高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊4.3.2　對數(shù)的運(yùn)算(一)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊4.3.2對數(shù)的運(yùn)算(一)含答案4.3.2對數(shù)的運(yùn)算(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握積、商、冪的對數(shù)運(yùn)算性質(zhì),理解其推導(dǎo)過程和成立條件.2.會應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求值與化簡.【素養(yǎng)達(dá)成】邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)積的對數(shù):loga(MN)=logaM+logaN;(2)商的對數(shù):logaMN=logaM-logaN(3)冪的對數(shù):logaMn=nlogaM(n∈R).教材挖掘(P124)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)過程.提示:(1)設(shè)a>0,且a≠1,M>0,N>0.取α=logaM,β=logaN,則aα=M,aβ=N.根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),得aα+β=aα·aβ=M·N,將它改寫為對數(shù)形式,有α+β=loga(M·N),所以loga(M·N)=logaM+logaN.(2)由MN=aαaβ=aα-β,得logaMN=α-β=loga(3)設(shè)b∈R,由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(aα)b=abα,得Mb=abα,所以logaMb=bα=blogaM.版本交融(北師大版P103思考交流)1.當(dāng)a>0,且a≠1,M>0,N>0時,下列等式成立嗎?如果不成立,請舉一個反例.(1)loga(M·N)=logaM·logaN;(2)logaMN=lo(3)loga(M+N)=logaM+logaN;(4)loga(M-N)=logaM-logaN.提示:這幾個等式都不成立.對于(1),反例:如loga(a·a)=2,logaa·logaa=1×1=1;對于(2),反例:如logaa2a=1,而對于(3),反例:如loga(1+1)≠0,loga1+loga1=0;對于(4),反例:如loga(1-1)無意義,loga1-loga1=0.2.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有什么特點(diǎn)?顯示出什么優(yōu)勢?提示:對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),把積、商、冪的對數(shù)化為對數(shù)的線性運(yùn)算.恰當(dāng)運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),能簡化對數(shù)的運(yùn)算.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)lg(x+y)=lgx+lgy. (×)提示:由對數(shù)運(yùn)算法則可知lg(x+y)≠lgx+lgy=lg(xy),所以錯誤;(2)loga(M·N)=logaM+logaN(a>0且a≠1,MN>0). (×)提示:loga(M·N)=logaM+logaN的前提是M>0,N>0,所以錯誤;(3)logaxy=logax-logay(x>0,y>0). (4)logab2=2logab. (×)提示:logab2=2logab當(dāng)且僅當(dāng)b>0時才成立,若b<0,logab2=2loga(-b),即logab2=2loga|b|,所以錯誤.類型一利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求值(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(教材P124例3提升)求下列各式的值.(1)log2(47×25);【解析】(1)log2(47×25)=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19;(2)lg5100【解析】(2)lg5100=lg10015=15lg100=(3)lg14-2lg73【解析】(3)lg14-2lg73=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(2×32)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-lg2-2lg3=0;(4)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2【解析】(4)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)=2lg5+2lg2+lg5·(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+1=3.【總結(jié)升華】利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡求值(1)“收”:將同底的兩個對數(shù)的和(差)合并為積(商)的對數(shù),即公式正用;(2)“拆”:將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩個對數(shù)的和(差),即公式的逆用;(3)“湊”:將同底數(shù)的對數(shù)湊成特殊值計算,如利用lg2+lg5=1,進(jìn)行計算或化簡.【即學(xué)即練】(2023·潮州高一檢測)計算下列各式的值:(1)lg8+lg125-【解析】(1)lg8+lg125-lg2-lg5lg(2)12lg3249-43lg8【解析】(2)方法一:原式=12(lg25-lg72)-43lg2=52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5=12方法二:原式=lg427-lg4+lg7lg42×757×4=lg(2×(3)lg5·lg400+(lg【解析】(3)原式=lg5·(2+2lg2)+(=2lg5+2lg2·lg5+2(lg2)2=2lg5+2lg2·(lg5+lg2)=2lg5+2lg2=2.(4)(log3312)2+log0.251【解析】(4)原式=122+1+9log5512-0=14【補(bǔ)償訓(xùn)練】計算下列各式的值.(1)2log23-log2638+log27-7log222【解析】(1)原式可化為log232-log2638+log27-7×2=log2(9÷638×7)-14=log(2)log33+lg25+lg4-log2(log216).【解析】(2)原式可化為log3312+lg25+lg4-log2(log=12+lg(25×4)-log24=12+2-2=類型二對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的其他應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1表示對數(shù)式【典例2】(1)已知3a=2,用a表示log34-log36;【解析】(1)因?yàn)?a=2,所以a=log32,所以log34-log36=log323=log32-1=a(2)已知log32=a,3b=5,用a,b表示log330.【解析】(2)因?yàn)?b=5,所以b=log35,又因?yàn)閘og32=a,所以log330=12log3(2×3×5)=12(log32+log33+log35)=12(a+【總結(jié)升華】利用對數(shù)運(yùn)算表示對數(shù)式的方法分析對數(shù)式的結(jié)構(gòu),將要表示的對數(shù)式通過積、商、冪的對數(shù)運(yùn)算法則用已知對數(shù)式表示.【即學(xué)即練】設(shè)A=logax,B=logay,C=logaz,用A,B,C表示下列各式:(1)logaxy【解析】(1)因?yàn)锳=logax,B=logay,C=logaz,所以logaxy2z3=loga(xy2=logax+2logay-3logaz=A+2B-3C;(2)logax3【解析】(2)因?yàn)锳=logax,B=logay,C=logaz,所以logax3y3z=3logax+12logay-13logaz=3A【補(bǔ)償訓(xùn)練】用logax,logay,logaz表示下列各式:(1)logaxyz【解析】(1)logaxyz=loga(xy)-logaz=logax+logay-loga(2)loga(x3y5);【解析】(2)loga(x3y5)=logax3+logay5=3logax+5logay.(3)logax2【解析】(3)logax2y3z=loga(=logax2+logay12+log=2logax+12logay-13log角度2解決方程相關(guān)問題【典例3】(1)已知logx8=6,求x的值;【解析】(1)因?yàn)閘ogx8=6,所以x6=8,所以x=816=(23)(2)已知log3(x2-10)=1+log3x,求x的值.【解析】(2)因?yàn)閘og3(x2-10)=1+log3x,所以log3(x2-10)=log33x,所以x2解得x=5.【總結(jié)升華】利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解決方程相關(guān)問題的方法(1)涉及一元二次方程根的問題,可以利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程求解;(2)利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解方程時,最后結(jié)果一定要使對數(shù)式有意義.【即學(xué)即練】已知lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的兩個根,則(lgab)2的值是 (A.4 B.3 C.2 D.1【解析】選C.因?yàn)閘ga,lgb是方程2x2-4x+1=0的兩個根,所以由根與系數(shù)的關(guān)系得lga+lgb=2,lgalgb=12,故(lgab)2=(lga-lgb)2=lg2a-2lgalgb+lg2b=(lga+lgb)2-4lgalgb=22-4×14.4對數(shù)函數(shù)4.4.1對數(shù)函數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過具體實(shí)例,理解對數(shù)函數(shù)的概念2.會求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域3.了解對數(shù)函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模對數(shù)函數(shù)的概念1.定義:一般地,函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,定義域是(0,+∞).2.注意:(1)對數(shù)函數(shù)的系數(shù)為1.(2)真數(shù)只能是一個x.(3)底數(shù)a>0,且a≠1,真數(shù)x>0.版本交融(北師大版P110)以10為底的對數(shù)函數(shù)為常用對數(shù)函數(shù),記作y=lgx,以e為底的對數(shù)函數(shù)為自然對數(shù)函數(shù),記作y=lnx.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽. (×)提示:對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)中,自變量x>0,故錯誤.(2)y=log3x與y=logx3都是對數(shù)函數(shù). (×)提示:y=logx3中底數(shù)不是常數(shù),真數(shù)不是自變量,不符合對數(shù)函數(shù)的定義.(3)對數(shù)函數(shù)的圖象一定在y軸右側(cè). (√)提示:對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)中,自變量x>0,所以對數(shù)函數(shù)的圖象一定在y軸右側(cè),故正確.類型一對數(shù)函數(shù)概念的理解(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(1)下列函數(shù)中,對數(shù)函數(shù)的個數(shù)為 ()①y=logax(a∈R);②y=log8x;③y=lnx;④y=logx(x+2).A.1個 B.2個C.3個 D.4個【解析】選B.①y=logax在a>0且a≠1的條件下才是對數(shù)函數(shù),故①不是對數(shù)函數(shù);②y=log8x和③y=lnx符合對數(shù)函數(shù)的定義,是對數(shù)函數(shù);④y=logx(x+2)中,底數(shù)不是常數(shù),不是對數(shù)函數(shù).(2)已知對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(8,3),則f(132)=【解析】設(shè)f(x)=logax(a>0且a≠1),因?yàn)閒(x)過點(diǎn)(8,3),所以loga8=3,即a3=8,解得a=2,所以f(x)=log2x,所以f(132)=log2132=log22-5答案:-5【總結(jié)升華】對數(shù)函數(shù)概念的理解(1)判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須滿足形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即①系數(shù)為1,②底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù),③對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.(2)若已知函數(shù)是對數(shù)函數(shù),設(shè)函數(shù)解析式,將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入,即可得到對數(shù)函數(shù)的底數(shù).【即學(xué)即練】1.若函數(shù)f(x)=(a2-3a+3)logax是對數(shù)函數(shù),則a的值是 ()A.1或2 B.1C.2 D.a>0且a≠1【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(a2-3a+3)logax是對數(shù)函數(shù),所以a2-3a+3=1,a>0且a≠1,解得a=1或a=2,所以a=2.2.已知對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9,2),求f(13),f(3)的值【解析】由題意知f(9)=loga9=2,即a2=9,a>0且a≠1,所以a=3,f(x)=log3x,所以f(13)=log313=-1,f(3)=log3類型二與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)(2024·上海高一檢測)函數(shù)y=log2(-x2+2x+3)的定義域?yàn)?

【解析】由題意得,-x2+2x+3>0,即(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3,所以函數(shù)y=log2(-x2+2x+3)的定義域?yàn)?-1,3).答案:(-1,3)(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x2+ax+1)的定義域?yàn)锳.①若-1?A,-3∈A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.②若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】①由題意,得1-a+1≤0,9-3a+1>0,解得2≤a②由題意,得x2+ax+1>0的解集為R,得Δ=a2-4<0,解得-2<a<2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2).【總結(jié)升華】與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題求對數(shù)函數(shù)的定義域需注意:①真數(shù)大于0,②對數(shù)出現(xiàn)在分母時,真數(shù)不等于1,③底數(shù)含有自變量時,需大于零且不等于1,同時根據(jù)解析式中是否含有根式列關(guān)于自變量的不等式(組)求定義域.【即學(xué)即練】1.函數(shù)f(x)=1lg(x+2)+2A.(-2,-1)∪(-1,1] B.(-2,1)C.[-2,-1)∪(-1,1) D.(-2,1]【解析】選A.由題得x+2>0x+2≠12-22.函數(shù)f(x)=lg(2kx2-kx+38)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是【解析】依題意,得2kx2-kx+38即不等式2kx2-kx+38當(dāng)k=0時,38>0恒成立,所以k當(dāng)k≠0時,則k>0解得0<k<3.綜上,k的取值范圍是[0,3).答案:[0,3)類型三對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例3】已知某種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減,現(xiàn)給某病人靜脈注射了1個單位的該藥物,設(shè)經(jīng)過y個小時后,藥物在病人血液中的量為x個單位.(1)求y與x的關(guān)系式;【解析】(1)由題意知,該種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減,給某病人注射了1個單位的該藥物,經(jīng)過y個小時后,藥物在病人血液中的量x=1×(1-20%)y=0.8y,即y與x的關(guān)系式為y=log0.8x(0<x≤1);(2)若該藥物在病人血液中的量低于0.3個單位,病人就有危險,要使病人沒有危險