“等時圓”模型及其應用（解析版）-2025高考物理熱點模型講義

模型10“等時圓”模型及其應用

模型概述

1.等時圓模型

(1)質點從豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到圓環(huán)的最低點所用時間相等，如圖甲所示；

(2)質點從豎直圓環(huán)上最高點沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖乙所示；

(3)兩個豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點，質點沿不同的光滑弦從上端由靜止開始滑到下端所

用時間相等，如圖丙所示。

A

2.等時性的證明

設某一條弦與水平方向的夾角為圓的直徑為“(如右圖)。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加

速直線運動，加速度為。=8$E。，位移為s="sina,所以運動時間為

即沿各條弦運動具有等時性，運動時間與弦的傾角、長短無關。

典題攻破

1.等時圓基本應用

【典型題1】如圖所示，甲圖中質點從豎直面內的圓環(huán)上，沿三個不同的光滑弦1、2、3上端由靜止開始滑

到環(huán)的最低點，所用的時間分別為。、。2、乙圖中質點從豎直面內的圓環(huán)上最高點，沿三個不同的

光滑弦4、5、6由靜止開始滑到下端所用的時間分別為i、15、%，則（)

A--<<<<L

=rB.O

C.tl>t2>t3,t4>t5>t6D.t2>t3>,t6>t5>tA

【答案】A

【詳解】如圖甲、乙所示，質點沿豎直面內圓環(huán)上的任意一條光滑弦從上端由靜止滑到底端，由牛頓第

二定律可知加速度為。=gsin。

位移為x=2火sin。

由勻變速直線運動規(guī)律有無=^at2

聯(lián)立解得下滑時間，=2譚

相當于沿豎直直徑自由下落的時間，有

故選Ao

【典型題2】（2024?湖北黃石?三模）如圖所示，N8是一個傾角為6的傳送帶，上方離傳送帶表面距離為/的

尸處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在P與傳送帶間建立一直線光滑管道，使原料無初速度地從P

處以最短的時間到達傳送帶上，則最理想管道做好后，原料從P處到達傳送帶的時間為（）

【答案】D

【詳解】如圖所示

以P處為圓的最高點作圓。與傳送帶相切于。點，設圓。的半徑為R,從P處建立一管道到圓周上，管

道與豎直方向的夾角為a,原料下滑的加速度為。=生"4=gcosa

m

管道長度為￡=2Rcosa

由運動學公式可得乙==。/

2

2x2Rcosa

gcosa

可知從P處建立任一管道到圓周上，原料下滑的時間相等，故在P與傳送帶間建立一管道尸C,原料

從P處到傳送帶上所用時間最短；根據(jù)圖中幾何關系可得R+RcoS0=l

R=——-——=--——

可得1+COS。2cos2g

2

聯(lián)立可得，」2cos_]57

丫-i-=—份

'6COS—Vb

2

故選Do

2.等時圓拓展應用

【典型題3】如圖所示有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于0點，0點恰好是下半圓的頂點,

它們處在同一豎直平面內?，F(xiàn)有兩條光滑直軌道AOB、COD,軌道與豎直直徑的夾角關系為a〉尸，現(xiàn)

讓一小物塊先后從這兩條軌道頂端由靜止下滑至底端，則下列關系中正確的是（）

A.B.vB<vDC.tAB=tCDD.tAB>tCD

【答案】BD

【詳解】AB.小物塊下滑的過程，由動能定理可知mg公;mV?

可得v=12gh

由于從A到B下落的高度差大于從C到D的高度差，故有力〈力

故A錯誤，B正確；

CD.以AOB軌道的物塊為研究對象，根據(jù)位移與速度的關系27?1cosaH-----=~Scosa*t^

cosa2B

同理COD軌道2R]COSP-\---，=—geos0*D

cosp2

兩式相比且cos?！碿os/：

22R]+R；

lABCOSa〉]

DB

故選BDo

【典型題4】如圖在設計三角形的屋頂時，使雨水盡快地從屋頂流下，并認為雨水是從靜止開始由屋頂無摩

擦地流動，試分析：在屋頂寬度（2L）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應該多大？雨水流下的最短時間是

多少？

【答案】45°,2^-

【詳解】

A

//Ai

如圖所示，通過屋頂作直線AC與水平線BC相垂直；并以L為半徑、。為圓心畫一個圓與AC、BC相

切；然后，畫傾角不同的屋頂A1B、A2B、A3B……從圖可以看出：在不同傾角的屋頂中，只有A2B是

圓的弦，而其余均為圓的割線；根據(jù)“等時圓”規(guī)律，雨水沿A2B運動的時間最短，且最短時間為

屋頂?shù)膬A角滿足tana=y=1

可得a=45。

針對訓練

1.（2024高一?全國?專題練習）如圖所示，ad、bd、cd是豎直平面內三根固定的光滑細桿，a、b、c>d位

于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為圓周的最低點。每根桿上都套著一個小滑環(huán)，三個滑環(huán)分別

從a、b、c處釋放（初速度都為0）,用tl、t2、t3依次表示各滑環(huán)滑到d的時間，貝IJ（）

A.tx<t2<t3B.tx>t2>t3

C.t>t,t<t

1223D.ti=t2=t3

【答案】D

【詳解】設某光滑細桿與豎直方向的夾角為e,其上一小環(huán)受到重力和桿的支持力作用，由牛頓第二定律

得mgcos。=ma

據(jù)幾何關系得細桿長度為L=2Rcos6

環(huán)在桿上由靜止做勻加速運動，由運動學公式有乙=工〃2

2

解得/=2仁

由計算結果可知，環(huán)沿細桿下滑時間與桿的傾斜程度無關，即％=%2=，3

故選D。

2.（23-24高二下?安徽合肥?期中）如圖所示，在斜面上有四條光滑細桿，其中0A桿豎直放置，OB桿與

OD桿等長，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套著一個相同的小滑環(huán)（圖中未畫出），四個環(huán)分別從

O點由靜止釋放，沿OA、OB、OC、0D滑到斜面上，下列說法正確的是（）

A.沿下滑過程中彈力的沖量最大

B.沿。4下滑過程中重力的沖量最大

C.沿OC下滑過程中重力的沖量最小

D.沿。5下滑過程中彈力的沖量最小

【答案】A

【詳解】BC.以OA為直徑畫圓，建立等時圓模型，如圖所示

小滑環(huán)受重力和彈力，由牛頓第二定律可得a=gcosO（6為桿與豎直方向的夾角）

若小滑環(huán)皆滑到圓上，小滑環(huán)的位移為尤=2Rcos。=工a/

2

可得時間為/=行=J2=2J；t與e無關,可知從圓上最高點沿任意一條弦滑到圓上所用時

間都相同，故小滑環(huán)沿0A和0C滑到斜面上所用的時間相同，0B不是一條完整的弦，所用的時間最短,

同理可知，小滑環(huán)沿0D滑到斜面上所用的時間最長，即仇）<tOA=toc<tOD

重力的沖量為=冽gf

故沿沿OD下滑過程中重力的沖量最大，沿0B下滑過程中重力的沖量最小，故BC錯誤；

AD.彈力的沖量為《=q=mgsin3t

則沿0D下滑過程中彈力最大，時間最長，彈力的沖量最大，沿0A下滑過程中彈力的大小為零，彈力

的沖量最小，故A正確，D錯誤。

故選Ao

3.（23-24高一上?山東濟寧?階段練習）如圖所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了兩個光滑軌道a、

b,其中軌道a與斜面垂直，兩軌道頂點相同，且頂點在C點的正上方?，F(xiàn)分別從兩軌道的頂點釋放一

物塊，它們到達斜面的時間分別為tl、t2.下列說法正確的是（）

c

A.tl<t2B.tl=t2C.tl>t2D.無法確定

【答案】C

【詳解】過C點和兩軌道的頂點為直徑做圓，設軌道與豎直方向夾角為4則下滑的加速度4=geos。

根據(jù)2Rcos0=—at2

2

可得好

可知物塊沿軌道下滑的時間與軌道的傾角無關，則滑塊沿軌道a下滑的時間等于沿軌道b下滑到b'點

的時間，則兩物塊到達斜面的時間tl>t2o

故選C。

4.（2024?江蘇泰州?一模）如圖所示，半球形容器內有三塊不同長度的滑板NO、BO'、CO',其下端都固

定于容器底部點，上端擱在容器側壁上，已知三塊滑板的長度3O>NO>CO'o若三個滑塊同時從A、

B、C處開始由靜止下滑（忽略阻力），則（）

A.N處滑塊最先到達。'點

C.。處滑塊最先到達O點D.三個滑塊同時到達。點

【答案】D

【詳解】令半球形容器的半徑為R,滑板的傾角為0,對滑塊進行分析，根據(jù)牛頓第二定律有mgsin6=3/

根據(jù)位移公式有2Rsin。=sin0

解得/=2不?

可知時間t與滑板的傾角e和板的長度均無關，故三個滑塊同時到達。,點。

故選D。

5.（23-24高三上?江蘇淮安?開學考試）如圖所示，球殼內有三條弦OA、OB、OC,O為球內的最低點，它

們與水平面間的夾角分別為60。、45。、30%三個光滑的小環(huán)分別從A、B、C處由靜止沿所在弦下滑，

運動到最低點所用的時間分別為〃、匕、七，則三者之間大小關系為（）

A.(A=tB='CB.%

t=t>

C.tA>tB>tcD-AC'B

【答案】A

【詳解】設弦與豎直方向夾角為e,球的半徑為R,由小環(huán)沿弦做勻加速運動有2火cose=；gcos/2

解得運動時間為f=2

與弦與豎直方向夾角無關，所以小環(huán)運動到最低點的時間相等。

故選Ao

6.如圖所示，在豎直平面內建立直角坐標系xOy,該平面內有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中B、

C兩點處于同一個圓上，C是圓上任意一點，B、M分別為此圓與y軸、x軸的切點，A點在y軸上且

ZAMO=60°,CT為圓心，現(xiàn)將a、b、c三個小球分別從A、B、C點同時由靜止釋放，它們將沿軌道運

動到M點，所用時間分別為J、L，則（）

A.

B.%=勿v

C.>%=

D.由于。點的位置不確定，故無法比較時間大小關系

【答案】C

【詳解】對于BM段，位移西=行尺

加速度為=些電迎=1g

m2

根據(jù)再=；。忑

對于AM段，位移入2=2及

加速度4=gsin60°=~^~S

由％d得〃二

2-27?cos04A

對于CM段，設CM與豎直方向夾角為0,同理可解得勿=-—^t=t<t故選

gcos。BcA

Co

7.（2024?全國?模擬預測）如圖所示，有直角三角形光滑軌道框架VZ5C,其中AB豎直。ZC=90°,光滑

圓弧軌道CB為V45C的外接圓上的一部分。小球1、2分別沿軌道AB、AC從A點由靜止開始運動，

到B、C點對應的時間分別為％、12，小球3沿軌道CB從C點由靜止開始運動，到B點的時間為4;

小球4在圓弧軌道CB上某一點（對應的圓心角很?。┯伸o止開始運動，到B點的時間為。。則下列時

間的關系正確的是（）

A.%>t2B.t2<t4

【答案】B

【詳解】設AB為2R,小球1做自由落體運動，則有2R=；g『

解得「杵

設/BAC=e,根據(jù)幾何關系可知AC為2Rcos。，根據(jù)牛頓第二定律可知。2=gc%。

則有2Rcos9=/gcosOtf

解得，2=榨

同理可知小球3的位移為2Asin。，加速度為Q3=gsin。

則有2Rsin。=sin3tf

解得一修

小球4的運動可看作是單擺運動，則時間為乙=；x2%

綜上分析可知%=G=t3Vt4

故選B。

8.（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖所示，在豎直平面內有ac、abc、adc三個細管道，ac沿豎

直方向，ab與be垂直，adc構成等邊三角形。將三個小球同時從a點沿三個不同軌道由靜止釋放，忽略

一切摩擦，不計拐彎時的機械能損失，當豎直下落的小球運動到C點時，關于三個小球的位置，下列示

意圖中可能正確的是（）

【答案】B

【詳解】以ac為直徑做圓，設半徑為r,則b點在圓周上，圓周與ad交于e點，設ab與ac夾角為仇

則沿ab運動的加速度。=gcos0

2-2rcos3

時間，=

gcosO

同理小球到達e點時的時間也為公

此時沿ac運動的小球恰到達c點，則當豎直下落的小球運動到c點時，三個小球的位置如圖B所示。

故選Bo

9.（23-24高一下?安徽蚌埠?期中）如圖所示，豎直平面內存在半徑為R的大圓和半徑為r的小圓，兩個圓

的公切線水平，有兩條傾斜的光滑軌道，一條與大圓相交于A、B兩點，A點為大圓的最高點，另一條

軌道一端交于大圓的C點.另一端交于小圓的D點，且過大圓和小圓的公切點?，F(xiàn)讓一物體分別從兩條

軌道的頂端A、C由靜止釋放，分別滑到B點和D點（假設物體能夠無障礙地穿過CD與圓的交叉點）,

物體在兩條軌道上的運動時間分別為^fe，重力加速度為g，下列判斷正確的是（）

【答案】D

【詳解】設軌道與豎直方向的夾角為C，則物體在軌道上運動的加速度大小為

mgcosa

a=-----------=gcosa

m

根據(jù)運動學公式可得X/B=2Rcosa=：a/%

設軌道CD與豎直方向的夾角為則物體在軌道CD上運動的加速度大小為。,=耍巴2=geos"

m

根據(jù)運動學公式可得XCD=（27?+2r）cos^=9分

解得5H=沖工2件

則有5<tCD

故選D。

10.（2024?湖南長沙?模擬預測）（多選）如圖所示，O點為豎直圓周的圓心，MN和PQ是兩根光滑細桿，

兩細桿的兩端均在圓周上，M為圓周上的最高點，Q為圓周上的最低點，N、P兩點等高。兩個可視為

質點的圓環(huán)1、2（圖中均未畫出）分別套在細桿MN、PQ上，并從M、P兩點由靜止釋放，兩圓環(huán)滑

到N、Q兩點時的速度大小分別為％、內，所用時間分別為4、G，則（）

M

?

Q

A.v,=V2B.Vj>v2C.t\>GD.4=%2

【答案】BD

【詳解】連接NQ、MP,如圖所示

a

Q

小環(huán)1從M點靜止釋放，根據(jù)牛頓第二定律可得

%=gsin0

1

MN=-4由7

MN=2Rstn9

匕=貼

所以4=/^，匕=）4gKsin9

14R__

同理可得，2=17-=4，v2=yJ^gRsina<vx

故選BDo

11.（23-24高三上?河南省直轄縣級單位?階段練習）（多選）如圖所示，oa>ob和ad是豎直平面內三根固

定的光滑細桿，0、a、b、c、d位于同一圓周上，c為圓周的最高點,a為最低點，。，為圓心。每根桿上

都套著一個小滑環(huán)，兩個滑環(huán)從。點無初速釋放，一個滑環(huán)從d點無初速釋放，用乙，/2，右分別表示

滑環(huán)沿oa、ob、da到達a、b所用的時間，則下列關系正確的是（）

A.%=GB.，—C.4<D.看2<

【答案】BC

A

【詳解】設。b與豎直方向的夾角為0,由幾何關系得oa與豎直方向的夾角為2,設da與豎直方向的夾

2

0

角為。，環(huán)