2024-2025學(xué)年河南省信陽市高二年級(jí)上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省信陽市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)

檢測(cè)試卷

第1卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知向量a=（2,1,2）,b=（m-2,/n,5）,若則m等于（）

A.-4B.-2C.2D.4

2.己知/（I,-2）,5（2,1）,C（0,-l）,經(jīng)過點(diǎn)C作直線1,若直線1與線段AB沒有公共點(diǎn),

則直線1的傾斜角的取值范圍為（）

3.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計(jì)算器產(chǎn)生1?5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)

數(shù)1時(shí)，表示設(shè)備一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2,由于有3臺(tái)設(shè)備，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一

組，代表3臺(tái)設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下：

412451312533224344151254424142

435414335132123233314232353442

據(jù)此估計(jì)一年內(nèi)這3臺(tái)設(shè)備都不需要維修的概率為（）

A.0.4B.0.45C.0.55D.0.6

4.口袋中裝有質(zhì)地和大小相同的6個(gè)小球，小球上面分別標(biāo)有數(shù)字1,1,2,2,3,3,從中任

取兩個(gè)小球，則兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于4的概率為（）

1231

A.-B.-C.一D.—

35515

5.曲線C：（一+/—1）2—8卜2+/）+15=0的周長(zhǎng)為（）

A.3V27TB.4V2/CC.6夜兀D.12V27C

6.某大學(xué)選拔新生進(jìn)“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過考核選拔進(jìn)

入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.假設(shè)某新生通過考核選拔進(jìn)入“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三

個(gè)社團(tuán)的概率依次為一，m,n,已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為一，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的

7

概率為一，

9

A.m=—B.m--D.m=—

333

7.在長(zhǎng)方體45CD—44Goi中，/G與平面ABCD所成的角為a,與481所成的角為

萬，則下列關(guān)系一定成立的是（）

A.a>0B.a+夕=90°C.a+夕〉90°

D.a+夕<90。

8.已知圓C：x2+y2-2x-4y-4=0,P為直線1：x+.y+2=0上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的

兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B,當(dāng)四邊形PACB的面積最小時(shí)，直線AB的方程為（）

A.5x+5j+3=0B.5x-5j+3=0C.5x+5j-3=0D.5x-5v-3=0

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件2="第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，

B="第二次的點(diǎn)數(shù)小于5"，C="兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)"，D="兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，

則下列說法正確的有（）

A.A與B不互斥且相互獨(dú)立B.A與D互斥且不相互獨(dú)立

C.B與D互斥且不相互獨(dú)立D.A與C不互斥且相互獨(dú)立

10.已知圓O：必+/=4與圓?：f+「—2x+4y+4=0相交于A,B兩點(diǎn)，直線1：

x—2y+5=0,點(diǎn)P為直線1上一動(dòng)點(diǎn)，過P作圓O的切線PM,PN（M,N為切點(diǎn)），則下

列說法正確的有（）

46

A.直線AB的方程為x—2y+4=0B.線段AB的長(zhǎng)為三一

C.直線MN過定點(diǎn)的最小值是1

11.在三棱錐P-ABC中，PC_L平面ABC,PC=AB=3,平面ABC內(nèi)動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是集合

/={1如=2|四}.已知0eM,且〃在棱AB所在直線上，;1,2,則（）

A.動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是圓B.平面PCR，平面PCD2

C.三棱錐P-ABC體積的最大值為3D.三棱錐P-22。外接球的半徑不

是定值

第II卷

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知空間內(nèi)A,B,C,D四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若P為該平面外一點(diǎn)，

—■5—■—■1—.

PA=—PB—xPC——PD,則x=.

33

13.已知事件A與事件B相互獨(dú)立，若P（4）=0.3,P（S）=0.4,則P（M）=.

14.若直線》—了5/，+2=0與圓/+（＞—1）2=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則tand=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

已知圓C的圓心在直線x-2y=0上，且與y軸相切于點(diǎn)（0,1）.

（1）求圓C的方程；

（2）若圓C與直線1：+m=0交于A,B兩點(diǎn)，且，求m的值.

從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：

①//匿=120。；②|Z8|=2G.

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

16.（本小題滿分15分）

某校田徑隊(duì)有3名短跑運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)平時(shí)的訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)：甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員100m跑（互

311

不影響）的成績(jī)?cè)?3s內(nèi)（稱為合格）的概率分別是一，一，，若對(duì)這3名短跑運(yùn)動(dòng)員的100m

423

跑的成績(jī)進(jìn)行一次檢測(cè).

（1）3名運(yùn)動(dòng)員都合格的概率與3名運(yùn)動(dòng)員都不合格的概率分別是多少？

（2）出現(xiàn)幾名運(yùn)動(dòng)員合格的概率最大？

17.(本小題滿分15分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，ABLBC,48=2,BC=242,AP8C為等邊三角形，BP,

AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,0,且40=6。。.

(1)證明：平面48C_L平面PBC.

(2)若F為AC的中點(diǎn)，求點(diǎn)C的平面BEF的距離.

18.(本小題滿分17分)

在梯形ABCD中，AB//CD,AD，CD,F為AB中點(diǎn)，AB=2AD=2,CD=3,

EC=2DE,如圖，以EF為軸將平面ADEF折起，使得平面4DEE，平面BCEF.

(1)若M為EC的中點(diǎn)，證明：上?！ㄆ矫鍭BC；

(2)證明：平面ADEJ_平面BCD；

若N是線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，平面BNE與平面ABF夾角的余弦值為Y5,求DN的長(zhǎng).

(3)

6

19.(本小題滿分17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓0為ZU8C的內(nèi)切圓，其中/(加,“)，5(2,-1),C(-l,3).

(1)求圓O的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)在直線A0上是否存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)Q,使得對(duì)圓O上任意一點(diǎn)P,都有戶旬=%歸。|

(2為常數(shù))？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及2的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

數(shù)學(xué)答案

一、選擇題

1.B

由a-(2,1,2),b=(m-2,m,5),得2加一4+加+10=0.解得加二一2.

2.C

11511

直線BC的傾斜角為r直線AC的傾斜角為彳,根據(jù)傾斜角定義’故選C.

3.C

由題意可知，代表事件“一年內(nèi)3臺(tái)設(shè)備都不需要維修”的數(shù)組有533,224,344,254,424,

435,335,233,232,353,442,共11組.所以一年內(nèi)這3臺(tái)設(shè)備都不需要維修的概率為

P=—=0.55.

20

4.A

記兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字1的小球分別為A,a,兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的小球分別為B,b,兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字3

的小球分別為C,c.從中任取兩個(gè)小球的所有可能結(jié)果有Aa,AB,Ab,AC,Ac,aB,ab,

aC,ac,Bb,BC,Be,bC,be,Cc,共15種情況，其中滿足兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于4

的有BC,Be,bC,be,Cc,共5種情況.所以兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于4的概率為P=—=-.

153

5.C

由卜2+/_])2_8[2+/)+]5=0,得(必+/_])2_812+、2_])+7=0,即

[(x2+v2-l)-l][(x2+v2-l)-7]=0,gpx2+/=2或/+9=8.所以曲線c表示兩

個(gè)同心圓，且這兩個(gè)圓的半徑分別為后，20.所以曲線C的周長(zhǎng)為

2兀x(0+272j=6A/2TI.

6.A

111

—mn二一m--

218

依題意,得《解得1

17

7.D

cc

因?yàn)镃C]，平面ABCD,所以/。/。=二.易知NC/q=/，則sina=—L,

4G

DAR「

cos￡=」，sin^=.因?yàn)镃G，4G的大小關(guān)系不確定，所以無法確定sine,sin萬

AC[AC]

的大小關(guān)系，則/?的大小不確定，A錯(cuò)誤.因?yàn)閟ina=U,

o'0==J3cj4B〉，所以sina<cos,=sin（90°一萬）.因?yàn)閠z,夕均為

銳角，所以90°—，也是銳角，則a<90°—，，即a+￡<90°.

8.A

由一+>2—2x—4y—4=0n(x—iy+(>—2)2=9,得圓C的圓心C(l,2),半徑r=3.

因?yàn)?J「q2—9,所以四邊形PACB的面積

S=2x；|4P|.=3—9.所以當(dāng)|PC|最小時(shí),S也最小，此時(shí)，尸CL/.故PC的

、x-y031

方程為y—2=x—1,即x—y+1=0.聯(lián)_\L,<,解得x=—，y=—，即

x+y+2=022

「I1'—1.所以直線AB的方程為1—g—j(xT)+1—g—2)Q—2)=9,化簡(jiǎn)，得

5x+5j+3=0.

二、選擇題

9.ABD

因?yàn)锳與B可能同時(shí)發(fā)生，所以它們不互斥，且兩者發(fā)生的概率互不影響，所以A與B不互

斥且相互獨(dú)立，A正確.因?yàn)楫?dāng)A發(fā)生時(shí)，兩次點(diǎn)數(shù)之和不超過8,所以D不可能發(fā)生，即A

與D不可能同時(shí)發(fā)生.所以A與D互斥.又因?yàn)锳不發(fā)生時(shí)，D有可能發(fā)生，所以A發(fā)生與否

影響D發(fā)生的概率.所以A與D不相互獨(dú)立，B正確.同理可得，B與D也不相互獨(dú)立.因?yàn)锽

與D可能同時(shí)發(fā)生（如第一次拋出5點(diǎn)，第二次拋出4點(diǎn)），所以它們不互斥，C錯(cuò)誤.顯然A

與C可能同時(shí)發(fā)生，所以兩者不互斥.因?yàn)锳發(fā)生與否都有P（C）=：，所以A與C相互獨(dú)立,

D正確.

10.BCD

X2+—=4

聯(lián)立1L,兩式相減，得x—2y—4=0即為直線AB的方程，A錯(cuò)誤.

x2+y2-2x+4y+4=0

8

,2x=—

x2+y=4x=05,則|45|=警，B正確.設(shè)

聯(lián)立《，得1或V

x2+y,2-2x+4j+4=06

y=一

15

%），N（X2，%）.因?yàn)镸,N為圓O的切點(diǎn)，所以直線PM的方程為XX]+現(xiàn)=4,

直線PN的方程為必+處2=4.設(shè)「（后,%）,貝"％再+%乂=4,所以直線MN的方程為

x0x2+y0y2=4

/\f2x+y=0

/%+%歹=4.又因?yàn)槠摺?%+5=0,所以（2x+y）%—5x—4=0.由1，得

[-5x-4=0

f4

x—___

5

<,即直線MN過定點(diǎn)（―3,9],C正確.因?yàn)槭关?+0河2=尸。2,所以當(dāng)歸最

8y55J

y=—

I5

小時(shí)，歸。|最小，且忙。|的最小值為，二。++=店,所以此時(shí)1PM=J74=l,D正

"2）2

確.

11.ABC

對(duì)于A,在平面ABC內(nèi)，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦5方向?yàn)閤軸正方向建立如圖1所示的平面

直角坐標(biāo)系，則5（0,0）,4（3,0）.設(shè)貝“=/+/,3y+/.

又=所以（x—37+丁=4（/+/）,即（x+lp+j?=4,則點(diǎn)D的軌跡是以

（-1,0）為圓心，2為半徑的圓，A正確.

圖1

對(duì)于B,由A的分析可知，R2為圓的直徑，又點(diǎn)C在圓上，所以CD】LCD??如圖2,因

為PCJ_平面ABC,CRu平面ABC,所以「。，。。］.又「?？?。2=。，所以C2，平

面PCZ>2?又0。(=平面PC',所以平面PCR_L平面PC。2，B正確.

圖2

對(duì)于C,點(diǎn)P到平面ABC的距離確定了，AB的長(zhǎng)度確定了，所以當(dāng)點(diǎn)C到直線AB的距離

最大時(shí)，三棱錐P-ABC的體積最大.顯然點(diǎn)C到直線AB的距離的最大值為2,此時(shí)三棱錐

P-ABC的體積VP_ABC=-|PC|x-|5|x2=-x3x3x2=3,C正確.

326

對(duì)于D,因?yàn)槠矫媸珻D1，平面PCD2，平面CR2兩兩相互垂直，所以可以將三棱錐

p-補(bǔ)成直四棱柱，易知直四棱柱的外接球即三棱錐的外接球，直四棱柱

的外接球直徑等于+必『+皿2.因?yàn)?Pq2=9,/￡)/+1co2「=|R2「=16,

所以三棱錐P—04。外接球的半徑是定值g，D錯(cuò)誤.

三、填空題

1

12.-

3

由—x—=1,解得x=一.

333

13.0.28

因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，所以事件Z與事件B相互獨(dú)立.因?yàn)镻（/）=0.3,

P（B）=0.4,所以尸（N）=1—0.3=0.7.所以尸（孤）=尸（1）尸（8）=0.7x0.4=0.28.

14.±——

7

圓半徑r=l,圓心（0』）到直線x—ysin6+2=0的距離為d.因?yàn)橹本€與圓只

m

有一個(gè)公共點(diǎn)，所以d=r,即？"2|=],解得sin6=』.所以tan6?=±m(xù).

Vl+sin2^47

四、解答題

15.

（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a,b）,半徑為r.

由圓C的圓心在直線x-2y=0上，得a=26.

因?yàn)閳AC與y軸相切于點(diǎn)（0,1）,所以b=l,a=2,則r=|a—0|=2.

所以圓C的圓心坐標(biāo)為（2,1），則圓C的方程為（x—2）2+（y—I?=4.

⑵如果選擇條件①：ZACB=\20°,而|C4|=|CS|=2,

|2-l+m|

所以圓心C到直線1的距離d==1.解得m=JI—1或加=—JI—1.

Vl+1

如果選擇條件②：|/a=2月,m|G4|=|CS|=2,

m

所以圓心C到直線1的距離d=—邑L=1,貝Ud=1l=1,解得加=JI—1或

v12ViTT

m=-V2-1.

16.設(shè)甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員100m跑合格分別為事件A,B,C,顯然A,B,C相互獨(dú)立，且

p（/）=j*5）=（p（c）=；，網(wǎng)用=1—P（B）=3

P（C）=1-P（C）=|.

設(shè)恰有k名運(yùn)動(dòng)員合格的概率為片（左=0,1,2,3）.

（1）3名運(yùn)動(dòng)員都合格的概率為

3111

^=P（^C）=P（^）P（5）P（C）=-x-x-=-.

H-ZJO

3名運(yùn)動(dòng)員都不合格的概率為

P0=P(^C)=PP)^)P(C)4x1x|=1

（2）2名運(yùn)動(dòng)員合格的概率為

P2=P^ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B")P(C)+P@「C)

3123111115

=—X—X—+—X—X—+—X—X—=——.

42342342312

1名運(yùn)動(dòng)員合格的概率為

4―—T*1_3

8-8

因?yàn)?>3>1〉’,

128812

所以出現(xiàn)2名運(yùn)動(dòng)員合格的概率最大.

17.

（1）因?yàn)锳PBC為等邊三角形，D,O分別是BP,BC的中點(diǎn)，且BC=2后，所以

DO=BD=C，AD=43DO=46.

又28=2,所以=力。2,即

又因?yàn)镹8LBC,且5?？趨^(qū)0=5,所以45,平面PBC.

又45u平面ABC,所以平面48cl,平面PBC.

（2）連接PO,則P尸。_LBC.由（1）可知，平面NBC_L平面PBC.

p

所以P。_L平面ABC.

因?yàn)镕為AC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C到平面BEF的距離等于點(diǎn)A到平面BEF的距離.

4r/o.02

在直角A45C中，可知3尸二——=-------

22

AP/o.^2

在直角A4AP中，可知8￡=—=———=6

22

因?yàn)镋F是A4cp的中位線，

/四口口—PC_2叵—f-

所以EF=----=--------=，2,

22

的面積S.EF=gxj^x上乎=乎.

V5

設(shè)點(diǎn)A到平面BEF的距離為d,則三棱錐A-BEF的體積V_=——d.

ABEF6

又兒45尸的面積叫BF=jx2x0=0，點(diǎn)E到平面ABF的距離為”=立,

MBF222

所以三棱錐E-ABF的體積VE_ABF=|xV2x^=^.

由我3,得心亞

635

2/l5

所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為-----.

5

18.

(1)由就=2萬后，CD=3,得EC=2,?！?1.因?yàn)镸為EC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn),

AB=2,所以〃。=尸8=1,且〃?！ㄊ?.所以四邊形BCMF為平行四邊形.所以

MF//BC.

而仁平面ABC,BCu平面ABC,所以板〃平面ABC.

(2)因?yàn)槠矫鍭DEF±平面BCEF,平面ADEFPl平面BCEF=EF,

DELEF,所以。E_L平面BCEF.

又BCu平面BCEF,所以。EJ_6c.

由EB=6,BC=6,CE=2,得BCLEB.

又DECBE=E,所以BC_L平面DEB.

又BCu平面BCD,

所以平面BDE±平面BCD.

(3)由(2),得EF,EC,ED兩兩相互垂直，則可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,1),5(1,1,0),C(0,2,0),Z)(0,0,1),F(1,0,0),

則皮=(0,2,—1).

設(shè)加=/加(0