高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)4.1　指數(shù)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)4.1指數(shù)含答案4.1指數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性質(zhì),能利用根式的性質(zhì)對(duì)根式進(jìn)行運(yùn)算.2.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義,掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化.3.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),并能對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)抽象邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算一、n次方根如果xn=a,則x叫做a的n次方根,記作na.(n>1,且n∈N*教材挖掘(P104思考)為什么負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根?提示:因?yàn)槿魏螖?shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù).二、根式(1)式子na叫做根式(n∈N*,n>1),其中n叫做根指數(shù),a(2)性質(zhì):(n>1,且n∈N*)①(na)n=a②nan三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義a>0,m,n∈N*且n>11.正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:amn=2.負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a-mn=13.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.四、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α為無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).五、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras=ar+s.(2)(ar)s=ars.(3)(ab)r=arbr.【教材深化】實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算還有如下兩個(gè)常用性質(zhì):(1)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);(2)abr=arbr(a>0,b【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)實(shí)數(shù)a的偶次方根有兩個(gè). (×)提示:當(dāng)a<0時(shí),沒(méi)有偶次方根.(2)0的任何次冪都等于0. (×)提示:0的0次冪與負(fù)實(shí)數(shù)次冪都沒(méi)有意義.(3)amn就是mn個(gè)a相乘提示:amn=nam,不是m(4)32是一個(gè)確定的實(shí)數(shù). 提示:無(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).類(lèi)型一根式的性質(zhì)及應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(類(lèi)題·節(jié)節(jié)高)(1)5(-2)5+(5-【解析】(1)原式=-2+(-2)=-4.(2)(π-4)2【解析】(2)原式=|4-π|+π-4=4-π+π-4=0.(3)已知x≤-3,則x2-2x+1【解析】(3)原式=(x-1)2-(x因?yàn)閤≤-3,所以x-1<0,x+3≤0,所以原式=-(x-1)+(x+3)=4.(4)若(x-5)(x2-25)【解析】(4)因?yàn)?x-5)(x2-所以x+5≥0,x-所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|-5≤x≤5}.答案:(1)-4(2)0(3)4(4){x|-5≤x≤5}【總結(jié)升華】根式化簡(jiǎn)與求值的思路及注意點(diǎn)(1)思路:首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式,然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).(2)注意點(diǎn):①正確區(qū)分(na)n與na②運(yùn)算時(shí)注意變式、整體代換,以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的運(yùn)用,必要時(shí)要進(jìn)行討論.【即學(xué)即練】1.6(-2)6+(2)【解析】原式=|-2|+2=2+2=4.答案:42.若1≤x≤2,則(4x-1)4+6【解析】當(dāng)1≤x≤2時(shí),x-1≥0,x-2≤0.則(4x-1)4+6(x-答案:1類(lèi)型二實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求值問(wèn)題【典例2】(類(lèi)題·節(jié)節(jié)高)(1)3-827【解析】(1)原式=(-827)

13=(-23)(2)(383×33【解析】(2)原式=[(23)33×333]

3=(23)3(3)(0.064)-13-(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75【解析】(3)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=104-1+116+18+1答案:(1)-23(2)24(3)【總結(jié)升華】指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧(1)有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的.(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù),根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.(3)底數(shù)是小數(shù),要先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù),要先化成假分?jǐn)?shù).(4)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)相同.【即學(xué)即練】1.(π2π2)

【解析】原式=(π2π22)

22=(π2-2答案:π2.(279)0.5+0.1-2+(21027)

-23-3π0【解析】原式=(259)

12+10.1=53+100+916-3+37答案:100角度2化簡(jiǎn)問(wèn)題【典例3】a3b23ab2(【解析】原式=[a3b2(ab2答案:ab-1【總結(jié)升華】1.關(guān)于根式的化簡(jiǎn)含根式的式子要統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算.對(duì)于多層根式,應(yīng)從里向外或從外向里逐層化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行運(yùn)算.2.關(guān)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的綜合應(yīng)用對(duì)所有的常數(shù)進(jìn)行乘除運(yùn)算,對(duì)同底數(shù)冪轉(zhuǎn)化為指數(shù)加減運(yùn)算.最后結(jié)果的形式一般與原來(lái)的式子相同.【即學(xué)即練】(a23b-1)-【解析】原式=a23×(-12)·b12·答案:1類(lèi)型三條件求值問(wèn)題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例4】(1)已知am=4,an=3,則am-2nA.23 B.6 C.32 【解析】選A.am-2n=a(2)已知x12+x-12=5,則x2+【解析】將x12+x-12=5,兩邊平方得x+x-1+2=5,則兩邊再平方得x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7.答案:7【總結(jié)升華】解條件求值問(wèn)題的原則(1)把所要求的式子先進(jìn)行變形,找出與條件的聯(lián)系,再求值.(2)對(duì)條件加以變形,使它與所求的式子聯(lián)系更加明顯,從整體上把握代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),然后求值.【即學(xué)即練】1.若a>0,且ax=3,ay=5,則a2x+【解析】因?yàn)閍>0,ax=3,ay=5,所以a2x+y2=(ax)2·(ay)12答案:952.已知x+x-1=7,則x12+x-【解析】設(shè)m=x12+x-12,兩邊平方得m2=因?yàn)閙>0,所以m=3,即x12+x答案:34.2指數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.會(huì)求指數(shù)函數(shù)的解析式.3.能從實(shí)例中體會(huì)指數(shù)型函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模一、指數(shù)函數(shù)一般地,函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R.【教材深化】指數(shù)函數(shù)的底數(shù)規(guī)定a>0,且a≠1的原因:(1)如果a=0,當(dāng)x>0時(shí),ax恒等于0,沒(méi)有研究的必要;當(dāng)x≤0時(shí),ax無(wú)意義.(2)如果a<0,例如y=(-4)x,這時(shí)對(duì)于x=12,14(3)如果a=1,則y=1x是一個(gè)常量,沒(méi)有研究的價(jià)值.為了避免上述各種情況,所以規(guī)定a>0,且a≠1.二、指數(shù)增長(zhǎng)模型設(shè)原有量為N,每次的增長(zhǎng)率為p,經(jīng)過(guò)x次增長(zhǎng),該量增長(zhǎng)到y(tǒng),則y=N1+px(x∈形如y=kax(k∈R,k≠0;a>0,且a≠1)的函數(shù)是刻畫(huà)指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型.教材挖掘(P114例2(2))如果原有量為N,每次的衰減率為p,經(jīng)過(guò)x次衰減,該量衰減到y(tǒng)的解析式如何表示?提示:y=N(1-p)x.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)y=x5(x>0,且x≠1)是指數(shù)函數(shù). (×)提示:y=x5是冪函數(shù).(2)y=(-2)x是指數(shù)函數(shù). (×)提示:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不能為負(fù)數(shù).(3)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞). (×)提示:指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽.(4)y=(12)x是指數(shù)衰減型函數(shù)模型. 類(lèi)型一指數(shù)函數(shù)的概念(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(1)下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是 ()A.y=2x+1 B.y=4x-1C.y=(15)x D.y=3·(12【解析】選C.由指數(shù)函數(shù)定義,y=(15)x是指數(shù)函數(shù)(2)若函數(shù)y=(2a-1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù),則a的取值范圍為.

【解析】依題意得2a-1>0,且2a-1≠1,解得a>12,且a≠1,即a的取值范圍是(12,1)∪答案:(12,1)∪【總結(jié)升華】1.指數(shù)函數(shù)解析式的三個(gè)特征:(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù);(2)指數(shù)位置是自變量x;(3)ax的系數(shù)是1.2.求指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是求底數(shù)a,并注意a的限制條件.【即學(xué)即練】1.下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是 ()A.y=(13)x+1 B.y=2×3C.y=3x-1 D.y=42x【解析】選D.函數(shù)y=42x=16x是指數(shù)函數(shù),其他三個(gè)都不是.2.若函數(shù)y=(k+2)ax+2-b(a>0,且a≠1)是指數(shù)函數(shù),則k=,b=.

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義,得k+2=1,答案:-12類(lèi)型二指數(shù)函數(shù)解析式的應(yīng)用(邏輯推理)【典例2】(1)若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(-2,19),則f(3)=【解析】(1)設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1),因?yàn)槠鋱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,19),所以a-2=19,解得a=3,函數(shù)的解析式為f(x)=3x,則f(3)=33(2)若指數(shù)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)-f(1)=6,則f(3)=.

【解析】(2)設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1),由f(2)-f(1)=6得a2-a=6,解得a=-2(舍去)或a=3,函數(shù)的解析式為f(x)=3x,則f(3)=33=27.答案:(1)27(2)27【總結(jié)升華】求指數(shù)函數(shù)解析式的步驟(1)設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為f(x)=ax(a>0且a≠1).(2)利用已知條件求底數(shù)a.(3)寫(xiě)出指數(shù)函數(shù)的解析式.提醒:要注意指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)解析式的區(qū)別.【即學(xué)即練】若函數(shù)f(x)=(2a2-3a+2)ax是指數(shù)函數(shù),則f(12)=【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(2a2-3a+2)ax是指數(shù)函數(shù),所以2a2-3a+2=1,且a>0,a≠1,解得a=12或a=1(舍去).所以f(x)=(12)故f(12)=(12)

1答案:2類(lèi)型三指數(shù)型函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例3】(1)某種細(xì)菌經(jīng)60分鐘培養(yǎng),可繁殖為原來(lái)的3倍,且知該細(xì)菌的繁殖規(guī)律為y=10ekt,其中k為常數(shù),t表示時(shí)間(單位:小時(shí)),y表示細(xì)菌個(gè)數(shù),10個(gè)細(xì)菌經(jīng)過(guò)7小時(shí)培養(yǎng),細(xì)菌能達(dá)到的個(gè)數(shù)為.

【解析】設(shè)原來(lái)的細(xì)菌數(shù)為a,由題意可得,當(dāng)t=1時(shí),y=3a,所以3a=10ek,即ek=3a當(dāng)a=10時(shí),ek=3,所以y=10ekt=10·3t,若t=7,則可得此時(shí)的細(xì)菌數(shù)為y=10×37=21870.答案:21870(2)已知某種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本每年降低25%.若該產(chǎn)品2023年年底的生產(chǎn)成本為6400元/件,則2025年年底的生產(chǎn)成本為元/件.

【解析】由題意得,2025年年底的生產(chǎn)成本為6400×(1-25%)2=6400×(34)2=3600(元/件)答案:3600【總結(jié)升華】關(guān)于函數(shù)y=kax在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用1.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是理解增長(zhǎng)(衰減)率的意義:增長(zhǎng)(衰減)率是所研究的對(duì)象在“單位時(shí)間”內(nèi)比它在“前單位時(shí)間”內(nèi)的增長(zhǎng)(衰減)率.2.主要用待定系數(shù)法求解,根據(jù)條件確定出解析式中的系數(shù)后,利用指數(shù)運(yùn)算解題.【即學(xué)即練】1.據(jù)報(bào)道,某淡水湖的湖水量在50年內(nèi)減少了10%,若按此規(guī)律,設(shè)2023年的湖水量為m,從2023年起,經(jīng)過(guò)x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為.

【解析】設(shè)每年湖水量為上一年的q%,則(q%)50=0.9,所以q%=0.9150,所以x年后的湖水量為y=0.答案:y=0.9x2.某種細(xì)