高等數(shù)學(xué) 課件【ch10】無窮級數(shù)

無窮級數(shù)第十章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)前幾章的主要研究對象是初等函數(shù)。初等函數(shù)可以由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算得到，因此它是由有限個函數(shù)相加而成的函數(shù)。常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中還會涉及無窮多個數(shù)或無窮多個函數(shù)相加的問題，因此，本章引入無窮級數(shù)的概念。無窮級數(shù)也是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，它在自然科學(xué)、工程技術(shù)和數(shù)學(xué)的許多分支中都有廣泛的應(yīng)用。一、常數(shù)項級數(shù)的基本概念該級數(shù)稱為等比級數(shù)或幾何級數(shù)，其中q稱為等比級數(shù)的公比。常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)由定義2可知，研究級數(shù)的斂散性問題實際上是研究它的部分和數(shù)列的斂散性問題。常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)二、級數(shù)收斂的性質(zhì)性質(zhì)1（級數(shù)收斂的必要條件）若級數(shù)

收斂，則必有

。在級數(shù)前加上有限項、去掉有限項或改變有限項，均不會影響級數(shù)的斂散性（在收斂的情形下級數(shù)的和可能會發(fā)生改變）。

常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)收斂級數(shù)任意加括號后得到的新級數(shù)仍然收斂，且與原級數(shù)有相同的和。由性質(zhì)5可知，發(fā)散級數(shù)去括號后必是發(fā)散級數(shù)，但應(yīng)該注意，發(fā)散級數(shù)加括號后得到的新級數(shù)可能收斂?；蛘哒f，一個級數(shù)加括號后得到的新級數(shù)收斂，而原來的級數(shù)不一定收斂。02常數(shù)項級數(shù)斂散性判別法常數(shù)項級數(shù)斂散性判別法在上一節(jié)中介紹了級數(shù)收斂和發(fā)散的概念，雖然我們應(yīng)用定義判別了幾個級數(shù)的斂散性，但能用定義來判別斂散性的級數(shù)非常有限。因此，必須另行尋求級數(shù)的斂散性判別法。一、正項級數(shù)及其斂散性判別法定義3若級數(shù)

中的每項

，則稱級數(shù)

為正項級數(shù)。正項級數(shù)

收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列

有界。常數(shù)項級數(shù)斂散性判別法常數(shù)項級數(shù)斂散性判別法分析例7和例8不難發(fā)現(xiàn)，若正項級數(shù)的通項an是分式，并且分子分母都是的多項式（常數(shù)是零次多項式）或無理式時。則只要分母的次數(shù)比分子的次數(shù)高一次以上（不包含一次）該正項級數(shù)即收斂，否則即發(fā)散。常數(shù)項級數(shù)斂散性判別法比較判別法需要建立兩個正項級數(shù)的一般項之間的不等式關(guān)系，這有一定難度。下面給出比較判別法的極限形式。應(yīng)用比較判別法，需要與一個已知斂散性的級數(shù)進行比較，有一定難度；當(dāng)正項級數(shù)的通項中含有an或n!等形式時，難度更大。一般地，若通項中含有階乘、指數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)等因式的正項級數(shù)，則在討論其斂散性時優(yōu)先考慮比值判別法。有時，需要綜合運用比較判別法和比值判別法來判別級數(shù)的斂散性。常數(shù)項級數(shù)斂散性判別法常數(shù)項級數(shù)斂散性判別法二、任意項級數(shù)及其斂散性判別法若一個級數(shù)

的每項an既可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)或零，則稱這個級數(shù)為任意項級數(shù)或一般項級數(shù)。在級數(shù)前加上有限項、去掉有限項或改變有限項，均不會影響級數(shù)的斂散性（在收斂的情形下級數(shù)的和可能會發(fā)生改變）。

03冪級數(shù)一、冪級數(shù)及其收斂性設(shè)有函數(shù)序列

，其中每個函數(shù)都在同一區(qū)間I上有定義，則表達式

稱為定義在區(qū)間上的函數(shù)項級數(shù)?，F(xiàn)在考察形如

。冪級數(shù)二、冪級數(shù)的運算性質(zhì)及和函數(shù)的求法冪級數(shù)在此處添加內(nèi)容在此次