高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第六章　6.1　平面向量的概念含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第六章6.1平面向量的概念含答案第六章平面向量及其應(yīng)用【大銜接·進(jìn)階之梯】在初中階段,我們認(rèn)識(shí)了力、速度等既有大小又有方向的量,能夠解決與簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題有關(guān)的計(jì)算與證明問(wèn)題,學(xué)習(xí)了解直角三角形;在高中階段,我們將引入平面向量?jī)?nèi)容,利用平面向量這一工具解決平面幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題,證明余弦定理、正弦定理,進(jìn)而解任意三角形.比較內(nèi)容學(xué)習(xí)要求初中階段力、速度,幾何計(jì)算與證明,解直角三角形①了解力、速度等物理量的特點(diǎn)②會(huì)用定理計(jì)算與證明簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題③能夠在直角三角形中求邊、角高中階段向量,平面幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題,解一般三角形①理解向量的概念②會(huì)用向量解決物理問(wèn)題、幾何問(wèn)題、測(cè)量問(wèn)題③能夠應(yīng)用正、余弦定理解任意三角形【大概念·串珠成鏈】【大策略·好學(xué)深思】1.“一個(gè)”工具:平面向量2.“兩種”方法:(1)幾何法;(2)代數(shù)法.3.“三個(gè)”定理:(1)平面向量共線定理;(2)平面向量基本定理;(3)正、余弦定理.4.“四種”素養(yǎng):(1)直觀想象:借助幾何直觀呈現(xiàn)向量?jī)?nèi)容,將向量的幾何表示貫穿于向量的概念、運(yùn)算與應(yīng)用的全過(guò)程,提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).(2)數(shù)學(xué)抽象:在學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算時(shí),引導(dǎo)學(xué)生類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算;學(xué)習(xí)解三角形問(wèn)題時(shí),類比直角三角形,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中研究問(wèn)題的思想方法,提升學(xué)生的抽象思維能力.(3)數(shù)學(xué)運(yùn)算:讓學(xué)生掌握平面向量的運(yùn)算并加以應(yīng)用,加深對(duì)平面向量的認(rèn)識(shí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).(4)數(shù)學(xué)建模:引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用向量解決物理問(wèn)題,應(yīng)用解三角形解決測(cè)量問(wèn)題,讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中把握本章內(nèi)容與實(shí)際生活的聯(lián)系,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).6.2平面向量的運(yùn)算6.2.1向量的加法運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握向量加法的概念.2.了解向量加法的運(yùn)算法則與幾何應(yīng)用.3.會(huì)用向量加法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象直觀想象、邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模一、向量加法的定義及法則1.定義:求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.2.向量加法的三角形法則(1)作法:兩個(gè)非零向量a,b,在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A,作=a,=b;(2)結(jié)論:向量______叫做a與b的和(如圖所示);(3)記法:a+b,即a+b=+=.3.向量加法的平行四邊形法則(1)作法:以同一個(gè)起點(diǎn)O作兩個(gè)向量=a,=b,以O(shè)A,OB為鄰邊作?OACB(OC為對(duì)角線);(2)結(jié)論:以O(shè)為起點(diǎn)的向量叫做a與b的和(如圖所示);(3)記法:a+b,即a+b=+=.4.規(guī)定:a+0=0+a=a.5.|a+b|,|a|,|b|的關(guān)系一般地,我們有|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)a,b中有一個(gè)是零向量或a,b是方向相同的非零向量時(shí),等號(hào)成立.【教材挖掘】(P8)向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎?為什么?提示:當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí),兩個(gè)法則是一致的;如圖所示,在?ABCD中,=+(平行四邊形法則),又因?yàn)?,所以=+(三角形法則).二、向量加法的運(yùn)算律1.交換律:a+b=b+a.2.結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量相加就是它們的模相加.(×)提示:向量既有大小,又有方向,所以兩個(gè)向量相加不是模相加,兩個(gè)向量相加應(yīng)滿足三角形法則或平行四邊形法則(兩向量非零且不共線).(2)+=.(√)提示:根據(jù)向量加法的三角形法則可知+=.(3)向量加法的平行四邊形法則適合任意兩個(gè)向量.(×)提示:當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí),不能使用平行四邊形法則求解.(4)如果非零向量a與b的方向相同或相反,那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同.(×)提示:當(dāng)向量a與b互為相反向量時(shí),a+b=0,而零向量的方向是任意的.類型一作和向量(直觀想象)【典例1】(1)(教材改編·例1)如圖,已知向量a,b,用向量加法的三角形法則作出向量a+b.【解析】①作=a,=b,a+b=+=,則即為所求作的向量.②作=a,=b,a+b=+=,則即為所求作的向量.③作=a,=b,a+b=+=,則即為所求作的向量.(2)(教材改編·例1)如圖,已知向量a,b,用向量加法的平行四邊形法則作出向量a+b.【解析】①作=a,=b,以O(shè)A,OB為鄰邊作?OACB,a+b=+=,則即為所求作的向量.②作=a,=b,以O(shè)A,OB為鄰邊作?OACB,a+b=+=,則即為所求作的向量.【總結(jié)升華】1.應(yīng)用三角形法則的關(guān)注點(diǎn)(1)適用范圍:任意兩個(gè)非零向量;(2)注意:兩向量“首尾順次相連”,其和向量為“起點(diǎn)指向終點(diǎn)”的向量.2.應(yīng)用平行四邊形法則的關(guān)注點(diǎn)(1)適用范圍:只適用于求不共線的兩個(gè)向量的和;(2)注意:共起點(diǎn),兩向量所在線段為鄰邊作平行四邊形,找共起點(diǎn)的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量為和向量.【即學(xué)即練】如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b+c.【解析】方法一(三角形法則):如圖所示,作=a,=b,則=a+b,再作=c,則=+=(a+b)+c,即=a+b+c.方法二(平行四邊形法則):因?yàn)橄蛄縜,b,c不共線,如圖所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,以,為鄰邊作平行四邊形OADB,則對(duì)角線=a+b,再作=c,以,為鄰邊作平行四邊形OCED,則=a+b+c.類型二向量加法的性質(zhì)與運(yùn)算律(邏輯推理)角度1化簡(jiǎn)【典例2】(2024·伊犁高一檢測(cè))化簡(jiǎn)下列各式:(1)++;(2)++++.【解析】(1)原式=++=+=.(2)原式=++++=++=+=0.【總結(jié)升華】利用向量加法化簡(jiǎn)的依據(jù)(1)向量加法的運(yùn)算法則:三角形法則和平行四邊形法則,多個(gè)向量的和同樣遵循“首尾相接,首尾連”,當(dāng)多個(gè)向量首尾相連形成封閉圖形時(shí),各向量和為零向量;(2)向量加法的運(yùn)算律:交換律和結(jié)合律.【即學(xué)即練】如圖,四邊形ABDC為等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn).試求:①+;②++;③+++.【解析】因?yàn)锳B∥CD,AC=BD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn),所以ABCE,ABED,即四邊形ABEC和ABDE是平行四邊形,①+=;②++=+=;③+++=++=+=+=0.角度2模的性質(zhì)【典例3】若|a|=|b|=1,則|a+b|的取值范圍為_(kāi)_________.

【解析】因?yàn)閨a|=|b|=1,所以0=||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|=2,當(dāng)且僅當(dāng)a與b共線時(shí)取等號(hào),其中左端的等號(hào)是a與b反向時(shí)取得,右端的等號(hào)是a與b同向時(shí)取得,所以|a+b|∈[0,2].答案:[0,2]【總結(jié)升華】和向量模的性質(zhì)(1)當(dāng)非零向量a,b不共線時(shí),a+b的方向與向量a,b的方向都不相同,模的關(guān)系是||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,其幾何意義是三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;(2)當(dāng)向量a,b同向或至少一個(gè)是零向量時(shí),a+b的方向與向量a,b(或其中的非零向量)的方向相同,模的關(guān)系是|a+b|=|a|+|b|;(3)當(dāng)向量a,b反向或至少一個(gè)是零向量時(shí),a+b的方向與向量a,b中模較大的方向相同,模的關(guān)系是|a+b|=||a|-|b||.【即學(xué)即練】a,b為非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則()A.a與b方向相同 B.a=bC.a=-b D.a與b方向相反【解析】選A.因?yàn)閨a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)a,b的方向相同時(shí),等號(hào)成立,又因?yàn)閨a+b|=|a|+|b|,所以a與b方向相同.類型三向量加法法則的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)角度1幾何應(yīng)用【典例4】若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=2,則△ABC的形狀是()A.正三角形 B.銳角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形【解析】選D.由于||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=2,則|a|2+|b|2=|a+b|2,即||2+||2=,所以△ABC為等腰直角三角形.【總結(jié)升華】向量加法的幾何應(yīng)用利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,結(jié)合向量模長(zhǎng)之間的關(guān)系,可以判斷三角形、四邊形的形狀.【即學(xué)即練】在四邊形ABCD中,+=,則四邊形ABCD是()A.梯形 B.矩形C.正方形 D.平行四邊形【解析】選D.由平行四邊形法則可得,四邊形ABCD是以AB,AD為鄰邊的平行四邊形.角度2實(shí)際應(yīng)用【典例5】(教材提升·例2)已知船在靜水中的速度為40m/min,水流的速度為20m/min.(1)若船沿垂直于水流的方向航行,求船實(shí)際行進(jìn)的方向的正切值(相當(dāng)于與河岸的夾角的正切值).(2)若船沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸,那么船行進(jìn)方向應(yīng)指向何處?實(shí)際航速為多少?【解析】(1)如圖所示,表示船速,表示水速,以AD,AB為鄰邊作?ABCD,則表示船實(shí)際航行的方向,所以||=||=40,||=20,在Rt△ABC中,tan∠BAC==2,所以船實(shí)際行進(jìn)的方向的正切值為2.(2)設(shè)表示水流的速度,表示船實(shí)際航行的速度,表示船航行的速度,則四邊形ABCD為平行四邊形,所以=,∠DCA=90°,因?yàn)椤螪CA=90°,于是||==402-20所以∠DAC=30°,∠DAB=120°,故船的行進(jìn)方向與水流方向成120°,船的實(shí)際航速為203m/min.【總結(jié)升華】向量加法的實(shí)際應(yīng)用利用向量加法解決小船渡河問(wèn)題,需要注意船在靜水中的速度與船實(shí)際速度的區(qū)別,船的實(shí)際速度是船在靜水中速度和水流速度的合速度,也是對(duì)應(yīng)向量的和向量.【即學(xué)即練】(多選)(2024·馬鞍山高一檢測(cè))關(guān)于船從兩平行河岸的一岸駛向另一岸所用的時(shí)間,正確的是()A.船垂直到達(dá)對(duì)岸所用時(shí)間最少B.當(dāng)船速的方向與河岸垂直時(shí)用時(shí)最少C.沿任意直線航行到達(dá)對(duì)岸的時(shí)間都一樣