T4.(2)已知拋物線y2＝2px(p>0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)為拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)．①焦半徑|CF|＝x1＋eq\f(p,2)；②過焦點(diǎn)的弦長|CD|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)；③x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.④eq\f(1,|FC|)＋eq\f(1,|FD|)＝eq\f(2,p).4．方程Ax2＋By2＝1表示的曲線(1)表示橢圓：A＞0，B＞0且A≠B；(2)表示圓：A＝B＞0；(3)表示雙曲線AB＜0；如T5.(4)表示直線：A＝0且B≠0或A≠0且B＝0.圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程(5年5考)[高考解讀]以拋物線、雙曲線、橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，以定義轉(zhuǎn)化為媒介，通過平面幾何圖形中的幾何等量關(guān)系、待定系數(shù)法、解三角形的有關(guān)學(xué)問等求得相應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和方程的求解思想.1．(2024·全國卷Ⅰ)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A．(－1,3) B．(－1，eq\r(3))C．(0,3) D．(0，eq\r(3))A[若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n＞0，,3m2－n＞0.))又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋n＞0，,3－n＞0，))∴－1<n<3.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,n－3m2)－eq\f(x2,－m2－n)＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－3m2＞0，,－m2－n＞0，))即n>3m2且n<－m2，此時(shí)n不存在．故選A.]2．(2024·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B[由題意設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，連接F1A(圖略)，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sinθ＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(2)，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選B.]3．(2024·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________.6[如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，∴PM∥OF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF，∴|MP|＝eq\f(1,2)|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.][老師備選題]1．(2024·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(5),2)x，且與橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1B[由y＝eq\f(\r(5),2)x可得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5),2). ①由橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)為(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9. ②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.故選B.]2．(2024·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為____________．(3，eq\r(15))[設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，分析可知M在以F1為圓心、焦距為半徑長的圓上，即在圓(x＋4)2＋y2＝64上．因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以聯(lián)立方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋42＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，eq\r(15))．]求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”所謂“定型”，就是曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計(jì)算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．提示：對于拋物線問題，看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線．1．(離心率問題)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上且|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面積為a2，則雙曲線的離心率是()A.eq\r(5) B.eq\r(2)C．4 D．2B[由|F1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，所以△PF1F2為直角三角形，且PF1⊥PF2.由Seq\s\do6(△PF1F2)＝a2可知|PF1||PF2|＝2a2，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.∴(|PF1|－|PF2|)2＝－2|PF1||PF2|＋|F1F2|2，即4a2＝－4a2＋4c2，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(8,4)＝2，又e＞1，∴e＝eq\r(2)，故選B.]2．[一題多解](曲線方程問題)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線方程為()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝eq\r(3)xC[法一：如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))＝a，則由已知得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))＝2a，由拋物線定義，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BD))＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AE))＝|AF|＝3，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AC))＝3＋3a，∴2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AE))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AC))，即3＋3a＝6，從而得a＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(FC))＝3a＝3.∴p＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(FG))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(FC))＝eq\f(3,2)，因此拋物線方程為y2＝3x，故選C.法二：由法一可知∠CBD＝60°，則由|AF|＝eq\f(p,1－cos60°)＝3可知p＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，∴2p＝3，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝3x.]3．(軌跡問題)△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長為18，則C點(diǎn)軌跡方程為()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)D[∵△ABC的兩頂點(diǎn)A(－4,0)，B(4,0)，周長為18，∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵10>8，∴點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，滿意橢圓的定義，∴點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．∴2a＝10,2c＝8，即a＝5，c＝4，∴b＝3.∴C點(diǎn)的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．故選D.]圓錐曲線的幾何性質(zhì)(5年10考)[高考解讀]該考點(diǎn)是高考的核心熱點(diǎn)之一，主要考查考生數(shù)形結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象的核心素養(yǎng).1．[一題多解](2024·全國卷Ⅱ)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)xA[法一：由題意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，故選A.法二：由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2))＝eq\r(3)，得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，故選A.]2．(2024·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)D[由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|＝2c，∵△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(c＋2ccos60°，2csin60°)，即點(diǎn)P(2c，eq\r(3)c)．∵點(diǎn)P在過點(diǎn)A，且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，∴eq\f(\r(3)c,2c＋a)＝eq\f(\r(3),6)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，∴e＝eq\f(1,4)，故選D.]3．(2024·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．2 B．4C．6 D．8B[設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，∴不妨設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5))).∵點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圓x2＋y2＝r2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,p2)＋8＝r2，,\f(p2,4)＋5＝r2，))∴eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)．∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.]1．橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是依據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求eq\f(c,a)的值．2．雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零，分解因式可得．(2)用法：①可得eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值．②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程．1．(求離心率的取值范圍)已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2，則該橢圓的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B[∵F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，∴F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，c2＝a2－b2.設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化簡得x2＋y2＝c2.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝c2，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))整理得，x2＝(2c2－a2)·eq\f(a2,c2)≥0，解得e≥eq\f(\r(2),2).又0＜e＜1，∴eq\f(\r(2),2)≤e＜1.]2．(求離心率的值)已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，雙曲線N：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________．eq\r(3)－12[如圖是一個(gè)正六邊形，A，B，C，D是雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)．∵直線AC是雙曲線N的一條漸近線，且其方程為y＝eq\r(3)x，∴eq\f(n,m)＝eq\r(3).設(shè)m＝k，則n＝eq\r(3)k，則雙曲線N的離心率e2＝eq\f(\r(k2＋\r(3)k2),k)＝2.連接F1C，在正六邊形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F2＝30°.設(shè)橢圓的焦距為2c，則|CF2|＝c，|CF1|＝eq\r(3)c，再由橢圓的定義得|CF1|＋|CF2|＝2a，即(eq\r(3)＋1)c＝2a，∴橢圓M的離心率e1＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\f(2\r(3)－1,\r(3)＋1\r(3)－1)＝eq\r(3)－1.]3．(圓錐曲線的性質(zhì)與函數(shù)交匯)若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2,0)分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的隨意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的取值范圍為________．[3＋2eq\r(3)，＋∞)[由題意，得22＝a2＋1，即a＝eq\r(3)，設(shè)P(x，y)，x≥eq\r(3)，eq\o(FP,\s\up7(→))＝(x＋2，y)，則eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋eq\f(x2,3)－1＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(7,4)，因?yàn)閤≥eq\r(3)，所以eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的取值范圍為[3＋2eq\r(3)，＋∞)．]4．(與向量交匯考查幾何性質(zhì))在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上隨意一點(diǎn)P，Q與P關(guān)于x軸對稱，若有eq\o(F1P,\s\up7(→))·eq\o(F2P,\s\up7(→))≤1，則eq\o(F1P,\s\up7(→))與eq\o(F2Q,\s\up7(→))的夾角余弦值的范圍為________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))[設(shè)P(x，y)，則Q點(diǎn)(x，－y)，橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，∵eq\o(F1P,\s\up7(→))·eq\o(F2P,\s\up7(→))≤1，∴x2－2＋y2≤1，結(jié)合eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，可得y2∈[1,2]．故eq\o(F1P,\s\up7(→))與eq\o(F2Q,\s\up7(→))的夾角θ滿意：cosθ＝eq\f(\o(F1P,\s\up7(→))·\o(F2Q,\s\up7(→)),|\o(F1P,\s\up7(→))|·|\o(F2Q,\s\up7(→))|)＝eq\f(x2－2－y2,\r(x2＋2＋y22－8x2))＝eq\f(2－3y2,y2＋2)＝－3＋eq\f(8,y2＋2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3))).]直線、圓與圓錐曲線的交匯問題(5年6考)[高考解讀]以直線與圓錐曲線或以圓與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，考查曲線方程的求解等問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化的實(shí)力.1．(2013·全國卷Ⅰ)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1D[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②))①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2).∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2).∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝eq\f(b2,a2).而kAB＝eq\f(0－－1,3－1)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴a2＝2b2，∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3eq\r(2)，∴E的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.]2．(2024·全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)A[令雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，則c＝eq\r(a2＋b2).如圖所示，由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2)，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，∴eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即離心率e＝eq\r(2).故選A.]3．(2024·全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．[解](1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k＞0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由題設(shè)知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程為y＝x－1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5，,x0＋12＝\f(y0－x0＋12,2)＋16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝11，,y0＝－6.))因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.1．在探討直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，常涉及弦長、中點(diǎn)、面積等問題．一般是先聯(lián)立方程，再依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用設(shè)而不求，整體代入的技巧進(jìn)行求解．2．處理圓與圓錐曲線相結(jié)合問題的留意點(diǎn)留意圓心、半徑和平面幾何學(xué)問的應(yīng)用，如直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等．提示：“點(diǎn)差法”是解決中點(diǎn)弦問題的捷徑，但必要時(shí)須要檢驗(yàn)．1．(面積問題)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)D[易知直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\