5.1.1《從算式到方程》教學設計-2024-2025學年人教版（2024）七年級數(shù)學上冊

5.1.1《從算式到方程》教學設計教學內容分析本單元是學生第一次系統(tǒng)學習方程。小學階段，學生主要是用算術方法來解決現(xiàn)實情境中的問題，因此，本節(jié)課作為單元的第一課時承擔著將解決問題的方式從算術方法過渡到代數(shù)方法的重要作用。本節(jié)內容不僅是本章的起始課，更是方程體系的起始，為使學生理解方程的本質，本節(jié)課要盡可能多地提供現(xiàn)實情境案例，幫助學生分析分析現(xiàn)實情境中的等量關系，感受方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型。建立方程模型及一元一次方程的概念，理解方程的解的意義，并能規(guī)范進行檢驗，提升代數(shù)推理能力。方程這一大單元的內容及學習路徑設計為:一元一次方程→二元一次方程組→一元一次不等式(組)→元二次方程→分式方程。故在起始課教學中要把“元“次”的種子種下，以便后續(xù)對其它類型的方程進行遷移性學習。以本單元內容為載體可以著重發(fā)展的核心素養(yǎng)是抽象能力、推理能力、運算能力、模型觀念和應用意識。學情分析雖然學生在小學時更多地傾向于用算術法解決實際問題，引導學生從算術方法轉變到方程方法有一定困難，但是進入初中后，學習了用字母表示數(shù)，能夠借助字母的運算或推理得到一些一般性的結論，具有一定的抽象能力、運算能力和推理能力。本節(jié)課選準起點，選擇的幾個實際問題用兩種方法解決對比凸顯，讓學生初步感受列方程是正向思維，而列算式是逆向思維。另外，分析實際問題中的等量關系列出方程也是本章的一個難點，教學中需要滲透找等量關系的方法：可能是題目里的關鍵詞，也可能是基本的數(shù)量關系，或者是用兩個不同的形式表達同一個量，這些都有助于學生在復雜的問題情境中找到等量關系。核心素養(yǎng)目標1.通過對不同情境的，復雜程度不同的實際問題中等量關系的分析，對比算術法和方程法，感受方程相比于算式的優(yōu)越性之所在，初步感受方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型，增強模型意識和應用意識。（數(shù)學抽象、邏輯推理）2.經歷“把實際問題抽象成數(shù)學方程”的過程，理解方程及其解的意義，并能規(guī)范地進行檢驗，提升代數(shù)推理能力。（數(shù)學建模、數(shù)學運算）3.通過對方程分類建構方程體系，了解一元一次方程的概念并從整體上把握本章的核心內容，并能進行遷移性學習。（直觀想象、數(shù)據分析）教學重難點教學重點：體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型。教學難點：從算術法到方程法解決實際問題的轉變評價設計1.認識到具體問題中用方程比用算術法解決簡單，感受到方程解決實際問題的價值。(對應目標1)2.通過分析實際問題數(shù)量關系列出方程，知道方程是用含未知數(shù)和已知數(shù)的兩種形式表示同一個量，能歸納出方程的定義:結合引言中算術法得到的答案就是所列方程的解，認識方程解的定義，能用規(guī)范的推理進行檢驗。(對應目標2)3.在所列方程的對比分類中，說出一元一次方程的描述性定義，知道元和次的意義，能類比說出其它方程的定義，并能根據課堂上所列方程系統(tǒng)的框架，自行列出知識框架。(對應目標3)學與教活動設計一、選準起點比對凸顯問題1：兩位同學情景模擬猜年齡。問題2：時光飛逝，我已經走過了生命的幾十個年頭。我幸福的幼年時光占據了年齡的十六分之三，無憂無慮，天真無邪。緊接著我開始了漫長的求學生涯，在學校我度過了比年齡的二分之一還多兩年的時光。畢業(yè)至今，我已經在神圣的三尺講臺上站了年齡的四分之一，遇見了一批又一批可愛的學生們。請問我的年齡到底是多少歲？追問：你為什么不用算術方法解決問題2？那你對用方程解決問題有什么感受？師生活動：學生獨立完成問題1，2，教師在轉的過程中可隨時指導設計意圖：問題1情景簡單，大多數(shù)同學使用算術方法，教師進一步提問“是否還有其它方法”，引導學生思考方程法，但是在問題2中，學生發(fā)現(xiàn)用算術法解決并不容易，從而選擇方程法，初步體會方程法的優(yōu)越性。問題3：甲、乙兩支登山隊沿同一條路線同時向一山峰進發(fā)，甲隊從距大本營1km的一號營地出發(fā)，每小時行進1.2km；乙隊從距大本營3km的二號營地出發(fā)，每小時行進0.8km.多長時間后，甲隊在途中追上乙隊?追問1：你是如何列出這個方程的？追問2：你認為在解決實際問題的過程中，列方程的步驟是什么？最關鍵的一步是什么？追問3：你能簡單評價一下列算式和列方程這兩種方法嗎？師生活動：學生分組討論解決問題的方法，教師可引導學生觀察示意圖，幫助學生一起分析與問題相關的數(shù)據。設計意圖：對于老師的追問學生獨立思考回答，進一步體會方程法的優(yōu)越性，總結出列方程需要找等量關系，設未知數(shù)，列方程，從而實現(xiàn)實際問題向數(shù)學問題的轉化，而最關鍵的一步就是找等量關系，這對學生來說也是一個難點，這里可以滲透找等量關系的方法，問題1是根據關鍵語句“年齡的2倍加5等于29”列方程，問題2則是根據基本數(shù)量關系“各段時間的和等于年齡”列方程，問題3則是用兩個不同的形式表述同一個量“甲追上乙時，甲距離大本營的路程與乙距離大本營的路程相同”。緊接著出示笛卡爾的名人名言，感受方程的顯著地位。二、數(shù)說奧運勾勒全貌問題4：設未知數(shù)，列出方程，并說出等量關系.（1）此次巴黎奧運會10500名運動員參加比賽，共有5250名男子運動員和5250名女子運動員參賽，男女比例1：1，首次實現(xiàn)奧運會歷史上參賽人數(shù)上的男女平等。中國代表團有269名女性運動員入選正式名單，而中國參賽的總人數(shù)約為中國參賽男子運動員的2.98倍，請問參賽的中國男子運動員有多少人？（2）隨著巴黎奧運會的盛大開幕，義烏這座以小商品著稱的浙江小城，憑借自身產業(yè)優(yōu)勢，再次成為這場國際體育賽事的“幕后明星”，其中廣受歡迎的紀念品有吉祥物“弗里熱”鑰匙掛扣和“埃菲爾鐵塔擺件”，用買6個“弗里熱”鑰匙掛扣的錢可以買5個“埃菲爾鐵塔擺件”，鑰匙扣的單價比擺件的單價少1元，求出“埃菲爾鐵塔擺件”單價是多少元？（3）在這些琳瑯滿目的紀念品中，老師最喜歡的莫過于“熊貓徽章”和“奧運五環(huán)胸針”了，老師買了單價分別為3元與4元的“熊貓徽章”及“奧運五環(huán)胸針”若干枚，一共花了32元，這兩種紀念品各買了多少枚？（4）在巴黎奧運會上，中國隊包攬乒乓球項目所有金牌！不僅如此，體現(xiàn)“浪漫與科技交融”的乒乓球臺也是中國制造的，它的桌面形狀是長方形，長和寬的比約為1.8：1，面積約4.18㎡，請問它的長寬分別是多少米？（5）北京時間8月3日晚，鄭欽文在巴黎奧運會網球女單決賽中奪冠，創(chuàng)造了中國乃至亞洲網球的歷史性突破！為確保比賽的公平性和一致性，網球場地的標準尺寸在國際賽事中是嚴格規(guī)定的。標準的網球單打場地是一個長方形，長比寬多15.54米，面積約為195.63㎡，求其寬。（6）取得優(yōu)異成績的奧運健兒代表團在巴黎機場乘坐飛機回國，已知無風時該飛機的航速為696km/h,這架飛機順風航行2160km與逆風航行2016km所用時間相同，你能算出風速為多少嗎？追問1：你能歸納出方程的定義嗎？你對方程有了哪些認識？追問2：與算術法相比較而言，你能體會到方程的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪些方面嗎？追問3：算術法可以直接獲得問題的答案，而方程沒有，所以接下來我們該怎么做？例：x=5,x=6是方程1.2x+1=0.8x+3的解嗎？追問4：你能給方程的解下一個定義嗎？師生活動：學生先獨立思考并獨立完成，然后小組內討論交流，之后在教師的引導分享答案。設計意圖：問題4結合當下最熱的奧運話題勾勒出方程的全貌，在學生展示答案后，引導體會方程就是用不同的形式表述同一個量，并出示有關方程的溯源圖片，給學生播放視頻了解，滲透數(shù)學文化，給數(shù)學以溫度對于追問3和例題，學生代表展示所思后，師生補正后得到規(guī)范的檢驗過程，從而體會到方程的解的定義。三、整體建構分享體會問題5：請你將以上所有方程分類，并說出分類的依據。追問1：我們用“元”表示未知數(shù)，把等號兩邊都是整式的方程稱為“整式方程”，知數(shù)的次數(shù)簡稱為“次”，請你根據外形對這些方程進行命名。追問2：你認為我們應該先研究哪一類方程？它的定義是什么？追問3：剛才我們通過“試數(shù)”的方法得到了方程的解，仍然以方程1.2x+1=0.8x+3為例，你有沒有其他更好的方法來求這個方程的解呢？追問4:如何由方程的解得到實際問題的解呢？你能完整總結出用方程解決實際問題步驟嗎？師生活動：教師引導學生給出標準分類實施，包括未知數(shù)個數(shù)，次數(shù)，方程兩邊是否是等式，并出示有關元的溯源圖片。設計意圖：在問題4中呈現(xiàn)出初中階段的所有方程的類型，教師指導學生根據外形命名，然后從諸多形式的方程中挑選出最簡單的一元次方程作為方程研究的起點，有利于學生形成對方程這一大概念的整體理解，特別是在比較中理解一元一次方程中的關鍵詞“元“次”的含義，這可為后續(xù)學習具體類型的方程提供參考，這是本章的核心與本質，具有較強的遷移價值，這也正是大概念的內涵。追問3和4，學生思考小組交流后由代表進行展示，說明求解的所思所想及依據，初步感受解方程就是把方程化為x=a的形式，增強目標意識。感受用方程解決實際問題的過程，在教師指導下完善閉環(huán)框架，體會模型思想。四、小結梳理，聚焦未來1.你認為我們應從哪些方面研究一元一次方程？其他類型的方程又該如何研究呢？2.你學到了哪些知識與技能？感受到了哪些思想方法？獲得了哪些學習經驗？教學說明：通過師生、生生交流，勾勒出有理方程的結構全貌，整體建構方程體系，前瞻后連，最后落腳于方程基地——一元一次方程，用生長性小結，立足當下，展望未來，統(tǒng)攝方程體系，形成策略性知識——列方程，求方程的解，解決實際問題。作業(yè)與拓展學習設計五、分層作業(yè)，各有收獲基礎性作業(yè):1.列方程(1)某校7年級11班共有學生51人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)的45多6人，這個班有男生多少人?(2)去年某鎮(zhèn)居民人均可支配收人為30438元，比前年同期增長了6.8%，前年這個鎮(zhèn)居民人均可支配收入為多少元?(3)某圓環(huán)形狀的工件如圖所示，它的面積是200cm2，外沿大圓的半徑是10cm,內沿小圓的半徑是多少厘米?(4)有兩條電線，第一