高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第八章　8.1　第1課時　棱柱、棱錐、棱臺含答案

高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第八章8.1第1課時棱柱、棱錐、棱臺含答案8.1基本立體圖形第1課時棱柱、棱錐、棱臺【學習目標】1.通過對實物模型的觀察,歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的定義與結構特征.2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系.3.能用棱柱、棱錐、棱臺的定義及結構特征解答一些簡單的有關問題.【素養(yǎng)達成】直觀想象直觀想象邏輯推理一、空間幾何體1.多面體:由若干個平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面;兩個面的公共邊叫做多面體的棱;2.旋轉體:一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面,封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體.這條定直線叫做旋轉體的軸.【教材挖掘】(P97~P98)多面體與旋轉體有什么不同?提示:多面體是由若干個平面多邊形圍成的幾何體,旋轉體是由平面圖形繞軸旋轉形成的封閉旋轉面圍成的幾何體.二、棱柱、棱錐、棱臺1.棱柱類別結構特征及分類圖形及記法棱柱結構特征(1)有兩個面互相平行(2)其余各面都是四邊形(3)相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行記作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'分類按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱……直棱柱:棱與底面都垂直;正棱柱:底面為正多邊形的棱柱2.棱錐類別結構特征及分類圖形及記法棱錐結構特征(1)有一個面是多邊形(2)其余各面都是有一個公共頂點的三角形記作:棱錐S-ABCD分類按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐……正棱錐:底面為正多邊形的棱錐3.棱臺類別結構特征及分類圖形及記法棱臺結構特征用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的那部分多面體叫做棱臺記作:棱臺ABCD-A'B'C'D'分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別為三棱臺、四棱臺、五棱臺……正棱臺:底面為正多邊形的棱臺【教材挖掘】(P98)棱柱的側面一定是平行四邊形嗎?有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱嗎?提示:根據(jù)棱柱的概念可知,棱柱側面一定是平行四邊形.但有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱,如圖:【版本交融】(北師大版P206)平行六面體、長方體、正方體都是四棱柱,它們有什么關系?提示:幾種棱柱之間的關系【版本交融】(北師大版P207)對比下列三組空間圖形,你能說出后者是由前者發(fā)生怎樣的變化得到的?(1)(2)(3)提示:棱柱的一個面收縮為一個點時,就得到相應的棱錐.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面.(×)提示:如六棱柱,相對的側面互相平行,但不是底面.(2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形,由這些面圍成的幾何體是棱錐.(×)提示:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面圍成的幾何體是棱錐.(3)棱臺的上下底面互相平行,且各側棱延長線相交于一點.(√)(4)棱柱的側面展開圖是矩形.(×)提示:只有直棱柱的側面展開圖是矩形.類型一棱柱的結構特征(直觀想象)【典例1】(教材P145T15改編)如圖,將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度(水未溢出),則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A.棱柱 B.棱臺C.棱柱與棱錐的組合體 D.不能確定【解析】選A.如圖,因為有水的部分前后兩個平面平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊平行,因此是棱柱.【總結升華】棱柱結構特征的辨析技巧扣定義:判定一個幾何體是否是棱柱的關鍵是棱柱的定義.①看“面”,即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面,其余各面都是四邊形;②看“線”,即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行.【即學即練】(2024·佛山高一檢測)下列幾何體為棱柱的是()【解析】選B.根據(jù)棱柱的概念,選項A中上下兩個面不平行,不是棱柱;選項B為棱柱;選項C,D側棱不平行,不是棱柱.類型二棱錐、棱臺的結構特征(直觀想象)【典例2】(1)(多選)下列說法正確的是()A.棱錐的側面只能是三角形B.兩個底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.用一個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分是棱臺D.棱錐被平面截成的兩部分可能都是棱錐【解析】選AD.由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形,A正確;可用如圖①的反例檢驗,B不正確;用平行于底面的平面截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分是棱臺,C不正確;如圖②所示,四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐,D正確.(2)(教材P105T4改編)如圖所示的多面體不是棱臺的為__________(填序號).

【解析】題圖①②中多面體側棱延長線不相交于同一點,不是棱臺;題圖③中多面體雖是由棱錐截得的,但截面與底面不平行,也不是棱臺;題圖④是棱臺.答案:①②③【總結升華】判斷棱錐、棱臺形狀的兩種方法(1)舉反例法結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確.(2)直接法項目棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形,此面即為底面兩個互相平行的面,即為底面看側棱相交于一點延長后交于一點【補償訓練】(多選)下列命題中,真命題的是()A.棱錐的側面為三角形,且所有側面都有一個公共點B.棱臺的側面有的是平行四邊形,有的是梯形C.棱錐的各側棱長相等D.多面體至少有4個面【解析】選AD.棱錐是由棱柱的一個底面收縮為一個點而得到的幾何體,因而其側面均是三角形,且所有側面都有一個公共點,故A正確.棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截后,截面與底面之間的部分,因而其側面均是梯形,且所有的側棱延長后均相交于一點(即原棱錐的頂點),故B錯誤;棱錐的側棱長可以相等,也可以不相等,C錯誤;D正確.類型三空間幾何體的展開圖(直觀想象、邏輯推理)【典例3】(1)(2024·涪陵高一檢測)如圖所示的平面圖形可以折疊成的立體圖形為()A.三棱錐 B.四棱柱C.四棱錐 D.球【解析】選C.由給定的圖形知,該幾何體由四個三角形面與一個四邊形面組成,所以該幾何體為四棱錐.(2)一個幾何體的平面展開圖如圖所示,則該幾何體是______,該幾何體中與“?！毕鄬Φ淖质莀_________.

【解析】由題中展開圖知,該幾何體是四棱臺,幾何體中與“祝”相對的字是“前”.答案:四棱臺前【總結升華】空間幾何體的展開圖問題的解題策略(1)要結合多面體的結構特征發(fā)揮空間想象能力和動手能力.(2)若給出多面體畫其展開圖,常常給多面體的頂點標上字母,先把多面體的底面畫出來,然后依次畫出各側面.(3)若是給出表面展開圖,則按上述過程逆推.【即學即練】在以O為頂點的三棱錐中,過O的三條棱兩兩的交角都是30°,在一條側棱上有A,B兩點,OA=4,OB=3,以A,B為端點的一條繩子緊繞三棱錐的側面一周(繩和側面無摩擦),求此繩在A,B之間的最短繩長.【解析】作出三棱錐的平面展開圖,如圖,A,B兩點間的最短繩長就是線段AB的長度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=OA2即此繩在A,B之間的最短繩長為5.教材深一度正方體的截面問題根據(jù)截面截正方體的位置不同,產(chǎn)生的截面形狀不同,截面的具體形狀大致有以下四種:(1)截面為三角形時,可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形,但不可能是鈍角三角形、直角三角形;(2)截面為四邊形時,可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形、矩形,但不可能是直角梯形;(3)截面為五邊形時,不可能是正五邊形;(4)截面為六邊形時,可以是正六邊形.【典例4】(多選)用一個平面截一個正方體,截面圖形可以是()A.等邊三角形 B.等腰梯形C.正五邊形 D.正六邊形【解析】選ABD.如圖所示,用一個平面去截正方體,截面可能是等邊三角形、等腰梯形、五邊形(不是正五邊形)、正六邊形.第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體【學習目標】1.理解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義及其結構特征,能夠識別和區(qū)分這些幾何體.2.了解簡單組合體的概念和基本形式.3.會根據(jù)旋轉體的幾何特征進行相關運算.【素養(yǎng)達成】直觀想象直觀想象直觀想象、數(shù)學運算一、圓柱、圓錐、圓臺、球的幾何特征1.圓柱類別定義圖形及記法圓柱以__矩形的一邊__所在直線為旋轉軸,其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱

記作:圓柱O'O2.圓錐類別定義圖形及記法圓錐以直角三角形的__一條直角邊__所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐

記作:圓錐SO3.圓臺類別定義圖形及記法圓臺用__平行__于圓錐底面的平面去截圓錐,__底面與截面__之間的部分叫做圓臺

記作:圓臺O'O【教材挖掘】(P102探究)圓柱可以由矩形旋轉得到,圓錐可以由直角三角形旋轉得到,圓臺是否也可以由平面圖形旋轉得到?如果可以,由什么平面圖形旋轉得到?如何旋轉?提示:可以,由直角梯形繞著垂直于底邊的腰所在的直線旋轉一周得到.【教材挖掘】(P103探究)當?shù)酌姘l(fā)生變化時,圓柱、圓錐與圓臺是否可以互相轉化?提示:可以,轉化如圖:【版本交融】(蘇教版P157)充滿氣的車輪內(nèi)胎可以通過什么圖形旋轉生成?提示:圓環(huán)繞與其相離的直線旋轉一周.4.球類別定義圖形及記法球半圓以它的__直徑__所在直線為旋轉軸,旋轉一周形成的曲面叫做球面,球面所圍成的旋轉體叫做球體,簡稱球

記作:球O【教材挖掘】(P102)球和球面是同一個概念嗎?它們有什么區(qū)別?提示:球面和球是兩個完全不同的概念,球是球面圍成的空間,球面是球的表面部分;球可以看作“實心”的,球面應看作“空心”的.【版本交融】(北師大版P209)用任何一個平面去截球面,得到的截面都是圓嗎?怎樣截球面得到的圓的半徑最大?提示:是的,過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大.二、柱體、錐體、臺體、球及簡單幾何體1.棱柱和圓柱統(tǒng)稱為柱體,棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體,棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體.2.由柱體、錐體、臺體和球等簡單幾何體組合成的幾何體稱作簡單組合體.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是圓柱.(×)提示:當兩個平行截面與底面不平行時,夾在它們間的幾何體不是圓柱.(2)以直角三角形的一條邊所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉一周形成的面圍成的幾何體就是圓錐.(×)提示:必須以直角邊所在直線為軸,若以斜邊所在直線為軸,形成的幾何體是同底面的兩個圓錐組成的.(3)用一個平面截圓錐,截得的兩部分分別是圓錐和圓臺.(×)提示:只有用平行于圓錐底面的平面截圓錐,截得的兩部分分別是圓錐和圓臺.類型一旋轉體的概念(直觀想象)角度1圓柱、圓錐、圓臺【典例1】(1)下列說法正確的是()A.矩形繞一條直線旋轉一周所得的旋轉體是圓柱B.矩形繞一邊所在直線旋轉一周所得的旋轉體是圓柱C.以等邊三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐D.以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺【解析】選B.矩形繞其一邊所在直線旋轉一周得到的旋轉體是圓柱,繞其對角線所在直線旋轉一周得到的旋轉體不是圓柱,A錯誤,B正確;以等邊三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體不是圓錐,是兩個圓錐的組合體,C錯誤;以直角梯形垂直于底邊的一腰為軸旋轉一周才可以得到圓臺,D錯誤.(2)(多選)下列說法中,正確的是()A.在圓柱上、下底面圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線B.圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線C.在圓臺上、下底面圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓臺的母線D.圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的【解析】選BD.根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺的定義和結構特征可知,只有B,D兩個說法是正確的.【總結升華】判斷旋轉體形狀的步驟(1)明確旋轉軸l.(2)確定平面圖形中各邊(通常是線段)與l的位置關系.(3)依據(jù)圓柱、圓錐、圓臺、球的定義和一些結論來確定形狀.【即學即練】下列說法不正確的是()A.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面B.圓柱、圓錐、圓臺的側面都是曲面C.圓錐的所有母線都交于一點D.圓臺的任意兩條母線的延長線不一定相交【解析】選D.根據(jù)定義,圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面,側面都是曲面,A,B正確;圓錐的所有母線都交于一點,即圓錐的頂點,由圓臺與圓錐的關系,圓臺的母線的延長線也交于該點,C正確,D不正確.角度2球【典例2】(多選)下列說法正確的是()A.球的半徑是球面上任意一點與球心的連線B.球面上任意兩點的連線是球的直徑C.用一個平面截一個球,得到的截面是一個圓面D.以半圓的直徑所在直線為旋轉軸旋轉一周形成的曲面叫做球【解析】選AC.A是正確的;B是錯誤的,只有兩點的連線經(jīng)過球心時才為直徑;C是正確的;球面和球是兩個不同的概念,以半圓的直徑所在直線為旋轉軸旋轉一周形成的曲面叫做球面,球面圍成的幾何體叫做球,D是錯誤的.【總結升華】關于球的幾何特征(1)正確理解相關的概念:如球面、球的區(qū)別,直徑、半徑的定義等.(2)利用實物、模具想象:如果涉及截面等問題,可以利用實物、模具觀察結合直觀想象解題.【即學即練】寫出下列圖形按要求旋轉形成的封閉曲面所圍成的幾何體:(1)等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉180°;(2)圓繞其一條直徑所在的直線旋轉180°.【解析】(1)等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形,每個直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉180°形成半個圓臺,故該幾何體為圓臺,如圖(1).(2)是一個球,如圖(2).類型二簡單組合體的結構特征(直觀想象)【典例3】如圖,分別寫出虛線一面的平面圖形繞虛線旋轉一周形成的封閉曲面所圍成的幾何體的結構特征.【解析】(1)如圖,幾何體自上而下由圓錐、圓臺、圓臺、圓柱組合而成.(2)如圖,幾何體自上而下由圓錐、圓臺、圓柱組合而成.(3)如圖,幾何體是一個大圓臺挖去一個以大圓臺上底面為下底面的小圓臺形成的組合體.【總結升華】1.“旋轉”組合體問題中的“兩個明確”(1)明確由哪個平面圖形旋轉而成;(2)明確旋轉軸是哪條直線.2.解“拼接、截去、挖空”組合體問題的常用思路(1)觀察組合體的組成;(2)恰當?shù)刈鞒鲚o助線(或面),對原組合體進行分割.【即學即練】1.如圖,將陰影部分圖形繞圖示直線l旋轉一周所得的幾何體是()A.圓錐B.圓錐和圓柱C.球D.一個圓錐內(nèi)部挖去一個球【解析】選D.將題圖中陰影部分圖形繞圖示直線l旋轉一周所得的幾何體是一個圓錐內(nèi)部挖去一個球后形成的簡單組合體.2.(多選)對如圖中的組合體的結構特征有以下幾種說法,其中說法正確的是()A.由一個長方體割去一個四棱柱所構成的B.由一個長方體與兩個四棱柱組合而成的C.由一個長方體割去一個四棱臺所構成的D.由一個長方體與兩個四棱臺組合而成的【解析】選AB.如圖,該組合體可由一個長方體割去一個四棱柱所構成,也可以由一個長方體與兩個四棱柱組合而成,故A,B正確.【補償訓練】如圖所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,當梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周時,其他各邊旋轉圍成了