四川省瀘州市2024屆高三下學(xué)期三診試題 數(shù)學(xué)（理） 含答案

瀘州市高2021級(jí)第三次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理科）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè).共150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題的答案標(biāo)號(hào)涂黑.3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.B.3C.D.52.已知集合，，若中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.3.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則取最小值時(shí)，n的取值為（）A.6B.7C.7或8D.8或94.一組數(shù)據(jù)，，…，滿足（），若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說(shuō)法正確的是（）A.極差變大B.平均數(shù)變大C.方差變小D.中位數(shù)變小5.《九章算術(shù)》是一本綜合性的歷史著作，全書總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)?秦?漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在書中的《商功》一章里記錄了“方亭”的概念，以下是一個(gè)“方亭”的三視圖，則它的側(cè)面積為（）A.B.64C.D.6.已知點(diǎn)在拋物線C：（）上，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，直線MF與C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則（）A.B.C.D.7.如圖，高速服務(wù)區(qū)停車場(chǎng)某片區(qū)有A至H共8個(gè)停車位（每個(gè)車位只停一輛車），有2輛黑色車和2輛白色車要在該停車場(chǎng)停車，則兩輛黑色車停在同一列的條件下，兩輛白色車也停在同一列的概率為（）ABCDEFGHA.B.C.D.8.已知函數(shù)（）在有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.9.已知函數(shù)（）滿足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，…，，則（）A.4nB.2nC.nD.010.過(guò)雙曲線C：（，）的左焦點(diǎn)F作圓的切線，切點(diǎn)為A，直線FA與C的漸近線在第一象限交于點(diǎn)B，若，則C的離心率為（）A.B.C.2D.311.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P為的中點(diǎn)，過(guò)A，B，P三點(diǎn)作平面，則該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為（）A.B.C.D.12.已知，，給出下列不等式（1）；（2）；（3）；（4）其中一定成立的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無(wú)效.（2）本部分共10個(gè)小題，共90分.二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題紙上）.13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)___________.14.已知非零向量，滿足，且，則與夾角的大小為___________.15.動(dòng)直線l：被圓C：截得弦長(zhǎng)的最小值為___________.16.公比為q的等比數(shù)列滿足：，記，則當(dāng)q最小時(shí)，使成立的最小n值是___________.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，，，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF.（1）求證：平面平面PCD；（2）求二面角A—EF—O的余弦值.18.（本小題滿分12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的面積為.（1）求的值；（2）若D是AC邊的中點(diǎn)，，求BD的長(zhǎng).19.（本小題滿分12分）隨著全國(guó)新能源汽車推廣力度的加大，新能源汽車消費(fèi)迎來(lái)了前所未有的新機(jī)遇.某公司生產(chǎn)了A?B兩種不同型號(hào)的新能源汽車，為了解大眾對(duì)生產(chǎn)的新能源汽車的接受程度，公司在某地區(qū)采用隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行調(diào)查，對(duì)A?B兩種不同型號(hào)的新能源汽車進(jìn)行綜合評(píng)估，綜合得分按照，，，分組，繪制成評(píng)估綜合得分的頻率分布直方圖（如圖）：（1）以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從A?B兩種不同型號(hào)的新能源汽車中各隨機(jī)抽取一輛，以X表示這兩輛中綜合得分不低于80分的輛數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為進(jìn)一步了解該地區(qū)新能源汽車銷售情況，某機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到該地區(qū)新能源汽車銷量y（單位：萬(wàn)臺(tái)）關(guān)于年份x的線性回歸方程為，且銷量的方差，年份的方差為.求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷該地區(qū)新能源汽車銷量y與年份x的相關(guān)性強(qiáng)弱.參考公式：（1）線性回歸方程：，其中；（2）相關(guān)系數(shù)（若，則相關(guān)性較弱；若，則相關(guān)性較強(qiáng)；若，則相關(guān)性很強(qiáng)）.20.（本小題滿分12分）已知A，B分別是橢圓E：（）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，橢圓中心O到直線AB的距離為，且橢圓E過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓E的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓E相交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線分別與直線AB，NB交于點(diǎn)C，.試探究M，C，D三點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否成等差數(shù)列，并說(shuō)明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（），（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若恒成立，求函數(shù)的零點(diǎn)的取值范圍.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的直角坐標(biāo)方程為.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線和的極坐標(biāo)方程；（2）若直線l：（其中）與曲線，的交點(diǎn)分別為A，B（A，B異于原點(diǎn)），求的取值范圍.23.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講.設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）設(shè)函數(shù)的最小值為T，正數(shù)a，b，c滿足，證明：.瀘州市高2021級(jí)第三次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分意見(jiàn)評(píng)分說(shuō)明：1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.2.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度.可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.3.解答右側(cè)所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.一?選擇題：題號(hào)123456789101112答案DBCCCAABBBDC二?填空題：13.214.15.816.17三?解答題：17.解：（1）因?yàn)榈酌媸蔷匦危c交于點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，所以為的中位線，為的中位線，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，而平面平面，所以平面平面：?）解法一：分別取中點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，設(shè)平面的法向量為，則：，取，，設(shè)平面的法向量為，則：，取，所以，二面角的余弦值為.解法二：取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，所以，是二面角的平面角，因?yàn)?，所以，所以，在中，，所以二面角的余弦值?18.解：（1）由題意，，所以，中，由余弦定理，有：，，所以（2）在中，由（1）知：，則，因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理，有，所以又，所以，解得：，所?19.解：（1）由頻率分布直方圖可知，種型號(hào)的新能源汽車評(píng)估綜合得分不低于80分的概率為：，B種型號(hào)的新能源汽車評(píng)估綜合得分不低于80分的概率為：，所以的所有可能值為，所以，，所以的分布列為：0120.720.260.02故的數(shù)學(xué)期望；（2）相關(guān)系數(shù)為：.所以，故與線性相關(guān)很強(qiáng).20.解：（1）依據(jù)題意，直線的方程為，即，所以，解得：，橢圓的方程為；（2）解法1：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，理由如下：由題意知，直線的斜率存在且不為0，直線過(guò)點(diǎn)，所以設(shè)直線，聯(lián)立方程組可得：，，設(shè)，則：，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋羁傻茫?，因?yàn)?，令可得：，下面證明：，即證：，即證：，整理可得即證：，（*）由于，，所以上式（*）成立，原式得證.解法2：點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，理由如下：設(shè)直線，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，聯(lián)立方程組可得：，，設(shè)，則：，因?yàn)椋?，因?yàn)椋羁傻茫?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋羁傻茫?，下面證明：，即證：，即證：，整理可得即證：，即證：，整理可得即證：，即證：，因?yàn)?，所以上式成立，原式得證解法3：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，理由如下：設(shè)，因?yàn)檩S，所以，設(shè)直線，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，由方程組可得：當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，即，所以三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.解法4：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，理由如下：設(shè)直線，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，聯(lián)立方程組可得：，設(shè)，則：，所以，又三點(diǎn)共線，所以，即，所以，所以三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.21.解：（1）因?yàn)?，由得，所以在上單減，在上單增，，又當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以函數(shù)有唯一笭點(diǎn)；（2）由（1）知在上存在唯一零點(diǎn)，且，①當(dāng)時(shí)，，由得：，即，設(shè)則，在上單減，所以，解得；②當(dāng)時(shí)