高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第九章　階段提升課含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第九章階段提升課含答案階段提升課題型一抽樣方法的應(yīng)用【典例1】一個(gè)單位有職工800人,其中具有高級(jí)職稱的160人,具有中級(jí)職稱的320人,具有初級(jí)職稱的200人,其余人員120人.為了解職工收入情況,決定采用分層隨機(jī)抽樣的方法,從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是()A.12,24,15,9 B.9,12,12,7C.8,15,12,5 D.8,16,10,6【解析】選D.因?yàn)槌闃颖葹?0800=1所以各層中依次抽取的人數(shù)分別是16020=8,32020=16,20020=10,【補(bǔ)償訓(xùn)練】問(wèn)題:①某小區(qū)有800戶家庭,其中高收入家庭200戶,中等收入家庭480戶,低收入家庭120戶,為了了解有關(guān)家用轎車購(gòu)買(mǎi)力的某個(gè)指標(biāo),要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本;②從10名學(xué)生中抽取3人參加座談會(huì).方法:(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;(2)分層隨機(jī)抽樣.則問(wèn)題與方法配對(duì)正確的是()A.①(1),②(2) B.①(2),②(1)C.①(1),②(1) D.①(2),②(2)【解析】選B.問(wèn)題①中的總體是由差異明顯的幾部分組成的,故可采用分層隨機(jī)抽樣;問(wèn)題②中總體的個(gè)數(shù)較少,故可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.【總結(jié)升華】1.抽樣方法有:簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣.2.兩種抽樣方法比較題型二用樣本的取值規(guī)律估計(jì)總體的取值規(guī)律【典例2】某社區(qū)80名居民參加消防安全知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽后對(duì)其成績(jī)(滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),將數(shù)據(jù)按[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分為4組,其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求直方圖中a的值;(2)試估計(jì)這80名居民競(jìng)賽成績(jī)的平均分;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(3)該社區(qū)準(zhǔn)備對(duì)本次安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)較差的20%的居民開(kāi)展消防安全知識(shí)講座,求需要參加講座的居民的分?jǐn)?shù)不超過(guò)多少分.【解析】(1)依題意得,10×(0.01+0.02+0.03+a)=1,解得a=0.04.(2)這80名居民競(jìng)賽成績(jī)的平均分為65×0.1+75×0.2+85×0.4+95×0.3=84(分).(3)由題中頻率分布直方圖可得,第一組的頻率為0.01×10=0.1,前兩組的頻率之和為(0.01+0.02)×10=0.3.設(shè)需要參加講座的居民的分?jǐn)?shù)不超過(guò)x分,則x∈[70,80).0.02×(x-70)+0.1=0.2,解得x=75.故需要參加講座的居民的分?jǐn)?shù)不超過(guò)75分.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某行業(yè)主管部門(mén)為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表.分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80]企業(yè)數(shù)22453147(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例;(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).(精確到0.01)附:74≈8.602.【解析】(1)根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表得,所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)頻率為14+7100=0.21.產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為2100=0.用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例為21%,產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為2%.(2)y=1100×(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.s2=1100∑i=15ni(yi-y)2=1100×[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.0296,s=0.029所以這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為30%,17%.【總結(jié)升華】與頻率分布直方圖有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù),求其他數(shù)據(jù),可利用頻率和等于1求解.(2)已知頻率分布直方圖,求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù),可利用圖形及某范圍結(jié)合求解.題型三樣本的百分位數(shù)【典例3】某市進(jìn)行“中學(xué)生詩(shī)詞大賽”,分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行,規(guī)定:初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格.某校有800名學(xué)生參加了初賽,所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間[30,150]內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求a的值;(2)估計(jì)初賽成績(jī)的第80百分位數(shù)是多少.【解析】(1)由頻率分布直方圖性質(zhì),得(0.0025+0.0075+0.0075+a+0.0125+0.0050)×20=1,所以a=0.0150.(2)初賽成績(jī)?cè)?10分以下的頻率為(0.0025+0.0075+0.0075+0.0150)×20=0.65,初賽成績(jī)?cè)?30分以下的頻率為0.65+0.0125×20=0.90,所以初賽成績(jī)的第80百分位數(shù)一定在[110,130)內(nèi).方法一:110+0.方法二:設(shè)初賽成績(jī)的第80百分位數(shù)是x,則有0.65+(x-110)×0.0125=0.8,x=122,所以估計(jì)初賽成績(jī)的第80百分位數(shù)是122.【補(bǔ)償訓(xùn)練】一家商店從一家食品有限公司購(gòu)進(jìn)一批袋裝白糖,抽取其中21袋白糖,每袋白糖的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是500g,為了了解這些白糖的質(zhì)量情況,稱出各袋白糖的質(zhì)量(單位:g)如下:486495496498499493493498484497504489495503499503509498487500508估計(jì)這批袋裝白糖的第75百分位數(shù)是________.

【解析】將樣本數(shù)據(jù)按從小到大排列為484,486,487,489,493,493,495,495,496,497,498,498,498,499,499,500,503,503,504,508,509,75%×21=15.75,所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第16個(gè)數(shù)據(jù),為500,所以估計(jì)這批袋裝白糖的第75百分位數(shù)是500.答案:500【總結(jié)升華】百分位數(shù)問(wèn)題處理策略(1)四分位數(shù):第25百分位數(shù),第50百分位數(shù),第75百分位數(shù),這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).(2)由頻率分布直方圖求百分位數(shù)時(shí),一般采用方程的思想,設(shè)出第p百分位數(shù),根據(jù)其意義列出方程求解.題型四用樣本的集中趨勢(shì)、離散程度估計(jì)總體【典例4】已知甲工廠生產(chǎn)一種內(nèi)徑為36.5mm的零件,為了了解零件的生產(chǎn)質(zhì)量,從該廠的2000件零件中抽取100件,測(cè)得其內(nèi)徑尺寸如下(單位:mm):36.2×16,36.6×12,36.3×12,36.4×12,36.5×20,36.7×12,36.8×16.注:x×n表示有n件內(nèi)徑尺寸為xmm的零件.(1)求這100件零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)x;(2)設(shè)這100件零件內(nèi)徑尺寸的方差為s2,試估計(jì)該廠2000件零件中其內(nèi)徑尺寸(單位:mm)在(x-s,x+0.5s)內(nèi)的件數(shù);(3)若乙工廠也生產(chǎn)同種零件,為了了解零件的生產(chǎn)質(zhì)量,從該廠的2000件零件中抽出100件,測(cè)得其內(nèi)徑(單位:mm)的方差為0.0405,試比較甲、乙兩工廠抽檢的100件零件內(nèi)徑尺寸的穩(wěn)定性.【解析】(1)x=1100×[(36.2+36.8)×16+(36.6+36.4)×12+(36.3+36.7)×12+36.5×20]=36.5(2)因?yàn)閨36.2-36.5|=|36.8-36.5|=0.3,|36.6-36.5|=|36.4-36.5|=0.1,|36.3-36.5|=|36.7-36.5|=0.2,|36.5-36.5|=0,故s2=1100×(0.32×16×2+0.12×12×2+0.22×12×2)=0.0408所以s=0.0408∈(0故(x-s,x+0.5s)∈(36.29,36.605),故零件內(nèi)徑尺寸在(x-s,x+0.5s)內(nèi)的頻率為12+12+20+12100=0.故估計(jì)該廠2000件零件中內(nèi)徑尺寸在(x-s,x+0.5s)內(nèi)的件數(shù)為2000×0.56=1120.(3)因?yàn)榧坠S抽檢的100個(gè)零件內(nèi)徑尺寸的方差0.0408>0.0405,所以乙工廠抽檢的100件零件內(nèi)徑尺寸的穩(wěn)定性更好.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某市有210名初中生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽,隨機(jī)調(diào)閱了60名學(xué)生的答卷,成績(jī)?nèi)绫?成績(jī)1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人數(shù)0006152112330(1)求樣本的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差(精確到0.01分);(2)若規(guī)定預(yù)賽成績(jī)?cè)?分或7分以上的學(xué)生參加復(fù)賽,試估計(jì)有多少名學(xué)生可以進(jìn)入復(fù)賽?【解析】(1)x=160s2=160×[6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.5,所以s≈1.故樣本的平均成績(jī)?yōu)?分,標(biāo)準(zhǔn)差約為1.22分.(2)在60名學(xué)生中,有12+3+3=18(名)學(xué)生預(yù)賽成績(jī)?cè)?分或7分以上,所以估計(jì)210名學(xué)生中有1860故估計(jì)有63名學(xué)生可以進(jìn)入復(fù)賽.【真題1】(多選)(2023·全國(guó)Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則()A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差【解析】選BD.對(duì)于選項(xiàng)A:設(shè)x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為m,x1,x2,…,x6的平均數(shù)為n,則n-m=x1+x2+因?yàn)闆](méi)有確定2(x1+x6),x2+x3+x4+x5的大小關(guān)系,所以無(wú)法判斷m,n的大小,例如:1,2,3,4,5,6,可得m=n=3.5;例如1,1,1,1,1,7,可得m=1,n=2;例如1,2,2,2,2,2,可得m=2,n=116對(duì)于選項(xiàng)B:不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,可知x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)均為x3對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)閤1是最小值,x6是最大值,則x2,x3,x4,x5的波動(dòng)性不大于x1,x2,…,x6的波動(dòng)性,即x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差,例如:2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)n=16(2+4+6+8+10+12)=7,標(biāo)準(zhǔn)差s11=10534,6,8,10,則平均數(shù)m=14標(biāo)準(zhǔn)差s2=14[(4-7)2+(6-7)對(duì)于選項(xiàng)D:不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,則x6-x1≥x5-x2,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2,x5=x6時(shí),等號(hào)成立,故D正確.【溯源】(人教A必修二P222復(fù)習(xí)參考題9T3)如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多,下面哪種敘述一定是錯(cuò)誤的?為什么?(1)數(shù)據(jù)中可能有異常值;(2)這組數(shù)據(jù)是近似對(duì)稱的;(3)數(shù)據(jù)中可能有極端大的值;(4)數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同.【解析】當(dāng)數(shù)據(jù)中存在異常值時(shí),平均數(shù)不能體現(xiàn)總體的特征.當(dāng)中位數(shù)比平均數(shù)小很多時(shí)可能出現(xiàn)了異常值,所以(1)正確;當(dāng)數(shù)據(jù)近似對(duì)稱時(shí),平均數(shù)與中位數(shù)應(yīng)接近相等,所以(2)是錯(cuò)誤的;當(dāng)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端大的值時(shí),平均數(shù)會(huì)大于中位數(shù),所以(3)是正確的;當(dāng)眾數(shù)與中位數(shù)相同時(shí),若其余值大于中位數(shù),則中位數(shù)小于平均數(shù),所以(4)可能正確.綜上可知,(2)是錯(cuò)誤的.[點(diǎn)評(píng)]教材習(xí)題考查了平均數(shù)、中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用,各個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)總體的影響.高考真題是在教材基礎(chǔ)上的改編,體現(xiàn)高考真題源于教材、高于教材的特點(diǎn),也體現(xiàn)了平時(shí)教學(xué)和學(xué)習(xí)回歸教材的重要性.【真題2】(2019·全國(guó)Ⅰ卷)演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分,評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí),從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分,得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比,不變的數(shù)字特征是()A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差【解析】選A.根據(jù)題意,從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分,得到7個(gè)有效評(píng)分,7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比,最中間的一個(gè)數(shù)不變,即中位數(shù)不變.【溯源】(人教A必修二P209練習(xí)T3)某校舉行演講比賽,10位評(píng)委對(duì)兩位選手的評(píng)分如下:甲7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.9乙7.57.87.87.88.08.08.38.38.58.5選手的最終得分為去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分之后,剩下8個(gè)評(píng)分的平均數(shù).那么,這兩個(gè)選手的最后得分是多少?若直接用10位評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)作為選手的得分,兩位選手的排名有變化嗎?你認(rèn)為哪種評(píng)分辦法更好?為什么?【解析】甲選手的最后得分為18×(7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4)=8乙選手的最后得分為18×(7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5)=8.0625若直接用10位評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)作為選手的得分,則甲選手的得分為110×(7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.9)=8.乙選手的得分為110×(7.5+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5)=8.05去掉最高分與最低分時(shí),甲的得分小于乙的得分,即乙的排名靠前;若直接用評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)作為得分,則甲的得分大于乙的得分,即甲的排名靠前,兩種評(píng)分下,甲、乙兩位選手的排名變化大,去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分之后,剩下8個(gè)評(píng)分的平均數(shù)作為選手的最后得分更好,這是因?yàn)槠骄鶖?shù)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的極端值比較“敏感”.[點(diǎn)評(píng)]教材習(xí)題第3題有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義,在實(shí)際生活中經(jīng)常使用,因此要把握每一個(gè)數(shù)字特征的含義,如中位數(shù)不受極端值影響,而平均數(shù)會(huì)受極端值影響,這就是為什么比賽中經(jīng)常去掉最高分和最低分的原因.2019全國(guó)Ⅰ卷第8題只是把習(xí)題稍作變形,體現(xiàn)了真題源于教材、高于教材的特點(diǎn),因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中要深挖教材,一題多變,一題多解,多題一解.第九章統(tǒng)計(jì)【大銜接·進(jìn)階之梯】在初中階段,我們學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)的初步知識(shí),學(xué)習(xí)了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、統(tǒng)計(jì)圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)的知識(shí),初步體驗(yàn)數(shù)據(jù)收集、整理、分析和推斷的過(guò)程,理解了抽樣