高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊4.5.2　用二分法求方程的近似解含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊4.5.2用二分法求方程的近似解含答案4.5.2用二分法求方程的近似解【學(xué)習(xí)目標】1.了解二分法的原理及其適用條件.2.會用二分法求方程的近似解.3.體會二分法蘊含的逐步逼近與程序化思想.【素養(yǎng)達成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)抽象一、二分法的概念對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.二、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟給定精確度ε,用二分法求函數(shù)y=f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下:1.確定零點x0的初始區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0.2.求區(qū)間(a,b)的中點c.3.計算f(c),并進一步確定零點所在的區(qū)間:(1)若f(c)=0(此時x0=c),則c就是函數(shù)的零點;(2)若f(a)f(c)<0(此時x0∈(a,c)),則令b=c;(3)若f(c)f(b)<0(此時x0∈(c,b)),則令a=c.4.判斷是否達到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b),否則重復(fù)步驟2~4.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)所有函數(shù)的零點都可以用二分法來求. (×)提示:不是所有函數(shù)的零點都可以用二分法來求.例如y=|x|的零點,在零點左右兩側(cè)函數(shù)值不變號,無法用二分法來求.(2)精確度ε就是近似值. (×)提示:精確度ε不是近似值,若零點在(a,b)時,精確度為ε,|a-b|<ε,則可得零點的近似值為a或b,區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意一點也可以作為零點近似值.(3)用二分法求方程的近似解時,可以精確到小數(shù)點后的任意一位. (√)提示:用二分法求方程的近似解時,只要滿足精確度要求,區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意一點都可以作為近似解,可以精確到小數(shù)點后的任意一位.(4)在一定精確度下,近似值不是唯一的. (√)提示:在一定的精確度下,滿足精確度的區(qū)間內(nèi)的任意一點都可以作為零點近似值.類型一二分法概念的理解(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(1)(多選)(2024·麗水高一檢測)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求其零點的是 ()【解析】選AC.由選項A,C中函數(shù)圖象可知,這兩個函數(shù)的函數(shù)值在零點左右均不變號,由選項B,D中的函數(shù)圖象可知,這兩個函數(shù)的函數(shù)值在零點左右變號,因此不能用二分法求其零點的是A,C.(2)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實根,取區(qū)間中點為x0=2.5,那么下一個有根的區(qū)間是 ()A.[2,2.5] B.[2.5,3]C.[2,2.25] D.[2.75,3]【分析】設(shè)f(x)=x3-2x-5,其中f(2)<0,f(3)>0,及f(2.5)>0,即可求解.【解析】選A.由題意,設(shè)f(x)=x3-2x-5,其中f(2)=23-2×2-5=-1<0,f(3)=33-2×3-5=16>0,又由f(2.5)=(2.5)3-5-5=5.625>0,則f(2)·f(2.5)<0,可得方程的根在區(qū)間[2,2.5]上.(3)(2024·杭州高一檢測)用二分法求方程x+lgx-3=0的近似解,以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是 ()A.[1,2] B.[2,3]C.[3,4] D.[4,5]【解析】選B.設(shè)f(x)=x+lgx-3,顯然函數(shù)圖象是連續(xù)的,則有f(1)=-2<0,f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0,f(4)=1+lg4>0,f(5)=2+lg5>0,所以f(1)·f(2)>0,f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)>0,f(4)·f(5)>0,故區(qū)間[2,3]可以作為初始區(qū)間.【總結(jié)升華】二分法概念的理解(1)二分法的求解原理是函數(shù)零點存在定理;(2)應(yīng)用二分法只能求變號零點,即零點左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號相反,如y=x2,該函數(shù)的零點為0,零點兩側(cè)函數(shù)值符號相同,不能用二分法求解.【即學(xué)即練】1.下列函數(shù)中,不能用二分法求零點的是 ()A.y=2x B.y=(x-2)2C.y=x+1x-3 D.y=ln【解析】選B.對于A,y=2x有唯一零點x=0,且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號,則可用二分法求零點;對于B,y=(x-2)2有唯一零點x=2,但函數(shù)值在零點兩側(cè)同號,則不可用二分法求零點;對于C,y=x+1x-3有兩個不同零點x=3±對于D,y=lnx有唯一零點x=1,且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號,則可用二分法求零點.2.若函數(shù)f(x)=x3-x-1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個零點附近函數(shù)值用二分法逐次計算列表如下:x11.51.251.3751.3125f(x)-10.875-0.29690.2246-0.05151那么方程x3-x-1=0的一個近似根(精確度為0.1)為 ()A.1.3 B.1.3125C.1.4375 D.1.25【解析】選B.由表格知在區(qū)間(1.3125,1.375)兩端點處函數(shù)值符號相反,且區(qū)間長度不超過0.1,符合精確度要求.近似解可取此區(qū)間上任意一數(shù),所以B符合.類型二二分法的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)角度1求方程的近似解【典例2】(2024·蘇州高一檢測)用二分法求2x+x=4在[1,2]內(nèi)的近似解(精確到0.1).參考數(shù)據(jù):x1.1251.251.3751.43751.51.6251.752x2.182.382.592.712.833.083.36【分析】根據(jù)題意,結(jié)合二分法的計算步驟,逐次計算,即可求解.【解析】令f(x)=2x+x-4,則f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0,區(qū)間區(qū)間中點值xnf(xn)的值及符號(1,2)x1=1.5f(x1)=0.33>0(1,1.5)x2=1.25f(x2)=-0.37<0(1.25,1.5)x3=1.375f(x3)=-0.035<0(1.375,1.5)x4=1.4375f(x4)=0.1475>0因為1.375與1.4375精確到0.1的近似值都為1.4,所以2x+x=4在[1,2]內(nèi)的近似解可取為1.4.【即學(xué)即練】若函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個正零點附近的函數(shù)值用二分法計算,其參考數(shù)據(jù)如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根(精確度為0.1)為 ()A.1.2 B.1.4 C.1.3 D.1.5【解析】選B.因為f(1)<0,f(1.5)>0,所以f(1)f(1.5)<0,所以函數(shù)在(1,1.5)內(nèi)有零點,因為|1.5-1|=0.5>0.1,所以不滿足精確度0.1;因為f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函數(shù)在(1.25,1.5)內(nèi)有零點,因為|1.5-1.25|=0.25>0.1,所以不滿足精確度0.1;因為f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函數(shù)在(1.375,1.5)內(nèi)有零點,因為|1.5-1.375|=0.125>0.1,所以不滿足精確度0.1;因為f(1.4375)>0,所以f(1.4375)f(1.375)<0,所以函數(shù)在(1.375,1.4375)內(nèi)有零點,因為|1.4375-1.375|=0.0625<0.1,所以滿足精確度0.1;所以方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根(精確度為0.1)是區(qū)間(1.375,1.4375)內(nèi)的任意一個值(包括端點值),根據(jù)四個選項可知選B.【補償訓(xùn)練】(多選)利用計算器,列出自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下表.x-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20…y=2x0.32990.37890.43530.50.57430.65980.75790.87061…y=x22.561.961.4410.640.360.160.040…若方程2x=x2有一個根位于區(qū)間(a,a+0.4)內(nèi),則a可以取 ()A.-1.4 B.-1 C.-0.8 D.-0.6【解析】選BC.令f(x)=2x-x2,則f(-1.6)<0,f(-1.4)<0,f(-1.2)<0,f(-1)<0,f(-0.8)<0,f(-0.6)>0,f(-0.4)>0,f(-0.2)>0,f(0)>0,故f(-1.4)f(-1)>0,f(-1)f(-0.6)<0,f(-0.8)f(-0.4)<0,f(-0.6)f(-0.2)>0,故a可能取-1或-0.8.角度2求函數(shù)零點的近似值【典例3】證明函數(shù)f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零點,并指出用二分法求零點的近似值(精確度小于0.1)時,需要計算函數(shù)值的次數(shù).【解析】因為f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,所以f(-2)·f(-1)<0,所以函數(shù)f(x)=x3-x2+5在區(qū)間[-2,-1]上有零點x0.至少需要進行3次函數(shù)值的計算,理由如下:取區(qū)間[-2,-1]的中點x1=-2-1且f(-32)=-278-94+5=-58<0,所以x取區(qū)間-32,-1的中點x2=且f(-54)=(-54)3-(-54)2+5>0,所以x0取區(qū)間-32,-54的中點x3且f(-118)=(-118)3-(-118)2+5>0,所以x0因為0.1<-118-(-32)<0所以區(qū)間-32,-118的中點x4=-32-11【補償訓(xùn)練】(2024·長沙高一檢測)已知函數(shù)f(x)的一個零點x0∈(2,4),用二分法求精確度為0.01的x0的近似值時,判斷各區(qū)間中點的函數(shù)值的符號最多需要的次數(shù)為 ()A.6 B.7 C.8 D.9【分析】假設(shè)對區(qū)間二等分n次,則第n次二等分后區(qū)間長度為12n【解析】選C.設(shè)對區(qū)間(2,4)二等分n次,開始時區(qū)間長為2,第n次二等分后區(qū)間長為22n=所以12n-1<0.01,即2n-1>100,所以因為6<log2100<7,所以n-1≥7,解得n≥8,所以當n=8時,127<0.【總結(jié)升華】二分法求方程近似解或函數(shù)零點近似值的方法(1)根據(jù)方程的解即對應(yīng)函數(shù)的零點,求方程f(x)=0的近似解,可以按照二分法求函數(shù)零點的步驟進行;(2)初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號零點,當零點所在區(qū)間符合精確度要求時,停止二分,區(qū)間內(nèi)的任意一點都可以作為零點的近似解,一般取端點作為零點的近似解.【即學(xué)即練】(多選)(2024·沈陽高一檢測)已知函數(shù)f(x)=ex-x+a,其中x∈R,a為某確定常數(shù),運用二分法研究函數(shù)f(x)的零點時,若第一次計算f(0)<0且f(1)>0,則 ()A.可以確定f(x)的一個零點x0,滿足x0∈(0,1)B.第二次應(yīng)計算f(12),若f(12)>0,第三次應(yīng)計算f(C.第二次應(yīng)計算f(12),若f(12)<0,第三次應(yīng)計算f(D.第二次應(yīng)計算f(32),若f(32)>0,第三次應(yīng)計算f(【解析】選AB.對于A選項:由題意第一次計算f(0)<0且f(1)>0,因此由零點存在定理可知存在x0∈(0,1)滿足f(x0)=0,故A選項正確.對于B選項:第二次應(yīng)計算f(12),若f(12)>0,又因為f(0)<0,所以有f(0)·f(12)<0,滿足零點存在定理,所以第三次應(yīng)計算f(對于C選項:第二次應(yīng)計算f(12),若f(12)<0,又f(1)>0,所以有f(12)·f(1)<0,滿足零點存在定理,所以第三次應(yīng)計算f(對于D選項:第二次應(yīng)計算f(12),而不是計算f(324.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標】1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.2.結(jié)合具體問題,利用計算工具,比較對數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異.3.在實際情境中,會選擇合適的數(shù)學(xué)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.【素養(yǎng)達成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)建模類型一已知函數(shù)模型解決實際問題【典例1】(教材改編例3)在1798年,英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯提出了自然狀態(tài)下人口增長模型:y=y0ert(r為人口年自然平均增長率,t為經(jīng)過的時間,y0表示當t=0時y的值),截至2020年5月17日,全球人口總數(shù)約為76億,聯(lián)合國人口基金會人口與發(fā)展處的負責(zé)人弗朗西斯·法拉赫博士告訴記者,過去10年中,世界人口增長率已呈下降趨勢,估計從2020年底開始到2100年底,世界人口將增加一倍,則從2020年底到2100年底這段時間內(nèi)的人口年自然平均增長率約為(參考數(shù)據(jù):ln2≈0()A.0.925% B.0.8625%C.0.256% D.0.4325%【分析】根據(jù)題意得2y0=y0e80r,進而結(jié)合對數(shù)運算求解r即可得結(jié)果.【解析】選B.因為從2020年底開始到2100年底,世界人口將增加一倍,所以由題意得2y0=y0e80r,即2=e80r,所以ln2=80r,r=ln280≈0.6980【總結(jié)升華】利用函數(shù)模型解決實際問題函數(shù)的解析式中往往含有未知系數(shù),可以通過初始值等條件求出系數(shù),再利用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)對數(shù)運算解決實際問題.【即學(xué)即練】(2024·六盤水高一檢測)中國茶文化博大精深,茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).水城春茶因富含有機茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽貴州省內(nèi)外.經(jīng)驗表明,水城春茶用85℃的水泡制,再等到茶水溫度降至60℃時,飲用口感最佳.為方便控制水溫,某研究小組采用了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型:若物體的初始溫度是θ1℃,室溫是θ0℃,則經(jīng)過時間t(單位:分鐘)后物體的溫度θ(單位:℃)滿足θ=θ0+(θ1-θ0)·e-kt,其中k為正常數(shù).該研究小組在19℃的室溫下,通過多次測量取平均值的方法,測得200mL初始溫度為98℃的水的溫度降至相應(yīng)溫度所需時間如表所示:從98℃降至85℃所需時間3.4分鐘從98℃降至80℃所需時間5.0分鐘(1)從上表中選取一組數(shù)據(jù)求出k的值(精確到0.01),并根據(jù)上述冷卻模型寫出冷卻時間t關(guān)于冷卻后水溫θ的函數(shù)解析式;【解析】(1)由題可知θ1=98,θ0=19,有θ=19+79e-kt,若取第一組數(shù)據(jù),則有85=19+79e-3.4k,得k=ln66-ln79-3.此時解析式為θ=19+79e-0.05t;若取第二組數(shù)據(jù),則有80=19+79e-5k,解得k=ln61-ln79-5≈此時解析式為θ=19+79e-0.05t.綜上,所求解析式為θ=19+79e-0.05t;(2)在(1)的條件下,現(xiàn)用200mL水在19℃的室溫下泡制水城春茶,從泡制到獲得最佳飲用口感約需要多少分鐘?(精確到0.1分鐘)(參考數(shù)據(jù):ln79≈4.369,ln66≈4.190,ln61≈4.111,ln41≈3.714)【解析】(2)由(1)知,θ=19+79e-0.05t,令θ=60,則19+79e-0.05t=60,解得t=ln41-ln79-0.05所以,從泡制到獲得最佳飲用口感約需要13.1分鐘.類型二建立函數(shù)模型解決實際問題【典例2】(2024·商洛高一檢測)凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準,其工作原理中有多次的PP棉濾芯過濾,其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的PP棉濾芯(聚丙烯熔噴濾芯)構(gòu)成,其結(jié)構(gòu)是多層式,主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì),假設(shè)每一層PP棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì),若過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L,現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L,則PP棉濾芯的層數(shù)最少為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.30,lg3≈0.48)()A.9 B.8 C.7 D.6【解析】選A.設(shè)經(jīng)過n層PP棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量為y,則y=80×(1-13)n=80×(23)令80×(23)n≤2,解得(23)n≤140,兩邊取對數(shù)得nlg23≤lg140即n(lg3-lg2)≥1+2lg2,因為lg2≈0.30,lg3≈0.48,所以(0.48-0.30)n≥1.60,解得n≥809,因為n∈N*,所以n的最小值為9【總結(jié)升華】關(guān)于建立函數(shù)模型解決實際問題(1)熟練應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型y=a(1±x)n,a>0,0<x<1,解題時特別注意增長(衰減)次數(shù),審清如年初、年底等字眼.(2)對于比較復(fù)雜的問題,可以寫出前若干次的表達式,找出規(guī)律后再寫第n次的.【即學(xué)即練】(2024·上海高一檢測)科學(xué)家用死亡生物的體內(nèi)殘余碳14成分來推斷它的存在年齡.生物在生存的時候,由于需要呼吸,其體內(nèi)的碳14含量大致不變.生物死去后會停止呼吸,此時體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率),且大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”,設(shè)某一剛死亡生物體內(nèi)碳14含量為C0.(1)按上述變化規(guī)律,此死亡生物體內(nèi)碳14含量y與死亡年數(shù)x之間有怎樣的關(guān)系?【解析】(1)因為體內(nèi)原有的碳14,每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,所以x年后體內(nèi)的碳14應(yīng)為原來的(12)

所以y=C0·12x5(2)當死亡生物體內(nèi)碳14的含量不足死亡前的千分之一時,用一般的放射性探測器就測不到碳14了,請問該生物死亡50000年后,用一般的放射性探測器能測到它體內(nèi)的碳14嗎?【解析】(2)由(1)得:該生物死亡50000年后,體內(nèi)的碳14的含量為C0×(12)≈0.00236C0>0.001C0,因為碳14的含量大于死亡前的千分之一,所以用一般的放射性探測器能測到它體內(nèi)的碳14.類型三選擇函數(shù)模型解決實際問題【典例3】某科研小組對面積為8000平方米的某池塘里的一種生物的生長規(guī)律進行研究,一開始在此池塘投放了一定面積的該生物,觀察實驗得到該生物覆蓋面積y(單位:平方米)與所經(jīng)過月數(shù)x(x∈N)的下列數(shù)據(jù):x0234y42562.5156.3為描述該生物覆蓋面積y(單位:平方米)與經(jīng)過的月數(shù)x(x∈N)的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:y=k·ax(k>0,a>1);y=px+q(p>0);y=ax+b.(1)試判斷哪個函數(shù)模型更適合,并求出該模型的函數(shù)解析式;【解析】(1)因為函數(shù)y=k·ax(k>0,a>1)刻畫的是增長速度越來越快的變化規(guī)律,函數(shù)y=px+q(p>0)刻畫的是增長速度越來越慢的變化規(guī)律,函數(shù)y=ax+b刻畫的是增長速度不變的規(guī)律,根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可知該生物增長的速度越來越快,所以函數(shù)模型y=k·ax(k>0,a>1)更適合.根據(jù)題意有ka0=4所以y=4×(52)x,x∈N(2)約經(jīng)過幾個月,此生物能覆蓋整個池塘?(參考數(shù)據(jù):2≈1.414,lg2≈0.301)【解析】(2)設(shè)約經(jīng)過x個月,此生物能覆蓋整個池塘,則4×(52)x=8000,解得x=log522000=lg2000lg故約經(jīng)過9個月此生物能覆蓋整個池塘.【總結(jié)升華】函數(shù)擬合與預(yù)測的一般方法(1)若已知的數(shù)據(jù)較多,可以繪出散點圖,觀察圖象的增長(下降)的趨勢特征,選擇函數(shù)模型,再通過具體數(shù)據(jù)驗證;(2)若已知函數(shù)模型的解析式含有未知參數(shù),可以利用已知的部分數(shù)據(jù)求出函數(shù)的解析式,再代入其他數(shù)據(jù),通過分析所得數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的關(guān)系選擇函數(shù)模型.【即學(xué)即練】某公司每個倉庫的收費標準如下表(x表示儲存天數(shù),y(單位:萬元)表示x天收取的總費用).x13714y1234(1)給出兩個函數(shù)y1=px-1+q(p>0且p≠1),y2=loga(x+b)(a>0且a≠1),要從這兩個函數(shù)中選出一個來模擬表中x,y之間的關(guān)系,問:選擇哪一個函數(shù)較好?說明理由.【解析】(1)若選擇函數(shù)y1=px-1+q(p>0且p≠1),將(1,1),(3,2)代入函數(shù)得:1+q=1p2+q=2,解得:p=當x=7時,y1=23=8;當x=14時,y1=2132=64可知當x=7或14時,與實際數(shù)據(jù)差距較大;若選擇函數(shù)y2=loga(x+b)(a>0且a≠1),將(1,1),(3,2)代入函數(shù)得:loga(1+b)=1loga當x=7時,y2=log28=3;當x=14時,y2=log215;可知當x=7或14時,與實際數(shù)據(jù)比較接近;綜上所述:選擇y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)較好.(2)該公司旗下有10個這樣的倉庫.每