云南省保山市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

【考試時(shí)間：2025年1月17日10：00～12：00】保山市2024～2025學(xué)年普通高中上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷第1頁至第3頁，第Ⅱ卷第3頁至第6頁．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、學(xué)校、班級、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．在試題卷上作答無效．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知弧長為的弧所對圓心角為，則這條弧所在的圓的半徑為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用弧長與半徑、圓心角的關(guān)系式可求解.【詳解】設(shè)這條弧所在的圓的半徑為，，又圓心角所對的弧長為，所以，解得.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再結(jié)合集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】，且，所以，則.

故選：C3.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分式和偶次根式有意義可得所滿足的不等式，求解即可.【詳解】由已知可得，解得且，所以函數(shù)的定義域是.故選：A4.為了得到函數(shù)的圖象．只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平行移動個(gè)單位長度B.向右平行移動個(gè)單位長度C.向左平行移動個(gè)單位長度D.向右平行移動個(gè)單位長度【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖形變換中的原理求解，求解過程中注意系數(shù)對平移情況的影響.【詳解】因?yàn)?，所以把函?shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動個(gè)單位長度即可．故選C.5.已知，，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【詳解】依題意，，則，而，則，所以的大小關(guān)系是.故選：C6.某市GDP的年平均增長率為，按此增長率，大約經(jīng)過年后該市GDP會翻一番，則為（參考值，）（）A.14 B.16 C.18 D.20【答案】A【解析】【分析】由題意設(shè)某市原有GDP為，經(jīng)過年后該市GDP會翻一番為，由題意，求解即可.【詳解】設(shè)某市原有GDP為，經(jīng)過年后該市GDP會翻一番為，由年平均增長率為，可得，所以，兩邊取自然對數(shù)得，所以，代入?yún)⒖贾档霉蔬x：A7.已知函數(shù)在區(qū)間上至少有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，結(jié)合條件可得，求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上至少有3個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：C.8.，用表示，中的較小者，記為，若，，則函數(shù)的最大值為（）A. B.6 C. D.3【答案】D【解析】【分析】分和兩種情況，解不等式，可求得的解析式，進(jìn)而可求得的最大值.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，，由，可得，解得，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，②當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述：，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，綜上所述：，所以函數(shù)的最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于分類討論，求得函數(shù)的解析式，再求得函數(shù)的最大值求解.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列判斷正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】利用同角的正余弦的平方關(guān)系求解可判斷A；利用兩角和的正切公式計(jì)算可判斷B；利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可判斷CD.【詳解】因?yàn)?，所以的終邊在一，二象限，當(dāng)?shù)慕K邊在一象限時(shí)，，當(dāng)?shù)慕K邊在二象限時(shí)，，故A錯(cuò)誤；由，可得，所以，解得，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：BD.10.如圖，在以為直徑的半圓中，是圓心，是垂直于的半徑，是直徑上與不重合的任意一點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用圖形的幾何位置關(guān)系結(jié)合勾股定理和圓的幾何位置特征求解即可.【詳解】由題意得：，所以，故選項(xiàng)A正確，在中，由勾股定理得：，故選項(xiàng)B正確，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11.對于任意的，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”．下列說法正確的是（）A.函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.設(shè)，，則有C.函數(shù)，的值域?yàn)镈.不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，取值驗(yàn)證判斷A；利用，計(jì)算可判斷B；由取整函數(shù)的定義得，進(jìn)而判斷C；解一元二次不等式，然后取整函數(shù)的定義求出解集判斷D.【詳解】對于A：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，都在函數(shù)的圖象上，它們關(guān)于原點(diǎn)不對稱，則函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)不對稱，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)椋?，故B正確；對于C：由取整函數(shù)的定義知，，則，因此函數(shù)，的值域?yàn)?，故C正確；對于D：由，得，解得，而，則，因此，不等式的解集為，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.計(jì)算：______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】.故答案為：.13.已知，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，平方可得，即，化簡可得，即，解得或，其中，則，當(dāng)時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：14.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，并滿足，則______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的對稱性及周期性，并求得，再利用周期性求出所求值.【詳解】由函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，得，而不恒為0，則，，又，則，即，因此，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由，得，所以.故答案為：0四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)（1）求，；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明．【答案】（1），3；（2）偶函數(shù)，證明見解析.【解析】【分析】（1）判斷代入求出函數(shù)值.（2）利用函數(shù)奇偶性定義推理判斷即可.【小問1詳解】函數(shù)，則，.【小問2詳解】函數(shù)是偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，而，因此，所以函數(shù)是偶函數(shù).16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值以及取得最小值時(shí)的集合．【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再求出最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間.（2）求出相位的范圍，確定最小值點(diǎn)，求出最小值及對應(yīng)值集合.【小問1詳解】函數(shù)，所以的最小正周期；由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以的最小值為，取得最小值時(shí)的集合為.17.已知函數(shù)．（1）在圖中畫出函數(shù)的圖象；（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）作圖見解析；（2）或.【解析】【分析】（1）借助指數(shù)函數(shù)圖象，利用變換法作出函數(shù)圖象.（2）由零點(diǎn)的意義，結(jié)合（1）的圖象，求出直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的范圍.【小問1詳解】作出函數(shù)的圖象，并沿軸負(fù)方向平移2個(gè)單位得的圖象，再將所得的圖象在軸下方部分沿軸翻折到軸上方與在軸上方的圖象合在一起得的圖象，如圖中實(shí)線：【小問2詳解】由，得，由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由（1）知，，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.18.數(shù)控機(jī)床（ComputerNumericalControlMachineTools，簡稱CNC機(jī)床）是一種通過計(jì)算機(jī)程序控制，具有高精度、高效率的自動化機(jī)床，廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造、汽車制造、航空制造等領(lǐng)域．某機(jī)床廠今年年初用50萬元購入一臺數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用．已知該機(jī)床在使用過程中所需要的各種支出費(fèi)用總和（單位：萬元）與使用時(shí)間（，，單位：年）之間滿足函數(shù)關(guān)系式為：．該機(jī)床每年的生產(chǎn)總收入為24萬元．設(shè)使用年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為萬元．（盈利額等于總收入減去購買成本及所有使用支出費(fèi)用）．（1）寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）從第幾年開始，該機(jī)床開始盈利？（3）該機(jī)床使用過程中，已知年平均折舊率為（固定資產(chǎn)使用1年后，價(jià)值的損耗與前一年價(jià)值的比率）．現(xiàn)對該機(jī)床的處理方案有兩種：第一方案：當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，再將該機(jī)床賣出；第二方案：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，再將該機(jī)床賣出．以總獲利為選取方案的依據(jù)，研究一下哪種處理方案較為合理？請說明理由．（總獲利盈利額機(jī)床剩余價(jià)值）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】（1）（2）第3年（3）第一方案【解析】【分析】（1）根據(jù)盈利額的定義，用總收入減去購買成本和使用支出費(fèi)用來構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式；（2）令盈利額大于0，求解不等式，即可得到結(jié)果；（3）分別計(jì)算兩種方案下的總獲利，比較大小來判斷哪種方案更合理.【小問1詳解】由盈利額等于總收入減去購買成本及所有使用支出費(fèi)用，可得：.【小問2詳解】令，即，即，對于方程，由求根公式可得，又，則，，所以不等式的解為，且，所以從第3年開始盈利.【小問3詳解】第一方案：對于，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，（萬元），此時(shí)機(jī)床剩余價(jià)值為，總獲利為（萬元）；第二方案：年平均盈利額為其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，且，則或，當(dāng)時(shí)，（萬元），當(dāng)時(shí)，（萬元），所以時(shí)，年平均盈利額最大，此時(shí)盈利額（萬元），機(jī)床剩余價(jià)值為（萬元），總獲利為（萬元），因?yàn)?，所以第一方案較為合理.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)模型，以及結(jié)合基本不等式求取最值，從而求解.19.雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)（歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關(guān)）．其中雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：（是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求的值；（2）證明：兩角和的雙曲余弦公式；（3）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）1；（2）證明見詳解；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義直接代入即可求；（2）根據(jù)雙曲函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)