《估計(jì)理論研究進(jìn)展》課件

估計(jì)理論最新研究進(jìn)展課程簡(jiǎn)介：估計(jì)理論的重要性核心作用估計(jì)理論是現(xiàn)代科學(xué)和工程領(lǐng)域中不可或缺的工具。它提供了一套系統(tǒng)的方法，用于從不完整或噪聲污染的數(shù)據(jù)中提取有用的信息，并對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行推斷。無(wú)論是信號(hào)處理、圖像識(shí)別，還是金融建模、控制系統(tǒng)，都離不開(kāi)估計(jì)理論的支持。應(yīng)用廣泛估計(jì)理論的應(yīng)用領(lǐng)域1通信系統(tǒng)信道估計(jì)、信號(hào)檢測(cè)、調(diào)制解調(diào)等，都是估計(jì)理論在通信領(lǐng)域的典型應(yīng)用。通過(guò)對(duì)信道參數(shù)的估計(jì)，可以有效地提高通信系統(tǒng)的可靠性和傳輸效率。2圖像處理圖像恢復(fù)、圖像分割、目標(biāo)識(shí)別等，都需要利用估計(jì)理論從噪聲圖像中提取有用的信息。例如，在醫(yī)學(xué)圖像處理中，可以通過(guò)估計(jì)來(lái)提高圖像的清晰度和診斷的準(zhǔn)確性。控制系統(tǒng)估計(jì)理論的基本概念回顧統(tǒng)計(jì)模型是對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)產(chǎn)生過(guò)程的一種數(shù)學(xué)描述，包括參數(shù)化模型和非參數(shù)化模型。統(tǒng)計(jì)模型是進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)，選擇合適的統(tǒng)計(jì)模型至關(guān)重要。估計(jì)量是基于觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)未知參數(shù)的猜測(cè)或推斷，是估計(jì)理論的核心概念。不同的估計(jì)量具有不同的性質(zhì)，如無(wú)偏性、一致性、有效性等。均方誤差是衡量估計(jì)量好壞的一種常用指標(biāo)，它綜合考慮了估計(jì)量的偏差和方差。均方誤差越小，說(shuō)明估計(jì)量的性能越好。統(tǒng)計(jì)模型：參數(shù)化模型1定義假設(shè)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)服從某個(gè)已知的概率分布族，該分布族由有限個(gè)參數(shù)確定。例如，正態(tài)分布、指數(shù)分布等。2優(yōu)點(diǎn)模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，參數(shù)個(gè)數(shù)少，易于理解和分析。適用于對(duì)數(shù)據(jù)分布有一定先驗(yàn)知識(shí)的情況。3缺點(diǎn)模型假設(shè)可能與實(shí)際數(shù)據(jù)不符，導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果不準(zhǔn)確。對(duì)模型假設(shè)的正確性要求較高。統(tǒng)計(jì)模型：非參數(shù)化模型定義不假設(shè)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)服從任何已知的概率分布族，而是直接從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的分布。例如，核密度估計(jì)、K近鄰估計(jì)等。優(yōu)點(diǎn)對(duì)數(shù)據(jù)分布的假設(shè)較少，適用范圍更廣。能夠適應(yīng)各種復(fù)雜的數(shù)據(jù)分布。缺點(diǎn)模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)個(gè)數(shù)多，計(jì)算量大。對(duì)數(shù)據(jù)的要求較高，需要足夠多的數(shù)據(jù)才能獲得準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。估計(jì)量的定義和分類(lèi)無(wú)偏估計(jì)估計(jì)量的期望等于真實(shí)參數(shù)值。有偏估計(jì)估計(jì)量的期望不等于真實(shí)參數(shù)值。一致估計(jì)當(dāng)樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，估計(jì)量收斂于真實(shí)參數(shù)值。無(wú)偏估計(jì)定義1性質(zhì)2例子3無(wú)偏估計(jì)是指估計(jì)量的期望等于被估計(jì)的參數(shù)的真實(shí)值。這意味著，如果多次進(jìn)行估計(jì)，那么平均而言，估計(jì)結(jié)果將接近真實(shí)值。無(wú)偏性是衡量估計(jì)量好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，但并非唯一的標(biāo)準(zhǔn)。一個(gè)無(wú)偏估計(jì)可能具有很大的方差，導(dǎo)致每次估計(jì)的結(jié)果都偏離真實(shí)值較遠(yuǎn)。有偏估計(jì)1定義2原因3應(yīng)用有偏估計(jì)是指估計(jì)量的期望不等于被估計(jì)的參數(shù)的真實(shí)值。雖然有偏估計(jì)在某些情況下不如無(wú)偏估計(jì)理想，但有時(shí)為了獲得更小的均方誤差，可以接受一定的偏差。例如，在正則化方法中，通過(guò)引入偏差來(lái)降低估計(jì)量的方差，從而提高整體的估計(jì)性能。均方誤差均方誤差（MSE）是衡量估計(jì)量性能的重要指標(biāo)，它綜合考慮了估計(jì)量的偏差和方差。MSE越小，表示估計(jì)量的性能越好。在選擇估計(jì)量時(shí)，通常會(huì)選擇MSE最小的估計(jì)量。MSE可以分解為偏差的平方加上方差，因此，降低偏差和方差都可以降低MSE。一致性估計(jì)1定義2類(lèi)型3重要性一致性估計(jì)是指當(dāng)樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，估計(jì)量依概率收斂于被估計(jì)的參數(shù)的真實(shí)值。一致性是衡量估計(jì)量好壞的一個(gè)基本要求。如果一個(gè)估計(jì)量不具有一致性，那么即使樣本容量再大，也無(wú)法保證估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性。有效性估計(jì)定義在所有無(wú)偏估計(jì)中，方差最小的估計(jì)量被稱(chēng)為有效估計(jì)量。有效性是衡量無(wú)偏估計(jì)量好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。一個(gè)有效的無(wú)偏估計(jì)量能夠以最小的方差達(dá)到最佳的估計(jì)精度。Cramer-Rao下界Cramer-Rao下界給出了無(wú)偏估計(jì)量方差的下界。如果一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量的方差達(dá)到了Cramer-Rao下界，那么該估計(jì)量就是有效的。最大似然估計(jì)(MLE)1原理選擇使得觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率最大的參數(shù)值作為估計(jì)值。2似然函數(shù)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率關(guān)于參數(shù)的函數(shù)。3求解方法求似然函數(shù)的最大值，通常轉(zhuǎn)化為求對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大值。MLE的性質(zhì)漸近無(wú)偏性當(dāng)樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，MLE是無(wú)偏的。漸近一致性當(dāng)樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，MLE收斂于真實(shí)參數(shù)值。漸近有效性當(dāng)樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，MLE達(dá)到Cramer-Rao下界。MLE的計(jì)算方法1寫(xiě)出似然函數(shù)根據(jù)統(tǒng)計(jì)模型，寫(xiě)出觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率關(guān)于參數(shù)的函數(shù)。2求對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)化計(jì)算。3求導(dǎo)數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程得到參數(shù)的估計(jì)值。貝葉斯估計(jì)先驗(yàn)分布參數(shù)的先驗(yàn)知識(shí)，表示在觀(guān)測(cè)到數(shù)據(jù)之前對(duì)參數(shù)的認(rèn)識(shí)。似然函數(shù)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率關(guān)于參數(shù)的函數(shù)。后驗(yàn)分布在觀(guān)測(cè)到數(shù)據(jù)之后對(duì)參數(shù)的認(rèn)識(shí)，結(jié)合了先驗(yàn)知識(shí)和觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)。先驗(yàn)分布的選擇共軛先驗(yàn)使得后驗(yàn)分布與先驗(yàn)分布具有相同的函數(shù)形式，簡(jiǎn)化計(jì)算。無(wú)信息先驗(yàn)表示對(duì)參數(shù)沒(méi)有任何先驗(yàn)知識(shí)，例如，均勻分布。經(jīng)驗(yàn)貝葉斯利用觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)先驗(yàn)分布的參數(shù)。后驗(yàn)分布的計(jì)算貝葉斯公式1積分計(jì)算2近似計(jì)算3后驗(yàn)分布的計(jì)算是貝葉斯估計(jì)的關(guān)鍵步驟。通常情況下，需要利用貝葉斯公式計(jì)算后驗(yàn)分布。然而，在很多情況下，后驗(yàn)分布的積分計(jì)算非常困難，需要采用近似計(jì)算方法，例如，蒙特卡洛方法、變分推斷等。最小均方誤差估計(jì)(MMSE)1目標(biāo)2估計(jì)量3優(yōu)點(diǎn)MMSE估計(jì)是指選擇使得均方誤差最小的估計(jì)量作為估計(jì)值。MMSE估計(jì)是貝葉斯框架下的一種常用估計(jì)方法。MMSE估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是能夠綜合考慮偏差和方差，從而獲得較好的估計(jì)性能。最大后驗(yàn)概率估計(jì)(MAP)MAP估計(jì)是指選擇使得后驗(yàn)概率最大的參數(shù)值作為估計(jì)值。MAP估計(jì)是貝葉斯框架下的一種常用估計(jì)方法。MAP估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是能夠利用先驗(yàn)知識(shí)，從而獲得更準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。卡爾曼濾波簡(jiǎn)介1背景2應(yīng)用3特點(diǎn)卡爾曼濾波是一種用于估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的遞歸算法。它廣泛應(yīng)用于導(dǎo)航、控制、信號(hào)處理等領(lǐng)域。卡爾曼濾波的特點(diǎn)是能夠利用系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀(guān)測(cè)方程，以及過(guò)程噪聲和觀(guān)測(cè)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)?？柭鼮V波的原理狀態(tài)方程描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律。觀(guān)測(cè)方程描述觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)與系統(tǒng)狀態(tài)之間的關(guān)系?？柭鼮V波的步驟1預(yù)測(cè)根據(jù)狀態(tài)方程，預(yù)測(cè)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)。2更新根據(jù)觀(guān)測(cè)方程和觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，更新?tīng)顟B(tài)估計(jì)。擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)適用場(chǎng)景適用于非線(xiàn)性系統(tǒng)。原理將非線(xiàn)性系統(tǒng)線(xiàn)性化，然后應(yīng)用卡爾曼濾波。缺點(diǎn)線(xiàn)性化誤差可能導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果不準(zhǔn)確。無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)1適用場(chǎng)景適用于非線(xiàn)性系統(tǒng)。2原理利用Sigma點(diǎn)近似非線(xiàn)性函數(shù)的分布，然后應(yīng)用卡爾曼濾波。3優(yōu)點(diǎn)比EKF更準(zhǔn)確，更魯棒。粒子濾波適用場(chǎng)景適用于非線(xiàn)性、非高斯系統(tǒng)。原理利用一組粒子近似狀態(tài)的后驗(yàn)分布。優(yōu)點(diǎn)能夠處理各種復(fù)雜的系統(tǒng)。粒子濾波的原理粒子表示用一組帶權(quán)重的粒子表示狀態(tài)的后驗(yàn)分布。重要性采樣根據(jù)重要性權(quán)重更新粒子的權(quán)重。重采樣消除權(quán)重小的粒子，復(fù)制權(quán)重大的粒子。粒子濾波的步驟初始化1預(yù)測(cè)2更新3粒子濾波是一種強(qiáng)大的狀態(tài)估計(jì)算法，其步驟包括初始化、預(yù)測(cè)和更新。在初始化階段，生成一組隨機(jī)粒子，每個(gè)粒子代表系統(tǒng)狀態(tài)的一種可能取值。在預(yù)測(cè)階段，根據(jù)系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)每個(gè)粒子在下一時(shí)刻的狀態(tài)。在更新階段，根據(jù)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)更新每個(gè)粒子的權(quán)重，并進(jìn)行重采樣，得到新的粒子集。蒙特卡洛方法1原理2應(yīng)用3優(yōu)點(diǎn)蒙特卡洛方法是一種基于隨機(jī)抽樣的計(jì)算方法。它通過(guò)大量隨機(jī)抽樣，然后利用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)結(jié)果進(jìn)行估計(jì)。蒙特卡洛方法廣泛應(yīng)用于各種科學(xué)和工程領(lǐng)域，例如，數(shù)值積分、優(yōu)化、模擬等。重要性抽樣分布A分布B分布C重要性抽樣是一種蒙特卡洛方法，它通過(guò)從一個(gè)與目標(biāo)分布相似的分布中抽樣，然后利用重要性權(quán)重對(duì)樣本進(jìn)行加權(quán)，從而估計(jì)目標(biāo)分布的性質(zhì)。重要性抽樣的優(yōu)點(diǎn)是可以減少方差，提高估計(jì)精度。馬爾可夫鏈蒙特卡洛(MCMC)1原理2算法3應(yīng)用MCMC是一種基于馬爾可夫鏈的蒙特卡洛方法。它通過(guò)構(gòu)造一個(gè)馬爾可夫鏈，使得該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布為目標(biāo)分布，然后從該馬爾可夫鏈中抽樣，從而估計(jì)目標(biāo)分布的性質(zhì)。MCMC廣泛應(yīng)用于貝葉斯推斷等領(lǐng)域。近似貝葉斯計(jì)算(ABC)適用場(chǎng)景適用于似然函數(shù)難以計(jì)算的情況。原理通過(guò)模擬數(shù)據(jù)，然后比較模擬數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)之間的差異，來(lái)近似后驗(yàn)分布。壓縮感知估計(jì)1稀疏性信號(hào)在某個(gè)變換域是稀疏的。2非相干性測(cè)量矩陣與變換基不相干。3重構(gòu)算法利用優(yōu)化算法從少量測(cè)量值中恢復(fù)原始信號(hào)。壓縮感知的原理稀疏表示隨機(jī)測(cè)量重構(gòu)算法壓縮感知的應(yīng)用1圖像處理2信號(hào)處理3醫(yī)學(xué)成像稀疏信號(hào)恢復(fù)優(yōu)化算法貪婪算法凸優(yōu)化算法高維數(shù)據(jù)估計(jì)維度災(zāi)難隨著數(shù)據(jù)維度的增加，計(jì)算復(fù)雜度呈指數(shù)增長(zhǎng)。正則化通過(guò)引入正則化項(xiàng)，降低模型的復(fù)雜度。降維將高維數(shù)據(jù)映射到低維空間，簡(jiǎn)化計(jì)算。大數(shù)據(jù)估計(jì)的挑戰(zhàn)計(jì)算復(fù)雜度1存儲(chǔ)需求2通信開(kāi)銷(xiāo)3大數(shù)據(jù)估計(jì)面臨著計(jì)算復(fù)雜度高、存儲(chǔ)需求大、通信開(kāi)銷(xiāo)大等挑戰(zhàn)。為了解決這些挑戰(zhàn)，需要采用分布式計(jì)算、近似計(jì)算等方法。分布式估計(jì)1目標(biāo)2算法3優(yōu)點(diǎn)分布式估計(jì)是指將估計(jì)任務(wù)分配給多個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)并行處理，然后將各個(gè)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行融合，從而得到最終的估計(jì)結(jié)果。分布式估計(jì)可以有效地降低計(jì)算復(fù)雜度，提高估計(jì)效率。FederatedLearning中的估計(jì)聯(lián)邦學(xué)習(xí)是一種分布式機(jī)器學(xué)習(xí)方法，它允許在多個(gè)客戶(hù)端上訓(xùn)練模型，而無(wú)需共享客戶(hù)端的原始數(shù)據(jù)。在聯(lián)邦學(xué)習(xí)中，需要在各個(gè)客戶(hù)端上進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，然后將各個(gè)客戶(hù)端的參數(shù)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行聚合，從而得到全局模型。對(duì)抗性估計(jì)1背景2攻擊3防御對(duì)抗性估計(jì)是指在存在惡意攻擊的情況下進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。對(duì)抗性估計(jì)需要考慮攻擊者的攻擊策略，并設(shè)計(jì)魯棒的估計(jì)方法，以抵抗攻擊者的攻擊。對(duì)抗性攻擊與防御攻擊篡改數(shù)據(jù)，干擾估計(jì)結(jié)果。防御檢測(cè)攻擊，魯棒估計(jì)。魯棒估計(jì)1目標(biāo)對(duì)異常值不敏感。2方法M估計(jì)，Huber損失函數(shù)。非參數(shù)估計(jì)方法核密度估計(jì)K近鄰估計(jì)核密度估計(jì)1原理2核函數(shù)3帶寬選擇K近鄰估計(jì)原理K值選擇距離度量支持向量機(jī)(SVM)分類(lèi)將數(shù)據(jù)分為不同的類(lèi)別?；貧w預(yù)測(cè)連續(xù)值。深度學(xué)習(xí)中的估計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)1參數(shù)估計(jì)2優(yōu)化算法3深度學(xué)習(xí)中的參數(shù)估計(jì)主要依賴(lài)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練。通過(guò)優(yōu)化算法，不斷調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使得模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)結(jié)果之間的差異最小化。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練1前向傳播2反向傳播3梯度下降神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練主要包括前向傳播、反向傳播和梯度下降三個(gè)步驟。在前向傳播中，將輸入數(shù)據(jù)輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，計(jì)算輸出結(jié)果。在反向傳播中，根據(jù)輸出結(jié)果與真實(shí)結(jié)果之間的差異，計(jì)算梯度。在梯度下降中，根據(jù)梯度調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。參數(shù)估計(jì)與優(yōu)化迭代次數(shù)損失函數(shù)值參數(shù)估計(jì)的目標(biāo)是找到使得損失函數(shù)最小的參數(shù)值。常用的優(yōu)化算法包括梯度下降、Adam、RMSprop等。優(yōu)化算法的選擇對(duì)參數(shù)估計(jì)的結(jié)果有重要影響。生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)(GAN)1生成器2判別器3對(duì)抗訓(xùn)練GAN是一種生成模型，它由生成器和判別器組成。生成器的目標(biāo)是生成逼真的數(shù)據(jù)，判別器的目標(biāo)是區(qū)分真實(shí)數(shù)據(jù)和生成數(shù)據(jù)。生成器和判別器通過(guò)對(duì)抗訓(xùn)練，不斷提高各自的能力。強(qiáng)化學(xué)習(xí)中的估計(jì)值函數(shù)估計(jì)估計(jì)狀態(tài)或狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)的值函數(shù)。策略梯度估計(jì)估計(jì)策略的梯度。值函數(shù)估計(jì)1蒙特卡洛方法利用經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)值函數(shù)。2時(shí)序差分學(xué)習(xí)利用自舉方法估計(jì)值函數(shù)。3函數(shù)逼近利用函數(shù)逼近器近似值函數(shù)。策略梯度估計(jì)REINFORCEActor-Critic模型預(yù)測(cè)控制(MPC)1模型2預(yù)測(cè)3優(yōu)化4控制MPC是一種控制方法，它利用系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)未來(lái)的狀態(tài)，然后通過(guò)優(yōu)化算法計(jì)算最優(yōu)的控制輸入，并將該控制輸入應(yīng)用于系統(tǒng)。MPC是一種閉環(huán)控制方法，它能夠根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)進(jìn)行調(diào)整，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的精確控制。估計(jì)理論在通信中的應(yīng)用信道估計(jì)信號(hào)檢測(cè)同步估計(jì)理論在圖像處理中的應(yīng)用圖像去噪圖像分割目標(biāo)識(shí)別估計(jì)理論在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用狀態(tài)估計(jì)1參數(shù)辨識(shí)2自適應(yīng)控制3在控制系統(tǒng)中，估計(jì)理論主要用于狀態(tài)估計(jì)、參數(shù)辨識(shí)和自適應(yīng)控制。狀態(tài)估計(jì)是指利用觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)估