電路分析基礎(chǔ) 課件-第5章正弦交流電路的基本概念

第5章正弦交流電路的基本概念正弦交流電路的基本參數(shù)正弦交流電的相量表示法正弦交流電路中的R、L和C5.1正弦交流電路的基本參數(shù)前面兩章所接觸到的電壓和電流均為穩(wěn)恒直流電，其大小和方向均不隨時(shí)間變化，稱為穩(wěn)恒直流電，簡稱直流電。直流電的波形圖如下圖所示：u、it0電子通訊技術(shù)中通常接觸到電壓和電流，通常其大小隨時(shí)間變化，方向不隨時(shí)間變化，稱為脈動(dòng)直流電，如圖所示。交流電的概念交流電也稱為交變電流，一般用字母“AC”表示，圖形符號(hào)用“～”表示。交流電是指大小和方向都隨時(shí)間作周期性變化的電壓和電流。交流電的波形圖如下圖所示：u、it0u、it0交流電的變化是多種多樣的，但最常見的正弦交流電。正弦交流電（1）定義：正弦交流電是指大小和方向都隨時(shí)間作正弦規(guī)律變化的電壓和電流。（2）正弦交流電解析式（瞬時(shí)值表達(dá)式）：（3）正弦交流電波形圖：u、it05.1.1正弦交流電量的三要素最大值用大寫字母帶下標(biāo)“m”表示,如Um、Im、Em等。ut0最大值：指正弦量在一個(gè)周期內(nèi)振蕩的正向最高點(diǎn)。1.

最大值(也稱振幅或峰值)正弦量三要素的延伸指與交流電熱效應(yīng)相同的直流電數(shù)值。有效值:注意：（1）在日常生活和生產(chǎn)中，常提到的220V、380V電壓指的是交流電的有效值；（2）各種儀表所指的數(shù)字，電氣設(shè)備銘牌上的額定值為有效值。最大值有效值【例5-1】日常我們所說的照明電壓為220V，其最大值是多少？【例5-2】一個(gè)電容器的耐壓值為250V，問能否用在220V的單相交流電源上？解：因?yàn)?20V的單相交流電源為正弦電壓，其振幅值為311V，大于其耐壓值250V，電容可能被擊穿，所以不能接在220V的單相電源上。注意：各種電氣元件和電氣設(shè)備的絕緣水平（耐壓值）要按最大值考慮。解：正弦量單位時(shí)間內(nèi)變化的弧度數(shù)，用“ω”表示。（1）周期T：正弦量完整變化一周所需要的時(shí)間。u、it0T2.角頻率單位：弧度/秒（rad/s）

單位：秒

(s)（1）周期T：正弦量完整變化一周所需要的時(shí)間。單位：秒

(s)（2）頻率f

：正弦量在單位時(shí)間內(nèi)變化的周數(shù)。單位：赫茲(Hz)角頻率與周期及頻率的關(guān)系：周期與頻率的關(guān)系：【例5-3】我國的工業(yè)頻率（簡稱為“工頻”

）電信號(hào)，其角頻率是多少？解

我國工頻交流電頻率

f=50Hz，周期T=1/f=0.02s，

則角頻率ω=10πrad/s=314rad/s。正弦量三要素的延伸

初相位指t=0時(shí)所對(duì)應(yīng)的相位角φ0，它反映了計(jì)時(shí)起點(diǎn)的狀態(tài)。3.初相ut0（a）取值范圍在－180°~＋180°φφi=0φi>0φi<0初相相位：正弦量解析式中隨時(shí)間變化的電角度(ωt+φ)稱為相位，相位是時(shí)間的函數(shù)，反應(yīng)了正弦量隨時(shí)間變化的整個(gè)進(jìn)程。正弦量三要素的延伸結(jié)論：任何一個(gè)正弦量的最大值、角頻率和初相位確定后，就可以寫出解析式，計(jì)算出任一時(shí)刻的瞬時(shí)值。相位【例5-4】已知一個(gè)正弦電壓（1）計(jì)算其三要素和周期、頻率；（2）畫出波形圖；（3）計(jì)算t=0.01s時(shí)的瞬時(shí)值。解：（1）三要素：最大值：

（2）波形圖如圖5-4所示:角頻率：初相位：周期：頻率：（3）t=0.01s時(shí)正弦電壓瞬時(shí)值為【思考與練習(xí)】5.1-1正弦交流電的三要素是指正弦量的

、

和

。5.1-2已知一正弦量，則該正弦電流的最大值是

A；有效值是

A；角頻率是

rad/s；頻率是

Hz；周期是

s；隨時(shí)間的變化進(jìn)程相位是

；初相是

；合

弧度。例相位初相u、i的相位差為：5.1.2相位差規(guī)定：|

|(180°)兩個(gè)同頻率正弦量之間相位的差值，稱為它們的相位差。相位差實(shí)際上等于兩個(gè)同頻率正弦量之間的初相之差。②

u1與u3相位差，即為反相關(guān)系。③

u1與u4相位差

，二者為正交的關(guān)系。①

u1與u2相位差，即為同相關(guān)系。ωtu2u3u1uu4u5④

u1與u5相位差，即u1滯后u5，或u5超前u1，二者為超前或滯后的相位關(guān)系。幾個(gè)有關(guān)相位差的概念：【例5-5】已知兩個(gè)正弦波

和

計(jì)算其相位差，并說明哪個(gè)超前?解

這兩個(gè)表達(dá)式都不是正弦交流電的標(biāo)準(zhǔn)式，因此不能直接比較，需要先改寫成正弦函數(shù)形式：

故相位差為:

因此，這兩個(gè)正弦量的相位關(guān)系為u1超前u230o，或者u2滯后u130o?！纠?-6】分別寫出圖5-7中各電流i1、i2的相位差，并說明i1與i2的相位關(guān)系。

正交同相反相

【思考與練習(xí)】5.1-3兩個(gè)同頻正弦量的表達(dá)式分別為：u=－100sin(6πt＋10°)V，i=5cos（6πt－10°）A。

則u超前i相位角度是

?！玖?xí)題】5-1試求下列各正弦量的周期、頻率和初相，二者的相位差如何？

（1）3sin314t；

（2）8sin(5t＋17°)5.2正弦交流電的相量表示法5.2.1正弦量的旋轉(zhuǎn)矢量表示法

xy

令矢量以角速度ω逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中的矢量在縱軸的投影，與正弦量在該時(shí)刻的瞬時(shí)值保持一一相等的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣旋轉(zhuǎn)的矢量，稱為旋轉(zhuǎn)矢量。

它不僅表示了正弦量的瞬時(shí)值，還表示了正弦量的三要素。ωtixy

ω

圖5-8旋轉(zhuǎn)矢量示意圖

xy

ω

可用一個(gè)長度等于正弦量最大值，與橫軸夾角為初相角的靜止矢量，來表示正弦量。

這種靜止在t=0時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量稱為相量，圖5-8所示的旋轉(zhuǎn)矢量對(duì)應(yīng)的相量如圖5-9所示。圖5-8旋轉(zhuǎn)矢量示意圖圖5-9相量圖xy

5.2.2復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)運(yùn)算

＋j0＋1abA＋j0＋1A復(fù)數(shù)A箭頭的長度稱為它的模r復(fù)數(shù)A與正向?qū)嵼S之間的夾角稱為復(fù)數(shù)A的幅角φ復(fù)數(shù)的實(shí)部

a、虛部

b、模

r和幅角φ之間的關(guān)系：

rab1、復(fù)數(shù)的四種表示形式代數(shù)式：A=a+jb三角函數(shù)式：A=r(cosφ+jsinφ)指數(shù)式：

A=rejφ極坐標(biāo)式：

A=r∠φ其中：＋j0＋1A

rab2、復(fù)數(shù)幾種形式之間的相互轉(zhuǎn)換已知復(fù)數(shù)A的模r=5，幅角φ=53.1°，試寫出復(fù)數(shù)A的極坐標(biāo)形式和代數(shù)形式表達(dá)式。例解：極坐標(biāo)形式為：A=5∠

53.1°復(fù)數(shù)的實(shí)部：復(fù)數(shù)的虛部：代數(shù)表達(dá)形式為：A=3+j4【例5-7】寫出復(fù)數(shù)A1=4－j3，A2=－3+j4的極坐標(biāo)形式，并畫出

矢量圖。A1=5∠－37°A2=5∠127°解

A1的模為：輻角為：則A1的極坐標(biāo)形式為：＋j0＋1A1

5A1的矢量圖

A2的模為：輻角為：則A2的極坐標(biāo)形式為：＋j0＋1A2

5A2的矢量圖

【例5-8】寫出復(fù)數(shù)A=100∠120°的三角函數(shù)形式和代數(shù)形式。A＝100(cos120°＋jsin120°)

解

三角函數(shù)形式為：代數(shù)形式為：＋j0＋1A

100A的矢量圖

-50

【思考與練習(xí)】P1365.2-1將下列代數(shù)形式和極坐標(biāo)的復(fù)數(shù)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，并畫出其矢量圖：（1）A1=6+j8 （2）A2=－5 （3）（4）A4=4∠135°（5）A5=10∠－37°（6）A6=10∠270°

3、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（1）加減運(yùn)算

設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)分別為

A=a1+jb1,B=a2+jb2

則

A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)

故一般情況下，復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算應(yīng)把復(fù)數(shù)寫成代數(shù)式。加法3、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（1）加減運(yùn)算

采用矢量圖法：①平行四邊形法ABA+B減法AB-BA-B加法3、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（1）加減運(yùn)算

采用矢量圖法：①平行四邊形法ABA+B減法AB-BA-B②三角形法

【例5-9】已知復(fù)數(shù)A1＝5∠53°，A2＝3。

求A1＋A2和A1－A2，并在復(fù)平面內(nèi)畫出矢量圖。解

轉(zhuǎn)換成代數(shù)形式：A1＝5∠53°＝3＋j4，A1＋A2＝3＋j4＋3＝6＋j4=7.2∠33.7°A1－A2＝3＋j4－3＝4∠90°A1A2A1+A2-A2A1-A2

A2＝3【思考與練習(xí)】P1365.2-2分別計(jì)算下列復(fù)數(shù)A1、A2的和、差、乘積和商：（1）則A1+A2=?A1－A2=?該用什么形式的復(fù)數(shù)？A1×A2=?A1÷A2=?該用什么形式的復(fù)數(shù)？

5.2.3正弦量的相量表示法

1．正弦量的相量表示有效值相量：最大值相量：相量的模表示正弦量的最大值或有效值相量的幅角表示正弦量的初相位注意相量是一個(gè)表示正弦電流的復(fù)數(shù)，但它不等于正弦量。

解：由題可知，頻率f=50Hz，則角頻率：

ω=2πf=2π×50=100

π

(rad/s)兩個(gè)正弦量的最大值分別為：則兩正弦電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式為：

＋j0＋1

I

注意：只有同頻率的多個(gè)正弦量對(duì)應(yīng)的相量畫在同一復(fù)平面上才有意義，把不同頻率的正弦量相量畫在同一復(fù)平面上是沒有意義的。因此，只有同頻率的正弦量才能應(yīng)用相量運(yùn)算，運(yùn)算方法可按復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行。2．相量圖及相量的運(yùn)算

解：由瞬時(shí)值表達(dá)式可得電流有效值相量：

電壓有效值相量：【例5-12】如圖所示，已知i1、i2分別為

i1=5sin(ωt+37°)A，i2=10sin(ωt－53°)A，試求電流i，并繪出相量圖。解用相量表示為

?1m=5∠37°A=（4+j3）A?2m=10∠－53°A=（6－j8）A根據(jù)KCL，有

i=i1+i2，?m=?1m+?2m，則

?m

=?1m+?2m=(4+j3)+(6－j8)=10－j5A

=11.8∠－26.6°A所以電流

i

=11.8sin(ωt－26.6°)A

相量圖如圖所示：

【習(xí)題】5-7寫出下列各正弦量的相量，并畫出它們的相量圖。

(1)；(2)；(3)；(4)。5-8對(duì)題5-7所示正弦量做如下計(jì)算（應(yīng)用相量）：(1)i1+i2； (2)u1/u2。5.3正弦交流電路中的電阻、電感和電容元件

在正弦交流電路中，由電阻、電感和電容中任一個(gè)元件組成的電路，稱為單一參數(shù)正弦交流電路。

iR

u時(shí)域模型1.電流和電壓的瞬時(shí)關(guān)系若設(shè)則電流和電壓之間的相位關(guān)系為同相有效值關(guān)系：相位關(guān)系：數(shù)值上符合歐姆定律

i

touR5.3.1電阻元件

結(jié)論：（1）電阻元件的電流和電壓瞬時(shí)值、最大值、有效值及相量關(guān)系都遵從歐姆定律。（2）電阻元件的電流和電壓同相。2.電壓與電流的相量關(guān)系相量模型符合歐姆定律同相位3．電阻元件的功率

pR瞬時(shí)功率以2

交變始終大于零表明電阻始終吸收功率(1)瞬時(shí)功率p

：元件上電壓的瞬時(shí)值與電流的瞬時(shí)值的乘積叫做該元件的瞬時(shí)功率。

i

touRURI功率的單位為瓦（W），工程上也常用千瓦（kW），兩者的換算關(guān)系為1kW=1000W由于平均功率反映了電阻元件實(shí)際消耗電能的情況，因此又稱有功功率。習(xí)慣上常把“平均”或“有功”二字省略，簡稱功率。例如，60W的燈泡，1000W的電爐等，瓦數(shù)都是指平均功率。(2)平均功率（有功功率）P

(一個(gè)周期內(nèi)的平均值)

平均功率用大寫！

【解】（1）根據(jù)有效值的歐姆定律可知：因?yàn)榧冸娮璧碾娏?、電壓同頻率、同相位，所以：（2）有功功率【解】（3）由題知電壓的相量為：由此作出相量圖如右圖所示。

【習(xí)題】5-10一個(gè)電熱器，接在10V的直流電源上，產(chǎn)生的功率為P。把它改接在正弦交流電源上，使其產(chǎn)生的功率為P/2，則正弦交流電源電壓的最大值為多少?5-11某電阻元件的參數(shù)為8Ω，接在的交流電源上。試求通過電阻元件上的電流i，如用電流表測(cè)量該電路中的電流，其讀數(shù)為多少？電路消耗的功率是多少瓦？若電源的頻率增大一倍，電壓有效值不變又如何？

電感元件是一種儲(chǔ)能元件，其模型為導(dǎo)線繞制的線圈。如發(fā)電機(jī)、電動(dòng)機(jī)、變壓器等等電氣設(shè)備中都有線圈。5.3.2電感元件φ當(dāng)線圈中有電流i通過時(shí)，則在線圈中就會(huì)產(chǎn)生磁通φ，并儲(chǔ)存能量。電感用L表示，它在數(shù)值上等于單位電流產(chǎn)生的磁鏈。圖形符號(hào)為：i電感單位：H、mH、μH電感元件是由導(dǎo)線繞制而成，線圈匝數(shù)越多，橫截面積越大，其電感越大。有鐵芯的線圈比無鐵芯的線圈電感大得多。由交流電源和純電感元件組成的電路，稱為純電感電路。

時(shí)域模型1.電感元件的伏安關(guān)系若設(shè)則有效值關(guān)系：數(shù)值上符合歐姆定律L+–ui(1)數(shù)值關(guān)系：最大值關(guān)系：XL與電感量L成正比；與頻率成正比。對(duì)直流電，頻率f=0，所以XL=0。L

相當(dāng)于短路。電感元件具有通直流、阻交流，通低頻、阻高頻的特性。有效值關(guān)系：其中ωL稱為電感元件的感抗，表示電感線圈對(duì)電流阻礙作用，用“XL”表示，單位為歐姆（Ω），即同理有，對(duì)交流電

f

→∞，所以XL→∞。L相當(dāng)于開路。

(2)相位關(guān)系：

i

touL電壓超前電流90°，為正交相位關(guān)系。

時(shí)域模型1.電感元件的伏安關(guān)系若設(shè)則L+–ui(1)數(shù)值關(guān)系：

結(jié)論：（1）電感元件的電流和電壓最大值、有效值及相量關(guān)系都遵從歐姆定律。（2）電感的電壓和電流為正交關(guān)系。(3)電壓與電流的相量關(guān)系相量模型符合歐姆定律φi電壓超前電流9002．電感元件的功率(1)瞬時(shí)功率：uip=ULIsin2tωtui

同相,吸收電能;儲(chǔ)存磁能;p>0ui

反相,送出能量;釋放磁能;p<0ui

同相,吸收電能;儲(chǔ)存磁能;p>0ui

反相,送出能量;釋放磁能;p<0電感元件上只有能量交換而不耗能，為儲(chǔ)能元件結(jié)論：p為正弦波，頻率為ui的2倍；在一個(gè)周期內(nèi)，L吸收的電能等于它釋放的磁場能。電感元件不消耗能量！(2)有功功率P(3)無功功率QL衡量電感元件與電源之間能量交換的規(guī)模，用電感元件上電壓的有效值和電流的有效值的乘積來衡量。瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值：（單位為乏爾Var）無功功率理解為只交換能量不消耗，不能理解為“無用功”。(4)電感元件中儲(chǔ)存的磁場能量：電感線圈儲(chǔ)存的能量為磁場能，用WL表示：單位為焦耳（J）。

【例5-16】無功功率QL=500var。求(1)XL和L。(2)電感元件中儲(chǔ)存的最大磁場能量WLm。為流過電感元件中的電流，解(1)(2)5-11某電阻元件的參數(shù)為8Ω，接在的交流電源上。試求通過電阻元件上的流i，如用電流表測(cè)量該電路中的電流，其讀數(shù)為多少？電路消耗的功率是多少瓦？若電源的頻率增大一倍，電壓有效值不變又如何？5-12一個(gè)L=0.15H的電感先后接在f1=50Hz，f2=1000Hz，電壓為220V的交流電源上，分別算出兩種情況下的XL、IL和QL。【習(xí)題】

電容元件是由兩個(gè)金屬極板中間夾一層絕緣電介質(zhì)制作而成的。工程中電容器被廣泛應(yīng)用。電路符號(hào)：單位：F、nF、mF、pF5.3.3電容元件

由交流電源和純電容元件組成的電路，稱為純電容電路。1.電壓和電流的伏安關(guān)系：若設(shè)i

u時(shí)域模型C（1）數(shù)值關(guān)系：最大值關(guān)系：有效值關(guān)系：其中，XC是電容元件的電抗，簡稱容抗，表示電容對(duì)電流阻