（趣味數(shù)學(xué)）分?jǐn)?shù)的加減巧算（講義）-2025年五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維拓展（含答案）

（趣味數(shù)學(xué)）第一講分?jǐn)?shù)的加減巧算（培優(yōu)講

義）一2025年五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維拓展

匚二第一講分?jǐn)?shù)的加減巧算

板塊一：趣味數(shù)學(xué)m

有一天，阿凡提騎著自己的小毛驢來到田邊。

他四處欣賞著美麗的田園風(fēng)光。突然，聽到有人叫

他，回頭一看，原來是兩位給地主巴依老爺干活的

佃農(nóng)。阿凡提忙問：“兩位朋友有什么事嗎？”其

中一位農(nóng)民說：“阿凡提，我們遇到一個(gè)難題，想

來請(qǐng)教你?！比缓筮@位農(nóng)民就把這個(gè)難題的由來講

了一遍。原來，這兩位農(nóng)民被地主巴依老爺雇傭干

活，眼看到發(fā)工錢的時(shí)候了，地主卻打起了壞主意。

他和賬房先生一計(jì)算，要給這兩位農(nóng)民各20塊銀元。地主心里非常不樂意，仿

佛拿走他的錢就像割他的肉一樣。于是和老婆一起想出了個(gè)主意，要兩個(gè)農(nóng)民明天早晨割!-

2

畝麥子，一點(diǎn)不能多，一點(diǎn)也不能少。明早八點(diǎn)之前，巴依老爺要親

612203042

自檢查。如果嚴(yán)格按要求完成了任務(wù)，就發(fā)工錢，而且還給回家的路費(fèi)。如果完不成任務(wù)，

工錢就一分不給。兩位農(nóng)民沒有上過學(xué)，自然不知道畝麥子到底是

2612203042

多少，正在發(fā)愁的時(shí)候，正好碰見了阿凡提，才有了開頭那一幕。

阿凡提聽完，笑了笑說：“兩位朋友不用擔(dān)心，你們只要按我說的去辦，保證能拿到工

錢，而且還能賺取路費(fèi)。”阿凡提講完，把兩位農(nóng)民叫到眼前。悄悄地把解難題的辦法告訴

了兩位農(nóng)民。兩位農(nóng)民聽了以后，非常高興，對(duì)阿凡提千恩萬(wàn)謝。

第二天早晨，巴依老爺和老婆一起來到地里檢查兩位農(nóng)民任務(wù)完成的情況。巴依老爺以

為兩位農(nóng)民這次肯定一分錢都拿不到，所以臉上帶著得意的笑容。可是走到地邊卻發(fā)現(xiàn)麥子

正好割了畝。兩位農(nóng)民說：“老爺，你的任務(wù)我們已經(jīng)按時(shí)完成了，你也該給我們工錢了

吧！”巴依老爺沒辦法，只得叫賬房先生給了農(nóng)民工錢。小朋友，你知道LLL-

261220

3042

有什么簡(jiǎn)便方法計(jì)算嗎？我們可以看出:

62311234'2045'3056'4267

111

所以原式=L-"二++—

22334455667

因此兩位農(nóng)民要割1畝地。解這類分?jǐn)?shù)題目關(guān)鍵在于拆分，然后計(jì)算，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化的目

7

板塊二：知識(shí)精講m

在解答一些較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)加減法問題時(shí)，必須從整體上觀察試題，找到它們排列的規(guī)律

及其數(shù)字特征，分析有無類似裂項(xiàng)公式的特點(diǎn)。這是解題的重點(diǎn)和關(guān)鍵。

常用方法:

1.公式法：直接運(yùn)用公式來計(jì)算，如運(yùn)用等差數(shù)列求和公式等。

2.圖解法：將算式的意思用圖表示出來，從而找出簡(jiǎn)便計(jì)算方法。

3.裂項(xiàng)法：將一個(gè)分?jǐn)?shù)拆分為兩個(gè)或幾個(gè)分?jǐn)?shù)的差或和，使部分分?jǐn)?shù)互相抵消，從而使

計(jì)算簡(jiǎn)化。通常裂項(xiàng)公式為:

111

n(n+1)n(n+1)

4.分組法：運(yùn)用運(yùn)算定律，將原式重新組合，把能湊整或能化簡(jiǎn)的部分結(jié)合在一起簡(jiǎn)

算。

代數(shù)法：將算式中的某些部分用字母代替并化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算出結(jié)果。

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)的拆項(xiàng)公式n(n+,(n+2)=[而島-"場(chǎng)]*哪項(xiàng)后通過加減相互抵消即可

簡(jiǎn)算.

111

【解答】解:++…+

1X2X32X3X448X49X50

111111

--------------+--------+…+-----------------------

1X22X32X33X4-----------48X4949x50

1X249X50

612

X1225

306

=1225

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式:=[—i―---]x細(xì)靈活應(yīng)用.

n(n+l)(n+2)n(n+l)(n+l)(n+2)2

練習(xí)一:

5719

1.計(jì)算:++…+

1X2X32X3X48X9X10

111

2.++---------------+…+----------------+

1X2X3X42X3X4X53X4X5X66X7X8X97X8X9X10

1111

3.+++…+

3X4X54x5x65X6X715x16x17

【例題2】--------+---------+---------+…+---------+----

1986X19871987X19881998X19892001X20022002

111

【分析】根據(jù)拆項(xiàng)公式0一-=--——拆項(xiàng)后通過加減相互抵消即可簡(jiǎn)算.

n(n+l)nn+1

11111

【解答】角軍：+++…++

1986X19871987X19881998X19892001X20022002

1111111

=1986-1987+1987-1988+，，，+2001-2002+2002

_1

=1986

..111

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式=不=--一的靈活應(yīng)用.

n(n+l)nn+1

練習(xí)二：

〃12349

1.~+--+----+------+…+---------------

22X32X3X42X3X4X52x3x4x5x6x7x8x9x10

11111111

2.計(jì)算:一十一+—+―+—+—+—+—

2681220304256

1111

---+----+----+…+-------

1X33X55X7------49X51

11111

【例題3】---++++

4X5---5X6---6X7---7X8---8X9

111

【分析】根據(jù)拆項(xiàng)公式0一-=--——拆項(xiàng)后通過加減相互抵消即可簡(jiǎn)算.

n(n+l)nn+1

11111

【解答】解:++++

4X5---5X6---6X7---7X8---8X9

11

+耳_6+…+g—

5

=36

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用.

練習(xí)三:

111111

一+―+—+—+—+—

41224406084

11111

2.-+----+--------+----------+…+----------------

11+21+2+31+2+3+41+2+3+…+100

3333

-----+------+-------++

2X55X88X11197X200

【例題4】

1111

42.-+----+-------+…+--------------

11+21+2+31+2+--+100

1211

［提示：通項(xiàng)-，------------=--------=2(——--)]

l+2+3+---+nn(n+l)nn+1

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式由f211

=-------=2(n-^拆項(xiàng)后,通過加減相互抵消即可簡(jiǎn)

n(n+l)

算。

1111

【解答】解:一+---+-----+…+----------

11+21+2+31+2+…+100

------1--------1--------1----1------------

1x2十2x3十3x4十十100x101

—2X（1—不++廠4+…+兩-血)

1

=2X（1-血）

200

101

211

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式7y=2(----)的靈活應(yīng)用。

n(n+l)nn+1

練習(xí)四：

1111

―+--+----+----------

11+21+2+31+2+3+4…+100

1111

2.計(jì)算:--+----+------+…+---------

1+21+2+31+2+3+41+2+3+…+10

1111

+++…+

1X66X1111X16101X106

板塊四：數(shù)學(xué)故事m

我國(guó)古代是如何計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法的

分?jǐn)?shù)加減法在我國(guó)《九章算術(shù)》中也有具體的講述,

如下：

分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算，《九章算術(shù)》已明確提出先通分,

使兩分?jǐn)?shù)的分母相同，然后進(jìn)行加減。加法的步驟是

“母互乘子，并以為實(shí)，母相乘為法，實(shí)如法而一”

這里“實(shí)”是分子，“法”是分母，“實(shí)如法而一”

也就是用法去除實(shí)，進(jìn)行除法運(yùn)算，《九章算術(shù)》還

注意到兩點(diǎn)：

其一是運(yùn)算結(jié)果如出現(xiàn)“不滿法者，以法命之”。

就是分子小于分母時(shí)便以分?jǐn)?shù)形式保留。

其二是“其母同者，直相從之”，就是分母相同的分?jǐn)?shù)進(jìn)行加減，運(yùn)算時(shí)不必通分，使分

子直接加減即可。

按所述法則計(jì)算，我們來看一個(gè)例子：

1,2,3,4Ix3+2x2,3x5+4x47,317x20+6x3132643

+++---O

2345-2^3——4^5——不十元一~6^20-120^60°

由此可見，早在兩千多年以前，我國(guó)分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則已經(jīng)如此先進(jìn)，身為炎黃子孫應(yīng)由

衷感到無比驕傲和自豪。

板塊五：答案解析m

練習(xí)一

1.【答案】—

15

1111

【分析】先把分子拆分為分母后兩個(gè)數(shù)的和，再根據(jù)分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式——---、-------=(一

n（n+l）nn+1n(n+2)n

―）X義拆項(xiàng)后，通過加減相互抵消即可簡(jiǎn)算。

n+22

5719

【解答】解:++…+

1X2X32X3X48X9X10

3+24+3,10+9

1x2x3+2x3x4+…+8x9x10

一+，+1+息+…+1

1x2十1x3十2x38x9+8x10

111111

?一\

=(---十,十,,?+---)+(十十…十)

1X22X38X91X32X48X10

：+.111

+A,11、(1-《+.-京+白）X

—(1-2??+1?)+77—蘆+,,,+1

一1、111、1

一（1-0）+（1+2—3一面）x2

829

--+-

945

23

---

15

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用。

119

2.【答案】加

111

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式i-?-----------------------------=[----------------------------------------------------?]X排項(xiàng)后，通過

n(n+l)(n+2)(n+3)n(n+l)(n+2)(n+l)(n+2)(n+3)

加減相互抵消即可簡(jiǎn)算。

11111

【解答】解:+++…++

1X2X3X42X3X4X53X4X5X66X7X8X97X8X9X10

111111

X(—+—+…+—)

1X2X32X3X42X3X43X4X57X8X98X9X10

11

X(1X2X3-8X9X10)

119

2160

111[X段的靈活

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式i----------------------------=[-------------------―---------------------------

n(n+l)(n+2)(n+3)n(n+l)(n+2)(n+l)(n+2)(n+3)

應(yīng)用。

65

3.【答案】

1632

111?]X±拆項(xiàng)后，通過加減相互抵消即可

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式i?=[-

n(n+l)(n+2)n(n+l)(n+l)(n+2)

簡(jiǎn)算。

1111

【解答】解:+++…+

3X4X54X5X65X6X715X16X17

11111111

(----__|_--_______―|________-—|_..._|_----------)X

3X44x54x5___5x65x6___6X715X1616X17

11

(------------------)X

3X416X17

65

=816X

65

1632

111

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式??-------------------=r--------------------------------的靈活應(yīng)用。

n(n+l)(n+2)n(n+l)(n+l)(n+2)lX2

練習(xí)二

1.【答案】見試題解答內(nèi)容

2113?可以寫成高-1

【分析】根據(jù)兩可以寫叱-汨.2X3X3,按此方法拆分，很容易發(fā)現(xiàn)最后只

2X3X4

1

乘IJ1一那么就可以直接計(jì)算了.

2x3x4x5x6x7x8x9x10?

12349

【解答】解:―++++…+

22X32X3X42X3X4X52x3x4x5x6x7x8x9x10

11111

-I------------------------1-------------------------------------1------------------

十22x3十2x32x3x4十2x3x42x3x4x5x6x7x8x9x10

=1-------------------------

2x3x4x5x6x7x8x9x10

二1-3628800

_3628799

=3628800

211

【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是知道汨可以寫叱一病.

2.【答案】見試題解答內(nèi)容

1111

【分析】根據(jù)把除了：之外的分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，再加減相互抵銷計(jì)算出得數(shù)

71（九+1）nn+18

即可.

11111111

【解答】解:一+一+—+—+—+—+—+—

2681220304256

1it

=T+A+討+-1++6~7+7~+

=1

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用拆項(xiàng)進(jìn)行簡(jiǎn)算的運(yùn)用.

3.【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)拆項(xiàng)公式丁^=（工-工）x1,拆項(xiàng)后通過加減相互抵消即可簡(jiǎn)算.

n（n+2）nn+22

1111

【解答］解：~~-+--+――+F

1X33X55X749X51

11,11,11..11、

=2X（1-3+3_5+5_7+---+49-51）

=IX（1弓）

150

=2X51

25

=亙

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)公式一~^=x1,的靈活應(yīng)用.

九（九+2）nn+22

練習(xí)三

1.【答案】見試題解答內(nèi)容

111

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)的拆項(xiàng):~~-=---;進(jìn)行簡(jiǎn)算即可.

n（n+l）nn+1

111111

【解答】解y+石+無+元+.+鼠

1111111

=7TX(―+―+—+―+—+—)

22612203042

111111111111

=5x(l-5+5-o+Q-T+T-r+r-z+z_7)

ZNN33445b。。/

1八1、

=]X(1—7)

=KX

【點(diǎn)評(píng)】完成本題要注意分析式中數(shù)據(jù)，運(yùn)用合適的簡(jiǎn)便方法計(jì)算.

2.【答案】見試題解答內(nèi)容

111

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)的拆項(xiàng)=:=--一；進(jìn)行簡(jiǎn)算即可.

n(n+l)nn+1

11111

【解答】解:―+----+--------+-----------+…+-----------------

11+21+2+31+2+3+41+2+3+…+100

-----1-------1-------1----1----------

1x2十2x3十3x4十十100x101

,i_i..J_____

—2X(1—不+7

十W4十十looioi

1

二2義(1一面)

200

101

【點(diǎn)評(píng)】完成本題要注意分析式中數(shù)據(jù)，運(yùn)用合適的簡(jiǎn)便方法計(jì)算.

99

3.【答案】-o

311

【分析】根據(jù)拆項(xiàng)公式丁f;拆項(xiàng)后，通過加減相互抵消即可簡(jiǎn)算。

n(n+3)nn+3

3333

【解答】解:----++++

2X5---5X8---8X11197X200

+"+1_____1

+197-200

1

200

二99

=200

311

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)方法二-=---在簡(jiǎn)算中的靈活應(yīng)用。

7i(7i+3)nn+3

練習(xí)四

1.【答案】見試題解答內(nèi)容

11

【分析】先根據(jù)高斯求和公式S=(首項(xiàng)+末項(xiàng))X項(xiàng)數(shù)+2把分?jǐn)?shù)變形，再根據(jù)拆項(xiàng)公式‘一^=--

n(n+l)n

1

—;拆項(xiàng)后通過加減相互抵消即可簡(jiǎn)算.

n+1

1111

【解答】解：-+---+-------+…+----------------

11+21+2+31+2+3+…+100

12222

十2x3丁3x4丁4x5丁丁100x101

1111

=1+2X----+-----+-----+…+-----------

2X33X44X5--------100X101

11111111

=1+2X一一一+一一一+—一一+…+....------)

233445100101

11

=1+2X(一-----)