第08講二項式定理（春季講義）（人教A版2019選擇性）

第08講二項式定理【人教A版2019】模塊一模塊一二項式定理1．二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)n，都有

.(*)

公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)(k∈{0,1,2,,n})叫做二項式系數(shù)，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：.2．二項展開式的規(guī)律

(1)二項展開式一共有(n+1)項.

(2)(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.

(3)每一項中a和b的冪指數(shù)之和為n.3．二項展開式中的通項問題的求解方法：求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k+1，代回通項公式即可.【題型1求二項展開式】【例1.1】（2324高二下·北京通州·期中）二項式x+23的展開式為（

A．x3+6xC．x3+12x【解題思路】由二項式定理求解.【解答過程】二項式x+23==x故選：B.【例1.2】（2324高二下·江蘇南京·期中）化簡x+14?4x+1A．x4 B．x?14 C．x+14 【解題思路】逆用二項展開式定理即可得答案.【解答過程】x+1==故選：A.【變式1.1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）下列不屬于x?23的展開式的項的是（

A．x3 B．6x2 C．12x【解題思路】按照二項式定理直接展開判斷即可.【解答過程】由二項式定理可知，(x?2)3=x故選：B.【變式1.2】（2324高二下·遼寧朝陽·期中）化簡16?32x+24x2?8A．x4 B．2?x4 C．2+x4【解題思路】逆用二項式定理化簡.【解答過程】16?32x+24=C故選：B.【題型2求展開式的特定項或特定項的系數(shù)】【例2.1】（2324高二下·廣東茂名·期中）x?12x10A．210 B．252 C．?638 【解題思路】利用展開式的通項可得答案.【解答過程】x?12x10且r∈0,1,2,?,10令10?2r=0，解得r=5，所以展開式的常數(shù)項為C10故選：C.【例2.2】（2324高二下·山西呂梁·期末）若x+mxx?1xA．2 B．3 C．2 D．3【解題思路】由x+mxx?【解答過程】x+mx?1x5令5?2r=?1，解得r=3，則xx?1x令5?2r=1，解得r=2，則mxx?1因為x+mxx?1x故選：D.【變式2.1】（2324高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期中）2x?1x5的展開式中xA．?80 B．?40 C．40 D．80【解題思路】借助二項式的展開式的通項公式計算即可.【解答過程】對于2x?1x5令5?2r=1解得r=2，則所求系數(shù)為?12故選：D.【變式2.2】（2324高二下·河北保定·期末）9x+8x5的展開式中含xA．C52×C．C51×【解題思路】應(yīng)用二項式展開式通項公式計算求解即可.【解答過程】9x+8x5令5?32r=2所以展開式中x2的項為T故選：D.模塊二模塊二二項式系數(shù)的性質(zhì)1．二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)楊輝三角——二項式系數(shù)表

當(dāng)n依次取1,2,3,時，觀察的展開式的二項式系數(shù)：從中我們可以看出，左側(cè)三角是根據(jù)二項式定理得到的，右側(cè)三角是算出對應(yīng)的組合數(shù)的值后所得結(jié)果，由此我們可以發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：

①每一行中的二項式系數(shù)是對稱的，如第一項與最后一項的二項式系數(shù)相等，第二項與倒數(shù)第二項的二項式系數(shù)相等.

②每一行兩端都是1，而且從第二行起，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.

③從第二行起，每一行的二項式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大.

④第一行的兩個數(shù)之和為，第二行的三個數(shù)之和為，，第六行的各數(shù)之和為，，第n行的(n+1)個數(shù)之和為.(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等(即)增減性當(dāng)時，二項式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)時，二項式系數(shù)逐漸減小，因此二項式系數(shù)在中間取得最大值最大值當(dāng)n是偶數(shù)時，展開式的中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時，展開式的中間兩項與的二項式系數(shù)，相等且最大各二項式

系數(shù)的和2．兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.3．二項式系數(shù)的最值問題的求法：

二項式系數(shù)最大項的確定方法：當(dāng)n為偶數(shù)時，展開式中第項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時，展開式中第項和第項的二項式系數(shù)最大，最大值為或.【題型3用賦值法求系數(shù)和問題】【例3.1】（2324高二下·新疆·期末）已知(2x+3)8=a0+A．215 B．216 C．217【解題思路】對展開式兩邊同時求導(dǎo)，再令x=1【解答過程】對(2x+3)8得16(2x+3)令x=12，得故選：D.【例3.2】（2324高二下·山東泰安·期中）已知對任意實數(shù)x，(2x?1)8=aA．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)【解題思路】對于題中的二項展開式，只需分別取x=?1，x=0，x=?2和x=?12代入化簡計算即可判斷ABC，將二項式展開式兩邊求導(dǎo)，然后取【解答過程】因(2x?1)8對于A項，當(dāng)x=?1時，代入（*）可得a0=38，當(dāng)x=0時，代入（*）可得對于B項，當(dāng)x=?2時，代入（*）可得a0又a0+a對于C項，當(dāng)x=?12時，代入（*）可得對于D項，對（*）兩邊求導(dǎo)可得16(2x?1)當(dāng)x=0時，a1故選：C.【變式3.1】（2324高二下·河北石家莊·期末）已知fx=2x?3(1)求a2(2)求a1(3)求a1【解題思路】(1)根據(jù)二項式系數(shù)和為512先確定n值，再計算a2(2)利用賦值法求特定項系數(shù)及特定項項系數(shù)和可得．(3)先求導(dǎo)數(shù)后代值，即可得答案.【解答過程】（1）由二項式系數(shù)和為512知，2n故2x?39所以a2（2）在2x?39令x=1，可得a0令x=2，可得a0所以a=a（3）在2x?39兩邊求導(dǎo)可得182x?3令x=2,可得a1所以a1【變式3.2】（2324高二下·浙江臺州·期中）已知2x?110=a(1)求a3(2)求a1(3)求a0【解題思路】（1）寫出展開式的通項，利用通項計算可得；（2）利用賦值法計算可得；（3）由通項可知當(dāng)k為奇數(shù)時，項的系數(shù)為負數(shù)，所以a0+a【解答過程】（1）二項式2x?110展開式的通項為：Tk+1=C10所以T8=C（2）令x=0，得a0令x=1，得a0所以a1（3）因為展開式的通項為Tk+1=C10k所以當(dāng)k為奇數(shù)時，項的系數(shù)為負數(shù).所以a0令x=?1∴a0【題型4多項式積的展開式問題】【例4.1】（2324高二下·山東菏澤·期中）x?yx+y4的展開式中x2A．?1 B．?2 C．?3 D．4【解題思路】根據(jù)第一個括號內(nèi)取項情況分兩類，利用通項求相應(yīng)項系數(shù)再合并即可得.【解答過程】x+y4二項展開式的通項為T要得到x2第一類：當(dāng)(x?y)中取x項時，則需x+y4展開式中的x由4?k=1得，k=3，即T4=C43第二類：當(dāng)(x?y)中取?y項時，則需x+y4展開式中的x由4?k=2得，k=2，即T3=C42綜上可知，展開式中x2y3故選：B.【例4.2】（2324高二下·廣東梅州·期中）1+2x51?A．?42 B．?41 C．42 D．43【解題思路】首先將二項式展開得1?1【解答過程】1+2x51?其中1?1x72x51?所以1+2x51?故選：B.【變式4.1】（2324高二下·云南大理·期末）1+x1?2x5的展開式中x2A．?40 B．?10 C．40 D．30【解題思路】根據(jù)二項式展開式求解即可.【解答過程】因為1+x1?2x所以展開式中x2的項為C所以x2故選：D.【變式4.2】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）若x3+4xa+1x6的展開式中A．3?12 B．±314 C．【解題思路】根據(jù)二項式定理通項公式求出xa+1【解答過程】因為xa+1x6令6?3r2=3，得r=2；令6?所以x3+4xa+1x故選：C.【題型5三項展開式的系數(shù)問題】【例5.1】（2324高二下·重慶巴南·期中）x2?1A．544 B．559 C．495 D．79【解題思路】若要展開式中出現(xiàn)常數(shù)項，需考慮六個括號x2【解答過程】展開式中的常數(shù)項分三種情況：第一種，六個括號x2?1x+2第二種，六個括號中一個括號提供x2，兩個括號提供?1x，三個括號提供2第三種，六個括號中兩個括號提供x2，四個括號提供?1x所以展開式的常數(shù)項為64+480+15=559，故選：B.【例5.2】（2024·山東·二模）1+x?1y8展開式中xA．?840 B．?420 C．420 D．840【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題，使用組合方法求解.【解答過程】現(xiàn)有8個1+x?1y相乘，從每個1+x?1y中的三項1,x,?1y各取一項相乘時，若結(jié)果為x2所以，總的選取方法數(shù)目就是C8每個這樣選取后相乘的結(jié)果都是14·x2·?1故選：C.【變式5.1】（2324高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）求x2+x?2y5的展開式中xA．40 B．?40 C．120 D．?120【解題思路】根據(jù)題意，多項式x2+x?2y5【解答過程】因為多項式x2+x?2y5根據(jù)組合數(shù)的定義和計算公式，可得x5y2所以x5y2故選：C.【變式5.2】（2324高三上·河北保定·期末）2x2?3x+a5的展開式的各項系數(shù)之和為1，則該展開式中含A．?600 B．?840 C．?1080 D．?2040【解題思路】利用賦值法令x=1由各項系數(shù)之和為1可求得a=2，由通項可得展開式中含x7項的系數(shù)是?2040【解答過程】因為2x令x=1，得(?1+a)5=1，解得所以2x2?3x+25的展開式中含所以該展開式中含x7項的系數(shù)是?2040故選：D.【題型6求展開式中系數(shù)的最大（?。╉棥俊纠?.1】（2024·河南安陽·二模）2x+y8的展開式中各項系數(shù)的最大值為（

A．112 B．448 C．896 D．1792【解題思路】根據(jù)二項式的通項公式，結(jié)合展開式系數(shù)最大的性質(zhì)進行求解即可.【解答過程】該二項式的通項公式為Tr+1由C8r?因為C82?故選：D.【例6.2】（2324高二下·江蘇常州·期中）在3x?2y20的展開式中，系數(shù)絕對值最大項是（

A．第10項 B．第9項 C．第11項 D．第8項【解題思路】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【解答過程】二項式3x?2y20的通項公式為：T設(shè)第r+1項的系數(shù)絕對值最大，所以有C20因為r∈N?，所以故選：B.【變式6.1】（2324高二下·江蘇徐州·期中）已知2x+1(1)求展開式中含有x的項：(2)求展開式中系數(shù)最大項．【解題思路】（1）根據(jù)題意結(jié)合二項式系數(shù)可求得n=7，結(jié)合二項式的展開式的通項公式計算即可得解；（2）根據(jù)展開式的通項公式列出不等式求解即可得.【解答過程】（1）由題意可得Cn1:又n∈N?，可解得對2x+1x6則T5即展開式中含有x的項為280x；（2）令27?r?C即2r+1≥7?r8?r≥2r，解得53≤r≤則T3=2【變式6.2】（2324高二下·福建福州·期中）在x?(1)求展開式中所有項的系數(shù)和；(2)求二項式系數(shù)最大的項；(3)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項?【解題思路】（1）借助賦值法令x=1即可得；（2）結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)與二項式的展開式的通項公式計算即可得；（3）解不等式組2r【解答過程】（1）令x=1，可得展開式中所有項的系數(shù)和為?18（2）二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項，(xTr+1故T5（3）由(xTr+1設(shè)第r+1項系數(shù)的絕對值最大，顯然0<r<8，則2r整理得8!r!(8?r)!≥2?8!解得5≤r≤6，而r∈N，則r=5或r=6所以系數(shù)的絕對值最大的項是第6項和第7項.【題型7證明整除問題或求余數(shù)】【例7.1】（2324高二下·江蘇徐州·期中）已知a,b,m(m>0)為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm)．如9和21除以6所得的余數(shù)都是3，則記為9≡21(mod6)，若a=C240A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【解題思路】利用二項式定理對a化簡，得到其除以10的余數(shù)，再結(jié)合給定條件逐個選項分析即可.【解答過程】因為a=C所以a=(1+2)而(10?1)12故a除以10余數(shù)為1，而a≡b(mod10)，所以對于A，2024除以10余數(shù)為4，故A錯誤，對于B，2023除以10余數(shù)為3，故B錯誤，對于C，2022除以10余數(shù)為2，故C錯誤，對于D，2021除以10余數(shù)為1，故D正確.故選：D.【例7.2】（2324高二下·四川廣元·階段練習(xí)）已知今天是周四，那么3141天后是（

A．周一 B．周三 C．周五 D．周日【解題思路】變形得3141【解答過程】由題意得3141由二項式定理得=C=C因為28可以整除7，則3141除7后余數(shù)為6，則3故選：B.【變式7.1】（2324高二下·山東聊城·期中）已知1+xn3?1(1)求n；(2)證明：43n【解題思路】（1）根據(jù)題意，利用二項展開式，得出展開式的常數(shù)項為3?n，即可求解；（2）由439【解答過程】（1）解：由1+xn則多項式1+xn3?1x的展開式的常數(shù)項為（2）解：由43=42C所以43n【變式7.2】（2324高二下·安徽·期中）若x+22023=a(1)求T的大小（用指數(shù)式表示）；(2)求2T除以4所得的余數(shù)．【解題思路】（1）分別令x=1、x=?1，求出a0+a1（2）由（1）知2T=32023?1【解答過程】（1）因為x+22023令x=1，得a0令x=?1，得a①減②的差除以2，得T=a（2）由（1）知2T=3因為32023=(4?1)所以32023因為C2023所以32023?1被4除的余數(shù)為2，即2T除以4的余數(shù)為【題型8二項式定理與數(shù)列求和】【例8.1】（2024·江西·模擬預(yù)測）設(shè)2x2?17xA．21 B．64 C．78 D．156【解題思路】首先寫出展開式的通項，再根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式計算可得；【解答過程】解：2x2?17x所以m0故選：A.【例8.2】（2425高二·全國·課后作業(yè)）已知2?xnn≥2,n∈N，展開式中x的系數(shù)為fn，則A．2019110 B．2019505 C．10091010【解題思路】由題知fn=【解答過程】∵2?xnn≥2,n∈N，展開式中x∴則2=2+2C32=2+4×1故選：B．【變式8.1】（2324高二下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知(1+x)2(1)求a1(2)①證明：1C2nk=2n+12n+21C2n+1k+②利用①的結(jié)論求1a【解題思路】（1）賦值x=0和x=1，即可求解系數(shù)的和；（2）①利用組合數(shù)的階乘公式，即可證明；②首先由①可得1C2nk【解答過程】（1）∵令x=0，得a0令x=1，得a0∴（2）①證明：∵a∴1C==2n+2∴1C②解：∵由①得：1Cak∴1=2n+1=2n+1=2n+1=?n【變式8.2】（2324高二下·江蘇·期末）記fn(x)=(x+1)(1)化簡：i=1n(2)證明：fn+1(x)+2fn+2(x)+?+k【解題思路】（1）先利用二項式定理求得ai（2）先得到題設(shè)條件中含xn【解答過程】（1）因為fn(x+1)n的二項展開式為T所以ai所以i=1n(i+1)a則1+i=1又1+i=1所以21+故i=1n（2）因為fn+1(x)+2fn+2(x)+?+k而kC所以含xnC=(n+1)=(n+1)=(n+1)C【題型9楊輝三角問題】【例9.1】（2425高二上·全國·隨堂練習(xí)）楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載．如圖所示的楊輝三角中，第15行第15個數(shù)是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【解題思路】利用二項式定理求解即可.【解答過程】由楊輝三角知：第1行：C10，第2行：C20，C2第3行：C30，C31，第4行：C40，C41，C4由此可得第n行，第r1≤r≤n+1個數(shù)為C所以第15行第15個數(shù)是C15故選：B.【例9.2】（2324高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（

）A．CB．第2023行中從左往右第1013個數(shù)與第1014個數(shù)相等C．記第n行的第i個數(shù)為ai，則i=1D．第20行中第8個數(shù)與第9個數(shù)之比為8:13【解題思路】根據(jù)二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷各選項的對錯.【解答過程】由圖知，第n行的第i個數(shù)為ai，則a對于A，由Cnm?1+C=C43對于B，第2023行有2024項，從左往右第1013個數(shù)與第1014個數(shù)分別為C20231012,對于C，第n行的第i個數(shù)為ai，則i=1∴i=1n+1對于D，第20行中，第8個數(shù)與第9個數(shù)的比為C20故選：D.【變式9.1】（2425高二上·上海浦東新·期中）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，圖1為楊輝三角的部分內(nèi)容，圖2為楊輝三角的改寫形式(1)求圖2中第11行的各數(shù)之和；(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數(shù)一直取到第100行的第3個數(shù)，求取出的所有數(shù)之和；(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數(shù)之比為3:8:14？若存在，試求出這三個數(shù)；若不存在，請說明理由.【解題思路】（1）利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求和即可；（2）利用Cn（3）設(shè)在第n行存在三個相鄰的數(shù)之比為3:8:14，從而得到方程組，求出答案.【解答過程】（1）第11行的各數(shù)之和為C11（2）楊輝三角中第2行到第100行，各行第3個數(shù)之和為C=C（3）存在，理由如下：設(shè)在第n行存在三個相鄰的數(shù)Cnk?1,Cnk,CnCn故Cnk?1C即8k=3n?3k+314k+14=8n?8k，解得k=3所以這三個數(shù)為C10【變式9.2】（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家?教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，圖1為楊輝三角的部分內(nèi)容，圖2為楊輝三角的改寫形式(1)求圖2中第10行的各數(shù)之和；(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數(shù)一直取到第15行的第3個數(shù)，求取出的所有數(shù)之和；(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數(shù)之比為3:8:14？若存在，試求出這三個數(shù)；若不存在，請說明理由.【解題思路】（1）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求和即可；（2）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)化簡求值即可；（3）假設(shè)存在，根據(jù)條件建立方程組求解，即可得解.【解答過程】（1）第10行的各數(shù)之和為：C10（2）楊輝三角中第2行到第15行各行第3個數(shù)之和為：C=16×15×14（3）存在，理由如下：設(shè)在第n行存在連續(xù)三項Cnk?1,Cnk,有Cnk?1Cn4=3即3n+3=11k22k?8n+14=0，解得k=3,n=10所以C10故這三個數(shù)依次是45,120,210.一、單選題1．（2324高二下·天津西青·期末）(x?1)10的展開式的第7項的系數(shù)為（

A．C107 B．C106 C．【解題思路】由二項式的通項公式求解．【解答過程】x?110的展開式的第7項為：T則第7項的系數(shù)為：C10故選：B.2．（2324高二下·新疆克孜勒蘇·期中）若(x+3x2A．9 B．10 C．11 D．12【解題思路】根據(jù)給定條件，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求解即得.【解答過程】由(x所以n=12.故選：D.3．（2324高二下·河北秦皇島·階段練習(xí)）985+211被10除所得的余數(shù)為（A．1 B．2 C．0 D．9【解題思路】顯然211被10除所得的余數(shù)為1，故只需由二項式定理求得985【解答過程】9=C因為C85所以985因為211被10除所得的余數(shù)為1，所以985故選：C.4．（2324高二下·新疆克孜勒蘇·期末）已知(x?1)n的二項展開式中二項式系數(shù)和為32，若(x?1)n=a0A．80 B．192 C．?192 D．?80【解題思路】由二項式系數(shù)和2n=32，解出n，再以x+1為整體，利用二項式定理求解系數(shù)【解答過程】由題意知2n=32，解得又(x?1)=a則a1故選：A.5．（2024·湖南衡陽·一模）(x2?1xA．30 B．?30 C．60 D．?60【解題思路】寫出通項(x2?1x+y)6【解答過程】(xxy項對應(yīng)i=1，C6xy項對應(yīng)r=3系數(shù)為?60，故(x2?1x故選：D.6．（2324高二下·全國·單元測試）已知二項式ax+13xn(a>0)的展開式奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256，展開式中xA．1 B．14 C．2 D．【解題思路】根據(jù)條件，利用二項式的性質(zhì)得n=9，再利用二項展開式的通項公式Tk+1【解答過程】由展開式奇數(shù)項的二項式系數(shù)和2n?1=256，可得則展開式的通項為Tk+1令92?5r6=2，則r=3∵a>0，∴a=1.故選：A.7．（2324高二下·天津濱海新·期中）已知f(x)=(2?x)8=A．a(chǎn)B．f(?1)除以5所得的余數(shù)是1C．a(chǎn)D．a(chǎn)【解題思路】利用賦值法即可判斷ACD，根據(jù)二項式展開式的通項即可求解B.【解答過程】∵f(x)=(2?x)∴令x=1，可得f1=a0+a1+a2由于|a0|+|故|a0|+|a1由題意，f(?1)=3顯然，除了最后一項外，其余各項均能被5整除，f(?1)除以5所得的余數(shù)是1，故B正確．因為f1=a所以a0所以a2+a4故選：B．8．（2425高二下·山東·階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）A．在第10行中第5個數(shù)最大B．第2023行中第1011個數(shù)和第1012個數(shù)相等C．CD．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于9行的第8個數(shù)【解題思路】根據(jù)楊輝三角的規(guī)律以及組合數(shù)的性質(zhì)逐一進行判斷即得.【解答過程】對于A，因“楊輝三角”的第10行中第5個數(shù)是C104，又對于B，因“楊輝三角”的第2023行中第1011個數(shù)和第1012個數(shù)分別為C20231010和因1010+1011≠2023，故C2023對于C，因C=C則C3對于D，因C66+故選：D.二、多選題9．（2324高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）在x?12xA．所有系數(shù)的絕對值之和為129 B．xC．系數(shù)最大項為第3項 D．有理項共有5項【解題思路】利用x?12x9展開式系數(shù)絕對值之和與x+12x9展開式系數(shù)和相等判斷A，根據(jù)二項展開式的通項公式可得Tr+1【解答過程】對于A：在x?12x故令x=1，可知x+12x對于B：因為x?Tr+1=C9r令9?3r2=3，解得r=1，可得即x3項的系數(shù)為?對于C：由通項公式可得：第r+1項的系數(shù)為ar當(dāng)r為偶數(shù)時，ar>0；當(dāng)r為奇數(shù)時，取r為偶數(shù)，令ar≥a整理得3r2+29r?64≥0所以系數(shù)最大項為第3項，故C正確；對于D：令9?3r2∈Z，則故選：BCD.10．（2324高二下·貴州安順·期中）關(guān)于x2A．所有項的二項式系數(shù)和為64 B．所有項的系數(shù)和為0C．常數(shù)項為?20 D．系數(shù)最大的項為第3項【解題思路】原二項式可以化為x?1【解答過程】x2+1令x=1得所有項的系數(shù)和為0，故B正確；常數(shù)項C6由Tr+1=C6rx6?r故選：ABC.11．（2324高二下·江蘇徐州·期中）已知1?2x2021=aA．展開式中所有項的系數(shù)和為?1B．展開式中二項系數(shù)最大項為第1010項C．a(chǎn)D．|【解題思路】賦值x=1，可判斷A，由通項公式可判斷B，分別令x=0，x=12可判斷C，令【解答過程】當(dāng)x=1時，1?2x2021=?1，展開式中所有項的系數(shù)和為展開式中第r+1項二項式系數(shù)C2021C2021r≥C2021展開式中第1011和1012項二項式系數(shù)最大，B錯.1?2x2021令x=0，則a0=1，令x=1∴a1展開式中通項公式Tr+1可知x奇次冪系數(shù)為負，偶次冪系數(shù)為正，所以|a由1?2x2021令x=?1可得：a0?a所以|a故選：AC.三、填空題12．（2324高二下·福建福州·階段練習(xí)）若2x?m(x?1)5的展開式中x3的系數(shù)為40，則實數(shù)m=【解題思路】將2x?m(x?1)5化為2x(x?1)【解答過程】因2x?m(x?1)故其展開式中x3的系數(shù)為2C5故答案為：?6.13．（2425高三上·上?！ら_學(xué)考試）設(shè)x∈R，若(3+x)5=a0+a【解題思路】運用二項式定理知識，結(jié)合賦值法可解.【解答過程】令x=?2，得到1=a令x=?1，得到a0則1=32?a所以a1故答案為：31.14．（2324高二下·山東菏澤·期中）如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第32行中從左至右第11與第12個數(shù)的比為1∶2．【解題思路】根據(jù)“第nn∈N?行中從左至右第11個數(shù)與第12個數(shù)的比為1:2”可以列出關(guān)于n【解答過程】第n行從左到右第11個數(shù)為Cn10,第12個數(shù)為依題意得Cn10Cn11解得n=32.故答案為：32.四、解答題15．（2425高二上·福建龍巖