2024-2025學(xué)年福建省福州市八縣（市、區(qū)）高二年級(jí)上冊(cè)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市八縣（市、區(qū)）高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，幾7,則數(shù)列｛%｝的公比為（）

A.-2B.4C.1D.2

【正確答案】D

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q（q>0）,然后將已知條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)計(jì)

算可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為式4>0）,

由^ax=Ja2a4，得4al=1.a"=擊；/,為〉0,

2

所以4%=alq,

所以/=4,解得q=2或q=-2（舍去），

故選：D

2.拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程為（）

A.y=-iB.x=-l

11

C.x=------D.y=------

1616

【正確答案】D

【分析】將拋物線轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)式，由定義求出準(zhǔn)線.

11

【詳解】由y=4/得故拋物線y=4/的準(zhǔn)線方程為y=—記.

故選：D

JT

3.已知兩條直線4，4的斜率分別為左，左2,傾斜角分別為a，0.若,則下列關(guān)

系正確的是（)

A.0<%〈左2B.kx<k2<0C.勺<0<&D.

左2<0<勺

【正確答案】D

【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)>=tanx的單調(diào)性即可得解.

【詳解】依題意得，kx=tana,k2=tan,ae夕

而了=12!1%在O,］］和上單調(diào)遞增，且在°，］］上，J=tanx>0,

在［、，兀］上=面1%<0，所以tan/?<O<tana,即左2<0<《.

故選：D

4,直線/：丘-y-2后+2=0（后eR）過(guò)定點(diǎn)。，若尸為圓C：（x—2/+（y—3了=4上任意一點(diǎn),

則IPQI的最大值為（）

A1B.3C.4D.2

【正確答案】B

【分析】求出直線定點(diǎn)坐標(biāo)、圓心坐標(biāo)、半徑，再由點(diǎn)0（2,2）與圓C：（x-2y+（y-3）2=4

的圓心之間的距離加半徑求解

［詳角軍］由/:Ax_y_2左+2=0（左￡R）,得y-2二左（x—2）,

所以直線過(guò)定點(diǎn)。（2,2）,

由C:(x—2)2+3—3)2=4,知圓心坐標(biāo)(2,3),半徑為2,

所以。到圓心的距離為d=2)2+0-3)2=1<2，則。在圓內(nèi)，

貝修尸的最大值為4+2=3,

故選：B

5.在等差數(shù)列｛%｝中，若S3=3,$6=24,則S[2=()

A.100B.120C.57D.18

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和性質(zhì)求解.

【詳解】｛%｝是等差數(shù)列,則S3,§6-S3,Sg-$6,岳2-S9仍成等差數(shù)列，

又邑=3,久—星=24—3=21,所以品―5=2(56—$3)—$3=39,59=39+24=63,

512-S9=2(59-56)-(56-S3)=2x39-21=57,

所以Si?=57+63=120,

故選：B.

2222

6.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)橢圓二+與=1與雙曲線三了―%=1的離心率分別為er

aba

。2,其中a>b>0且雙曲線漸近線的斜率絕對(duì)值小于.，則下列關(guān)系不正確的是()

A.e；+e；=2B.1<e2<暫C.也<弓<1D.

21

1V6

l<ele2<—.

【正確答案】D

2B選項(xiàng)，先得到2<也，從而得到

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)離心率的定義得到e：+e；=;

a2

1+與＜巫，得到B正確；C選項(xiàng)，根據(jù)e；+e；=2和1＜當(dāng)〈巫得到正＜,＜1；

a~222

D選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式得到0段2＜1,得到D錯(cuò)誤.

1一,，e1+4，故e：+e；=2,A正確;

【詳解】A選項(xiàng)，由題意得,=2

a-

B選項(xiàng)，雙曲線的一條漸近線方程為y=21，故2＜正,

aa2

。瀉，故1"(半，B正確;

故g1+。

川，故

C選項(xiàng)，由A知e；+e；=2,故e：=2-e；￡—<e,<bC正確;

21

又e；+e；=2,且qw62,由基本不等式得e；+e；＞2ere2,故e。＜1,

所以斗＜邪＞2＜1，D錯(cuò)誤.

故選：D

7.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列{4},且(〃+2)%+i=2〃％對(duì)任意正整數(shù)〃恒成立，則數(shù)列表的

前〃項(xiàng)和S“為(

〃+12〃+1nIn

A.----B.D.

77+2〃+272+1n+1

【正確答案】C

a2(〃—1)2"a11

【分析】變形得到之二、J,利用累乘法得到4二1~~百，故言=--------，利

an_xH+1+2n77+1

用裂項(xiàng)相消法求和得到答案.

【詳解】由題意易知%NO,

/、凡72na2(/z-1)

由（〃+2”用=2〃%變形為工=-1，故工=

%T'"+1J

cri.2(〃一1)2(1)2(〃-2)2(〃一1)2n-2)22—3

所以an-2

n+1n〃+lnI%

2（n-l）2（n-2）2（n-3）2（n-4）2x22x1

----x---a.,

〃+ln72-1n—2431

2"a111

因?yàn)閝=1,所以故才n

n(n+l)'+n〃+l

1111111=1'=」

所以S"=1—

22334nn+\〃+ln+\

故選：C

8.己知長(zhǎng)方體ABCD-44GQ,AB=AD=2,AAX=4,M是8耳的中點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足

BP=2JC+^iBAx,其中Xe[O,l],//e[0,l],且KP//平面/用口，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所

形成的軌跡長(zhǎng)度是（）

A.3B.V5C.2A/2D.2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)給定條件而=+〃瓦彳，可得點(diǎn)尸在矩形43co及內(nèi)部，結(jié)合“P//平

面48]￡>i，利用面面平行的知識(shí)找出點(diǎn)P的軌跡，然后根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征與解三角形的

知識(shí)算出答案.

【詳解】在長(zhǎng)方體/BCD—44G2中，由麗=2就+〃可，2e[0,l],//G[0,1],得

點(diǎn)尸在矩形48cA及內(nèi)部，

又//平面4BR,故點(diǎn)P在過(guò)M且平行于平面4BR的平面內(nèi)，

連接481交/遂于點(diǎn)。，取08中點(diǎn)N,連接MN,在0上取點(diǎn)。，使得

連接"。，NQ,ODX,

由ABCD-451GA是長(zhǎng)方體，可知對(duì)角面48co為矩形，A{BHDXC且A{B=DXC,

因?yàn)?ON=goB=；AB,

所以￡>?//0N且。?=0N,四邊形20NO為平行四邊形，可得R0//QN,

因?yàn)镈Qu平面ABA,QN<Z平面ABR,

所以。N//平面AB1］,同理可得跖V//平面ABXDX,

因?yàn)镼N,MN是平面MNQ內(nèi)的相交直線，

故平面MN。//平面4B1A,即平面"AQ是過(guò)M且平行于平面48］。的平面，

所以點(diǎn)P的軌跡是四邊形截面AXBCD}與平面"AQ的交線，即線段NQ.

因?yàn)榫匦沃校?8=2,幺4=4,可知2逐=52?+4?=2君,

所以4。=g48=君，可得RtA4。。］中，DQ=J4。；+NQ?=6+后=3，

所以N0=20=3,即動(dòng)點(diǎn)p的軌跡所形成的軌跡長(zhǎng)度為3.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

22

9.若方程式+上—=1所表示的曲線為。，則下面四個(gè)說(shuō)法中正確的是（）

5-tt—3

A.若3</<5,則。為橢圓

B.若。為橢圓，且焦點(diǎn)在V軸上，貝IJ4〈/<5

c.曲線c可能是圓

D.若。為雙曲線，貝卜<3

【正確答案】BC

[分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式求解即可判斷AB；根據(jù)方程為圓列式求解判斷C；

根據(jù)雙曲線的特征判斷D.

22

【詳解】當(dāng)，=4時(shí)，方程工+工=1為-+"2=1,此時(shí)表示圓，故A錯(cuò)；c對(duì)；

5-tt—3'

若。為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則3>5—>0,解得4</<5,故B對(duì)；

若C為雙曲線，則（5—/）（/—3）<0,解得/<3,或/>5,故D錯(cuò)；

故選：BC

10.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)

進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1—4—2-1.這就是數(shù)學(xué)史上著

名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.比如取正整數(shù)加=8,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出

8―4—2—1—4—271.猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列｛%｝滿足q=5,

%+1=<寸'""為偶數(shù)，設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”,則下列結(jié)論正確的是（）

+l,a”為奇數(shù)

A.%=8B.%=2C.510=49D.

^3oo=722

【正確答案】ABD

【分析】求出數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列｛4｝中從第4項(xiàng)起以4,2,1循環(huán)，然后一一分

析判斷即可.

a

na為偶數(shù)

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝滿足q=5,%+]=2'",

3a”+1,%為奇數(shù)

所以4=3x5+1=16,%=5=8,%———4,（75=萬(wàn)=2,6———

42

%=3x1+1=4,%=萬(wàn)=2,2———1?%。=3xl+l=4,

所以Ro=5+16+8+4+2+1+4+2+1+4=47,

所以AB正確，C錯(cuò)誤,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝中從第4項(xiàng)起以4,2,1循環(huán)，而（300—3）+3=99,

所以S300=（5+16+8）+99x（4+2+1）=722,所以D正確，

故選：ABD

11.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,前〃項(xiàng)積為北，并且滿足條件0</<l,a8a9〉1，

a8a9+1<%，則下列結(jié)論正確的是（）

A.q>1B.。臼0<1C.7]7>1D.1的最小

值為四

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)題意，由a8a9〉1，得的范圍，由a8a9+1<氣+%變形得（1一1）（。9一1）<。，

因此可得心<1<。9，由此分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案

【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列｛%｝的公比為4,由a8a9〉1，所以q〉0，

若a8a9+1<口8+。9，得a8a9+1一一。9<0，變形得（6一1）（。9一1）<0，

又q〉0且0<%<1,則為<1<。9，故4=四~>1，故A對(duì)；

。8

由。8%0〉1，故B錯(cuò)；

afl!

（7=2a3…q647=（<71?17）（a2i6）'"9=（aj'>]，故C對(duì)；

因?yàn)橛?〉0且0<%<1,所以等比數(shù)列｛4｝遞增數(shù)列，而為<1<為，則（的最小值為《，

故D錯(cuò)；

故選：AC

12.已知拋物線C：/=2/（夕〉0）與圓O：-+「=5交于/,8兩點(diǎn)，且|AB|=4,直

線/過(guò)C的焦點(diǎn)R且與。交于N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若直線/的斜率為百，貝ij|兒叫=8

B.|"F|+4|N刊的最小值為9

C.若以板為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)為（0,1）,則點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為1

D.若點(diǎn)G（3,2）,則△GFM的周長(zhǎng)最小值為4+2友

【正確答案】BCD

【分析】求出拋物線的方程，得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線跖V的方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組

應(yīng)用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)|跖V|判斷A,再根據(jù)韋達(dá)定理得出焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，然后利用基本不等式

求解后判斷B,作出大致圖象，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，結(jié)合拋物線的定義判斷C,過(guò)G作準(zhǔn)

線的垂線GW（X是垂足），寫出三角形的周長(zhǎng)，結(jié)合拋物線的定義轉(zhuǎn)化后得出不等關(guān)系，從

而可得最小值判斷D.

【詳解】拋物線C：丁=28（0〉0）與圓。：/+「=5交于aB兩點(diǎn),且|AB|=4,

則第一象限內(nèi)的交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2,代入圓方程得橫坐標(biāo)為1,即/（1,2）,

所以2?=2夕，p=2,即拋物線方程為/=4x,焦點(diǎn)為尸（1,0）,

對(duì)選項(xiàng)A,設(shè)直線/方程為x=〃"+l,由〈2'得加y—4=0,

J=4x

4

設(shè)舷（石,必）,Mz，%）,則yl+y2=4m,必%=~，

\MN\=J1+加2|%-％|=J1+療=4（1+加2）,

直線/的斜率為百時(shí)，m=與，所以pw|=4（l+g）=g,A錯(cuò)誤；

111+1_A：1+X2+2

對(duì)選項(xiàng)B,由拋物線定義得

\MF\pv^再+1X2+1X1X2+$+%2+1

12

+y2）+44m+41

+掰（必+、2）+34加+4

10

=5+/+產(chǎn)“+2血=9

|A7^|\MF\

當(dāng)且僅當(dāng)\M謁F\4回

即=時(shí)等號(hào)成立,

\MF\,

因此的巴+4|N用的最小值為9,B正確；

對(duì)選項(xiàng)C,如圖，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為交V軸于取〃戶的中點(diǎn)。，過(guò)。

作y軸垂線，垂足為

則MMJ/OF,DD[是梯形OFM.M的中位線,

由拋物線定義可得\MM\=\MM'\^\MXM'\=\MF\-\,

,,,\OF\+\MM,\1+\MF\-1\MF\

所CCI以￡>￡>/=J_U——U=—?~1—

11122"T"

所以以旅為直徑的圓與y軸相切,

因此（o,D為切點(diǎn)，所以。點(diǎn)縱坐標(biāo)為1,

又。是兒田中點(diǎn)，所以M點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,

而M是拋物線上的點(diǎn)，因此其橫坐標(biāo)為1,C正確;

對(duì)選項(xiàng)D,過(guò)G作GW垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為X,

所以△GFM的周長(zhǎng)為阿G|+|"F|+|GE|=MG|+M/[+2J^NpH\+2y/2=4+2逝,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,2）時(shí)取等號(hào)（即GM與準(zhǔn)線垂直），D正確.

故選：BCD.

方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（西/1）,仁2/2）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或＞）的一元二次方程，注意△的判斷；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為七+々、西》2（或“+%、%%）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)之和S"=2"-l,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式%=.

【正確答案】2"T

【詳解】分析：根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)得關(guān)系求結(jié)果.

詳解：因?yàn)楫?dāng)〃=1時(shí)，/=E=1,當(dāng)〃之2時(shí)，%=S"—S"T=2"—2"T=2"T,

因?yàn)?-=1，所以%=2'i.

點(diǎn)睛：給出Sn與an的遞推關(guān)系求an,常用思路是：一是利用a?=Sn-Sn_x,n>2轉(zhuǎn)化為4的

遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為S”的遞推關(guān)系，先求出J與〃之間的關(guān)系，再求劣.

應(yīng)用關(guān)系式％=「二c時(shí)，一定要注意分〃=1/22兩種情況，在求出結(jié)果后，看

電―

看這兩種情況能否整合在一起.

14.己知雙曲線方程為片=1（加>0）,若直線X—了一2=0與雙曲線左右兩支各交一

m

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)冽的取值范圍為.

【正確答案】（L+S）

【分析】求出漸近線方程，結(jié)合直線與雙曲線左右兩支各交一點(diǎn)，比較斜率即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為——匕=1（加>0）,

m

所以雙曲線的漸近線方程為y=土Gix,

因?yàn)橹本€-2=0與雙曲線左右兩支各交一點(diǎn)，

所以1<4m>解得m>\,

即實(shí)數(shù)加的取值范圍為（1,+8）,

故（1,+8）

15.如圖，四棱錐A-4BCD中，2。，底面48CD,底面/BCD是邊長(zhǎng)為6的正方形,

且四棱錐4BCD的外接球的表面積為81兀，點(diǎn)￡在線段ZD1上，且2QE=EA,M為

線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線。。上任意點(diǎn)的距離的最小值為.

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方為x軸正方向，反為》軸正方向，函為z軸正方向建

立坐標(biāo)系，由外接球的表面積為81兀，求出廠=5，由2。］￡=￡4求得￡（2,0,2）,M為線

段8E的中點(diǎn)，求出M（4,3,l）,然后幾根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)求最值可得.

【詳解】由2。，底面45CO,所以ND,RD，DC

由底面/BCD是正方形，所以D4_LOC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方為x軸正方向，反為了軸正方向，西為z軸正方向建立坐標(biāo)系,

設(shè)四棱錐A-4BCD的外接球的半徑為r,

9

由外接球的表面積為81兀，即4仃2=81兀，所以r=—,

2

|叫=2r=,36+36+四可=9，所以|〃。=3,

所以4（6,0,0）,。（0,0,3）,又2D1E=EA,即2屏=或，

設(shè)￡（x,y,z）,所以QE=[x,y,z-3）,EA=（6-x,-j,-z）,

，f-

2x=6-xx=2

所以<2j=_y=<y=0,所以￡（2,0,2）,又8（6,6,0）,

2（z-3）=-zz=2

因?yàn)镸為線段BE的中點(diǎn)，所以M（4,3,l）,

設(shè)直線。。上一點(diǎn)0（0/,0）,

\MQ\=J16+”3『+l=小7+（t—3）2

所以當(dāng)/=3時(shí)，點(diǎn)"到直線。。上任意點(diǎn)的距離的最小，其最小值為

故而

16.瑞典數(shù)家科赫在1904年構(gòu)造能描述雪花形狀的圖案，就是數(shù)學(xué)中一朵美麗的雪花一“科

赫雪花”.它的繪制規(guī)則是：任意畫(huà)一個(gè)正三角形右（圖1）,并把每一條邊三等分，再以中間

一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線6（圖2）,如此繼續(xù)下去

形成雪花曲線巴（圖3）,直到無(wú)窮，形成雪花曲線勺,己,…,月,….設(shè)雪花曲線匕的邊數(shù)為

”,面積為S”，若正三角形片的邊長(zhǎng)為1,貝；5?=.

圖3

2V327?(4

【正確答案】①.3X4"T、

SCTUJ

【分析】根據(jù)圖形，得出｛〃｝成等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式，再由圖形的形成過(guò)程得出邊

長(zhǎng)也成等比數(shù)列，而勺是在月_i的基礎(chǔ)上每條邊向外增加一個(gè)小正三角形，由此可得面積間

的關(guān)系,=s“_1+晨x利用累加法求得通項(xiàng)公式,.

【詳解】由題意，4=3,6,=4船(〃22),即｛4｝是等比數(shù)列，公比是%所以〃=3X4"T,

設(shè)雪花曲線月的邊長(zhǎng)為%,則%=1,%22),所以氏=(；)1,

因?yàn)镠=手，

當(dāng)心2時(shí),S”=%+%*生：=%+43x4"-2x(/t=%+M*(*,

所以S.=E+(S2—SJ+…+(S.—S“T)

9

2V327?4]

故3X4"T；SO-^J

方法點(diǎn)睛：本題考查歸納猜想，考查數(shù)列的應(yīng)用，解題方法是觀察圖形，通過(guò)圖形的形成歸

納總結(jié)出匕與夕一(〃22)的關(guān)系：邊數(shù)間的關(guān)系，邊長(zhǎng)的關(guān)系，面積的關(guān)系，從而利用數(shù)列

的知識(shí)求得結(jié)論.

四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(共6大題，10分+12分+12分+12

分+12分+12分，共70分)

17.己知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，兒=190,幾=190；

(1)求等差數(shù)列｛a,｝的前〃項(xiàng)和及的最大值；

(2)求數(shù)列｛|%|｝的前16項(xiàng)和。.

【正確答案】(1)S=-n2+29n,210；

(2)212.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，結(jié)合性質(zhì)求出公差及首項(xiàng)即可得解.

(2)由(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷項(xiàng)的正負(fù)，再結(jié)合(1)的結(jié)論求解即得.

【小問(wèn)1詳解】

等差數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S"，由Ho=19O,得10(%；%。)=190,解得4+4。=38,

由耳9=190,得19(%+49)=19%。=190,解得％。=10,則％=28,公差"=^^=一2,

210—1

因此S“=28"+"1X(_2)=-〃2+29〃，對(duì)稱軸為〃=14.5,因?yàn)椤癳N*，則當(dāng)〃=14或

〃=15時(shí)，(J)=210,

所以S“=-/+29〃，S”的最大值為210.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知，an=28+(?-1)x(-2)=30-2?,貝!J|%|=|30-2〃|,

所以幾=同+1%|----1=%+%--------%5-%6

2

=耳5-a16=-15+29x15+2=212.

18.已知圓C:X?+/一4》=0,直線/過(guò)點(diǎn)尸(0,4).

(1)若直線/與圓C相交，求直線/的斜率左的取值范圍；

(2)以線段PC為直徑的圓。與圓C相交于48兩點(diǎn)，求直線的方程及AASC的面積.

3

【正確答案】(1)k<——

4

Q

(2)x-2y=0,-

【分析】（1）利用圓心到直線的距離小于半徑或聯(lián)立直線方程、圓的方程結(jié)合判別式均可以

求出斜率的范圍.

（2）求出弦長(zhǎng)和圓心到直線的距離后可求三角形的面積，或者求出兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)后可求三

角形的面積.

【小問(wèn)1詳解】

法一：由已知可得圓C:（x—2『+『=4,直線/：＞=丘+4即6-y+4=0,

?.?直線/與圓。相交，.?.圓心C（2,0）到直線I的距離小于半徑廠=2,

2人+433

即d=?＜2,解得左＜—-,故直線/的斜率上的取值范圍為左＜—-.

44

法二：設(shè)直線/的方程）=日+4,

y=Ax+4

聯(lián)立方程＜得(1+左2)》2+(8左一4)x+16=0,

x2+y2-4x=0

故A=（8"4）2—4xl6（l+r）＞0,解得左＜—:

3

故直線/的斜率上的取值范圍左＜—-.

4

【小問(wèn)2詳解】

以PC為直徑的圓。（1,2）,且半徑/=fpC|=J5,

圓。的方程為（X—1）2+（y—2『=5,

由圓C:x?+y2-4x=0和圓Z)：(%-1)一+(y-2y=5可得:

AB的方程為：x~+y~—4x_(x-1)--(y-2)+5=0,

整理得直線AB的方程為x-2y=0.

bl

法一：因?yàn)閳A心C(2,0)到直線48的距離即1=r」

V4+15

u_1,NDI_18A/52^/58

\AB\=2，S“BCugdx]/叫=QX^—x^—

5

Q

所以A4BC的面積一.

5

x-2y=0

法二:聯(lián)立方程＜得5x2-16x=0,

x2+v2-4x=0

16

x=0X5188

解得c或o,5A^C=TX2X-=-

y=08255

y=-

[5

Q

所以“BC的面積一.

5

19.已知標(biāo)準(zhǔn)雙曲線。的焦點(diǎn)在x軸上，且虛軸長(zhǎng)26=4,過(guò)雙曲線。的右焦點(diǎn)鳥(niǎo)且垂直x軸

的直線/交雙曲線。于兩點(diǎn)，的面積為80.

(1)求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸(4,2)的直線4交雙曲線C于S、T兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段ST的中點(diǎn)，求直線4的

方程.

22

【正確答案】(1)土—匕=1

44

(2)y=2x-6

【分析】⑴根據(jù)題意，表示出|48|,再由片的面積，并結(jié)合雙曲線中a,6,c的關(guān)系求

解；

(2)法一，設(shè)出直線4的點(diǎn)斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求

解；法二：利用點(diǎn)差法求解.

【小問(wèn)1詳解】

22

由題設(shè)雙曲線C：0—4=1,直線/的方程為x=c

a2b2

x=c

A2

聯(lián)立方程《X2V2，解得y=土幺,

------二1a

[a2b2

o

：.\AB\=—f又26=4,b=2,：.\AB\=-

aa

18

?，-S^BF、=彳x2cx—=8A/2,貝i]c-

2a

而c2_/=/=4,2a2-a2=4,a2=4

22

所以雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為土-匕=1.

44

【小問(wèn)2詳解】

法一：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（4,2）的直線4與雙曲線上—2=1相交于雙

T兩點(diǎn),

44

可知，直線《的方程不是x=2,

設(shè)直線/1的方程為y—2=k（x-4）（左W1）,即尸船一4左+2,

y-kx-Ak2

聯(lián)立方程2,

----=1

[4---4

得（1—左2）》2+2（4左一2）"—（4左一2）2—4=0（1—左2wO）①

半U(xiǎn)=8,*U2,解得％=2,

K-1K-1

將左=2代入①，得3f-24x+40=0,A=242一4x3x40=12x8=96>0

故直線4的方程為y=2x—6.

法二：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（4,2）的直線4與雙曲線三—/=1相交于S、

T兩點(diǎn),

44

可知，直線/1的方程不是x=2,

設(shè)5（石,y）,r（x2,y2）（x1^x2）,

22

44

%)-x28X]—x2

直線4的方程為了-2=2(x-4),即y=2x—6,

y=2x-6

聯(lián)立方程(必/_,

彳一彳一

得3尤2-24尤+40=0,A=242-4X3X40=12X8=96>0,

故直線4的方程為y=2x-6.

20.在四棱錐P—/BCD中，底面45CD為直角梯形，ADHBC,ADVAB,側(cè)面上45，底

面ABCD,PA=PB=5,AD=-BC=2,且瓦尸分別為PC,CD的中點(diǎn).

2

（1）證明：DE〃平面P4B；

（2）若直線尸尸與平面P48所成的角為45。，求平面P48與平面PCD的夾角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵嚕

【分析】(1)法-3利用構(gòu)造平行四邊形，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；法二：利用

面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可得證；

(2)依題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面P45與平面PCD的法向量，從而利用空間

向量法即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

法一：取P8中點(diǎn)連接

?「￡為PC的中點(diǎn)，.,.〃￡//8。,九化=工8。，

2

又,：4D//BC,4D=gBC,:.ME//AD,ME=AD,

，四邊形/。瓦欣為平行四邊形，.?.￡>￡///及1,

DEU平面PAB,AMu平面PAB,

:.DE//平面P4B.

法二：取中點(diǎn)N,連接DN,EN,

，：E為PC的中點(diǎn)，：.NE/IPB,

-：NEu平面PAB,PBu平面PAB,:.NEII平面PAB,

又-.?ADIIBC,AD=^BC,BN//AD,BN=AD,

四邊形4DN3為平行四邊形，

???DNU平面PAB,AB<z平面PAB，,DNII平面PAB

又DN\NE=N,。乂人見(jiàn)<=平面。加，；.平面￡）￡7\/7/平面7348,

又。Eu平面。EN,.1DE//平面P4s.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)槠矫嫔?8J_平面48CD，平面尸48c平面=平面48CD,BCYAB,

.?.5。，平面「48，

取中點(diǎn)G,連接尸G,則尸G//BC,.?.尸G,平面P48,

所以NGF戶是直線PF與平面P48所成的角，即ZGPF=45°,

又GE=g（AD+3C）=3,PG=3,

又PA=PB=5,.\AG=GB=752-32=4,AB=8>

又PA=PB,則PG_L/B,

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，G5為x軸，GE為V軸，GP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

.?.P（0,0,3）,C（4,4,0）,r?（-4,2,0）,

.-.PC=(4,4,-3),DC=(8,2,0),

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量，=（x,y,z）,

n-PC=4x+4y—3z=0

則《x取x=l,則々=（1,一4,一4）,

nxCD=8x+2y=0

易得平面P45的一個(gè)法向量可取0=（0,1,0）,

設(shè)平面P48與平面PCD所成的夾角為6,

4月

33

故平面PAB與平面PCD所成的夾角的余弦為生匡.

33

3a

21.己知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)q=a,且滿足S〃+i—S〃=L、(〃eN*).

2?！?1

(1)判斷數(shù)列I工-1是否為等比數(shù)列；

1%J

3H

(2)若％=—,記數(shù)列《一卜的前〃項(xiàng)和為7；,求

4

【正確答案】(1)答案見(jiàn)解析

⑵小O噂

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列定義及構(gòu)造法求通項(xiàng)可判斷；

(2)根據(jù)等比數(shù)列求和公式、等差數(shù)列求和公式，利用數(shù)列分組求和及錯(cuò)位相減法求和可得

結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

法一：若上==0,解得a=1,則數(shù)列工—1不是等比數(shù)列；

%a[a?J

1111c「c3a”3a“

若---1二一一1。0，即。。1,因?yàn)?-----,所以4+1=;;-----,

axa2%+1Zan+1

J__l2?！?1i

_(〃eN*)=^——=2%+l—3%J

l-a,3-3%3

anan

所以當(dāng)a=l時(shí)，數(shù)列1不是等比數(shù)列，

[％J

當(dāng)awl時(shí)，數(shù)列L-1是以匕區(qū)為首項(xiàng)，工為公比的等比數(shù)列.

anJa3

法二：若工—1=工—1=0,解得。=1,則數(shù)列L-1不是等比數(shù)列;

aia%I

303a“

若1=-I。。，即awl,因?yàn)镾J+I—S”亞士，所以%、五M

axa

3a“12an+\1121,1/1,、

anl---------1——所以-----1=丁（----D，

+343’a

2%+1%+i3atin+i3

-1

—=-（?eN*）,

±-123

an

所以當(dāng)。=1時(shí)則數(shù)列1不是等比數(shù)列

[％J

當(dāng)awl時(shí)，數(shù)列工―1是以匕2為首項(xiàng),,為公比的等比數(shù)列.

[%Ja3

【小問(wèn)2詳解】

,所以工=i+1,則,《"+〃?

由（1）知，----1——x

3%

n

則T=lx-+2xH-------\-n+1+2+…+〃，

'3II

令2=1+2+…+〃=—--

n

45=lx-+2xH-------\-nI①

"3II

3n

1i+2x11

所以=lx+,,,+（H—1）I+n②

3"

21

①②相減得：一S二—++-??+

3〃33

1-n+\

311n

—+-

33223

32〃+3

得s,

44

所以手］

22.已知點(diǎn)S（-1,O）,T是圓/：（x-1『+/=16上的任意一點(diǎn)，線段ST的垂直平分線交

FT千點(diǎn)、N,設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡曲線為獷；

（1）求曲線少的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)尸作斜率不為0的直線/交曲線少于48兩點(diǎn)，交直線x=4于P.過(guò)點(diǎn)尸作V軸

的垂線，垂足為。，直線/。交x軸于。點(diǎn)，直線3。交x軸于。點(diǎn)，求線段CD中點(diǎn)M的

坐標(biāo).

22

【正確答案】(1)—+^=1

43

(2)(1,0)

【分析】（1）由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（x,y）,由己知條件結(jié)合橢圓定義可知點(diǎn)N的軌跡為以S、F為

左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，列出方程求出a,6,從而可求得曲線少的方程；

（2）方法一：設(shè)出直線/方程歹=k（x-1）（左#0）和43兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線方程與橢圓方

程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出玉+、2=丁*T，x}x?=——］，再表示出直線/。，

3。的方程，則可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出線段3中點(diǎn)M的坐標(biāo)；方法二：設(shè)直

線/方程為叼=x-1（加彳0）,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出

op4^2-1?

國(guó)+工2=7■"，xx2=—~/，再表示出直線/。，8。的方程，則可表示出點(diǎn)少的

坐標(biāo)，從而可求出線段3中點(diǎn)M的坐標(biāo).

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（x,y）,

因?yàn)榫€段ST的垂直平分線交尸T于點(diǎn)N,

所以|NS|=|NT|,

所以|沖|+=|NT|+=34=4,

因?yàn)閨S廠|=2<4,

所以由橢圓定義可知點(diǎn)N的軌跡為以S、尸為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,

22

設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡