高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第八章　8.6　8.6.1　直線與直線垂直含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第八章8.68.6.1直線與直線垂直含答案8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解異面直線所成角的概念,會求兩異面直線所成的角.2.了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系,會證明空間中兩直線的垂直.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象、邏輯推理一、異面直線所成的角1.定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).2.范圍:0°<α≤90°.3.互相垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,那么就說這兩條異面直線互相垂直.【教材挖掘】(P147)在異面直線所成角的定義中,角的大小與點O的位置有關(guān)系嗎?提示:根據(jù)等角定理可知,異面直線a'與b'所成角的大小與點O的位置無關(guān).但是為了簡便,點O常取在兩條異面直線中的一條上,特別是這一直線上的某些特殊點(如線段的端點、中點等).二、空間兩條直線所成角的取值范圍當(dāng)兩條直線a,b相互平行時,我們規(guī)定它們所成的角為0°,所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°.【教材挖掘】(P147)兩條直線所成的角與異面直線所成的角是一樣的嗎?提示:不是.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)異面直線所成的角θ的取值范圍是0°<θ<90°.(×)提示:異面直線所成的角θ的取值范圍:0°<θ≤90°.(2)若兩條直線垂直,則它們一定相交且所成的角是90°.(×)提示:也可能是異面直線.(3)若兩條直線所成的角為0°,則這兩條直線平行.(√)(4)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直,那么另一條直線也與這條直線垂直.(√)類型一求異面直線所成的角(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)(教材P147例2改編)如圖,在正方體ABCD-EFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心,P是面EFGH的中心,則OP和CD所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選B.如圖,連接EG,HF,則P為HF的中點,連接AF,OP∥AF,又CD∥AB,所以∠BAF(或其補(bǔ)角)為異面直線OP與CD所成的角,由于△ABF是等腰直角三角形,所以∠BAF=45°,故OP與CD所成的角為45°.(2)已知O為等腰直角三角形POD的直角頂點,以O(shè)P所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體,CD是底面圓O上的弦,△COD為等邊三角形,則異面直線OC與PD所成角的余弦值為()A.14 B.24 C.34 【解析】選B.設(shè)OP=r,過點D作OC的平行線交圓O于點E,連接PE,OE,則OE=OC=CD=OD=r,PC=PD=2r,所以∠PDE(或其補(bǔ)角)為異面直線OC與PD所成角,在△PDE中,PE=PO2+=2r,DE=r,所以cos∠PDE=D=r2+2r【總結(jié)升華】求兩異面直線所成角的一般步驟(1)構(gòu)造:通過作平行線或平移平行線,作出異面直線所成的角(或其補(bǔ)角);(2)計算:求角度,常用解三角形方法;(3)確定:若求出的角是銳角或是直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.【即學(xué)即練】1.如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱C1C與BC的中點,則直線EF與直線D1C所成的角的大小是__________.

答案:60°【解析】連接BC1,A1B,A1C1(如圖).因為BC1∥EF,A1B∥CD1,則∠A1BC1即為直線EF與直線D1C所成的角.又因為BC1=A1B=A1C1,所以∠A1BC1=60°,所以直線EF與直線D1C2.(教材P148T4改編)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形BCC1B1為正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D為C1B1的中點,則異面直線A1C1與AD所成角的余弦值為________.

答案:30【解析】如圖,過D作DF∥A1C1,交A1B1于點F.則∠ADF為異面直線A1C1與AD所成角(或所成角的補(bǔ)角),因為在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形BCC1B1為正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D為C1B1的中點,所以由題意知AD=22+22+42=26,DF=12+22=5,AF=42+12=17,所以異面直線A1C1與AD所成角的余弦值為cos∠ADF=【補(bǔ)償訓(xùn)練】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則DB1與CM所成角的余弦值為__________.

答案:15【解析】將正方體ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)上一個棱長相等的正方體,構(gòu)成一個如圖所示的長方體,連接CE1,ME1.因為DB1∥CE1,所以∠MCE1是異面直線DB1與CM所成角(或其補(bǔ)角),設(shè)正方體的棱長為a.在△MCE1中,CM=52a,CE1=3a,ME1=132a,那么cos∠MCE1=54類型二證明直線與直線垂直(邏輯推理)【典例2】在空間四邊形ABCD中,兩條對邊AB=CD=3,E,F分別是另外兩條對邊AD,BC上的點,且AEED=BFFC=12,EF=5.求證:【證明】如圖,連接BD,過點E作AB的平行線交BD于點O,連接OF,EF.因為EO∥AB,且AEED=12,所以EOAB因為AB=3,所以EO=2.又BFFC=12,所以BFFC所以O(shè)F∥DC,所以O(shè)E與OF所成的角即為AB和CD所成的角,因為DC=3,所以O(shè)F=1.在△OEF中,OE2+OF2=5,EF2=(5)2=5,所以O(shè)E2+OF2=EF2,所以∠EOF=90°,所以AB⊥CD.【總結(jié)升華】證明兩異面直線垂直的步驟(1)作出兩異面直線所成的角.(2)求出兩異面直線所成角的余弦值或在特殊三角形中說明垂直關(guān)系.(3)結(jié)論.【補(bǔ)償訓(xùn)練】直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1中點為M,BC中點為N,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1.證明:AB1⊥MN.【證明】由題得MN∥B1C,所以∠AB1C就是異面直線AB1與MN所成角或補(bǔ)角.由題得AC=4+1-2×2×1×cosAB1=5,B1C=2,因為(2)2+(5)2=(7)2,所以∠AB1C=π2,所以AB1⊥類型三異面直線所成角的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面都是矩形,底面四邊形ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,若異面直線A1B和AD1所成的角為90°,求線段AA1的長.【解析】連接CD1,AC.由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其補(bǔ)角)為A1B和AD1所成的角.因為異面直線A1B和AD1所成的角為90°,所以∠AD1C=90°.因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=23,所以△ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=22因為底面四邊形ABCD是菱形,且AB=BC=23,∠ABC=120°,所以AC=23×sin60°×2=6,AD1=22AC=32所以AA1=AD12-A【總結(jié)升華】關(guān)于異面直線所成角的應(yīng)用當(dāng)已知條件中含有異面直線所成角時,應(yīng)先作出該角,才能應(yīng)用此條件,但要注意作出的角不一定是已知異面直線所成角,也可能是其補(bǔ)角,應(yīng)分情況討論.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在四面體A-BCD中,E,F分別是AB,CD的中點.若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=1,求EF的長.【解析】取BC的中點O,連接OE,OF.因為E,F分別是AB,CD的中點,所以O(shè)E∥AC,OF∥BD,且OE=12AC,OF=12所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角.而AC,BD所成的角為60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.當(dāng)∠EOF=60°時,EF=OE=OF=12;當(dāng)∠EOF=120°時,取EF的中點M,連接OM則有OM⊥EF,EF=2EM=2×34=3綜上可得,EF的長為12或3課時鞏固訓(xùn)練,請使用“課時過程性評價三十三”8.6.2直線與平面垂直(1)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解直線與平面垂直的定義.2.理解直線與平面垂直的判定定理,并會用其判斷直線與平面垂直.3.理解直線與平面所成角的概念,并能解決簡單的線面角問題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算一、直線與平面垂直的定義1.定義:如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.2.相關(guān)概念:3.結(jié)論:(1)過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條;(2)垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.【版本交融】(蘇教P180思考)如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線,那么這條直線是否與這個平面垂直?提示:不一定.因為一條直線與某平面內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直,該直線與這個平面不一定垂直.【版本交融】(北師大版P242思考交流)過平面外一點可以作幾條直線與已知平面垂直?提示:有且只有一條.二、直線與平面垂直的判定定理1.文字:如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.2.符號:l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=P?l⊥α.【教材挖掘】(P151思考)兩條相交直線可以確定一個平面,兩條平行直線也可以確定一個平面,那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎?提示:不可以.當(dāng)這兩條直線相互平行時,直線和平面不一定垂直.【版本交融】(北師大版P242思考交流)若三條共點的直線兩兩垂直,那么其中的任意一條直線與另外兩條直線確定的平面是什么關(guān)系?提示:垂直.三、直線與平面所成的角1.定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角.2.相關(guān)概念:3.范圍:0°≤θ≤90°,當(dāng)θ=0°時,直線與平面平行或者在平面內(nèi);當(dāng)θ=90°時,直線與平面垂直.【教材挖掘】(P151)斜線上不同于斜足的點P的選取是任意的嗎?提示:是.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若直線l垂直于平面α內(nèi)的所有直線,則直線l與平面α垂直.(√)(2)若一條直線垂直于矩形的兩邊所在的直線,則這條直線垂直于矩形所在的平面.(×)提示:當(dāng)這條直線垂直于矩形的對邊時,直線和平面不一定垂直.(3)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.(×)提示:在空間中有無數(shù)條.(4)斜線和斜線在平面上的射影的夾角是該斜線與平面所成的角.(×)提示:線面角是斜線與斜線在平面上的射影的夾角中的銳角.類型一直線與平面垂直的判定(邏輯推理)角度1線面垂直的定義與判定定理的理解【典例1】(多選)下列命題,正確的是()A.若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則l⊥αB.若直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)沒有與l垂直的直線C.若直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直D.若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的三角形的兩邊,則該直線與平面垂直【解析】選CD.當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直時,l與α不一定垂直,A不正確;當(dāng)l與α不垂直時,l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直,B不正確,C正確;三角形的兩邊是相交的,由線面垂直的判定定理可知,D正確.【總結(jié)升華】1.直線與平面垂直定義的“雙向”作用(1)證明線面垂直:需要證明一條直線與一個平面內(nèi)任意一條直線都垂直,一般不使用;(2)證明線線垂直:若一條直線與一個平面垂直,則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直.2.直線與平面垂直的判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線.【即學(xué)即練】設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題正確的是()A.若l⊥m,m?α,則l⊥αB.若l⊥α,l∥m,則m⊥αC.若l∥α,m?α,則l∥mD.若l∥α,m∥α,則l∥m【解析】選B.對于A,由l⊥m及m?α,可知l與α的位置關(guān)系有平行、相交或在平面內(nèi)三種,故A錯誤;B正確;對于C,l與m可能平行或異面,故C錯誤;對于D,l與m的位置關(guān)系為平行、異面或相交,故D錯誤.角度2線面垂直的證明【典例2】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中點,O是底面正方形ABCD的中心,求證:OE⊥平面ACD1.【證明】如圖,連接AE,CE,D1O,D1E,D1B1.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,易證AE=CE.因為AO=OC,所以O(shè)E⊥AC.D1O=DD12+DOOE=BE2+OB2D1E=D1B12+因為D1O2+OE2=D1E2,所以D1O⊥OE.因為D1O∩AC=O,D1O?平面ACD1,AC?平面ACD1,所以O(shè)E⊥平面ACD1.【總結(jié)升華】1.線面垂直判定定理的關(guān)注點(1)實質(zhì):由線線垂直推證線面垂直;(2)途徑:證明平面內(nèi)的兩條相交直線都與已知直線垂直;(3)證明線線垂直的常用方法:線面垂直的定義、勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線的性質(zhì)、菱形(正方形)對角線的性質(zhì)等.2.平行轉(zhuǎn)化法證明線面垂直(1)a∥b,a⊥α?b⊥α;(2)α∥β,a⊥α?a⊥β.【即學(xué)即練】(教材P152T2改編)如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,∠BAD=60°,△PAD為正三角形,且E是AD的中點.求證:BC⊥平面PEB.【證明】連接BD.因為E是正三角形PAD邊AD的中點,則PE⊥AD.因為四邊形ABCD為菱形,∠BAD=60°,所以正三角形BAD中,BE⊥AD,因為PE∩BE=E,所以AD⊥平面PEB.因為AD∥BC,所以BC⊥平面PEB.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,M是圓周上任意一點,AN⊥PM,垂足為N.求證:AN⊥平面PBM.【證明】設(shè)圓O所在的平面為α,因為PA⊥α,且BM?α,所以PA⊥BM.又因為AB為☉O的直徑,點M為圓周上一點,所以AM⊥BM.由于直線PA∩AM=A,所以BM⊥平面PAM,而AN?平面PAM,所以BM⊥AN.又AN⊥PM,所以AN與PM,BM兩條相交直線互相垂直.故AN⊥平面PBM.類型二線面垂直的應(yīng)用(邏輯推理)【典例3】(1)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,則P到BC的距離是()A.5 B.25 C.35 D.45【解析】選D.如圖所示,作PD⊥BC于點D,連接AD.因為PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又PA∩PD=P,所以BC⊥平面PAD,所以BC⊥AD.在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4.在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,所以PD=82+4(2)(教材P152T4改編)已知點P是△ABC所在平面外一點,若PA⊥BC,PB⊥AC,則點P在平面ABC上的射影一定是△ABC的()A.重心 B.外心C.內(nèi)心 D.垂心【解析】選D.設(shè)三棱錐P-ABC的頂點P在底面的射影為O,因為PA⊥BC,PO⊥BC,所以AO⊥BC,同理BO⊥AC,所以P點在平面ABC上的射影是△ABC的垂心.【總結(jié)升華】三棱錐的三條側(cè)棱相等時,頂點在底面的射影是底面的外心;三條側(cè)棱兩兩垂直時,頂點在底面的射影是底面的垂心.【即學(xué)即練】1.如圖所示,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA與BD的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直相交C.垂直但不相交 D.相交但不垂直【解析】選C.連接AC,因為四邊形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,則BD⊥MC.因為AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC,所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面,因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交.2.(教材P152T4改編)三棱錐P-ABC中,PO⊥平面ABC,O是垂足,若點P到AB,BC,AC的距離相等,則O是△ABC的__________心.

答案:內(nèi)【解析】由于點P到△ABC的三邊AB,BC,AC的距離相等,易得點O到邊AB,BC,AC的距離相等,故點O是△ABC的內(nèi)心.類型三直線與平面所成的角(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例4】(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺ABC-A1B1C1的體積為523,AB=6,A1B1=2,則AA1與平面ABC所成角的正切值為(A.12 B.1 C.2 D.【解析】選B.設(shè)棱臺高為h,三條側(cè)棱延長后交于一點O,則由AB=3A1B1知,O到上底的距離為12h,O到下底的距離為3又S△ABC=93,S△A1B1C1=3,所以13·93·32h-13·3上底中心到頂點A1的距離為23,所以所求正切值為12h23【總結(jié)升華】求斜線與平面所成角的步驟(1)作圖:作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影,作射影要過斜線上一點作平面的垂線,再過垂足和斜足作直線.(2)證明:證明某平面角就是斜線與平面所成的角.(3)計算:通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.提醒:注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān),才能便于計算.【即學(xué)即練】如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為22,則AC1與平面ABB1A1所成的角為________.

答案:π【解析】取A1B1中點D,連接C1D,AD,因為正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為22,所以C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,因為A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1?平面ABB1A1,所以C1D⊥平面ABB1A1,所以AC1與平面ABB1A1所成的角為∠DAC1,因為C1D=22-12=3,AD=(22)2+12=3,所以tan∠DAC1=C1DAD=33,所以∠D