專題06 全等模型-角平分線模型（原卷版）

專題06全等模型-角平分線模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，需要掌握其各類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)C作.結(jié)論：、≌.圖1圖2常見模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過點(diǎn)D作.結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，還有.）圖3常見模型2（鄰等對(duì)補(bǔ)型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過點(diǎn)C作CD⊥OA、CE⊥OB。結(jié)論：①；②；③.例1．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，是的平分線，若，，則的長(zhǎng)是（）

A．4 B．3 C．2 D．1例2．（2023·河北保定·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知、的角平分線、相交于點(diǎn)，，，垂足分別為、．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①平分；②；③；④．其中結(jié)論正確的是（填寫結(jié)論的編號(hào)）（

）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④例3．（2023·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，，是的中點(diǎn)，平分．（1）求證：是的平分線；（2）若，求的長(zhǎng)．例4．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，平分，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在直線上，連接，，且．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)如圖2，當(dāng)是鈍角時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出與的面積的比值．模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F.結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。例1．（2023·山東淄博·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)在內(nèi)部，平分，且，連接．若的面積為，則的面積為．

例2．（2022·福建·廈門九年級(jí)期中）如圖，在中，，，（1）如圖1,平分交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（i）若，求證：垂直平分；（ii）若,求證：．（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，，垂足在的延長(zhǎng)線上，試判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，為上一點(diǎn)，，，垂足為，與交于點(diǎn)，寫出線段和的數(shù)量關(guān)系．（不要求寫出過程）例3．（2022秋·河南信陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）情景觀察：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點(diǎn)F．①寫出圖1中所有的全等三角形；②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是，并寫出證明過程．問題探究：如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點(diǎn)E．求證：AE=2CD．模型3.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2023·廣西八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長(zhǎng)；②如圖2，若，求的大?。?．（2023春·長(zhǎng)度·七年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．例3．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．例4．（2022·湖北十堰·九年級(jí)期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE，易證AB＝AC＋CD．

（1）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請(qǐng)直接寫出你的猜想；（2）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022秋·重慶江津·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作于，于，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P為定角平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且與互補(bǔ)．若在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與、相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論中，不正確的是（

）

A．的值不變B．C．的長(zhǎng)不變D．四邊形的面積不變3．（2023·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，平分，于，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④，其中正確的是（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，，的兩條角平分線和相交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②平分；③點(diǎn)到邊，，的距離相等；④；錯(cuò)誤的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)5．（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以的頂點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)M，N，分別以M，N為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑，兩條弧交于點(diǎn)P，作射線，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，點(diǎn)D，E分別在，上．已知，，，則的長(zhǎng)度為（

）A．5 B． C．6 D．6．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，，對(duì)角線平分，則的面積為（

）．A． B．12 C．8 D．67．（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，射線為的平分線，點(diǎn)M，N分別是邊，上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)P在上，滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)8．（2023秋·山東濰坊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，平分，下列結(jié)論中不成立的是（

）A． B． C． D．9．（2022秋·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)為定角的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且與互補(bǔ)．若在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與，相交于、兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①恒成立，②的值不變，③的長(zhǎng)不變，④四邊形的面積不變，其中正確的為（請(qǐng)?zhí)顚懻_結(jié)論前面的序號(hào)）．10．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分，，，下列結(jié)論：①平分；②；③若，，則；④．其中正確的是（填寫序號(hào)）．11．（2022秋·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材96頁(yè)的部分內(nèi)容：已知：如圖，是的平分線，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)．，，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)．求證：．分析：圖中有兩個(gè)直角和，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得．(1)【問題解決】請(qǐng)根據(jù)教材分析，結(jié)合圖①寫出證明過程．(2)【類比探究】如圖②，是的平分線，是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在、上，連接和，若，求證：．12．（2022秋·山西忻州·八年級(jí)?？计谥校┱?qǐng)仔細(xì)閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：多種方法作角的平分線：數(shù)學(xué)興趣課上，老師讓同學(xué)們利用尺規(guī)作的平分線，同學(xué)們以小組為單位展開了討論．勤學(xué)小組展示了學(xué)習(xí)過的作法：如圖1，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；再分別以點(diǎn)，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線，則即為的平分線．勤學(xué)小組證明過程如下：連接，．由作圖可知，，又，．（依據(jù)）．平分．善思小組展示了他們的方法：如圖2，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；在上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)．再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作孤，兩孤交于點(diǎn)，作射線；點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作孤交于點(diǎn)，作射線，則為的平分線．任務(wù)：(1)填空：勤學(xué)小組證明過程中的“依據(jù)”是指______；(2)根據(jù)善思小組的作圖方法，證明：是的平分線；(3)在圖3中再設(shè)計(jì)一種不同的方法作的平分線．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

13．（2023·廣東惠州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平分．(1)求證：．(2)求證：平分．(3)判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

14．（2023·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，．(1)求證：．(2)求證：點(diǎn)C在的平分線上．

15．（2023·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，為的中點(diǎn)，連接、，且平分，延