高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊必修第一冊專題進階課三　追及相遇問題含答案

高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊必修第一冊專題進階課三追及相遇問題含答案專題進階課三追及相遇問題核心歸納1.幾種追及相遇問題的圖像比較:類型圖像說明勻加速追勻速(1)t=t0以前,后面物體與前面物體間距逐漸增大;(2)t=t0時,v1=v2,兩物體間距最大,為x0+Δx;(3)t=t0以后,后面物體與前面物體間距逐漸減小;(4)能追上且只能相遇一次勻速追勻減速勻加速追勻減速勻減速追勻速開始時,后面物體與前面物體間的距離在逐漸減小,當兩物體速度相等時,即t=t0時刻:(1)若Δx=x0,則恰能追上,兩物體只能相遇一次,這也是避免相撞的臨界條件;(2)若Δx<x0,則不能追上,此時兩物體有最小距離,為x0-Δx;(3)若Δx>x0,則相遇兩次,設t1時刻Δx=x0,兩物體第一次相遇,則必有t2時刻兩物體第二次相遇,且t2-t0=t0-t1勻速追勻加速勻減速追勻加速注意:(1)v1是前面物體的速度,v2是后面物體的速度;(2)x0為開始時兩物體之間的距離;(3)Δx為從開始追趕到兩者速度相等時,前面或后面的物體多發(fā)生的位移2.追及相遇問題情況概述:(1)追及問題①若后者能追上前者,則追上時,兩者處于同一位置,后者的速度一定不小于前者的速度。②若后者追不上前者,則當后者的速度與前者相等時,兩者相距最近。(2)相遇問題①同向運動的兩物體追及即相遇。②相向運動的兩物體,當各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體的距離時即相遇。提醒:(1)若被追趕的物體做勻減速直線運動,一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng)停止運動。(2)仔細審題,注意抓住題目中的關鍵字眼(如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等),充分挖掘題目中的隱含條件。3.解題思路:(1)根據(jù)對兩物體運動過程的分析,畫出兩物體運動的示意圖或v-t圖像,找到臨界狀態(tài)和臨界條件。(2)根據(jù)兩物體的運動性質(zhì),分別列出兩物體的位移方程,注意要將兩物體運動時間的關系反映在方程中。(3)由運動示意圖找出兩物體位移間的關聯(lián)方程,這是解題關鍵。(4)聯(lián)立方程求解,并對結果進行簡單分析。4.追及問題中的“一個條件”“兩個關系”(1)一個條件:兩者速度相等。它往往是能夠追上、追不上或兩者距離最大、最小的臨界條件,也是分析判斷的切入點。(2)兩個關系:時間關系和位移關系。時間關系指兩物體運動時間是否相等,兩物體是同時運動還是一先一后運動;位移關系指兩物體是同地開始運動還是一前一后開始運動,其中通過畫運動示意圖找到兩物體間的位移關系是解題的突破口,因此在學習中一定要養(yǎng)成畫運動示意圖分析問題的良好習慣,運動示意圖對幫助我們理解題意、啟迪思維大有好處。典題例析【典例】(一題多法)一輛汽車在十字路口等候紅綠燈,當綠燈亮時汽車以a=3m/s2的加速度開始行駛,恰在這一時刻一輛自行車以v自=6m/s的速度勻速駛來,從旁邊超過汽車。試求:(1)汽車從路口開動后,在追上自行車之前,經(jīng)過多長時間兩車相距最遠?此時距離是多少?(2)經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車?此時汽車的速度大小是多少?【解析】(1)解法一(物理分析法):汽車與自行車的速度相等時兩車相距最遠,如圖所示,設此時經(jīng)過的時間為t1,兩車間的距離為Δx,則有v汽=v自=at1所以t1=v自Δx=x自-x汽=v自t1-12at解法二(函數(shù)極值法):設汽車在追上自行車之前,經(jīng)過時間t1兩車相距Δx,則Δx=x自-x汽=v自t1-12a代入已知數(shù)據(jù)得Δx=6t1-32由二次函數(shù)求極值的條件知:t1=2s時,Δx有最大值6m所以經(jīng)過t1=2s后,兩車相距最遠,此時距離為Δx=6m。解法三(圖像法):自行車和汽車的v-t圖像如圖所示,由圖像可以看出,在相遇前,t1時刻兩車速度相等,兩車相距最遠,此時的距離為陰影三角形的面積,所以有t1=v2a=Δx=v2t1(2)解法一(物理分析法):當兩車位移相同時,汽車追上自行車,設此時經(jīng)過的時間為t2,則有v自t2=12a解得t2=2v自a此時汽車的速度v1=at2=12m/s。解法二(圖像法):由前面畫出的v-t圖像可以看出,在t1時刻之后,當由圖線v自、v汽和t=t2構成的三角形的面積與陰影部分的三角形面積相等時,汽車與自行車的位移相同,即汽車與自行車相遇,所以t2=2t1=4s,v1=at2=3×4m/s=12m/s。答案:(1)2s6m(2)4s12m/s[規(guī)律方法]求解追及相遇問題的“三種分析方法”1.物理分析法:認真審題,挖掘題目中的隱含條件,畫出兩物體運動關系的示意圖,找出運動時間、位移等關系。2.函數(shù)極值法:設運動時間為t,根據(jù)條件列方程,得到關于二者之間的距離Δx與時間t的二次函數(shù)關系。對于該二次函數(shù)關系:(1)當Δx=0時,表示兩者相遇。取Δx=0時,對于關于時間t的一元二次方程,其解就是兩者相遇的時刻,應注意對解的合理性的討論。對于速度大者追速度小者,且速度大者的加速度a2與速度小者的加速度a1滿足a2<a1,可利用根的判別式分析相遇的次數(shù)。(2)當t=-b2a時,函數(shù)有極值,若此時刻有意義(3.圖像法:將兩個物體運動的速度—時間關系在同一圖像中畫出,然后利用圖像分析求解相關問題。起點在同一點的追及相遇問題最適合用v-t圖像解決,因為其圖線和時間軸所圍成的面積就是位移。對點訓練(2024·廣西適應性測試)2023年11月,在廣西舉辦的第一屆全國學生(青年)運動會的自行車比賽中,若甲、乙兩自行車的v-t圖像如圖,在t=0時刻兩車在賽道上初次相遇,則 ()A.0~t1內(nèi),乙的加速度越來越大B.t1時刻,甲乙再次相遇C.0~t1內(nèi),甲乙之間的距離先增大后減小D.t1~t2內(nèi),甲乙之間的距離先減小后增大【解析】選D。v-t圖像的斜率表示加速度,由圖可得,0~t1內(nèi)乙圖線的斜率逐漸變小,即加速度減小,故A錯誤;v-t圖像的面積表示位移,由圖可知在t1時刻,乙的位移大于甲的位移,即此時乙在甲前面,故B錯誤;v-t圖像的的面積表示位移,由圖可得,0~t1乙的面積與甲的面積差一直增大,即甲乙的位移差一直增大,甲乙之間的距離一直增大,故C錯誤;由B選項可得,t1時刻乙在甲前面,t1~t2由圖可知v甲>v乙且都做勻速直線運動,則甲會追上乙,并超越乙到乙的前面,即t1~t2甲乙之間的距離先減小到甲追上乙,后甲超越乙到乙的前面,甲乙的距離再增大,故D正確。【補償訓練】1.(多選)一輛小汽車以30m/s的速度勻速行駛在公路上,突然發(fā)現(xiàn)正前方30m處有一輛大卡車以10m/s的速度同方向勻速行駛,小汽車緊急剎車,剎車過程中剎車失靈。如圖所示,圖線a、b分別為小汽車和大卡車的v-t圖像(忽略剎車反應時間),以下說法正確的是 ()A.因剎車失靈前小汽車已減速,故不會發(fā)生追尾事故B.在t=3s時發(fā)生追尾事故C.在t=5s時發(fā)生追尾事故D.若緊急剎車時兩車相距40m,則不會發(fā)生追尾事故且兩車最近時相距5m【解析】選B、D。由圖線a可知,t=3s時小汽車速度大小為15m/s,根據(jù)圖線與時間軸所圍的面積表示位移可知,t=3s時,大卡車的位移為xb=vbt=10m/s×3s=30m,小汽車的位移為xa=30m/s+20m/s2×1s+203s時追尾,B正確,A、C錯誤。若緊急剎車時兩車相距40m,速度相等時,小汽車的位移xa'=12×(30m/s+20m/s)×1s+12×(20m/s+10m/s)×4s=85m,大卡車的位移xb'=50m,因為xb'+40m>xa',則不會發(fā)生追尾事故,最近距離Δ5m,故D正確。2.(2024·日照高一檢測)自動駕駛汽車依靠人工智能、雷達、監(jiān)控裝置和全球定位系統(tǒng)協(xié)同合作,讓電腦可以在沒有任何人操作的情況下,自動安全地駕駛機動車輛。(1)某平直公路上一輛自動駕駛汽車以v1=20m/s的速度勻速行駛,汽車傳感器探測到前方x1=50m處有一靜止的障礙物,便立即剎車,做勻減速直線運動。為避免撞上前方靜止的障礙物,汽車在該路段剎車時的加速度a1至少為多大?(無人駕駛汽車反應很快,可以忽略反應時間)(2)若自動駕駛汽車以v2=15m/s的速度勻速行駛,突然探測到其正前方20m處有一人駕駛汽車以v3=10m/s的速度向前勻速行駛,自動駕駛汽車立即以a2=1m/s2的加速度做勻減速直線運動,試通過計算判斷兩車在運動過程中是否會發(fā)生追尾事故?！窘馕觥?1)若恰好不撞上障礙物,自動駕駛汽車剎車時,由運動學公式0-v12=2(-a1)解得a1=4m/s2,即a1至少為4m/s2。(2)設從自動駕駛汽車開始剎車經(jīng)過時間t兩車速度相等,則v3=v2-a2t解得t=5s此過程自動駕駛汽車的位移x自動=v2t-12a2t2=62.前方汽車的位移x人駕=v3t=50m由于x自動-x人駕=12.5m<20m,故不會發(fā)生追尾事故。答案:(1)4m/s2(2)見解析專題進階課四豎直上拋運動核心歸納1.豎直上拋運動的基本規(guī)律:豎直上拋運動是加速度大小為g的勻變速直線運動,所以,勻變速直線運動公式同樣也適用于豎直上拋運動。2.豎直上拋運動的特點:(1)上升到最高點的時間t=v(2)上升的最大高度H=v0(3)對稱性(僅討論拋出點上方的運動)①時間對稱性:物體上升到最高點所用時間與物體從最高點落回到原拋出點所用時間相等,即t上=t下;從拋出點到某點A與從某點A到拋出點時間相同。②速度對稱性:上拋時的初速度與落回原拋出點的速度大小相等、方向相反。上升與下降階段經(jīng)過同一位置A時的速度大小相等,方向相反。③能量對稱性:物體上升過程和下落過程經(jīng)過同一點時的動能和重力勢能都分別相等。3.豎直上拋運動的處理方法:(1)分段分析法把豎直上拋運動的全過程分為上升階段和下落階段,上升階段做初速度為v0、加速度大小為g的勻減速直線運動,下落階段做自由落體運動。(2)全程分析法取初速度的方向為正方向,把豎直上拋運動看成一個初速度為v0、加速度為-g的勻變速直線運動,則h=v0t-12gt2,v=v0-gt,v2-v02=-2gh。據(jù)此可推知物體能上升的最大高度H=v022g,上升到最大高度所需的時間t4.豎直上拋和自由落體的相遇問題:(1)當兩個物體從不同位置先后做自由落體運動,或兩個物體分別做自由落體運動與豎直上拋運動時,兩物體在空中相遇的條件都是兩物體在同一時刻位于同一位置。(2)解答上述兩個物體的相遇問題,可以以地面為參考系,結合位移關系和時間關系求解;也可以以其中一個物體為參考系,則另一物體相對其做勻速直線運動,根據(jù)相對位移和時間關系求解。(3)對兩個分別做自由落體運動與豎直上拋運動的物體在空中相遇的問題,還可以結合豎直上拋運動的臨界條件如“恰好到達最高點”“恰好返回地面”等,求解上升過程或下降過程相遇的條件等。典題例析角度1豎直上拋的基本規(guī)律的理解【典例1】(多選)(2024·青島高一檢測)礦井中的升降機從井底開始以5m/s的速度豎直向上勻速運行,某時刻一螺釘從升降機底板松脫,經(jīng)過3s升降機底板上升至井口,此時松脫的螺釘剛好落到井底,不計空氣阻力,取重力加速度大小g=10m/s2,下列說法正確的是 ()A.螺釘松脫后做自由落體運動B.礦井的深度為45mC.螺釘落到井底時的速度大小為25m/sD.螺釘隨升降機從井底出發(fā)到落回井底共用時6s【解析】選B、C。螺釘松脫時具有與升降機相同的向上的初速度,故螺釘松脫后做豎直上拋運動,故A錯誤;取豎直向上為正方向,螺釘從松脫至落到井底的位移h1=v0t-12gt2=-30m,升降機這段時間的位移h2=v0t=15m,故礦井的深度為h=|h1|+h2=45m,故B正確;螺釘落到井底時的速度為v=v0-gt=-25m/s,故C正確;螺釘松脫前運動的時間為t'=|h1|v0=6s,所以螺釘運動的總時間為t角度2豎直上拋的對稱性的應用【典例2】一個從地面開始做豎直上拋運動的物體,它兩次經(jīng)過一個較低點A的時間間隔是TA,兩次經(jīng)過一個較高點B的時間間隔是TB,則A、B兩點之間的距離為(重力加速度為g) ()A.18g(TA2-TB2) B.14C.12g(TA2-TB2) D.12g(【解析】選A。物體做豎直上拋運動經(jīng)過同一點,上升時間與下落時間相等,則從豎直上拋運動的最高點到點A的時間tA=TA2,從豎直上拋運動的最高點到點B的時間tB=TB2,則A、B兩點的距離x=12gtA2-12gt角度3豎直上拋和自由落體的相遇問題【典例3】(多選)如圖所示,乙球靜止于地面上,甲球位于乙球正上方h處,現(xiàn)從地面上豎直上拋乙球,初速度v0=10m/s,同時讓甲球自由下落,不計空氣阻力。(取g=10m/s2,甲、乙兩球可看作質(zhì)點)下列說法正確的是 ()A.無論h為何值,甲、乙兩球一定能在空中相遇B.當h=10m時,乙球恰好在最高點與甲球相遇C.當h=15m時,乙球能在下降過程中與甲球相遇D.當h<10m時,乙球能在上升過程中與甲球相遇【解析】選B、C、D。設兩球在空中相遇,所需時間為t,根據(jù)運動學公式可得12gt2+v0t-12gt2=h,可得t=hv0,而乙球的落地時間t1=2v0g,兩球在空中相遇的條件是t<t1,整理得h<20m,A錯誤;若兩球恰好在乙球上升的最高點相遇,滿足的條件是t=12t對點訓練(2024·濱州高一檢測)如圖,某同學將A籃球以速度v豎直向上拋出到達最高點時,將B籃球也以速度v從同一位置豎直向上拋出。不計空氣阻力,A、B兩球均可視為質(zhì)點,重力加速度為g。下列說法正確的是 ()A.自A拋出到與B相遇時間為2B.自B拋出到與A相遇時間為vC.A、B相遇時速度大小均為vD.兩球各自拋出到相遇過程中,兩球速度的變化量相同【解析】選B。根據(jù)豎直上拋運動的性質(zhì)可知,A球運動到最高點的時間t1=vg,當A球運動到最高點后將向下做自由落體運動,而B球此時做豎直上拋運動,設自B拋出與A球在空中相遇的時間為t2,A球上升的最大高度為h,