高等數(shù)學(xué)上冊第三章

第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)處理實際問題第1頁應(yīng)注意問題假如定理三個條件有一個不滿足

則定理結(jié)論有可能不成立

羅爾定理

假如函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(3)在區(qū)間端點處函數(shù)值相等

即f(a)

f(b)

那么在(a,b)內(nèi)最少有一點

(a

b)

使得f

(

)

0

下頁第2頁

例1

不用求出函數(shù)f(x)

(x

1)(x

2)(x

3)導(dǎo)數(shù)

說明方程

f

(x)

0有幾個實根

并指出它們所在區(qū)間

f(1)

f(2)

f(3)

0

f(x)在[1

2]

[2

3]上滿足羅爾定理三個條件

在(1

2)內(nèi)最少存在一點

1

使f

(

1)

0

1是f

(x)

0一個實根

在(2

3)內(nèi)最少存在一點

2

使f

(

2)

0

2也是f

(x)

0一個實根

f

(x)是二次多項式

f

(x)

0只能有兩個實根

分別在區(qū)間(1

2)及(2

3)內(nèi)

解首頁第3頁拉格朗日中值定理假如函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

(2)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

那么在(a

b)內(nèi)最少有一點

(a

b)

使得f(b)

f(a)

f

(

)(b

a)

直線AB斜率下頁第4頁定理幾何意義三、柯西中值定理柯西中值定理

假如函數(shù)f(x)及F(x)滿足

(1)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

(2)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

(3)對任一x

(a

b)

F

(x)

0

那么在(a

b)內(nèi)最少有一點

使得結(jié)束第5頁§3.2洛必達(dá)法則未定式第6頁說明

把定理中“x

a”換成“x

”

把條件(2)換成“當(dāng)|x|>N時f(x)和g(x)都可導(dǎo)且g

(x)

0”

結(jié)論依然成立

定理1(洛必達(dá)法則)

假如函數(shù)f(x)及g(x)滿足

(1)當(dāng)x

a時

函數(shù)f(x)及g(x)都趨于零(或無窮)

(2)在點a某去心鄰域內(nèi)f

(x)及g

(x)都存在

且g

(x)

0

下頁第7頁“零比零”型未定式定值法

解下頁第8頁“零比零”型未定式定值法

解下頁第9頁“無窮比無窮”型未定式定值法

解下頁第10頁其它類型未定式定值法未定式0

、

、00、1

、

0都能夠轉(zhuǎn)化為“零比零”型或“無窮比無窮”型未定式

解下頁第11頁§3.4

函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性判定法二、曲線凹凸性與拐點第12頁一、函數(shù)單調(diào)性判定法

函數(shù)y=f(x)圖象有時上升,有時下降.怎樣判斷函數(shù)圖象在什么范圍內(nèi)是上升,在什么范圍內(nèi)是下降呢？f

(x)>0f

(x)<0觀察結(jié)果函數(shù)單調(diào)增加時導(dǎo)數(shù)大于零

函數(shù)單調(diào)降低時導(dǎo)數(shù)小于零

觀察與思索

函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號有什么關(guān)系？動畫演示下頁第13頁定理1(函數(shù)單調(diào)性判定法)設(shè)函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)假如在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)假如在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)降低

下頁第14頁定理1(函數(shù)單調(diào)性判定法)設(shè)函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)假如在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)假如在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)降低

例1

判定函數(shù)y

x

sinx在[0

2p]上單調(diào)性

解

因為在(0,2p)內(nèi)y

1

cosx

>0

所以函數(shù)y

x

sinx在[0

2p]上單調(diào)增加

下頁第15頁因為在(

0)內(nèi)y

<0

所以函數(shù)y

ex

x

1在(

0]上單調(diào)降低

因為在(0

)內(nèi)y

>0

所以函數(shù)y

ex

x

1在[0

)上單調(diào)增加

函數(shù)y

ex

x

1定義域為(

)

y

ex

1

例2

討論函數(shù)y

ex

x

1單調(diào)性

解定理1(函數(shù)單調(diào)性判定法)設(shè)函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)假如在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)假如在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)降低

下頁第16頁

函數(shù)定義域為(

)

所以函數(shù)在[0

)上單調(diào)增加

因為x>0時

y

>0

所以函數(shù)在(

0]上單調(diào)降低

因為x<0時

y

<0

解下頁第17頁1

設(shè)函數(shù)y

f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

x1

x2是f

(x)兩個相鄰零點

問f(x)在[x1

x2]上是否單調(diào)？2

怎樣把區(qū)間[a

b]劃分成一些小區(qū)間

使函數(shù)f(x)在每個小區(qū)間上都是單調(diào)？討論(1)確定函數(shù)定義域

(2)求出導(dǎo)數(shù)f

(x)

(3)求出f

(x)全部零點和不可導(dǎo)點

(4)判斷或列表判斷

(5)綜合結(jié)論

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間步驟下頁第18頁xf

(x)f(x)

例4

確定函數(shù)f(x)

2x3

9x2

12x

3單調(diào)區(qū)間

這個函數(shù)定義域為(

)

f

(x)

6x2

18x

12

6(x

1)(x

2)

導(dǎo)數(shù)為零點為x1

1

x2

2

列表分析

函數(shù)f(x)在區(qū)間(

1]和[2

)內(nèi)單調(diào)增加

在區(qū)間[1

2]上單調(diào)降低

(

1)(1

2)(2

)↗↘↗＋－＋

y

2x3

9x2

12x

3解下頁第19頁因為當(dāng)x>1時

f

(x)>0

所以f(x)在[1

)上f(x)單調(diào)增加

證實

所以當(dāng)x>1時

f(x)>f(1)=0

即首頁第20頁二、曲線凹凸性與拐點函數(shù)曲線除了有升有降之外,還有不一樣彎曲方向,怎樣依據(jù)函數(shù)本身判斷函數(shù)曲線彎曲方向呢？下頁第21頁定理2(曲線凹凸性判定法)設(shè)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a

b)內(nèi)含有二階導(dǎo)數(shù).若在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上圖形是凹

若在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上圖形是凸

例7判斷曲線y

lnx凹凸性

因為在函數(shù)y

lnx定義域(0

)內(nèi)

y

<0

所以曲線y

lnx是凸

解

下頁第22頁定理2(曲線凹凸性判定法)設(shè)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a

b)內(nèi)含有二階導(dǎo)數(shù).若在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上圖形是凹

若在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上圖形是凸

下頁第23頁拐點連續(xù)曲線y

f(x)上凹弧與凸弧分界點稱為該曲線拐點

拐點討論怎樣確定曲線y

f(x)拐點？假如(x0,

f(x0))是拐點且f

(x0)存在,問f

(x0)=？怎樣找可能拐點？

提醒假如在x0左右兩側(cè)f

(x)異號,則(x0,

f(x0))是拐點.在拐點(x0,

f(x0))處f

(x0)=0或f

(x0)不存在.

只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐點.下頁第24頁

例9

求曲線y

2x3

3x2

2x

14拐點

只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐點.假如在x0左右兩側(cè)f

(x)異號,則(x0,

f(x0))是拐點.y

6x2

6x

12

解

下頁第25頁下頁

例10

求曲線y

3x4

4x3

1拐點及凹、凸區(qū)間

列表判斷

在區(qū)間(

0]和[2/3

)上曲線是凹;在區(qū)間[0

2/3]上曲線是凸

點(0

1)和(2/3

11/27)是曲線拐點

(0)0(02/3)2/3(2/3

)＋－＋∪∩∪00111/27f

(x)f(x)x函數(shù)y

3x4

4x3

1定義域為(

)

解下頁第26頁內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點判別+–拐點—連續(xù)曲線上有切線凹凸分界點第27頁§3.5函數(shù)極值與最大最小值一、函數(shù)極值及其求法二、最大值最小值問題第28頁定義(極值與極值點)一、函數(shù)極值及其求法x1x2x3x4x5函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)極值,使函數(shù)取得極值點稱為極值點.

觀察與思索觀察極值與切線關(guān)系.下頁第29頁設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(a

x0)

(x0

b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)假如在(a

x0)內(nèi)f

(x)

0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)

0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)假如在(a

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)假如在(a

x0)及(x0

b)內(nèi)f

(x)符號相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

定理2(第一充分條件)

x1x2x3x4x5下頁第30頁確定極值點和極值步驟(1)求出導(dǎo)數(shù)f

(x);(2)求出f(x)全部駐點和不可導(dǎo)點;(3)考查在每個駐點和不可導(dǎo)點左右鄰近f

(x)符號;

(4)確定出函數(shù)全部極值點和極值.設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(a

x0)

(x0

b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)假如在(a

x0)內(nèi)f

(x)

0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)

0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)假如在(a

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)假如在(a

x0)及(x0

b)內(nèi)f

(x)符號相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

定理2(第一充分條件)

下頁第31頁例