高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第十章　10.2　事件的相互獨立性(2)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第十章10.2事件的相互獨立性(2)含答案10.2事件的相互獨立性(2)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【素養(yǎng)達成】1.掌握事件相互獨立的定義.數(shù)學(xué)抽象2.會求相互獨立事件的概率.數(shù)學(xué)運算類型一相互獨立事件與互斥、對立事件的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例1】(教材P251例2改編)甲、乙兩名射擊運動員分別對一目標(biāo)射擊1次,甲射中的概率為0.8,乙射中的概率為0.9,求:(1)2人都射中目標(biāo)的概率;(2)2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率;(3)2人至少有1人射中目標(biāo)的概率;(4)2人至多有1人射中目標(biāo)的概率.【解析】設(shè)A=“甲射擊1次,擊中目標(biāo)”,B=“乙射擊1次,擊中目標(biāo)”,則A與B,A與B,A與B,A與B為相互獨立事件.(1)2人都射中目標(biāo)的概率為P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72;(2)“2人各射擊1次,恰有1人射中目標(biāo)”包括兩種情況:一種是甲射中、乙未射中(事件AB發(fā)生),另一種是甲未射中、乙射中(事件AB發(fā)生).根據(jù)題意,事件AB與AB互斥,根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式,所求的概率為P(AB)+P(AB)=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26;(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”兩種情況,其概率為p=P(AB)+[P(AB)+P(AB)]=0.72+0.26=0.98;(4)方法一:“2人至多有1人射中目標(biāo)”包括“有1人射中”和“2人都未射中”兩種情況,故所求概率為p=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28.方法二:2人中至多有1人射中的對立事件是2人都射中.故所求概率P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-0.8×0.9=1-0.72=0.28.【總結(jié)升華】求較復(fù)雜事件的概率的一般步驟(1)列出題中涉及的各個事件,并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎?(2)厘清事件之間的關(guān)系(兩個事件是互斥還是對立,或者是相互獨立的),列出關(guān)系式.(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進行計算.(4)當(dāng)直接計算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時,可先間接地計算其對立事件的概率,再求出符合條件的事件的概率.【即學(xué)即練】甲、乙、丙三名學(xué)生一起參加某次招聘考試,考試分筆試和面試兩部分,兩次考試過程相互獨立,根據(jù)甲、乙、丙三名學(xué)生的平均成績分析,甲、乙、丙三名學(xué)生能通過筆試的概率分別是0.6,0.5,0.4,能通過面試的概率分別是0.6,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有一人通過筆試的概率;(2)求經(jīng)過兩次考試后,至少有一人被錄取的概率.【解析】(1)分別記甲、乙、丙筆試合格為事件A1,A2,A3,則A1,A2,A3為相互獨立事件,事件E表示“恰有一人通過筆試”,則P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0即恰有一人通過筆試的概率是0.38.(2)分別記甲、乙、丙兩次考試均合格為事件A,B,C,則P(A)=0.6×0.6=0.36,P(B)=0.5×0.6=0.3,P(C)=0.4×0.75=0.3.記事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被錄取”,則F表示“甲、乙、丙三人均沒有被錄取”,F=ABC,于是P(F)=1-P(F)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.64×0.7×0.7=0.6864.故經(jīng)過兩次考試后,至少有一人被錄取的概率是0.6864.類型二統(tǒng)計與獨立事件的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例2】(2024·武漢高一檢測)2024年4月24日是第九個“中國航天日”,今年的“中國航天日”以“極目楚天,共襄星漢”為主題,主場活動在湖北省舉行.某校舉辦“極目楚天,共襄星漢”知識能力測評,共有1000名學(xué)生參加,隨機抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成4組:60,70,70,80,(1)根據(jù)直方圖,估計這次知識能力測評的平均數(shù);(2)用分層隨機抽樣的方法從60,70,(3)學(xué)校決定從知識能力測評中抽出成績最好的兩個同學(xué)甲、乙進行現(xiàn)場知識搶答賽,比賽共設(shè)三個項目,每個項目勝方得1分,負方得0分,沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后,總得分高的人獲得冠軍.已知甲在三個項目中獲勝的概率分別為12,25,p,各項目的比賽結(jié)果相互獨立,甲至少得1分的概率是47【解析】(1)由頻率分布直方圖,根據(jù)平均數(shù)的計算公式,估計這次知識能力測評的平均數(shù):x=(65×0.01+75×0.015+85×0.045+95×0.03)×10=84.5(分).(2)由頻率分布直方圖,可得60,70的頻率為0.1,90,所以用分層隨機抽樣的方法從60,70,可得從60,70抽取1人,記為a,從從這4名學(xué)生中隨機抽取2名依次進行交流分享,有a,1,a,2,a,3,1,2,1,3,2,3,其中第二個交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間[60,70)的有1,a,2,所以概率為P=312=1(3)甲最終獲勝的可能性大.理由如下:由題意,甲至少得1分的概率是4750可得1-1-121-25(1-p)=4750,其中0≤p≤1,解得p=45,則甲得2分或3分的概率為:P=12×25×1-45+12×1-25×45+1-12×25×45+12×25所以乙得2分或3分的概率為25因為35>25【總結(jié)升華】統(tǒng)計與相互獨立事件的綜合問題處理方法(1)用恰當(dāng)?shù)淖帜副硎绢}中的事件.(2)根據(jù)題設(shè)條件,分析事件間的關(guān)系.(3)利用公式求出事件的概率.【即學(xué)即練】某學(xué)校為了解高一新生的體質(zhì)健康狀況,對學(xué)生的體質(zhì)進行了測試.現(xiàn)從男、女生中各隨機抽取20人,把他們的測試數(shù)據(jù)按照《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》整理成表.規(guī)定:總分大于等于60分,體質(zhì)健康等級為合格.等級總分男生人數(shù)男生平均分女生人數(shù)女生平均分優(yōu)秀[90,100]591.3291良好[80,89.9]483.9484.1合格[60,79.9]8701170.2不合格60以下349.6349.1總計—20—20—(1)從樣本中隨機選取一名學(xué)生,求這名學(xué)生體質(zhì)健康等級是合格的概率;(2)從男生樣本和女生樣本中各隨機選取一人,求恰有一人的體質(zhì)健康等級是優(yōu)秀的概率.【解析】(1)樣本中體質(zhì)健康等級是合格的學(xué)生人數(shù)為5+2+4+4+8+11=34人,樣本總數(shù)為20+20=40人,所以這名學(xué)生體質(zhì)健康等級是合格的概率為3440=17(2)設(shè)事件A為“從男生樣本中隨機選出一人,其體質(zhì)健康等級是優(yōu)秀”,事件B為“從女生樣本中隨機選出一人,其體質(zhì)健康等級是優(yōu)秀”,則P(A)=520=14,P(B)=220因為A,B為相互獨立事件,所以所求概率為P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)[1-P(B)]+[1-P(A)]P(B)=14×1-110+1-14×110=310【補償訓(xùn)練】(2024·廣州高一檢測)“中式八球”是受群眾歡迎的臺球運動項目之一.在一場“中式八球”邀請賽中,甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠軍,本次邀請賽采取“雙敗淘汰制”.具體賽制如下:首先,4人通過抽簽兩兩對陣,勝者進入“勝區(qū)”,敗者進入“敗區(qū)”;接下來,“勝區(qū)”的2人對陣,勝者進入最后的決賽,“敗區(qū)”的2人對陣,敗者直接淘汰出局,獲得第四名;緊接著,“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣,勝者晉級最后的決賽,敗者獲得第三名;最后,剩下的2人進行冠亞軍決賽,勝者獲得冠軍,敗者獲得亞軍.現(xiàn)假定甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p0<p<1(1)經(jīng)抽簽,第一輪由甲對陣乙,丙對陣丁.若p=0.6.①求甲連勝三場獲得冠軍的概率;②求甲在“雙敗淘汰制”下獲得冠軍的概率;(2)除“雙敗淘汰制”外,“中式八球”也經(jīng)常采用傳統(tǒng)的“單敗淘汰制”:抽簽決定兩兩對陣,勝者晉級,敗者淘汰,直至決出最后的冠軍.問當(dāng)p滿足什么條件時,“雙敗淘汰制”比“單敗淘汰制”更利于甲在此次邀請賽中奪冠?【解析】(1)記甲在第i場比賽獲勝的事件為Ai,i=1,2,3,4,則PAi=0.6,PAi=0.不同對陣結(jié)果相互獨立,①甲連勝三場獲得冠軍的概率為:PA1A2A3=0.6②甲在“雙敗淘汰制”下獲得冠軍的情況有:勝勝勝、勝敗勝勝、敗勝勝勝,故概率為:P=PA1A2A3+A1A2A3A4(2)“雙敗淘汰制”下甲奪冠的概率為:P1=PA1A2A3+A1“單敗淘汰制”下甲奪冠的概率為:P2=p2.令P1>P2得p3+2p31-p>p2,解得0.5<p所以當(dāng)0.5<p<1時,“雙敗淘汰制”比“單敗淘汰制”更利于甲在此次邀請賽中奪冠.10.3頻率與概率【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【素養(yǎng)達成】1.理解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系.數(shù)學(xué)抽象2.能初步利用概率知識解釋現(xiàn)實生活中的概率問題.數(shù)學(xué)建模3.了解隨機模擬的含義,會利用隨機模擬估計概率.數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析一、頻率的穩(wěn)定性一般地,隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).【教材深化】1.頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化,而概率是一個常數(shù),是客觀存在的,與試驗次數(shù)無關(guān).2.在實際應(yīng)用中,只要試驗的次數(shù)足夠多,所得的頻率就可以近似地看作隨機事件的概率.3.概率是頻率的穩(wěn)定值.二、隨機數(shù)1.隨機數(shù)的概念:要產(chǎn)生1~n(n∈N*)之間的隨機整數(shù),把n個質(zhì)地和大小相同的小球分別標(biāo)上1,2,3,…,n,放入一個容器中,充分?jǐn)嚢韬笕〕鲆粋€球,這個球上的數(shù)就稱為隨機數(shù).2.產(chǎn)生隨機數(shù)的方法(1)利用計算器或計算機軟件產(chǎn)生隨機數(shù).(2)構(gòu)建模擬試驗產(chǎn)生隨機數(shù).3.隨機模擬方法(蒙特卡洛方法)利用計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)來做模擬試驗,通過模擬試驗得到的頻率來估計概率,這種用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡洛方法.【教材挖掘】(P254探究)問題:重復(fù)做同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗,設(shè)事件A=“一個正面朝上,一個反面朝上”,統(tǒng)計A出現(xiàn)的次數(shù)并計算頻率,再與概率比較,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?提示:(1)試驗次數(shù)n相同,頻率fn(A)可能不同,這說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性.(2)從整體來看,頻率在概率0.5附近波動.當(dāng)試驗次數(shù)較少時,波動幅度較大;當(dāng)試驗次數(shù)較多時,波動幅度較小,但試驗次數(shù)多的波動幅度并不全都比次數(shù)少的小,只是波動幅度小的可能性更大.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)隨機事件的頻率和概率不可能相等.(×)提示:二者可能相等.(2)隨機事件的頻率和概率都隨著試驗次數(shù)的變化而變化.(×)提示:頻率會發(fā)生變化,是變量,而概率是不變的,是客觀存在的.(3)概率能反映隨機事件發(fā)生可能性的大小,而頻率則不能.(×)提示:頻率和概率都能反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小.類型一頻率與概率的關(guān)系(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】下列說法一定正確的是()A.一名籃球運動員,號稱“百發(fā)百中”,若罰球三次,不會出現(xiàn)三投都不中的情況B.一枚質(zhì)地均勻的骰子擲一次得到2的概率是16C.由生物學(xué)知道生男生女的概率均為0.5,一對夫婦先后生兩個小孩,則一定為一男一女D.隨機事件發(fā)生的概率與試驗次數(shù)無關(guān)【解析】選D.A錯誤,概率小不代表一定不發(fā)生;B錯誤,概率不等同于頻率;C錯誤,概率是預(yù)測,不必然出現(xiàn);D正確,隨機事件發(fā)生的概率是頻率的穩(wěn)定值,與試驗次數(shù)無關(guān).【備選例題】有以下說法:①昨天沒有下雨,則說明“昨天氣象局的天氣預(yù)報降水概率為95%”是錯誤的;②“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會中獎;③做10次拋硬幣的試驗,結(jié)果3次正面朝上,因此正面朝上的概率為310④某廠產(chǎn)品的次品率為2%,但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品.其中錯誤說法的序號是________.

答案:①②③【解析】①中降水概率為95%,仍有不降水的可能,故①錯誤;②中“彩票中獎的概率是1%”表示在設(shè)計彩票時,有1%的機會中獎,但不一定買100張彩票一定有1張會中獎,故②錯誤;③中正面朝上的頻率為310,概率仍為12,故③錯誤;④中次品率為2%,但50件產(chǎn)品中可能沒有次品,也可能有1件或2件或3件……次品,故④【總結(jié)升華】理解概率與頻率應(yīng)關(guān)注的三個方面(1)概率是隨機事件發(fā)生的可能性大小的度量,是隨機事件A的本質(zhì)屬性,隨機事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值.(2)由頻率的定義我們可以知道隨機事件A在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的,但隨機中含有規(guī)律性,而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映.(3)正確理解概率的意義,要清楚與頻率的區(qū)別與聯(lián)系.對具體的問題要從全局和整體上去看待,而不是局限于某一次試驗或某一個具體的事件.【即學(xué)即練】已知使用一劑某種藥物治愈某種疾病的概率為90%,則下列說法正確的是()A.如果有100個這種病人各使用一劑這樣的藥物,那么有90人會被治愈B.如果一個患有這種疾病的病人使用兩劑這樣的藥物就一定會被治愈C.使用一劑這種藥物治愈這種疾病的可能性是90%D.以上說法都不對【解析】選C.治愈某種疾病的概率為90%,說明使用一劑這種藥物治愈這種疾病的可能性是90%,但不能說明使用一劑這種藥物一定可以治愈這種疾病,只能說治愈的可能性較大.類型二用頻率估計概率(數(shù)學(xué)建模、邏輯推理)【典例2】為了研究某種油菜籽的發(fā)芽率,科研人員在相同條件下做了10批試驗,油菜籽的發(fā)芽試驗相關(guān)數(shù)據(jù)如表:批次12345678910每批粒數(shù)2510701307001500200030005000發(fā)芽的粒數(shù)249601166371370178627094490(1)如何計算每批試驗中油菜籽發(fā)芽的頻率?(2)由各批油菜籽發(fā)芽的頻率,可以得到頻率具有怎樣的特征?(3)如何確定該油菜籽發(fā)芽的概率?【解析】(1)利用頻率=發(fā)芽的粒數(shù)每批粒數(shù),可求出每批油菜籽發(fā)芽的頻率(2)批次1的頻率為22=1,批次2的頻率為45=0.8,批次3的頻率為910=0.0.857,批次5的頻率為116130≈0.892,批次6的頻率為637700=0.91,批次7的頻率為13701500≈0.913,批次8的頻率為17862000(3)由(2)可知,當(dāng)試驗次數(shù)越來越多時,頻率在0.9附近波動,由此估計該油菜籽發(fā)芽的概率為0.9.【總結(jié)升華】用頻率估計概率(1)在實際問題中,常用事件發(fā)生的頻率作為概率的估計值.(2)在用頻率估計概率時,要注意試驗次數(shù)n不能太小,只有當(dāng)n很大時,頻率才會呈現(xiàn)出規(guī)律性,即在某個常數(shù)附近波動,且這個常數(shù)就是概率.【即學(xué)即練】對某電視機廠生產(chǎn)的電視機進行抽樣檢測的數(shù)據(jù)如表所示:抽取臺數(shù)501002003005001000優(yōu)等品數(shù)4092192285478954(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別計算6次試驗中抽到優(yōu)等品的頻率;(2)該廠生產(chǎn)的電視機為優(yōu)等品的概率約是多少?【解析】(1)抽到優(yōu)等品的頻率分別為0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.(2)由表中數(shù)據(jù)可估計優(yōu)等品的概率約為0.95.類型三游戲的公平性(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)【典例3】某校高二年級(1)(2)班準(zhǔn)備聯(lián)合舉行晚會,組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣,策劃整場晚會以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進行,每個節(jié)目開始時,兩班各派一人先進行轉(zhuǎn)盤游戲,勝者獲得一件獎品,負者表演一個節(jié)目.(1)班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個轉(zhuǎn)盤(如圖所示),設(shè)計了一種游戲方案:兩人同時各轉(zhuǎn)動一個轉(zhuǎn)盤一次,將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加,和為偶數(shù)時(1)班代表獲勝,否則(2)班代表獲勝.該方案對雙方是否公平?為什么?【解析】該方案是公平的,理由如下,各種情況如表所示,項目45671567826789378910由表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種,其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種,為奇數(shù)的也有6種,所以(1)班代表獲勝的概率P1=612=12,(2)班代表獲勝的概率P2=612=12,即P1=【總結(jié)升華】游戲規(guī)則公平的判斷標(biāo)準(zhǔn)(1)在各類游戲中,如果每人獲勝的概率相等,那么游戲就是公平的,也就是說是否公平只要看獲勝的概率是否相等.(2)例如:體育比賽中決定發(fā)球權(quán)的方法應(yīng)該保證比賽雙方先發(fā)球的概率相等,這樣才是公平的;每個人購買彩票中獎的概率應(yīng)該是相等的,這樣才是公平的;抽簽決定某項事務(wù)時,任何一支簽被抽到的概率也是相等的,這樣才是公平的等等.【補償訓(xùn)練】在一個不透明的箱子里裝有5個完全相同的小球,球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,甲先從箱子中摸出一個小球,記下球上數(shù)字后,再將該小球放回箱子中搖勻,然后乙從該箱子中摸出一個小球.(1)若甲、乙兩人誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大,誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局),求甲獲勝的概率;(2)若規(guī)定:兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6,則甲獲勝,否則乙獲勝,這樣規(guī)定公平嗎?【解析】用(x,y)(x表示甲摸到的數(shù)字,y表示乙摸到的數(shù)字)表示甲