2024-2025學(xué)年廣西玉林市高二年級(jí)上冊(cè)11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣西玉林市高二上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

、單選題（本大題共8小題）

1.圓X2+J?-4X=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）

A.(0,2),2B.(-2,0),4C.(2,0),2D.(2,0),4

3

2.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為『的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（)

A./=|x23

B.y——x

2

C./=3xD.y2=-3x

22

3.雙曲線3-?=1（。>0）的離心率為百，則。=（）

A.1B.V2C.百D.a

4.如圖，空間四邊形OABC中，O4=a>OB=b>OC=c>點(diǎn)M在刀上，且

OM=2MA,點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則加=)

A.-a--b+-cB.--a+-b+-c

232322

C.-a+-b--cD.-S+b--c

22232

5.若兩異面直線乙與4的方向向量分別是％=。，0,T），^-（0-1,1）,則直線4與4的

夾角為（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

22

6.已知橢圓E:=+4=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3,0）,過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B

ab

兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1）,則E的方程為（)

A'+臥

B-?6+i7=1

2222

C.工+匕=1D.二+匕=1

2718189

7.若直線依-y-2=0與曲線=『一1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)左的取值范

圍是（）

A-[p2]B-[?4_

C卜2，一力嗚,21D.g+8）

8.已知直線4：ax-y+5=O與直線/2：x+ay-a+4=0（aeR）的交點(diǎn)為P,則點(diǎn)P到直線

/:y=x-3距離的取值范圍是（）

A.[372,772]B.（372,772]

C.[2JI,6e]D.（2A/2,6A/2]

二、多選題（本大題共3小題）

9.:x+3y+9=0,/2:（a-2）x+ay+7-a=0,則下列說(shuō)法正確的是（）

3兀、

A.當(dāng)。>0時(shí)，4的傾斜角的范圍是0,yI

B.若〃〃2，則4=3

C.若<_LL,則Q=；

D.當(dāng)。=3時(shí)，4到/，的距離為包

2

10.如圖，在長(zhǎng)方體/BCD-44cH中，"=4。=2,44尸1,點(diǎn)M為線段3a上動(dòng)點(diǎn)

（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)〃■為42中點(diǎn)時(shí)，平面8%DQ

B.當(dāng)點(diǎn)〃?為BQ中點(diǎn)時(shí)，直線DM與直線BC所成角的余弦值為正

3

C.當(dāng)點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐C「瓦W的體積是定值

D.點(diǎn)M到直線3a距離的最小值為逅

3

11.如圖，曲線C是一條“雙紐線”，其C上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)￡（-2,0）與到點(diǎn)外（2,0）

的距離之積為4,則下列結(jié)論正確的是（）

A?點(diǎn)可2也0）在曲線C上

B.點(diǎn)M（x,l）（x>0）在C上，則|9|=2收

22

C.點(diǎn)。在橢圓土+匕=1上，若耳貝！|0eC

62

D.過(guò)月作無(wú)軸的垂線交C于48兩點(diǎn)，則|/白<2

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知直線I的方向向量為（2,%1）,平面a的法向量為且l\\a,

貝ijm=.

13.已知拋物線。:y=4、的焦點(diǎn)為八點(diǎn)M在。上，且點(diǎn)M到直線x=-2的距離為

6,則中=.

22

14.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:5-A=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳:，點(diǎn)

ab

M在以巴為圓心、|。閭為半徑的圓上，且直線m與圓月相切，若直線及明與C的一

條漸近線交于點(diǎn)N,且標(biāo)=旃，則C的離心率為.

四、解答題（本大題共5小題）

15.已矢口直線/經(jīng)過(guò)兩條直線x+2y-5=0和—y—1=0的交點(diǎn).

⑴若直線/與直線》-2?-3=0垂直，求直線/的方程；

⑵若直線/與直線x-2y-3=0平行，求直線/的方程及此時(shí)直線/與直線尤-2y-3=0

的距離.

16.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是4(T,0),g(4,0)，點(diǎn)尸是雙曲線上的一點(diǎn)，

HH^||=4.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)寫(xiě)出該雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.

17.已知圓C的方程為：(x-3)2+(y+l)2=4.

(1)若直線/：x-y+a=o與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且|/同=20,求實(shí)數(shù)a的值;

⑵過(guò)點(diǎn)”(1,2)作圓C的切線，求切線方程.

18.如圖，在四棱錐P-/3C。中，P4_L平面48CD,ABLAD,AD//BC,

TT

AP=AB=AD=\,且直線PB與CD所成角的大小為百.

P

(1)求BC的長(zhǎng)；

(2)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.

19.已知點(diǎn)尸(2,1)在橢圓c：《+J=l(a>6>0)上，橢圓的離心率6=當(dāng)

(1)求橢圓C的方程；

(2)若不過(guò)點(diǎn)P的直線/：/=區(qū)+機(jī)交橢圓于A,B兩點(diǎn),直線尸/,P3的斜率分別為

k[,k?且左]+&=1,

①求證：直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；

②求△045面積的取值范圍(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

答案

1.【正確答案】C

【詳解】圓的方程可化為：口-2『+/=4,.?.圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑r=2.

故選：C.

2.【正確答案】D

【詳解】由題意可知，拋物線的開(kāi)口向左，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為必=-2px(0>O),

則5=所以夕=：，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為「=-3x.

故選：D.

3.【正確答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的基本量關(guān)系求解即可.

【詳解】由題意，1三=百，即/+4=3/,解得

a

故選：B

4.【正確答案】B

【詳解】因?yàn)?lt;W=2M4,點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，

―?1―?—?1—?

所以=BN=-BC,

32

^MN=MA+^B+^N=-OA^OB-OA+-^C

32

=-Ia+—b-a+-1(/—OC,,-—OB(,\\=—2—a+-b*+-1(/c-bf\]=--2a+1-—b+1-c.

32、)32、1322

故選：B.

5.【正確答案】B

【分析】

設(shè)異面直線4與4所成的角為。，根據(jù)cos。=卜0$伍,礙|,即可求解.

【詳解】

由題意，兩異面直線4與4的方向向量分別是，=(1,0,T)，元=(0,-1,1),

n

可得匐=忘，12卜&,i-n1=-\,

I/—?—I,“2|1

cos

設(shè)異面直線4與，2所成的角為。，則6*=|cos^2,,?2^|=，L||2.|=-,

又因?yàn)樯?0。,90。)，所以0=60。，

即直線4與4的夾角為60°.

故選：B.

6.【正確答案】D

【詳解】設(shè)4W,乂)、8(工2，%)，,運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線N8的斜率

為左=與，設(shè)直線方程為尸給X-3),聯(lián)立直線與橢圓的方程

aa

⑷+b1)x2-6b2x+9b2-a4-0,所以再+/=竟了=2；又因?yàn)榘私獾?/p>

b~=9,a2=18.

【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.

7.【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)曲線為(x-l『+(y-l)2=l(x21),再由直線恒過(guò)定點(diǎn)

m-2),結(jié)合圖象和圓心到直線的距離，列出方程，即可求解.

【詳解】由曲線Jl-(y-=x—1,可得(x—1)+(>—1)2=l(x>1),

又由直線丘->-2=0,可化為>=辰-2,直線恒過(guò)定點(diǎn)尸(0,-2),

作出半圓與直線的圖象，如圖所示，

結(jié)合圖象，可得出1,0),所以％=\^1=2,

卜一3|4

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，可得)^=1,解得左=；,

a+13

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為($2].

故選：A.

8.【正確答案】D

【分析】求出兩直線所過(guò)定點(diǎn)，確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合圓上的點(diǎn)到定直線的

距離的最值，即可求得答案.

【詳解】直線4，分別過(guò)定點(diǎn)40,5）,5（-4,1）,且互相垂直，所以點(diǎn)P的軌跡是以

為直徑的圓（不含點(diǎn)（0」）），這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)為（-2,3）,半徑為2虛，圓心到直

1-2-3-31I-

線1距離為d」&'=4及,因此圓上的點(diǎn)到直線I距離最大值為6虛，最小為

2行，取得最小值時(shí)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,1）,因此取值范圍是（2&,6拒］.

故選D.

9.【正確答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)〃＞0時(shí)，直線，2的斜率左2=-a~=±2—1〉—1，

aa

當(dāng)一1＜左＜0時(shí)，4的傾斜角

當(dāng)上20時(shí)，4的傾斜角0,^,A錯(cuò)誤；

21,

對(duì)于B,由〃〃2，得1=-；，解得。=3,故B正確；

a3

對(duì)于C,由/i，/2，得（a-2）+3〃=0,解得C正確；

對(duì)于D,當(dāng)4=3時(shí)，/J/4,直線4：%+3y+4=0,

4到的距離為；9一可=坐,D正確.

VI2+322

故選：BCD

10.【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；

利用空間向量求出向量夾角余弦判斷B；利用三棱錐體積公式判斷C；利用空間向量

求出點(diǎn)到直線的距離最小值判斷D.

【詳解】在長(zhǎng)方體/3CD-44GA中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

z,

則D(0,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0)<(0,2,1),Q(0,0,1),用2,2,1),設(shè)J,1),04d2,

對(duì)于A,t=I,=(-1,1,0),函=(0,0,1),麗=(2,2,0),

MCl-DDl=Q,MCl-DB=Q,即MC】_LDRMG_LDB,

而。。1門(mén)。3=。,。4，。5<=平面3耳口。，因此C]M_L平面網(wǎng)DQ,A正確；

___.—.----------DM~BC-2J3

對(duì)于B,DM=(1,1,1),5C=(-2,0,0),3s(DM,BC)=—,一=亍—=——，B錯(cuò)誤;

\DM\\BC\氐23

對(duì)于C,由選項(xiàng)A知，點(diǎn)￡到平面92Q的距離為應(yīng)，而△SW的面積

-BDDD.=V2,

21

2

因此三棱錐河的體積丁是定值，C正確；

對(duì)于D,西=（-2,0,1）,可狂=億—2,0）,則點(diǎn)M到直線8G的距離

VI5CJ

=++（-2）2_]=與一書(shū)+4=RTY斗，當(dāng)且僅當(dāng),=（時(shí)取等號(hào)，D正

確.

故選ACD.

11.【正確答案】ACD

【分析】對(duì)選項(xiàng)A,根據(jù)“雙紐線”定義即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B,根據(jù)“雙紐

線”定義得到加（百」），再計(jì)算|岫|即可判斷B錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)C,根據(jù)“雙紐線”定

義和橢圓定義即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D,設(shè)/（2,力，根據(jù)勾股定理得到

二=16+/,再解方程即可判斷D正確.

y

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)閨。片|口用=（2板+2）（2拒-2）=4,由定義知DeC,故A正

確；

對(duì)選項(xiàng)B,點(diǎn)M（x,l）（x>0）在C上，

則|孫"|=J[（x+2）2+l][（x-2）2+1]=4,

化簡(jiǎn)得/-6/+9=0,所以x=C，|町|=?。ò?2『+1/2忘，故B錯(cuò)誤；

22

對(duì)選項(xiàng)C,橢圓上+匕=1上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為￡（-2,0）與月（2,0）,

62

則國(guó)目+|工。=2指,又與。，與。，所以國(guó)0『+舊@2=16,

故,@/回=（山5+內(nèi)魚(yú)）-俯?！?,01）二"所以0e一故C正確；

對(duì)選項(xiàng)D,設(shè)/（2,力，貝卻=22|,

4

因?yàn)镹eC,則|皿|=H，又|/『=16+/，

所以/■=16+/,化簡(jiǎn)得_/+16_/-16=0,故/=4石-8,所以/_1=4百-9<0,故

\y\<i,所以|/司<2,故D正確,

故選ACD.

12.【正確答案】-8

【詳解】

因?yàn)橹本€I的方向向量玩=（2,加,1）,平面a的法向量”=1,；,2）,Illa,所以

BPm-fi=2+—m+2=0,解得加=—8,故答案為-8.

13.【正確答案】5

【分析】由條件求點(diǎn)/到拋物線的準(zhǔn)線的距離，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)論.

【詳解】拋物線/=4x的準(zhǔn)線方程為x=T,

設(shè)點(diǎn)W的坐標(biāo)為（X],%）,則再20,

因?yàn)辄c(diǎn)M到直線尤=-2的距離為6,

所以點(diǎn)“到準(zhǔn)線尤=-1的距離為5,

由拋物線定義可得|阪|=5.

14.【正確答案】叵

2

【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，連接工則gMLN6內(nèi)閭?cè)?

故陽(yáng)M=J區(qū)閶2TMJ2=Gc,ZMFXF2=30°,

設(shè)N（Xo，%）,因?yàn)槿÷?而？，所以M為八%的中點(diǎn)，

|A7\|=2|片=2百c,故％=26c.sin30°=V3c,x0=2>/3c-cos300-c=2c,

將N（2c,Gc）代入尸紇中，故2=也，則e，=Ji7^=".

故答案為也.

2

15.【正確答案】(l)2x+y-4=0；

⑵x-2y+3=0,.

fx+2y-5=0fx=1

【詳解】(1)由。?,八，解得°,即直線x+2y-5=0和3尤7-1=0的交點(diǎn)

[3x-y-l=0[>=2

為(1,2),

由直線/與直線x-2尸3=0垂直，設(shè)直線/的方程為2x+y+q=0,

把點(diǎn)(1,2)代入方程得2+2+Q=0,解得q=-4,

所以直線/的方程為2x+y-4=0.

(2)由直線/平行于直線x-2k3=0,設(shè)直線/的方程為》-2》+。2=00-3),

把點(diǎn)(1,2)代入方程得1-2X2+CZ=0,解得。2=3,

所以直線/的方程為~2y+3=0,直線/與直線》-2k3=0的距離

|3-(-3)|6r-

U=-/=一VJ

#+(-2)25-

16.【正確答案】⑴三-片=1

412

(2)答案見(jiàn)解析

【詳解】(1)解：因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是耳(-4,0),乙(4,0),所以雙曲線的焦點(diǎn)

在x軸上，

又因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，且忸耳H*1=4,

根據(jù)雙曲線的定義，可得2〃=4,所以Q=2,

所以雙曲線的方程為￡-片=1.

412

22

（2）解：由（1）知，雙曲線的方程為^--匕=1,可得”=2,6=2百,c=4,

412

所以雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為。=2,虛半軸長(zhǎng)為6=2百，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（口0）,

離心率為0=￡=2,漸近線方程為y=±2x=土百x.

aa

17.【正確答案】（1）。=-2或-6；

（2）x=1^5x+12y-29=0.

【詳解】（1）圓C的方程為：0-3）2+3+1）2=4,

則圓C的圓心為（3,-1）,半徑為2,

直線/：X7+。=0與圓C相交于A、3兩點(diǎn)，且|/為=20，

-）S解得。=-2或-6；

7i2+（-i：）2

（2）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線尤=1,與圓C相切，

切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)切線為了-2=?x-l）,即Ax-y-左+2=0,

由切線的定義可知，而+（_以=2,解得上=一］,

故切線方程為5x+12y-29=0,

綜上所述，切線方程為x=l或5x+12y-29=0.

18.【正確答案】（1）2

⑵ge

【詳解】（1）因?yàn)槭?_L平面/BCD,且

所以建立如圖分別以尸為x,%z軸的空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,1),8(1,0,0),0(0,1,0),令BC=t,則C(l,/,0)?>0),

所以而=(1,0,-1),CD=(-l,l-Z,0),

__\PB-CD\I

所以cos<PB,CD>==--------1

M-M亞x河二7

jr----.----?1

因?yàn)橹本€尸8與CD所成角的大小為w，所以COS<PB,CD>=5，

1_1

即瓦[而后=5,解得，=°(舍)或者’=2’

所以8C的長(zhǎng)為2；

(2)由(1)知尸(o,o,I),*i,o,o),。(o,i,o),q1,2,q,

令平面尸2。的法向量為碗=(x/,z),因?yàn)槎?(O,l,T),

m-PB=0[x-z=0

所以3八，令x=l,貝！J〉=1,Z=1,所以加=(1,1,1),

m?PD=0[y-z=0

__\m-CB\22r-

又C8k=(0,-2,0),所以"==耳=§行,

所以點(diǎn)C到平面尸8。的距離為g石.

22

19.【正確答案】⑴土+匕=1

82

(2)①證明見(jiàn)解析；(2)(0,2]