2022-2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：概率與統(tǒng)計(jì)（理）原卷版+解析版

三年真題

概率與統(tǒng)計(jì)（理）

宜每竊磺。想軀僧

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題

2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

考點(diǎn)1:獨(dú)立性檢驗(yàn)與

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

回歸分析

2023年天津高考數(shù)學(xué)真題

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題

2024年天津高考數(shù)學(xué)真題

2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題

2024年天津高考數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)2：條件概率、全從近三年的高考卷的考查情況來

2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題

概率公式、貝葉斯公

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，特別是

式

2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題

解答題中，更是經(jīng)常出現(xiàn).隨著

2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題計(jì)算機(jī)技術(shù)和人工智能的發(fā)展，

考點(diǎn)3：信息圖表處理

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題概率統(tǒng)計(jì)逐步成為應(yīng)用最廣泛的

考點(diǎn)4：頻率分布直方2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題數(shù)學(xué)內(nèi)容之一.這部分內(nèi)容作為

圖2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題

高考數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，會(huì)越

2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題

2023年北京高考數(shù)學(xué)真題來越受到重視.主要以應(yīng)用題的

考點(diǎn)5：概率最值問題

2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題方式出現(xiàn)，多與經(jīng)濟(jì)、生活實(shí)際

2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

相聯(lián)系，需要在復(fù)雜的題目描述

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題中找出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，

年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

2024并且運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問

2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題題.

考點(diǎn)6：古典概型與幾

2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

何概型

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

2023年天津高考數(shù)學(xué)真題

2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題

2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)7：正態(tài)分布與相

2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題

互獨(dú)立

2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)8：平均數(shù)、中位

2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)

2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

準(zhǔn)差、極差

2024年北京高考數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)9：求離散型隨機(jī)

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

變量的分布列與期望

2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題

考點(diǎn)10：概率遞推問

2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

題與概率綜合問題.

竊窗⑥綴。闔滔運(yùn)困

考點(diǎn)1:獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析

1.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000

名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示:

時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績[0,0.5)[0,5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？

（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長（精確到0.1）

（3）是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)?

n(ad-be)2

(附:力2=其中n=a+b+c+d，P(72>3.841)?0.05.)

2.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、

乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下:

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

（1）填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率。=0.5,設(shè)萬為升級(jí)改造后抽取的"件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果

萬＞p+L65產(chǎn)中，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生

產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（麗引2.247）

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

3.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估

計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：n?）和材

積量（單位：n?）,得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面積玉0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量上0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得EX=0.038,=L6158,￡玉乂=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

￡（玉一刃3-7）___

附：相關(guān)系數(shù)4=II-,J1.896^1.377.

岳—）-3-為2

Vi=li=l

4.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由4和3兩家公司運(yùn)營，為了解

這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2^k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

5.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）鶯是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)?大雅?旱麓》曰：“鶯飛戾天，魚躍余淵”.鶯尾

花因花瓣形如鶯尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長

度和花瓣長度（單位：cm）,繪制散點(diǎn)圖如圖所示，計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為「=0.8642,利用最小二乘法求

得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為S=0.7501x+0.6105，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（）

72

花6.8

瓣6.4

長6.0

度5.6

52

4.8

4.4

4.85.25.66.06.46.8727.6

花萼長度

A.花瓣長度和花萼長度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花瓣長度和花萼長度負(fù)相關(guān)

C.花萼長度為7cm的該品種鶯尾花的花瓣長度的平均值為5.8612cm

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8642

6.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對此描述正

確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

7.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（）

考點(diǎn)2：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式

8.（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)

生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)

在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù):

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事件“選到的人患有該疾

病忍與篙＞比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為兄

（i）證明:

P(A\B)P(A\B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸（山為，尸（/出）的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

n(ad-be)2

附片=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

9.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）45,C,D,E五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加.甲選到A的概率

為:已知乙選了A活動(dòng)，他再選擇B活動(dòng)的概率為

10.（2022年新高考全國H卷數(shù)學(xué)真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年

齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

頻率

（i）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位

于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

11.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）某校舉辦科學(xué)競技比賽，有/、B、C3種題庫，A題庫有5000道題,

8題庫有4000道題，C題庫有3000道題.小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92,8題庫的正確率

是0.86,C題庫的正確率是0.72.現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是.

12.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到/

的概率為;已知第一次抽到的是/,則第二次抽取/的概率為

13.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑

雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)

也愛好滑冰的概率為（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

考點(diǎn)3：信息圖表處理

14.（2024年新課標(biāo)全國n卷數(shù)學(xué)真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得

到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

15.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解

講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社

區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

100%------------------------------------……--------------?-------------

95%

90%

樹85%

費(fèi)80%*講座前

目75%?講座后

70%*-

65%*

60%t-...............一*...................................

nY--------1--------1-------1--------1--------1-------1--------1--------1--------1-------1—

u12345678910

居民編號(hào)

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

考點(diǎn)4:頻率分布直方圖

16.(2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為式C).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率P(C)=0.5%時(shí)，求臨界值C和誤診率q(c)；

⑵設(shè)函數(shù)/(c)=Mc)+?(c)，當(dāng)c?95,105]時(shí)，求/(c)的解析式,并求/(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.

17.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿

者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序

分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第

二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()

D.18

考點(diǎn)5:概率最值問題

18.(2024年新課標(biāo)全國n卷數(shù)學(xué)真題)某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體

規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；

若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未

投中得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概

率為D乙每次投中的概率為g,各次投中與否相互獨(dú)立.

(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率.

⑵假設(shè)Q<p<q,

(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

(ii)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

19.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)

格變化數(shù)據(jù)，如下表所示.在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“「表示

“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同.

時(shí)段價(jià)格變化

第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+

第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+

用頻率估計(jì)概率.

(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；

(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的.在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天

中2天“上漲”、：1天“下跌”、：1天“不變”的概率；

(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響.判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不

變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大.(結(jié)論不要求證明)

20.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績

達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、

丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證明)

21.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互

獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為月,0，2,且03>2>月記該棋手連勝兩盤的

概率為0,則()

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，〃最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

考點(diǎn)6：古典概型與幾何概型

22.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的

概率為.

23.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、

乙都入選的概率為.

24.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排

尾的概率是（）

25.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛（》,田|14/+/44｝內(nèi)

TT

隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為4則直線。”的傾斜角不大于I的概率為（）

111

A.B.-C.一D.

8642

26.（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概

率為（）

27.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽

取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）

28.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取

2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

2

D.

3

29.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）把若干個(gè)黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進(jìn)三個(gè)空箱子中，

三個(gè)箱子中的球數(shù)之比為5:4:6.且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%.若從每個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出一

球，則三個(gè)球都是黑球的概率為;若把所有球放在一起，隨機(jī)摸出一球，則該球是白球的概率

為.

30.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中無

放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記小為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，〃為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平

均值，則也與〃之差的絕對值不大于。的概率為.

31.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上

分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩

人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人

得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后，甲的總得

分不小于2的概率為.

32.(2024年新課標(biāo)全國n卷數(shù)學(xué)真題)在如圖的4x4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)

方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值

是.

11213140

12223342

13223343

15243444

考點(diǎn)7:正態(tài)分布與相互獨(dú)立

33.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0

時(shí)，收至U1的概率為a(0<c<l),收到0的概率為1發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為收至(J1

的概率為1-夕.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是

指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三

次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-a)(l-￡>

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為￡(1-A)?

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為￡(1-4)2+(1-4)3

D.當(dāng)0<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

34.(2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,〃)，且尸(2<X42.5)=0.36,

貝0尸(X>2.5)=.

35.(多選題)(2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉

推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位：萬元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝

收入的樣本均值元=2.1,樣本方差/=o.oi,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.F),假

設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入y服從正態(tài)分布N(只52),則()(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(出排)，

尸(Z<〃+b)Q0.8413)

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8

考點(diǎn)8:平均數(shù)'中位數(shù)'眾數(shù)'方差'標(biāo)準(zhǔn)差'極差

36.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行

10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用

乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為王,

Z.(z=l,2,---,10).試驗(yàn)結(jié)果如下：

試驗(yàn)序號(hào)i12345678910

伸縮率為545533551522575544541568596548

伸縮率%536527543530560533522550576536

記Z,=巧-%(，=1,2,…,10),記…，/的樣本平均數(shù)為I,樣本方差為S2.

(1)求I，S2；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

z>2j—,則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否

V10

則不認(rèn)為有顯著提高)

37.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)有一組樣本數(shù)據(jù)片,馬,…,乙，其中不是最小值，X6是最大

值，貝I()

A.%,尤3，尤4，無5的平均數(shù)等于%,9，…，%的平均數(shù)

B.工2，鼻戶4戶5的中位數(shù)等于國,％,一/6的中位數(shù)

C.工2戶3戶4戶5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于再多,…的標(biāo)準(zhǔn)差

D.%，W，匕，尤5的極差不大于國,馬，…，%的極差

考點(diǎn)9：求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望

38.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿

的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司

賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.

(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.

(i)記X為一份保單的毛利潤，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望￡(x)；

(ii)如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%,有索賠的保單的保費(fèi)增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利

潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與(i)中E(X)估計(jì)值的大小.(結(jié)論不要求證明)

39.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目

勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三

個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

40.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡

片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為3則尸C=2)=，E?=.

考點(diǎn)10：概率遞推問題與概率綜合問題.

41.(2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人

繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃

的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第i次投籃的人是甲的概率；

(3)已知：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X,=l)=l-P(X,=0)=%,i=l,2,-”，貝.記

\i=l)z=l

前〃次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為丫，求后代).

竊窗給綠。圉滔送溫

考點(diǎn)1:獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析

1.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000

名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示:

時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績[0,0.5)[0,5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？

(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(精確到0.1)

(3)是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)?

n(ad-be)2

(附:力2=，其中〃=Q+b+c+d，P(72>3.841)?0.05.)

(Q+b)(c+d)(Q+c)(Z)+d)

【解析】(1)由表可知鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比179：：：+2825

58058

則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為29000x」=12500.

58

(2)估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長約為

10.5+11+1.51.5+2仆2+2.5

—X139+X19UX1794-------x43d----------x28?0.9.

580222

則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長為0.9小時(shí).

(3)由題列聯(lián)表如下:

[1，2)其他合計(jì)

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

合計(jì)222358580

提出零假設(shè)4：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不少于I小時(shí)但少于2小時(shí)無關(guān).

其中a=0.05.

2

z涮姬氏去"”3.

841

則零假設(shè)不成立,

即有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān).

2.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、

乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

（1）填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率0.5,設(shè)萬為升級(jí)改造后抽取的"件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果

萬>2+1.65、陛三萬，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生

產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（晌引2.247）

n(ad-be)2

附：K2=

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解析】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間2624

乙車間7030

可得片J50(26x3。-24x70)2q=4.6875,

50x100x96x5416

因?yàn)?.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的

優(yōu)級(jí)品率存在差異.

（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為孟=0.64,

用頻率估計(jì)概率可得夕=0.64,

又因?yàn)樯?jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率0=0.5,

則0+1+L65產(chǎn)產(chǎn)"°.5+1.65X蒜"0.568'

可知萬〉p+\.65

所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.

3.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估

計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：mD和材

積量（單位：n?），得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面積玉0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量乂0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得=0038,=L6158,X玉K=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

2（占一于）（乂-反）____

附：相關(guān)系數(shù)r=/“日“-,J1.896x1.377.

住（演-初2之（%-為2

Vi=li=l

【解析】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值亍=辭=0.06

39

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值于=*=0.39

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.0611?,

平均一棵的材積量為0.39n?

1010

￡（士-可（乂-7）￡%乂-10取

02474-10x0.06x0.390.01340.0134

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)Vo.00018960.01377

則ra0.97

(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為丘d,

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

可得牒=?，解之得y=1209m3.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1209nl3

4.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)甲、乙兩城之間的長途客車均由4和3兩家公司運(yùn)營，為了解

這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？

n(ad-be)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2裊)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，/共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次,

設(shè)A家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M,

貝I」尸(四)2=4包0=上12

26013

3共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次,

設(shè)B家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N,

2107

則尸(,"面

8

A家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為百；

B家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為高7.

O

(2)列聯(lián)表

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)

A24020260

B21030240

合計(jì)45050500

n{ad-bcf

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

500x(240x30-210x20y

?3.205>2.706,

260x240x450x50

根據(jù)臨界值表可知，有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).

5.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）鶯是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)?大雅?旱麓》曰：“鶯飛戾天，魚躍余淵”.鶯尾

花因花瓣形如鶯尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長

度和花瓣長度（單位：cm）,繪制散點(diǎn)圖如圖所示，計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為，?=0.8642,利用最小二乘法求

得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為j=0.7501x+0.6105,根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（）

72

6.8

花6.4

瓣6.0

長5.6

度52

4.8

4.4

4.85.25.66.06.46.8727.6

花萼長度

A.花瓣長度和花萼長度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花瓣長度和花萼長度負(fù)相關(guān)

C.花萼長度為7cm的該品種鶯尾花的花瓣長度的平均值為5.8612cm

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8642

【答案】C

【解析】根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤

散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，

=7代入j=0.7501x+0.6105可得j=5.8612cm,C選項(xiàng)正確；

由于廠=0.8642是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)據(jù)的

相關(guān)系數(shù)不一定是0.8642,D選項(xiàng)錯(cuò)誤

故選：C

6.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對此描述正

確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

【答案】C

【解析】對于AB,當(dāng)氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯(cuò)誤.

對于CD,因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時(shí)，海水表層溫度呈上升趨勢,

故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

7.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（）

【答案】A

【解析】觀察4幅圖可知，A圖散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較

好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，卜|值相比于其他3圖更接近1.

故選：A

考點(diǎn)2：條件概率、全概率公式'貝葉斯公式

8.（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)

生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)

在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù):

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事件“選到的人患有該疾

病”?段與然的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R

P