四川省綿陽市高中2024-2025學(xué)年高三第二次診斷考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁/共1頁綿陽市高中2022級(jí)第二次診斷性考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則求的代數(shù)形式，再由復(fù)數(shù)的模的公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D.2.已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.1 C.0 D.不確定【答案】A【解析】【分析】求出集合中元素即可得解.【詳解】聯(lián)立或，所以集合，故集合中元素的個(gè)數(shù)為2.故選：A.3.直三棱柱中，，，則與所成的角的大小為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】【分析】由向量法求出即可求解.【詳解】由題意可知和兩兩垂直，所以，又，，所以，且，，所以，所以與所成的角的余弦值為，故與所成的角的大小為.故選：C.4.若直線：與直線：平行，則這兩條直線間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由直線平行求出參數(shù)k，再由兩平行直線的距離公式即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以，所以，所以直線：即，所以這兩條直線間的距離為.故選：B.5.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比的求和公式即可求解.【詳解】由可知公比，則，解得，故選：D.6.已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，若A，B的縱坐標(biāo)分別為，，則（）A.4 B.3 C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】由題意設(shè)，聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，令，聯(lián)立拋物線得，所以，則，，所以.故選：B7.已知正四棱臺(tái)中，，可在該正四棱臺(tái)中放入的最大球的體積為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過作的垂面，分別交于，過作于，過作垂直的延長線于，過作于，利用球的體積求得正四棱臺(tái)的高，利用線面，面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面，結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，因?yàn)檎睦馀_(tái)中放入的最大球的體積為，所以正四棱臺(tái)的高為，過作的垂面，分別交于，過作于，過作垂直的延長線于，過作于，因?yàn)椋云矫?，平面，又平面，所以，所以，所以四邊形是矩形，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，所以平面，所以，由等腰梯形的性質(zhì)可得，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面，所以，所以，所以，所以，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.8.已知是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，即可求解.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，有，是定義在上的偶函數(shù)，有，的值域?yàn)?，故，則有，得，所以，與有相同的值域，因此的最小值為，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于函數(shù)，，則（）A.與的圖象有相同的對(duì)稱軸B.與有相同的最小正周期C.將圖象向右平移個(gè)單位，可得到圖象D.圖象與圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)的函數(shù)解析式，求兩函數(shù)的對(duì)稱軸判斷A，求兩函數(shù)視為周期判斷B，根據(jù)函數(shù)圖象變換法則求函數(shù)平移后的解析式，由此判斷C，解方程，判斷D.【詳解】，，令，，可得，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，，令，，可得，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，，函數(shù)與的圖象的對(duì)稱軸不相同，A錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，與有相同的最小正周期，B正確，將圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象，C正確，令可得，所以，所以，又，所以，故，D正確，故選：BCD.10.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.一定存在單調(diào)遞減區(qū)間B.存在a，b，使得沒有最值C.若既有極大值，又有極小值，則D.令，，當(dāng)時(shí)，【答案】BC【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，即可根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性求解AB，求導(dǎo)，根據(jù)極值的定義將問題轉(zhuǎn)化為要有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)正根，即可利用判別式以及韋達(dá)定理求解C，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解D.【詳解】若時(shí)，函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)，因此為單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)無最大值，且無單調(diào)遞減區(qū)間，故A錯(cuò)誤，B正確，對(duì)于C，，若既有極大值，又有極小值，則需要要有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)正根，所以，故，C正確，對(duì)于D,，時(shí)，,，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，令，則，因?yàn)?，所以，故在單調(diào)遞增，故，即，故D錯(cuò)誤，故選：BC11.已知圓：，雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，直線的斜率恰好為該雙曲線的離心率，且為直角三角形，則（）A.的值唯一 B.C. D.的漸近線與共有4個(gè)公共點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)以及雙曲線的定義可得，結(jié)合齊次式可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性可得，即可求解AC，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離判斷漸近線與圓的位置關(guān)系即可求解D.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，且為銳角，且，故，由雙曲線定義可得，故，B正確，故，因此，故，平方可得，由于，化簡求解得，記，則，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，且，且，，因此，C錯(cuò)誤，A正確，雙曲線漸近線方程為，圓心0,2到漸近線的距離為，由于，故，因此的漸近線與相交，故有4個(gè)公共點(diǎn)，D正確故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：①，，故，②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性可得.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______.【答案】3【解析】【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的定義直接計(jì)算即可得解.【詳解】由題得.故答案為：3.13.已知，，則______.【答案】2【解析】【分析】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和與差的三角函數(shù)公式.根據(jù)化簡可求得，根據(jù)，可得，利用兩角差的余弦公式將展開即可求解.【詳解】由題可得，，∵，∴；又，所以；∴.故答案為：2314.在幾何學(xué)的世界里，阿基米德體以其獨(dú)特的形狀和美麗的對(duì)稱性吸引了無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者和科學(xué)家，它是一種半正多面體，其中每個(gè)面都是正多邊形，且各個(gè)面的邊數(shù)不全相同.如圖，棱長為2的半正多面體是將一個(gè)棱長為6的正四面體切掉4個(gè)頂點(diǎn)所在的小正四面體后所剩余的部分，已知A，B，C，D為該半正多面體的四個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P為其表面上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則P點(diǎn)的軌跡長度為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得線線平行，進(jìn)而得平面平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，即可利用三角形邊角關(guān)系求解長度得解.【詳解】如圖：補(bǔ)全正四面體，連接,取分別為大正四面體棱的中點(diǎn)，連接,由于均為大四面體的棱的三等分點(diǎn)，故.平面，平面，平面，平面，故平面,平面.且平面，故平面平面，由于平面，因此平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，由于,故點(diǎn)的軌跡長度為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)平面平面，可得點(diǎn)的軌跡為線段.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）若，求B；（2）若，，求c.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)已知條件利用正弦定理求出角，再根據(jù)已知邊的值利用余弦定理求出邊.【小問1詳解】已知，由正弦定理可得.因?yàn)?，所以，此時(shí).在直角中，，所以.那么，移項(xiàng)可得.根據(jù)正切函數(shù)的定義，因?yàn)榍沂侨切蝺?nèi)角，所以，從而得出.【小問2詳解】已知，且，所以.根據(jù)余弦定理，將代入可得.化簡可得.將，代入，得到.即，因?yàn)?，所?16已知函數(shù).（1）若時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若時(shí)，在區(qū)間上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求解，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，且，所以，故切線方程為，即，【小問2詳解】，由，存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，故，，故在單調(diào)遞減，又，故17.已知數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè).（i）試寫出，，的值；（ii）求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】（1）（2）（i）；（ii）408【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得公差和首項(xiàng)，即可根據(jù)通項(xiàng)公式求解，（2）根據(jù)題意可得則，，即可利用分組求和，結(jié)合等差和等比數(shù)列的求和公式求解.【小問1詳解】設(shè)公差為，令，得，故即，令，得，故，即，由于，則解得，故，【小問2詳解】（i）當(dāng)，故，時(shí)，，所以，（ii）由題意可知：，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)，，則，，當(dāng)，，則，，所以,因此18.如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，.（1）求證：；（2）若二面角的平面角的余弦值為，求三棱錐的體積；（3）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）運(yùn)用等腰三角形三線合一，結(jié)合線線平行性質(zhì)，線面垂直定理證明線面垂直，進(jìn)而運(yùn)用性質(zhì)得到線線垂直即可；（2）運(yùn)用向量法計(jì)算角，結(jié)合錐體體積公式計(jì)算即可；（3）運(yùn)用向量法計(jì)算線面角的正弦值，結(jié)合基本不等式計(jì)算最值即可.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)F，延長交于G點(diǎn)，是邊長為2的等邊三角形，則.在中，已知，且滿足.根據(jù)勾股定理的逆定理，.則G為中點(diǎn).又為的中點(diǎn)，則.，則.又平面，，則平面，平面，所以.【小問2詳解】由（1）可知⊥平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，且，可設(shè)點(diǎn)E1,m,n(n>0)，已知，.設(shè)平面的法向量為，由，不妨令，則平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為.根據(jù)向量夾角公式，又因?yàn)?，則，解得.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為.在中，滿足，所以的面積為.根據(jù)三棱錐體積公式，三棱錐的體積.【小問3詳解】因，則直線與平面所成角即為直線與平面所成角.設(shè)該角為.已知，則.根據(jù)線面角的正弦值公式..因?yàn)?，故，根?jù)均值不等式則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以的最大值為，即直線與平面所成角正弦值的最大值為.19.如圖，已知面積為的矩形，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)，且該橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過下頂點(diǎn)的直線與軸相交于點(diǎn)（不同于），與直線相交于點(diǎn)，與橢圓相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn).（i）證明：；（ii）設(shè)線段的中點(diǎn)為為橢圓上的兩點(diǎn)，且直線，與橢圓都僅有一個(gè)公共點(diǎn)，，垂足為.探究：是否存在定點(diǎn)，使得為定值?若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)以及此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）（i）證明見解析，（ii），使得為定值，【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列等量關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，即可化簡求解，根據(jù)直線方程求解，即可根據(jù)長度關(guān)系求（i），聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)相切，利用判別式可得切線方程為，進(jìn)而求解方程為:，化簡得方程為，令，求解定點(diǎn)，根據(jù)得在以為直徑的圓上，即.小問1詳解】由題意可得，解得，故橢圓方程為【小問2詳解】設(shè)，則，故，,設(shè)直線的斜率分別為，則，故由于,則，直線的方程為令則，故所以直線的方程為令則，故所以，，