中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測11.3 離散型隨機變量及其分布列（講）（解析版）

11.3離散型隨機變量及其分布列【考點梳理】1．離散型隨機變量的概念(1)隨機變量如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，隨機變量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)離散型隨機變量所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．2．離散型隨機變量的分布列(1)分布列設(shè)離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．有時為了簡單起見，也可用P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性質(zhì)①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②3．常用的離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布(又稱0－1分布、伯努利分布)隨機變量X的分布列為(0<p<1)X10Pp1－p則稱X服從兩點分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率．(2)二項分布如果隨機變量X的可能取值為0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k(其中k＝0，1，2，…，n，q＝1－p)，其概率分布為X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)p1qn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq0則稱X服從二項分布，記為X～B(n，p)．(3)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))(k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此時稱隨機變量X的分布列為超幾何分布列，稱隨機變量X服從超幾何分布．考點一求離散型隨機變量的分布列【例題】（1）下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在半小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)ξ；②一個沿直線y＝2x進行隨機運動的質(zhì)點，它在該直線上的位置η；③某指揮臺5分鐘內(nèi)接到的雷達電話次數(shù)X；④某同學(xué)離開哈爾濱市第三中學(xué)的距離Y；其中是離散型隨機變量的為（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】對于①，半小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機變量；對于②，沿直線y＝2x進行隨機運動的質(zhì)點，質(zhì)點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機變量；對于③，5分鐘內(nèi)接到的雷達電話次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機變量；對于④，某同學(xué)離開哈爾濱市第三中學(xué)的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機變量，所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③，故選：C.（2）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】因為甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次，故選：D．（3）已知離散型隨機變量的分布列如表：0123則實數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，解得，故選：A.（4）已知隨機變量X的分布列如表（其中a為常數(shù)）：X012345P0.10.1a0.30.20.1則等于（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】C【解析】因為，所以，所以，故選：C.（5）隨機變量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c滿足，則___________.【答案】【解析】因為，所以，，，所以，故答案為：．（6）在箱子中有個小球，其中有個紅球，個白球.從這個球中任取個，記表示白球的個數(shù)，則___________.【答案】【解析】由已知得，表示個白球，個紅球，故，故答案為：.【變式】（1）先后拋擲一個骰子兩次，記隨機變量ξ為兩次擲出的點數(shù)之和，則ξ的取值集合是（

）A．｛1，2，3，4，5，6｝ B．{2，3，4，5，6，7}C．{2，4，6，8，10，12} D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}【答案】D【解析】因為隨機變量ξ表示兩次擲出的點數(shù)之和，所以ξ的取值可能為：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，故ξ的取值集合是{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，故選：D.（2）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，則表示.【答案】所選3人中至多有1名女生【解析】包含兩種情況：或，故表示所選3人中至多有1名女生，故答案為：所選3人中至多有1名女生.（3）下表是離散型隨機變量X的概率分布，則常數(shù)的值是（

）X3456PA． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得，故選：C.（4）已知隨機變量X的分布列為，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：，故選：A.（5）有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從這些零件中任取3個，那么至少有1個是一等品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】全部都是二等品的概率為，故至少有1個是一等品的概率為，故選：D.（6）10名同學(xué)中有名女生，若從中抽取2個人作為學(xué)生代表，恰好抽取1名女生的概率為，則．【答案】2或8【解析】根據(jù)題意，得=，解得a=2或a=8，故答案為：2或8.考點二常用的離散型隨機變量的分布列【例題】（1）已知隨機變量X服從二項分布，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，故選：C.（2）已知服從兩點分布，且，則．【答案】0.7【解析】因為服從兩點分布，所以，故答案為：0.7.（3）在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是（

）A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)【答案】C【解析】X服從超幾何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故選：C.（4）有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則A． B． C． D．【答案】D【解析】因為是有放回地取產(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,，故選：D．（5）某人共有三發(fā)子彈，他射擊一次命中目標(biāo)的概率是，擊中目標(biāo)后射擊停止，射擊次數(shù)為隨機變量，則___________.【答案】【解析】表示前兩次都沒有擊中，故，故答案為：.【變式】（1）已知隨機變量X服從二項分布X～B，則P(X＝2)＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故選：C.（2）若某品種水稻雜交試驗成功率是失敗率的2倍，一次試驗只有成功與失敗兩種結(jié)果，用描述一次試驗的成功次數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】據(jù)題意知，“”表示一次試驗試驗失敗，“”表示一次試驗試驗成功，設(shè)一次試驗失敗率為，則成功率為，所以，所以，所以，故選：C.（3）某小組有名男生、名女生，從中任選名同學(xué)參加活動，若表示選出女生的人數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，，則，故選：C.（4）從一批含有13件正品、2件次品的產(chǎn)品中,不放回地任取3件,則取出產(chǎn)品中無次品的概率為()A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意可知，產(chǎn)品總數(shù)為件，由超幾何分布概率計算公式得取出產(chǎn)品中無次品的概率為，故選A.（5）在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品數(shù)，則P(X＝2)＝________.【答案】【解析】滿足超幾何分布，所以，故答案為：.【方法總結(jié)】1．求離散型隨機變量的分布列的步驟(1)明確隨機變量的所有可能取值，以及每個值所表示的意義，判斷一個變量是否為離散型隨機變量，主要看變量的值能否按一定的順序一一列出．(2)利用概率的有關(guān)知識，求出隨機變量取每個值的概率．對于古典概率、互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復(fù)試驗恰有k次發(fā)生的概率等，都要能熟練計算．(3)按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證．2．分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機變量X所有可能的取值