2024-2025學(xué)年四川省綿陽市某中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年四川省綿陽市某中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線y=sinπ6的傾斜角為A.90° B.60° C.30° D.0°2.已知向量a=(1,m,?1),b=(1,?1,1)，若(a+A.4 B.3 C.2 D.13.過點(diǎn)(1,0)且與直線x?2y?2=0平行的直線方程是(

)A.x?2y?1=0 B.x?2y+1=0 C.2x+y?2=0 D.x+2y?1=04.一組數(shù)據(jù)23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位數(shù)是(

)A.14 B.15 C.23 D.255.直線y=kx+3被圓(x?2)2+(y?3)2=4截得的弦長為A.±33 B.±3 6.隨著汽車智能化與電動(dòng)化的不斷升級(jí)，無人駕駛汽車成為汽車行業(yè)發(fā)展的新趨勢.據(jù)統(tǒng)計(jì)，截至2024年7月底中國無人駕駛汽車行業(yè)存續(xù)企業(yè)數(shù)量為1782家，這些企業(yè)的注冊資本分布情況如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.注冊資本不高于200萬元的企業(yè)數(shù)量占比不足14

B.注冊資本在1000萬元以上的企業(yè)超過750家

C.注冊資本分布數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是19.2%

D.從注冊資本在100萬元—500萬元的企業(yè)中隨機(jī)抽取1家，該企業(yè)注冊資本在200萬元—500萬元的概率不小于7.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3|BF|，AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為52，則p的值為A.2 B.3 C.4 D.58.已知點(diǎn)P在橢圓C：x24+y23=1上(點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn))，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，PF2交A.32 B.53 C.85二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.從容量為N的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)數(shù)法和按比例分層隨機(jī)抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p2，p3則p1=p2=p3

B.若P(AB)=19,P(A?)=23,P(B)=13，則事件10.下列命題正確的是(

)A.已知點(diǎn)A(2,3,?5)，B(0,?2,?2)，C(?2,?5,1)，則A，B，C三點(diǎn)共線

B.已知a=(0,1,4),b=(3,0,?1)，則a在b上的投影向量為?b

C.若直線l的方向向量為e=(3,0,?1)，平面α的法向量為n=(?9,0,3)，則l//α

D.在三棱錐11.米勒問題是指德國數(shù)學(xué)家米勒1471年向諾德爾教授提出的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(即可見角最大)，米勒問題的數(shù)學(xué)模型如下：如圖，設(shè)M，N是銳角∠ABC的一邊BA上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)△PMN的外接圓與BC相切于點(diǎn)P時(shí)，∠MPN最大.若M(0,3)，N(3,4)，點(diǎn)P在x軸正半軸上，則當(dāng)∠MPN最大時(shí)，下列結(jié)論正確的有(

)A.線段MN的中垂線方程為3x+y?5=0

B.P的坐標(biāo)為(3,0)

C.過點(diǎn)M三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某中學(xué)田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員28人，女運(yùn)動(dòng)員21人，按性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為14的樣本，如果樣本按比例分配，則男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)該抽取的人數(shù)為______13.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5，左，右焦點(diǎn)分別為F1F14.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面ABCD、側(cè)面BCC1B1的中心，點(diǎn)P，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某地區(qū)有小學(xué)生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學(xué)生，對其成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖所示的頻率分布直方圖.(1)成績位列前10%的學(xué)生平臺(tái)會(huì)生成“防溺水達(dá)人”優(yōu)秀證書，試估計(jì)獲得“防溺水達(dá)人”的成績至少為多少分；

(2)已知落在[60,70)內(nèi)的平均成績?yōu)?7，方差是9，落在[60,80)內(nèi)的平均成績是73，方差是29，求落在[70,80)內(nèi)的平均成績和方差．16.(本小題15分)

已知圓C：x2+y2+mx?my?6=0，點(diǎn)P(1,2)在圓C內(nèi)部．

(1)求m的取值范圍；

(2)若m=2，過點(diǎn)P作直線PC的垂線l，l與圓C交于A，17.(本小題15分)

甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對的概率為34，乙每輪猜對的概率為p.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.且“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對了所有成語的概率為925．

(1)求p的值；

(2)求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中，猜對3個(gè)成語的概率；

(3)若某人在兩輪活動(dòng)中至少猜對118.(本小題17分)

如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=23，連接AC，△DAC沿AC折起到△PAC的位置，如圖2，PB=10．

(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；

(2)若點(diǎn)M是線段PA的中點(diǎn)，求平面MBC與平面19.(本小題17分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=55，短軸長為4．

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)T(2,0)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，若以PQ為直徑的圓過E的右焦點(diǎn)F2，求直線PQ的方程；

(3)兩條不同的直線l1，l2的交點(diǎn)為E的左焦點(diǎn)F1，直線l1，l2分別交E于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，點(diǎn)G，H分別是線段AB和CD參考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.A

6.C

7.B

8.C

9.ABD

10.BD

11.ABC

12.8

13.4

14.515.解：(1)易知前4組的頻率之和為0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90，

前5組的頻率之和為0.70+0.25=0.95>0.90，

所以第90%分位數(shù)落在第5組，設(shè)為x，

此時(shí)0.70+(x?80)×0.025=0.90，

解得x=88，

則“防溺水達(dá)人”的成績至少為88分；

(2)因?yàn)槁湓赱60,70)內(nèi)的平均成績?yōu)?7，方差是9，落在[60,80)內(nèi)的平均成績是73，方差是29，

易知[60,70)的頻率為0.015×10=0.15，[70,80)的頻率為0.03×10=0.30，

所以[60,70)的頻率與[60,80)的頻率之比為0.150.15+0.30=13，

[70,80)的頻率與[60,80)的頻率之比為0.300.15+0.30=23，

設(shè)[70,80)內(nèi)的平均成績和方差分別為x2?,s22，

此時(shí)73=13×67+23×x216.解：(1)∵點(diǎn)P(1,2)在圓C：x2+y2+mx?my?6=0內(nèi)部，

∴12+22+m?2m?6<0，

解得m>?1，

即m的取值范圍是(?1,+∞)．

(2)當(dāng)m=2時(shí)，圓C的方程為：x2+y2+2x?2y?6=0，圓的圓心C(?1,1)，

∵P(1,2)，C(?1,1)，∴kPC=2?11+1=12，

∵PC⊥l，∴kl=?2，

∴直線l的方程為y?2=?2(x?1)，化簡得2x+y?4=0.△ABC的外接圓經(jīng)過直線l與圓17.解：(1)根據(jù)題意，設(shè)事件A0，A1，A2分別表示甲兩輪猜對0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)成語，事件B0，B1，B2分別表示乙兩輪猜對0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)成語，

則P(A0)=(1?34)2=116，P(A1)=C21×34×(1?34)=38，P(A2)=P(A0)=(34)2=916，

P(B0)=(1?p)2，P(B0)=C21×P×(1?p)=2p(1?p)，P(B2)=18.(1)證明：過點(diǎn)P，B分別向直線AC作垂線，垂足分別為點(diǎn)O，E．

∵|AB|=2，|BC|=23，∴|AC|=4，|PO|=|BE|=3，|OE|=2，

∵PB=PO+OE+EB，PO?OE=OE?EB=0，

∴|PB|2=|PO|2+|OE|2+|EB|2+2PO?OE+2OE?EB+2PO?EB

=|PO|2+|OE|2+|EB|2+2PO?EB，

即10=3+4+3+2PO?EB，

∴PO?EB=0，∴PO⊥EB．

∵PO⊥AC，AC∩BE=E，AC，BE?平面ABC，∴PO⊥平面ABC，

∵PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．

(2)解：如圖，以(1)中的點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

則A(0,3,0)，B(3,2,0)，19.解：(1)∵橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=55，短軸長為4，

則ca=552b=4a2=b2+c2，解得a=5b=2c=1，

∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y24=1．

(2)由(1)知，F(xiàn)2(1,0)．

當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，P(2,255)，Q(2,?255)，

此時(shí)以PQ為直徑的圓的圓心為T(2,0)，半徑為255，

而TF2