高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊課時(shí)過程性評價(jià)四十五　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(一)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊課時(shí)過程性評價(jià)四十五同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(一)含答案四十五同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(一)(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)已知sinα=-35,且π<α<3π2,則cosA.-45 B.-34 C.34 【解析】選A.由題意得cosα=-1-sin22.(5分)(2024·遂寧高一檢測)若tanθ=43,θ∈(0,π),則cosθA.35 B.-35 C.45 D【解析】選A.因?yàn)閠anθ=43,所以sinθcos因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1,所以169cos2θ+cos2θ=1,解得cosθ=±3因?yàn)閠anθ=43>0,θ∈(0,π),所以θ∈(0,π2),所以cosθ=3.(5分)(2024·黔東南高一檢測)若cosθ=83tanθ,則sinθA.13 B.-13 C.13或-3 D.【解析】選A.由題意,cosθ=83tanθ=83·sinθcosθ,即cos因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1,所以sin2θ+8sinθ3-1=0,解得sinθ=-3(舍去)或4.(5分)化簡11+A.-cos160° B.cos160° C.1cos160° D.【解析】選A.11+tan2160=11cos2160【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·連云港高一檢測)α是第二象限角,則tanα1sinA.1 B.-1 C.1或-1 D.2【解析】選B.因?yàn)棣潦堑诙笙藿?則tanα<0,所以tanα1sin2α=tanαcos2αsin25.(5分)若π2<α<π,則-sinα|sinαA.0 B.1 C.2 D.-2【解析】選A.因?yàn)棣?<α<π,則sinα>0,cosα所以-sinα|sinα=-sinαsinα-cosα·1+sin2αcos2=-1-cosα·1-cos6.(5分)(多選)(2024·德州高一檢測)已知θ∈(0,π),cosθ=-45A.θ為第二象限角B.θ2C.tanθ=-4D.4sinθcosθ-2cos2θ=-16【解析】選AD.因?yàn)棣取?0,π),cosθ=-45所以π2<θ<π,θ由上知,π4<θ2<π2因?yàn)棣取?0,π),cosθ=-45所以sinθ=1-cos2θ=35,所以tanθ由上知,4sinθcosθ-2cos2θ=4×35×(-45)-2×(-47.(5分)設(shè)θ為第二象限角,若tanθ=-12,則sinθ+cosθ=【解析】θ為第二象限角,則sinθ>0,cosθ<0,若tanθ=-12則有sinθcosθ所以sinθ+cosθ=55-255答案:-5【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·徐州高一檢測)若θ∈(0,π2),tanθ=12,則sinθ-cosA.-255 B.255 C.-55【解析】選C.因?yàn)閠anθ=12,所以sinθcos即4sin2θ=cos2θ,即5sin2θ=1,因?yàn)棣取?0,π2),所以sinθ=55,cosθ=故sinθ-cosθ=55-2558.(5分)(2024·溫州高一檢測)已知1-cos2α1+cos2α=1【解析】因?yàn)?-cos2α1+cos2α=1所以sin2α=±1-13所以tan2α=sin2αcos2α=±答案:±229.(5分)已知sinα+cosα=1cosα,則tanα=【解析】由sinα+cosα=1cosα得,sinαcosα+cos2α=1=sin2α+cos2α,則sinαcosα=sin2α,tanα=tan2α,所以tanα=0或tanα答案:0或110.(10分)(2024·許昌高一檢測)證明:1-2sinα【證明】左邊=cos=(cosα-sinα所以1-2sinα【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·淮南高一檢測)已知cosα1-A.43 B.34 C.-43 D【解析】選B.因?yàn)閏osα所以cosα+2sinα=2,且cosα≠0,所以cos2α+4sinαcosα+4sin2α=4,即4sinαcosα=3cos2α,cosα≠0,所以tanα=3412.(5分)(多選)(2024·濟(jì)南高一檢測)2sinx1-A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選BD.令f(x)=2sinx1-cos2x+當(dāng)x為第一象限角時(shí),sinx>0,cosx>0,則f(x)=3,當(dāng)x為第二象限角時(shí),sinx>0,cosx<0,則f(x)=1,當(dāng)x為第三象限角時(shí),sinx<0,cosx<0,則f(x)=-3,當(dāng)x為第四象限角時(shí),sinx<0,cosx>0,則f(x)=-1.13.(5分)若sinθ=k+1k-3,cosθ=k-1k-3,且θ【解析】依題意,sin2θ+cos2θ=1=k+1k-32+k-即(k-1)(k+7)=0,解得k=-7或k=1,但θ的終邊不落在坐標(biāo)軸上,于是sinθ=k+1k-3≠0,cos即k=1不符合題意,于是k=-7,此時(shí)sinθ=35,cosθ=45,故tanθ=sinθ答案:-7314.(10分)(2024·天水高一檢測)(1)已知α∈(π,3π2),tanα=2,求cosα的值【解析】(1)由tanα=sinαcosα=2,sin2α+cos2α=1得4cos2α+cos又α∈(π,3π2),所以cosα=-5(2)已知cosα=-817,求sinα,tanα的值【解析】(2)因?yàn)閏osα=-817,所以α為第二或第三象限角,又sin2α+cos2α=1若α為第二象限角,則sinα=1517,tanα=-15若α為第三象限角,則sinα=-1517,tanα=1515.(10分)(2024·榆林高一檢測)(1)化簡:1-【解析】(1)1=(cos10(2)證明:tanα·sin【解析】(2)因?yàn)閠anα·sinαtantanα+sinαtan=(1+cosα=sinα所以tanα·sin【創(chuàng)新拓展練】16.(5分)若實(shí)數(shù)α滿足cosα=tanα,則1sinα+cos4A.2 B.3 C.2 D.1【解析】選A.由cosα=tanα=sinαcosα,得cos2α=sinα.又cos2α+sin2α=1,得1sinα+cos4α=cos2α+=1+sinα+sin2α=1+cos2α+sin2α=2.17.(5分)“sinθ+tanθ>0”是“θ為第一或第三象限角”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.因?yàn)閟inθ+tanθ=sinθ(cosθ+1)cos所以θ為第一或第三象限角,反之,當(dāng)θ為第一或第三象限角時(shí),tanθ>0,所以sinθ+tanθ>0,綜上,“sinθ+tanθ>0”是“θ為第一或第三象限角”的充分必要條件.四十一任意角(時(shí)間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)(2024·吉安高一檢測)下列說法中正確的是()A.銳角是第一象限角B.終邊相同的角必相等C.小于90°的角一定在第一象限D(zhuǎn).第二象限角必大于第一象限角【解析】選A.銳角是指大于0°小于90°的角,故其在第一象限,即A正確;選項(xiàng)B,終邊相同的角可以相差360°的整數(shù)倍,故錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,小于90°的角不一定在第一象限,也可以為負(fù)角,故錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,根據(jù)任意角的定義,第二象限角可以為負(fù)角,第一象限角可以為正角,此時(shí)第二象限角小于第一象限角,故錯(cuò)誤.2.(5分)每周一的早晨,我們都會在學(xué)校的操場上舉行升國旗儀式,一般需要10分鐘.這10分鐘的時(shí)間,鐘表的分針走過的角度是()A.30° B.-30° C.60° D.-60°【解析】選D.因?yàn)榉轴樖琼槙r(shí)針走的,所以形成的角是負(fù)角,又分針走過了10分鐘,所以走過的角度大小為1060綜上,分針走過的角度是-60°.3.(5分)下列各角中,與43°角終邊重合的是()A.137° B.143° C.-317° D.-343°【解析】選C.與43°角終邊重合的角為α=43°+k·360°(k∈Z),則當(dāng)k=-1時(shí),α=-317°,故C正確.經(jīng)檢驗(yàn),其他選項(xiàng)都不正確.4.(5分)若α是第一象限角,則下列各角是第三象限角的是()A.90°-α B.180°-α C.270°-α D.-α【解析】選C.若α是第一象限角,則k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,-90°-k·360°<-α<-k·360°,k∈Z,則-α是第四象限角,故D錯(cuò)誤;-k·360°<90°-α<90°-k·360°,k∈Z,則90°-α是第一象限角,故A錯(cuò)誤;90°-k·360°<180°-α<180°-k·360°,k∈Z,則180°-α是第二象限角,故B錯(cuò)誤;180°-k·360°<270°-α<270°-k·360°,k∈Z,則270°-α是第三象限角,故C正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系中,以下命題中所表述的角都是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸正半軸重合的角.①小于90°的角一定是銳角;②第二象限角一定是鈍角;③終邊重合的角一定相等;④相等的角終邊一定重合.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.對于①,-60°角是小于90°的角,但不是銳角,所以①錯(cuò)誤;對于②,480°角是第二象限角,但不是鈍角,所以②錯(cuò)誤;對于③,480°角和120°角終邊相同,但不相等,所以③錯(cuò)誤;對于④,因?yàn)榻嵌际琼旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸正半軸重合的角,所以若角相等,則終邊一定重合,所以④正確.所以真命題的個(gè)數(shù)是1.5.(5分)如圖,終邊在陰影部分(含邊界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}【解析】選C.由題圖可知,終邊在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.6.(5分)(多選)下列四個(gè)角為第二象限角的是()A.-200° B.100° C.220° D.420°【解析】選AB.-200°=-360°+160°,在0°~360°內(nèi),與-200°終邊相同的角為160°,它是第二象限角,同理100°為第二象限角,220°為第三象限角,420°為第一象限角.7.(5分)(2024·威海高一檢測)下列角的終邊與60°角的終邊關(guān)于x軸對稱的是()A.660° B.-660° C.690° D.-690°【解析】選A.由題意知,與60°角的終邊關(guān)于x軸對稱的角為θ=-60°+360°·k,k∈Z.當(dāng)k=2時(shí),θ=-60°+720°=660°,A正確.經(jīng)驗(yàn)證,其他三項(xiàng)均不符合要求.8.(5分)在0°~360°內(nèi),與角-60°的終邊在同一條直線上的角為.

【解析】與角-60°的終邊在同一條直線上的角可表示為β=-60°+k·180°,k∈Z.因?yàn)樗蠼窃?°~360°內(nèi),所以0°≤-60°+k·180°<360°,k∈Z,解得13≤k<73,k∈Z,所以k當(dāng)k=1時(shí),β=120°;當(dāng)k=2時(shí),β=300°.答案:120°,300°9.(5分)(2024·烏魯木齊高一檢測)角θ的終邊在第二象限,則角2θ的終邊在.

【解析】θ是第二象限角,所以k·360°+90°<θ<k·360°+180°,k∈Z.2k·360°+180°<2θ<2k·360°+360°,k∈Z.2θ的終邊在第三或第四象限或y軸的非正半軸.答案:第三、第四象限或y軸的非正半軸10.(10分)(2024·濟(jì)南高一檢測)(1)如圖,陰影部分表示角α的終邊所在的位置,試寫出角α的集合.【解析】(1)①{α|-30°+k·360°≤α≤k·360°,k∈Z}∪{α|150°+k·360°≤α≤180°+k·360°,k∈Z}={α|-30°+k·180°≤α≤k·180°,k∈Z};②{α|-30°+k·360°<α<60°+k·360°,k∈Z}.(2)在直角坐標(biāo)系中畫出表示集合{α∣k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}的范圍.【解析】(2)因?yàn)閧α∣k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}={α∣k·360°-90°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}∪{α∣k·360°+90°≤α≤k·360°+225°,k∈Z},所以集合{α∣k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}表示的范圍如圖所示:【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·西安高一檢測)“α為三角形的一個(gè)內(nèi)角”是“α為第一、二象限角”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選D.α為三角形的一個(gè)內(nèi)角,當(dāng)α=π2時(shí),α故“α為三角形的一個(gè)內(nèi)角”推不出“α為第一、二象限角”;當(dāng)α為第一、二象限角時(shí),不妨取α=420°,α不是三角形的一個(gè)內(nèi)角,故“α為第一、二象限角”推不出“α為三角形的一個(gè)內(nèi)角”.故“α為三角形的一個(gè)內(nèi)角”是“α為第一、二象限角”的既不充分也不必要條件.12.(5分)(多選)與-457°角終邊相同的角的集合是()A.{α|α=k·360°-457°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}【解析】選AC.與-457°角終邊相同的角可寫為α=k·360°-457°(k∈Z),因?yàn)?7°≠k·360°-457°(k∈Z),263°=2×360°-457°,-263°≠k·360°-457°(k∈Z),所以與-457°角終邊相同的角的集合為{α|α=k·360°-457°,k∈Z},A正確;{α|α=k·360°+263°,k∈Z},C正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·朔州高一檢測)集合{α|k·180°≤α≤k·180°+60°,k∈Z}中的角所表示的范圍(陰影部分)是()【分析】k分奇偶討論,結(jié)合圖象可得答案.【解析】選C.當(dāng)k=2n,n∈Z時(shí),{α|n·360°≤α≤n·360°+60°,n∈Z},當(dāng)k=2n+1,n∈Z時(shí),{α|n·360°+180°≤α≤n·360°+240°,n∈Z},所以選項(xiàng)C滿足題意.13.(5分)已知角α,β的終邊關(guān)于直線x+y=0對稱,且α=-60°,則β=.

【解析】因?yàn)?60°與-30°的終邊關(guān)于直線y=-x對稱,所以β的終邊與-30°角的終邊相同,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.答案:-30°+k·360°,k∈Z14.(10分)已知α=-1845°,在與α角終邊相同的角中,求滿足下列條件的角:(1)最小的正角;【解析】(1)與角α終邊相同的角為β=-1845°+k·360°(k∈Z),當(dāng)k=5時(shí),β=-45°,當(dāng)k=6時(shí),β=315°,故在與α終邊相同的角中,最小的正角為315°.(2)最大的負(fù)角;【解析】(2)由(1)可知,在與α終邊相同的角中,最大的負(fù)角為-45°.(3)-360°~720°內(nèi)的角.【解析】(3)與角α終邊相同的角為β=-1845°+k·360°(k∈Z),當(dāng)k=4時(shí),β=-405°;當(dāng)k=5時(shí),β=-45°;當(dāng)k=6時(shí),β=315°;當(dāng)k=7時(shí),β=675°;當(dāng)k=8時(shí),β=1035°.因此,在與α終邊相同的角中,在-360°~720°內(nèi)的角為-45°,315°,675°.15.(10分)如圖,分別寫出適合下列條件的角的集合.(1)