高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)必修第一冊(cè)專題進(jìn)階課六　彈簧模型含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)必修第一冊(cè)專題進(jìn)階課六彈簧模型含答案專題進(jìn)階課六彈簧模型核心歸納1.胡克定律(1)內(nèi)容:在彈性限度內(nèi),彈簧發(fā)生彈性形變時(shí),彈力F的大小跟伸長(zhǎng)或縮短的長(zhǎng)度x成正比。(2)表達(dá)式:F=kx①k為勁度系數(shù),由本身的材料、長(zhǎng)度、繞圈橫截面積等決定。②x為形變量,即彈簧伸縮后的長(zhǎng)度L與原長(zhǎng)L0的差:x=|L-L0|,不能將x當(dāng)作彈簧的長(zhǎng)度L。2.涉及彈簧的瞬時(shí)性問(wèn)題(1)輕彈簧、橡皮條模型的形變量大,形變恢復(fù)需要較長(zhǎng)時(shí)間,在瞬時(shí)性問(wèn)題中,它們的自由端連接有物體時(shí)其彈力的大小不能突變,往往可以看成是不變的。提醒:若彈簧只有一端有附著物時(shí)彈力突變?yōu)榱恪?2)幾類瞬時(shí)性問(wèn)題比較:類別形變特點(diǎn)彈力方向能否突變橡皮條明顯沿橡皮條收縮方向不能輕彈簧明顯沿彈簧軸線方向不能輕繩微小沿繩收縮方向能輕桿微小不確定能3.輕彈簧連接體模型(1)同條件同加速度輕彈簧連接體模型的動(dòng)力學(xué)計(jì)算問(wèn)題:力的質(zhì)量正比例分配原則法:一起加速運(yùn)動(dòng)的物體,物體間的相互作用力按質(zhì)量正比例分配。(2)輕彈簧連接體模型接觸與脫離的臨界極值問(wèn)題剛好脫離時(shí)物體間的彈力恰好為零,兩物體此時(shí)的速度、加速度均相同。典題例析角度1涉及彈簧的牛頓第二定律【典例1】(2024·淄博高一檢測(cè))質(zhì)量均為5kg的物塊1、2放在水平面上并用輕質(zhì)彈簧測(cè)力計(jì)相連,如圖所示,物塊1的表面光滑,物塊2與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2,整個(gè)系統(tǒng)在水平拉力F作用下向左做勻加速運(yùn)動(dòng),此時(shí)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為15N;若拉力變?yōu)?F,其他條件不變,重力加速度大小取g=10m/s2,則此時(shí)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為 ()A.30N B.25N C.20N D.15N【解析】選B。當(dāng)拉力F作用時(shí),對(duì)整體,加速度a=F-μm2gm1+m2,對(duì)物塊2:FT-μm2g=m2a,FT=15N,聯(lián)立得F=20N;若拉力變?yōu)?F,對(duì)整體,加速度a1=2F-μm2gm1+m對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(多選)如圖甲所示,水平地面上輕彈簧左端固定,右端通過(guò)滑塊壓縮0.4m后鎖定,t=0時(shí)解除鎖定釋放滑塊。計(jì)算機(jī)通過(guò)滑塊上的速度傳感器描繪出滑塊的v-t圖像如圖乙所示,其中Oab段為曲線,bc段為直線,傾斜直線Od是t=0時(shí)的速度圖線的切線,已知滑塊質(zhì)量m=2.0kg,取g=10m/s2。則以下說(shuō)法正確的是 ()A.滑塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.3B.滑塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5C.彈簧的勁度系數(shù)為175N/mD.彈簧的勁度系數(shù)為150N/m【解析】選B、C。v-t圖線的斜率表示加速度,由題中圖像知,滑塊脫離彈簧后的加速度大小a=ΔvΔt=1.50.55-0.25m/s2=5m/s2,由牛頓第二定律得,摩擦力大小為Ff=μmg=ma,所以μ=ag=0.5,故A錯(cuò)誤,B正確;剛釋放時(shí)滑塊的加速度為a'=Δv'Δ角度2涉及彈簧的瞬時(shí)性問(wèn)題【典例2】(2024·遂寧高一檢測(cè))如圖所示,豎直放置在水平面上的輕彈簧上放著質(zhì)量為8kg的物體A,處于靜止?fàn)顟B(tài),將一個(gè)質(zhì)量為2kg的物體B豎直向下輕放在A上的一瞬間(g取10m/s2),B對(duì)A的壓力大小為 ()A.18N B.16N C.10N D.6N【解析】選B。由題意可知,原來(lái)彈簧的彈力大小等于A的重力,即F=mAg,放上B的瞬間,彈簧的彈力不變。對(duì)A、B組成的整體分析,根據(jù)牛頓第二定律得a=(mA+mB)g-FmA+mB=mBgmA+mB=2×108+2m/s2=2m/s2,對(duì)B隔離分析,有mBg對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖所示,兩個(gè)質(zhì)量分別為m1=1kg、m2=2kg的物體置于光滑的水平面上,中間用輕質(zhì)彈簧測(cè)力計(jì)連接。兩個(gè)大小為F1=30N、F2=15N的水平拉力分別作用在A、B上,則 ()A.系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí),彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)是45NB.系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí),彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)是15NC.在突然撤去F1的瞬間,A的加速度大小為25m/s2D.在突然撤去F2的瞬間,B的加速度大小為7.5m/s2【解析】選C。對(duì)整體研究,由牛頓第二定律得F1-F2=(m1+m2)a,解得a=5m/s2,對(duì)A研究有F1-F=m1a,得F=25N,故A、B錯(cuò)誤;在突然撤去F1的瞬間,彈簧彈力不變,對(duì)A研究,由牛頓第二定律得F=m1a,解得a=25m/s2,C正確;在突然撤去F2的瞬間,彈簧彈力不變,對(duì)B研究,由牛頓第二定律得F=m2a,解得a=12.5m/s2,D錯(cuò)誤。角度3輕彈簧連接體模型【典例3】如圖甲所示,在粗糙的水平面上,質(zhì)量分別為mA和mB的物塊A、B用輕彈簧相連,兩物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同,它們的質(zhì)量之比為mA∶mB=2∶1。當(dāng)用水平力F作用于B上且兩物塊以相同的加速度向右加速運(yùn)動(dòng)時(shí)(如圖甲所示),彈簧的伸長(zhǎng)量為xA;當(dāng)用同樣大小的力F豎直向上拉B且兩物塊以相同的加速度豎直向上運(yùn)動(dòng)時(shí)(如圖乙所示),彈簧的伸長(zhǎng)量為xB,則xA∶xB等于 ()A.1∶1 B.1∶2C.2∶1 D.3∶2【解析】選A。設(shè)mA=2mB=2m,對(duì)題圖甲,運(yùn)用整體法,由牛頓第二定律得,整體的加速度:a=F-μmA+mBgmA+mB=F3m-μg,對(duì)A物塊有:F彈-μ·2mg=2ma,得F彈=2F3=kxA;xA=2F3k,對(duì)題圖乙,運(yùn)用整體法,由牛頓第二定律得,整體的加速度:a'=F-(mA+mB)gmA+mB=F3m對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2024·重慶高一檢測(cè))如圖,質(zhì)量均為m的三個(gè)物體(可視為質(zhì)點(diǎn))A、B、C放在光滑水平面上,物體間用原長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕彈簧連接,每根彈簧勁度系數(shù)均為k?，F(xiàn)用外力F拉動(dòng)物體A,使三個(gè)物體一起加速運(yùn)動(dòng),則A、C間的距離為(初始狀態(tài)彈簧均為原長(zhǎng)) ()A.L+FkB.2L+C.L+F2k D.2L【解析】選B。對(duì)A、B、C整體,根據(jù)牛頓第二定律有F=3ma,可得a=F3m,對(duì)B、C整體,根據(jù)牛頓第二定律有kΔx1=2ma,對(duì)C,根據(jù)牛頓第二定律可得kΔx2=ma,A、C間的距離xAC=2L+Δx1+Δx2,聯(lián)立可得xAC=2L+專題進(jìn)階課七傳送帶模型核心歸納1.分類:傳送帶問(wèn)題包括水平傳送帶和傾斜傳送帶兩類。2.物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的六類常見情形:(1)v0=v時(shí),一直勻速(2)v0<v時(shí),可能一直加速,也可能先加速再勻速(3)v0>v時(shí),可能一直減速,也可能先減速再勻速(1)傳送帶較短時(shí)L<v0(2)傳送帶較長(zhǎng)時(shí)L≥v0①v0≤v時(shí),返回速度為v0②v0>v時(shí),返回速度為v(1)可能一直加速(2)可能先加速后勻速(1)可能一直加速(2)可能先加速后勻速(3)可能先以a1加速,后以a2加速(1)可能一直加速(2)可能先加速后勻速(3)可能先以a1加速,后以a2加速(4)可能一直勻速(5)可能先減速后勻速(6)可能一直減速(1)可能一直加速(2)可能一直勻速(3)可能一直減速(4)可能先減速后返回①v0≤v時(shí),返回速度為v0②v0>v時(shí),返回速度為v3.解題策略:關(guān)鍵在于對(duì)傳送帶上的物塊所受的摩擦力進(jìn)行正確的分析判斷。(1)若物塊速度與傳送帶的速度方向相同,且v物<v帶,則傳送帶對(duì)物塊的摩擦力為動(dòng)力,物塊做加速運(yùn)動(dòng)。(2)若物塊速度與傳送帶的速度方向相同,且v物>v帶,則傳送帶對(duì)物塊的摩擦力為阻力,物塊做減速運(yùn)動(dòng)。(3)水平傳送帶中若物塊速度與傳送帶的速度方向相反,傳送帶對(duì)物塊的摩擦力為阻力,物塊減速;當(dāng)物塊速度減為零后,傳送帶對(duì)物塊的摩擦力為動(dòng)力,物塊做反向加速運(yùn)動(dòng)。(4)若v物=v帶,看物塊有沒(méi)有加速或減速的趨勢(shì),若物塊有加速的趨勢(shì),則傳送帶對(duì)物塊的摩擦力為阻力;若物塊有減速的趨勢(shì),則傳送帶對(duì)物塊的摩擦力為動(dòng)力。(5)對(duì)于斜面?zhèn)魉蛶?要注意物塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)與傳送帶傾角的關(guān)系,若μ>tanθ,且物塊能與傳送帶共速,則共速后物塊做勻速運(yùn)動(dòng)。若μ<tanθ且物塊能與傳送帶共速,則共速后物塊做勻變速運(yùn)動(dòng)。典題例析角度1水平傳送帶模型【典例1】(2024·徐州高一檢測(cè))如圖所示,水平方向的傳送帶以v1的恒定速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。一物塊從右端以v2(v2>v1)的速度滑上傳送帶,物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,傳送帶長(zhǎng)度L>v222μg。在物塊從滑上傳送帶至離開傳送帶的過(guò)程中,物塊的速度隨時(shí)間變化的圖像是圖中的【解析】選B。由物塊在傳送帶上的受力可知,物塊的加速度為a=μg,當(dāng)物塊向左運(yùn)動(dòng)速度減為零時(shí)的位移為x=v222μg,由題可知L>v222μg,故物塊沒(méi)有滑離傳送帶,物塊向左減速到零后向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)物塊速度與傳送帶速度相同時(shí),物塊的位移為x'=v122對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2024·武漢高一檢測(cè))一足夠長(zhǎng)的水平傳送帶正以a的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng),將一金屬塊無(wú)初速度放在傳送帶上,此時(shí)傳送帶的瞬時(shí)速度為v,金屬塊和傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,且a>μg,金屬塊不影響傳送帶的勻減速運(yùn)動(dòng),最后它們都靜止,重力加速度為g。則下列說(shuō)法中正確的是 ()A.金屬塊的最大速度可以達(dá)到vB.金屬塊先加速運(yùn)動(dòng),后接著做勻速運(yùn)動(dòng)C.傳送帶的加速度越大,金屬塊的加速度也越大D.傳送帶的加速度越大,金屬塊的加速時(shí)間越短【解析】選D。金屬塊放在傳送帶上后,先做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),而傳送帶做初速度為v的勻減速直線運(yùn)動(dòng),直到二者速度大小相等,此時(shí)傳送帶的速度小于v,之后金屬塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng),故金屬塊的最大速度小于v,故A、B錯(cuò)誤;因?yàn)閍>μg,所以金屬塊的加速度由摩擦力提供,傳送帶的加速度變大不會(huì)影響金屬塊的加速度,故C錯(cuò)誤;傳送帶的加速度越大則傳送帶的速度會(huì)更快地減速至與金屬塊相等,即金屬塊的加速時(shí)間越短,故D正確。角度2傾斜傳送帶模型【典例2】(2024·西安高一檢測(cè))如圖甲所示,傾角為θ的傳送帶以恒定速率逆時(shí)針運(yùn)行,現(xiàn)將一包裹輕輕放在最上端的A點(diǎn),包裹從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最下端B點(diǎn)的過(guò)程中,加速度a隨位移x的變化圖像如圖乙所示(重力加速度g取10m/s2),則下列說(shuō)法正確的是 ()A.傳送帶與水平面的夾角為37°B.包裹與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4C.傳送帶運(yùn)行的速度大小為6m/sD.包裹到B點(diǎn)時(shí)的速度為8m/s【解析】選C。包裹放上傳送帶后瞬間,包裹相對(duì)傳送帶向上滑動(dòng),則所受摩擦力沿傳送帶向下,根據(jù)牛頓第二定律得μmgcosθ+mgsinθ=ma1;當(dāng)運(yùn)動(dòng)到與傳送帶共速時(shí),根據(jù)牛頓第二定律得mgsinθ-μmgcosθ=ma2,其中a1=7.5m/s2,a2=2.5m/s2,聯(lián)立解得μ=36,sinθ=0.5,可得θ=30°,故A、B錯(cuò)誤;由v12=2a1x1,可得v1=2a1x1=2×7.5×2.4m/s=6m/s,則傳送帶的速度為6m/s,故C正確;第二段勻加速過(guò)程有v22-v12對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(多選)(2024·天水高一檢測(cè))如圖所示,機(jī)場(chǎng)地勤工作人員利用傳送帶從飛機(jī)上卸包裹。以恒定速率v1=0.6m/s運(yùn)行的傳送帶與水平面間的夾角α=37°,轉(zhuǎn)軸間距L=3.95m。工作人員沿傳送方向以速度v2=1.6m/s從傳送帶頂端推下一件小包裹(可視為質(zhì)點(diǎn))。包裹與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8。重力加速度g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。則該小包裹 ()A.相對(duì)傳送帶滑動(dòng)時(shí)加速度的大小為0.4m/s2B.通過(guò)傳送帶的時(shí)間為4sC.在傳送帶上滑動(dòng)的距離為2.75mD.