數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)《第1-5章》課件-第3章

第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1中值定理3.2羅必達(dá)法則

3.3函數(shù)單調(diào)性的判定法

3.4函數(shù)的極值及其求法3.5函數(shù)的最大值和最小值3.6曲線的凹凸性與拐點(diǎn)3.7函數(shù)圖形的描繪本章小結(jié)

第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

內(nèi)容提要：在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)中,導(dǎo)數(shù)有著廣泛的應(yīng)用,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)及曲線的某些形態(tài),并解決一些實(shí)際問題,是微分學(xué)的一個(gè)重要部分.本章將在微分中值定理的基礎(chǔ)上,利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的某些形態(tài).學(xué)習(xí)要求：會(huì)描述函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、極值的概念;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求一元函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn);能運(yùn)用洛必達(dá)法則求各種未定式的極限;會(huì)求解簡(jiǎn)單的實(shí)際問題的最大值、最小值.

3.1中值定理

微分學(xué)中有三個(gè)中值定理,即羅爾定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理.它們?cè)谖⒎謱W(xué)中占有重要位置,是微分學(xué)的基礎(chǔ)理論.它們?yōu)閼?yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)極限未定式和函數(shù)的形態(tài)提供了理論上的依據(jù).下面我們給出定理的結(jié)論及其幾何解釋.

3.1.1羅爾定理

定理1若函數(shù)y=f

(x)滿足以下條件:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

(3)在區(qū)間[a,b]端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a

<ξ<b),使得

f'(ξ

)=0

圖3－1

例1

設(shè)函數(shù)

f(x

)=x2

-2x

-3，

x∈[0,2]。判斷其是否滿足羅爾定理的條件。若滿足,試求出

ξ

。

解函數(shù)f(x)=x2

-2x

-3是初等函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=x2

-2x

-3在[0,2]上連續(xù)；f′(x

)=2x-2，且f′(x)在(0,2)內(nèi)可導(dǎo)；又因?yàn)閒(0)=f(2)=-3，故f(x)滿足羅爾定理的三個(gè)條件。因此，至少存在一點(diǎn)ξ∈(0,2)，使得f′(ξ

)=0，即2ξ-2=0，解得ξ=1。

3.1.2拉格朗日中值定理

如果將上圖中的圖形旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，則羅爾定理的條件(3)將不成立，即f(a)≠f

(b)，曲線y=f(x)在x=ξ

處的切線也不再是水平直線,那么它是否仍平行于弦AB

呢?如圖3-2所示，答案是肯定的。于是有以下定理：

定理2

若函數(shù)y=f(x)滿足以下條件：

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少

存在一點(diǎn)ξ

(a

<ξ<b

)，使得f

(b)-f

(a)=f′(ξ)(b

-a)圖3-2

假定點(diǎn)C對(duì)應(yīng)于參數(shù)x

=ξ,那么曲線上點(diǎn)C處的切線平行于

弦AB,可表示為

這就是柯西中值定理的基本內(nèi)容.關(guān)于定理這里不再贅述.圖3－3

習(xí)題3－1

3.2羅必達(dá)法則

上兩例告訴我們,羅必達(dá)法則不是萬能的,在使用法則的過程中必須注意檢查條件是否滿足.

兩邊取極限,得

即

化為指數(shù)式,得

習(xí)題3－2

1.求下列函數(shù)的極限:

2.求下列函數(shù)的極限:

3.3函數(shù)單調(diào)性的判定法

3.3.1函數(shù)單調(diào)性的判定由函數(shù)單調(diào)性的定義來判斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)于一些函數(shù)來說是很困難的.用導(dǎo)數(shù)的方法則可以很方便地來判斷函數(shù)的單調(diào)性.

如果函數(shù)y=

f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)增加，那么它的圖像是一條沿x

軸正向上升的曲線，這時(shí)，曲線上各點(diǎn)處切線的傾斜角都是銳角，它們的切線斜率f′(x

)都是正的，即f′(x)>0，如圖3－4所示；同理,如果函數(shù)y

=數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)減少，那么它的圖像是一條沿x

軸正向下降的曲線，這時(shí)，曲線上各點(diǎn)切線的傾斜角都是鈍角，它們的切線斜率f′(x)都是負(fù)的，即f′(x)<0，如圖3－5所示。圖3-4圖3-5

由此可見,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的聯(lián)系.我們給出利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法,即有下面的定理:

定理

設(shè)函數(shù)y=

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

(1)若對(duì)于任意的x∈(a,b)，有f′(x)>0，則y=

f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)增加；

(2)若對(duì)于任意的x∈(a,b)，有f′(x)<0，則y=

f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)減少，這個(gè)結(jié)論同樣適用于開區(qū)間(a,b)或無限區(qū)間。

應(yīng)用此定理，就可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判定函數(shù)的單調(diào)性。應(yīng)當(dāng)注意，函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，自然也要由導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能由一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判定函數(shù)在這一區(qū)間上的這一性態(tài)。

例1

判定函數(shù)y=ex

-x

-1

的單調(diào)性.

解函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，導(dǎo)數(shù)為f′=ex

-1，且f′|x=0|=f′(0)=0。

當(dāng)x

∈(-∞,0)時(shí)，f′<0，所以函數(shù)y=ex-x

-1在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)減少；

當(dāng)x

∈(0,+∞)時(shí)，f′>0，所以函數(shù)y=ex-x

-1在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)增加。

由此例看到，點(diǎn)x=0是函數(shù)y=ex-x

-1單調(diào)減少區(qū)間與單調(diào)增加區(qū)間的分界點(diǎn)。

由例1、例2可以看出，有些函數(shù)在其定義區(qū)間上并不是單調(diào)的，但用導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)劃分定義區(qū)間后，就可以使函數(shù)在各個(gè)子區(qū)間上都單調(diào)。

定義若函數(shù)y=f

(x

)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則把f′(x)=0的點(diǎn)叫做駐點(diǎn)；f′(x

)不存在的點(diǎn)叫做尖點(diǎn)。

例3

求函數(shù)y=f

(x)=2x3

-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間

解函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞),在定義域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù):

f′(x)=6x2

-18x

+12=6(x-1)(x-2)

令f′(x)=0,解得駐點(diǎn)為x

1=1,x

2=2.這兩點(diǎn)將定義域(-∞,+∞)分為3個(gè)子區(qū)間.

考察f′(x)在區(qū)間(-∞,1)、(1,2)、(2,+∞)內(nèi)的符號(hào),以確定函數(shù)的單調(diào)性.列表如下:

由上表可知,函數(shù)y=f

(x)的單調(diào)增加區(qū)間為(-∞,1),(2,+∞),單調(diào)減少區(qū)間為(1,2)

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟是:

(1)求出函數(shù)的定義域;

(2)求出函數(shù)y=f

(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；

(3)求出f′(x)=0和f′(x)不存在的點(diǎn);

(4)用步驟(3)中求出的點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間;

(5)判斷f′(x)在每個(gè)小區(qū)間的符號(hào),即可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間.

3.3.2利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性可以用來證明一些不等式.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù),并研究它在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

例4

證明不等式:當(dāng)x>0時(shí),x>ln(1+x).

證明

設(shè)函數(shù)f

(x)=x-ln(1+x),則我們只需證明x>0時(shí),f

(x)>0就可以了.

因?yàn)?/p>

顯然,當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,所以當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f

(x)是單調(diào)增加的;因此,

f

(x)>f(0)=0,即f

(x)=x-ln(1+x)>0,所以,

x

>ln(1+x)

證畢.

利用單調(diào)性證明不等式：g

(x)>h(x)(x>a

或a<x<b)的步驟如下：

(1)用不等式兩端相減構(gòu)造出函數(shù)f(x)=g(x)-h(x

)；

(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；

(3)在區(qū)間(a,x)或(a,b)上證明f′(x

)>0和f(a)≥0；

(4)得出f(x)>f(a)≥0,從而證明不等式g(x)>h(x)。

習(xí)題3－3

1.判斷函數(shù)f(x)=x-ln(1+x2

)的單調(diào)性.

2.判斷函數(shù)y=x3

-2x2+x

的單調(diào)性.

3.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

3.4函數(shù)的極值及其求法

3.4.1函數(shù)極值的定義從上節(jié)的討論可以看到，有些函數(shù)在某些點(diǎn)左、右鄰近的單調(diào)性不一樣，這樣的點(diǎn)在應(yīng)用上有重要意義，下面就對(duì)它做一般性的討論，這就是函數(shù)的極值問題。

定義設(shè)y=數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于x0的點(diǎn)x，恒有；

(1)數(shù)f(x)<f(x

0)成立，則稱f(x

0)是函數(shù)數(shù)f(x)的一個(gè)極大值；

(2)數(shù)f(x)>f(x

0)成立，則稱f(x

0)是函數(shù)數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。

函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x

0統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。

例如,在圖3－6中，

f(c

1

)和f(c

4)是函數(shù)f(x)的極大值，c

1和c

4

是f(x)的極大值點(diǎn)；f(c

2)和f(c

5)是函f(x)的極小值，

c2

和c

5

是f(x)的極小值點(diǎn)。

注意:

(1)極值是指函數(shù)值,而極值點(diǎn)是指自變量的值,兩者不應(yīng)混淆;

(2)函數(shù)的極值概念是局部性的,它只是與極值點(diǎn)近旁的所有點(diǎn)的函數(shù)值相比較為較大或較小,并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小.因此,在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)的極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.

(3)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部,區(qū)間端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn);而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間內(nèi)部,也可能是區(qū)間的端點(diǎn).圖3－6

3.4.2函數(shù)極值的判定和求法

由圖3－6可知,在函數(shù)取得極值處,曲線的切線是水平的,即在極值點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)卻不一定取得極值.例如,在點(diǎn)c3

處,曲線具有水平切線,這時(shí)f'(c

3)=0,但f(c

3)并不是極值.下面我們給出函數(shù)取得極值的條件.

定理1(極值的必要條件)

設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x

0處可導(dǎo)，且x

0為f(x)的極值點(diǎn)，則函數(shù)在點(diǎn)x

0

的導(dǎo)數(shù)一定為零，即f‘(x

0

)=0。

定理1說明可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)，例如x

=0是函數(shù)f(x)=x3

的駐點(diǎn);但x=0不是它的極值點(diǎn)。反過來在不是函數(shù)的駐點(diǎn)處，函數(shù)也可能取得極值，例如y=|x|，它在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)，但是x=0卻是它的極小值點(diǎn)，極小值為f(0)=0，如圖3－7所示。當(dāng)我們求出函數(shù)的駐點(diǎn)后,怎樣判別它們是否為極值點(diǎn)呢?如果是極值點(diǎn),又怎樣進(jìn)一步判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)呢?這個(gè)問題由下面的定理給出判定方法.圖3－7

定理2(極值第一判別法)設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x

0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f′(x

0

)=0，則有：

(1)當(dāng)x<x

0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>x

0時(shí)，f′(x)<0,則f(x)在x

0處取得極大值；

(2)當(dāng)x<x

0時(shí)，

f′(x

)<0；當(dāng)

x>x

0時(shí)，

f′(x)>0，則f(x)在x

0處取得極小值；

(3)如果在x

0的兩側(cè)，

f′(x)符號(hào)不變，則x

0不是f(x)的極值點(diǎn)。利用函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)也可判定f(x)在駐點(diǎn)處取得極大值還是極小值。

定理3(極值第二判別法)

設(shè)

f(x)在x

0處具有二階導(dǎo)數(shù)f″(x

0)，且f′(x

0)=0，

f″(x

0)≠0，則有：

(1)當(dāng)f″(x

0)<0時(shí),x

0為f(x)的極大值點(diǎn);

(2)當(dāng)f″(x

0)>0時(shí),x

0

為f(x)的極小值點(diǎn);

(3)當(dāng)f″(x

0)=0時(shí),此判別法失效.

綜合上面三個(gè)定理,給出求函數(shù)f(x)在所討論區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)和極值的步驟如下:

(1)求y=f(x)的定義域及f′(x

)；

(2)求出f′(x)=0及函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);

(3)考察每個(gè)駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)左右兩側(cè)f′(x)的符號(hào),以確定該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),是極大值還是極小值,或用駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)值判定;

(4)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值,即得函數(shù)f(x)的全部極值.

例1

求函數(shù)y=2x

3-9x

2+12x-3的極值.

解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞).

(2)導(dǎo)數(shù)y′=6x2

-18x

+12=6(x-1)(x-2)

令y′=0,得駐點(diǎn)x

1=1,x

2=2.

(3)這兩個(gè)根把(-∞,+∞)分成三個(gè)區(qū)間(-∞,1)、(1,2)、(2,+∞),列表考察函數(shù)的極值情況:

注:表中符號(hào)“↗”和“↘”分別表示函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加還是單調(diào)減少.

由定理可知,函數(shù)y=2x

3-9x

2+12x-3

在x=1處取得極大值,且f(1)=2;在x

=2處取得極小值,且f(2)=1.

例3

設(shè)f

(x

)=xe-x

，求函數(shù)f(x)的極值。

解法1(1)求導(dǎo)數(shù)：

f′(x)=e-x

(1-x)。

(2)求駐點(diǎn)：令f′(x)=0，得x=1。

(3)判定：因?yàn)閤<1時(shí)，

f′(x)>0；

x>1時(shí)，

f′(x)<0，所以x=1為f(x)的極大值點(diǎn)，

f(x)的極大值為f(1)=e-1

。

解法2

f′(x)=e-x

(1-x)，f″(x)=(-2+x)e-x

令f′(x)=0,得駐點(diǎn)x=1.因?yàn)?/p>

f″(1)=-e-1

<0

故x=1為f(x)的極大值點(diǎn),且f(x)的極大值為f(1)=e-1。

例4求函數(shù)f(x)=(x2

-1)3+1的極值.

解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞).

(2)求導(dǎo)數(shù):f′(x)=6x(x2

-1)2,f″(x)=6(x2

-1)(5x2

-1).

(3)令f′(x)=0,得駐點(diǎn)x=0,x=1,x=-1,列表考察函數(shù)的極值情況如下:

由表可知此函數(shù)的極小值為

f(0)=0，在駐點(diǎn)x=1及x=-1處，f′(x

)左右符號(hào)不變，故該函數(shù)不取得極值;且f″(±1)=0，即二階導(dǎo)數(shù)判定法在此失效。

習(xí)題3－4

1.求下列函數(shù)的極值點(diǎn)和極值:

3.5函數(shù)的最大值和最小值在生產(chǎn)實(shí)踐及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常遇到諸如求質(zhì)量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利潤(rùn)最大、投入最小等問題，這類問題在數(shù)學(xué)上常常歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。

函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。最大值和最小值反應(yīng)的是函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì)；而極值是函數(shù)在一點(diǎn)處的局部性質(zhì)，因此，一個(gè)函數(shù)可以有幾個(gè)極大值、幾個(gè)極小值，甚至函數(shù)的一個(gè)極大值比其一個(gè)極小值還要小，而最大值和最小值不存在此情況。

3.5.1函數(shù)的最值的求法

由第1章閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，若函數(shù)

y=f

(x

)在[a,b]上連續(xù)，則y=f(x

)在[a,b]上必有最大值和最小值。

函數(shù)的最值與函數(shù)的極值雖然是不同的概念,但它們之間具有如下的關(guān)系：

一個(gè)函數(shù)的極值只能在給定的區(qū)間內(nèi)取得，不會(huì)在區(qū)間的端點(diǎn)取得；但最值卻可以在區(qū)間內(nèi)部，也可以在端點(diǎn)處取得。

最大值和最小值是函數(shù)在定義區(qū)間上所有極大值和極小值與端點(diǎn)函數(shù)值比較(如果端點(diǎn)有定義的話)后，所取的最大者和最小者。如果函數(shù)的最大值或最小值是在區(qū)間內(nèi)部獲得

的，那么這個(gè)最大值或最小值一定也是函數(shù)的極大值或極小值。

求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上最大值或最小值的方法如下：

(1)求出函數(shù)在(a,b)內(nèi)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

(2)求出以上各點(diǎn)處的函數(shù)值以及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

(3)比較各函數(shù)值,最大者為最大值,最小者為最小值。

3.5.2函數(shù)最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用

在實(shí)際問題中，如果函數(shù)y=f(x)在某開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)x0

，而且從實(shí)際問題中又可以知道函數(shù)在該開區(qū)間內(nèi)必有最大值或最小值，那么

f(x0

)就是要求的最大值或最小值，而不必去驗(yàn)證；而當(dāng)函數(shù)y=f(x)在該開區(qū)間內(nèi)有多于一個(gè)的駐點(diǎn)時(shí)就需要重新判定。

實(shí)際問題求最值的步驟如下：

(1)設(shè)變量，建立目標(biāo)函數(shù)；

(2)求導(dǎo)數(shù)，找駐點(diǎn)；

(3)求出極值即為函數(shù)的最值。

令f′(x

)=0得駐點(diǎn)x

1=10，x

2=-10(舍掉)。

由于駐點(diǎn)唯一，由實(shí)際意義可知，問題的最小值存在，因此當(dāng)正面墻長(zhǎng)為10m，側(cè)面長(zhǎng)為15m時(shí)所用材料費(fèi)最省。

注意：題目中沒有給出圍墻的高h(yuǎn)

，但是由計(jì)算可以看到當(dāng)確定圍墻高度之后，所使用材料費(fèi)的多少僅與正面墻長(zhǎng)x

有關(guān)。

因此所給問題本質(zhì)是與圍墻的高無關(guān)的問題。

習(xí)題3-5

1.求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值與最小值:

2.欲用圍墻圍成面積為216cm3

的一塊矩形土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長(zhǎng)和寬選取多大尺寸時(shí)，才能使所使用的建筑材料最省?

3.要做一底面為長(zhǎng)方形的帶蓋的箱子，其體積為72cm3，兩底邊之比為2∶1，問邊長(zhǎng)為多少時(shí)用料最省?

3.6曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

我們研究了函數(shù)的單調(diào)性和極值，這對(duì)描繪函數(shù)的圖形有很大的作用，但僅僅知道這些，還不能準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖形。

如圖3－8

3.6.1曲線的凹凸性及其判別法

1.曲線凹凸性的定義

觀察圖3－9不難得出：當(dāng)曲線f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)向下凹時(shí)，其各點(diǎn)處切線總是位于曲線下方；當(dāng)曲線f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)向上凸時(shí)，其各點(diǎn)處切線總是位于曲線的上方。

定義1設(shè)函數(shù)f

(x

)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b

)內(nèi)可導(dǎo)，那么

(1)當(dāng)曲線總是位于切線上方時(shí),稱曲線f(x)是凹的；

(2)當(dāng)曲線總是位于切線下方時(shí),稱曲線f(x)是凸的。圖3－9

2.曲線凹凸性的判定

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f″(x

),則

(1)當(dāng)f″(x

)>0時(shí),曲線f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是凹的;

(2)當(dāng)f″(x

)<0時(shí),曲線f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是凸的.

例1判斷曲線y=x

2的凹凸性。

解函數(shù)y=x

2

的定義域?yàn)?-∞,+∞)，且

y‘=2x

，y″=2

因?yàn)閥″>0，所以函數(shù)y=x2在定義域內(nèi)是凹的。

3.6.2曲線的拐點(diǎn)以及判定

1.曲線的拐點(diǎn)

由例3可以看見,曲線y=arctanx上的點(diǎn)(0,0)是該曲線的圖形由凹到凸的分界點(diǎn)，這一點(diǎn)就是所謂的拐點(diǎn).一般地,有如下的定義：

定義2連續(xù)曲線弧上凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線f(x

)的拐點(diǎn)。

注意:因?yàn)楣拯c(diǎn)是曲線上的點(diǎn),所以拐點(diǎn)必須用橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)(x

0,f

(x

0

))同時(shí)表示。

2.曲線拐點(diǎn)的判定

由曲線凹凸性及拐點(diǎn)的定義可知，在拐點(diǎn)左右近旁f″(x)必定改變符號(hào)，因此，在拐點(diǎn)處必有f″(x

0

)=0；但是反過來不成立，即：使f″(x

0

)=0的點(diǎn)(x

0

,f(x

0

))是拐點(diǎn)的必要條件，而不是充分條件。

綜上所述,判定曲線y=f

(x

)的凹凸性和拐點(diǎn)的步驟是：

(1)確定函數(shù)的定義域；

(2)求出該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f″(x)；

(3)求出使f″(x

)=0及f″(x)不存在的點(diǎn)；

(4)考察f″(x)在各部分區(qū)間的符號(hào)，判定曲線的凹凸性并求出拐點(diǎn)。

例4

求曲線y=x

3-3x2

的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).

解函數(shù)y=x

3-3x2的定義域?yàn)?-∞,+∞),且

y′=3x2

-6x

y″=6x-6

令y″=0,解得

x=1.

用

x=1,將定義域分成兩個(gè)區(qū)間,列表如下:

注:表中符號(hào)“∪”和“∩”分別表示函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間的凹凸性.

因此,曲線在(-∞,1)內(nèi)是凸的,在(1,+∞)內(nèi)是凹的,(1,-2)是曲線的拐點(diǎn).

習(xí)題3-6

1.求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn):

3.7函數(shù)圖形的描繪

利用函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)等知識(shí)可以描繪出函數(shù)的圖形的基本性態(tài)。為了更準(zhǔn)確地描繪出函數(shù)的圖形，下面我們先介紹曲線的漸近線，

3.7.1曲線的漸近線

定義：若f

(x)=b或f(x)=b(b為常數(shù))，則稱直線y=b為曲線y=f(x

)的水平漸近線；若f

(x)=∞或

f(x)=∞，則稱直線x=x0

為曲線

y=f(x)的垂直漸近線。

圖3－103.7.2函數(shù)圖形的描繪

綜合可得描繪函數(shù)圖形的一般步驟是：

(1)確定函數(shù)的定義域，并討論函數(shù)的有界性、周期性、奇偶性等；

(2)求f′(x)、f″(x)，解出f′(x)=0及f″(x)=0在定義域內(nèi)的全部實(shí)根及一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，將定義域分成幾個(gè)分區(qū)間；

(3)列表討論f′(x)、

f″(x)的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)；

(4)計(jì)算一些必要的輔助點(diǎn)；

(5)討論曲線的漸近線；

(6)描出函數(shù)的圖形。

圖3－11

圖3－12

習(xí)題3－7

1.求下列函數(shù)的漸近線：

2.描繪下列函數(shù)的圖形:

(1)y=x3

-6x2

-15x

+1

(2)y=ln(1+x2)

本章小結(jié)

一、拉格朗日中值定理若函數(shù)y=f(x

)滿足：①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b

)，使得

f(b)-f(a)=f'(ξ)(b

-a

)

特別是如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)f′(x

)恒為零，則在(a,b)內(nèi)f(x)是一個(gè)常數(shù)；若在(a,b)內(nèi)恒有f′(x)=g′(x

)，則在(a,b)內(nèi)必有f(x)=g(x)+C

，其中C

為某個(gè)常數(shù)。

注意：(1)定理中的條件都是充分條件，如果其中一個(gè)條件不具備，結(jié)論就不一定成立，所以在閉區(qū)間上應(yīng)用中值定理時(shí)，必須考察函數(shù)y=f(x)在該區(qū)間上是否滿足所有條件。

(2)在幾何上，曲線y=f(x)在點(diǎn)(ξ

,f(ξ))處的切線恰好平行于曲線在區(qū)間兩端點(diǎn)的連線(弦)。

二、函數(shù)的單調(diào)性與極值

1.函數(shù)的單調(diào)性的判別法

設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)：

(1)若對(duì)于任意的x∈(a,b)，有f′(x)>0，則y=f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)；

(2)若對(duì)于任意的

x∈(a,b)，有f′(x)<0，則y=f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)減少函數(shù)。

2.函數(shù)的極值及其求法

(1)極值點(diǎn)：設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x

0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于x

0的點(diǎn)x，恒有f(x)<f(x

0)成立，則稱f(x

0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，點(diǎn)x

0稱為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于x

0的點(diǎn)x，恒有f(x)>f(x

0)成立，則稱f(x