山西省運(yùn)城市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)運(yùn)城市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試高一數(shù)學(xué)試題2025.1本試題滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．答案一律寫(xiě)在答題卡上．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上．2．答題時(shí)使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚．3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效．4．保持卡面清潔，不折疊，不破損．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選：B.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，求，，，，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)在上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)為增函數(shù)，又，，，，由零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若，則，即充分性成立；若，例如，可得，滿(mǎn)足題意，但，即必要性不成立；綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求齊次式的值.【詳解】因?yàn)?故選：B5.已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有公共點(diǎn)，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意知：.所以，所以.故選：A6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由可求出的取值范圍，根據(jù)正切型函數(shù)的單調(diào)性可得出集合的包含關(guān)系，可得出關(guān)于的不等式組，即可求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋瑒t函數(shù)在區(qū)間上只能單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，，其中，所以，，解得，由解得，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，可得.綜上所述，正實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式比較得，即可判斷大小.【詳解】由，，，∴，∴，，∴.故選：B.8.已知函數(shù)，，若，則的最大值為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先由得，進(jìn)而由二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值.【詳解】由得，得，故，由得，因單調(diào)遞增，故，即，故，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，得的值最大為，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.C.的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為D.要得到函數(shù)的圖象，可以將的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定的圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖求出判斷ABC；利用函數(shù)圖象的變換判斷D.【詳解】觀察函數(shù)的圖象，得，最小正周期，則，由，得，而，則，，對(duì)于A，的最小正周期為，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，C正確；對(duì)于D，以將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)的圖象，D正確.故選：ACD10.下列說(shuō)法正確的有（）A.的最小值為2B.已知，則的最小值為C.若正數(shù)為實(shí)數(shù)，若，則的最小值為3D.設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】分別通過(guò)拆分、配湊、“1”的代換、配方等方法，利用基本（重要常用）不等式求解判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；綜上所述，即無(wú)最小值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由，，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：由，則，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.11.已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)的最大值是C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷；選項(xiàng)B，根據(jù)由函數(shù)是奇函數(shù)，考慮時(shí)，由的正負(fù)分為和分別求函數(shù)的值域即可；選項(xiàng)C由函數(shù)的定義域可判斷；選項(xiàng)D結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性畫(huà)出圖象即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：由，得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，故函?shù)是奇函數(shù)，A正確；選項(xiàng)B：由于函數(shù)是奇函數(shù)，先考慮，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因，故，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因時(shí)，，，故時(shí)，，由奇函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由函數(shù)的定義域?yàn)?，可知函?shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：如圖所示，結(jié)合選項(xiàng)B可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，故D正確，故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知扇形的面積是，半徑是，則扇形圓心角的弧度數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為，利用扇形的面積公式可求得的值.【詳解】設(shè)扇形圓心角弧度數(shù)為，由于該扇形的面積是，半徑是，則，解得.故答案為：.13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是______．【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，令，則，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間，即得結(jié)果.【詳解】由，得，則函數(shù)的定義域?yàn)?，令，，則，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減，要使函數(shù)單調(diào)遞減，則需函數(shù)單調(diào)遞減，所以原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.14.已知，若方程有四個(gè)不同的解、、、且，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象可得：，，進(jìn)而得到，求出的取值范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求解.【詳解】如下圖所示：方程有四個(gè)不同的解、、、且，且，由圖可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則，由圖可得，由可得，可得，由可得，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為減函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將所求代數(shù)式化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)基本性質(zhì)求解.四，解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.設(shè)集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先確定集合，再進(jìn)行集合的運(yùn)算.（2）先明確集合包含關(guān)系，結(jié)合集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由，，所以或，則，．【小問(wèn)2詳解】由，若，則，可得，此時(shí)；若，則且可得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．16.（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：；（3）已知，，求．【答案】（1）6；（2）；（3）【解析】【分析】（1）將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，利用指數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)可得；（2）由對(duì)數(shù)恒等式與對(duì)數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可；（3）結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系與兩角差的正弦公式求解可得.【詳解】（1）；（2）；（3），又因?yàn)?，則，所以，，.17.為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，某地政府利用電商平臺(tái)為鄉(xiāng)村進(jìn)行直播帶貨，既方便了人們購(gòu)物和交流，又有效地解決了農(nóng)產(chǎn)品銷(xiāo)售困難的問(wèn)題．為了支持家鄉(xiāng)的發(fā)展，越來(lái)越多的人注冊(cè)成為某電商平臺(tái)的會(huì)員進(jìn)行購(gòu)物和交流．已知該平臺(tái)建立前3年的會(huì)員人數(shù)如下表所示：建立平臺(tái)年數(shù)x123會(huì)員人數(shù)y（千人）142029為了描述建立平臺(tái)年數(shù)與該平臺(tái)會(huì)員人數(shù)（千人）的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)選出最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并說(shuō)明理由，同時(shí)求出該函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)第（1）問(wèn)選擇的函數(shù)模型，預(yù)計(jì)平臺(tái)建立年的會(huì)員人數(shù)將超過(guò)2002千人，求的最小值．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】（1）選擇模型③，理由見(jiàn)解析，，（2）14【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，函數(shù)為增函數(shù)，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故選擇模型③，代入數(shù)據(jù)列方程組可得；（2）由得，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得，進(jìn)而可得.【小問(wèn)1詳解】從表中數(shù)據(jù)可知，所選函數(shù)必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：增函數(shù)，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快．因?yàn)槟Ｐ廷贋闇p函數(shù)，模型②增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，所以不能選擇模型①和②，模型③符合兩個(gè)條件，所以選擇模型③．將數(shù)據(jù)代入可得，解得所以，函數(shù)為，．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則．得，故t的最小值為14．18.已知函數(shù)的最小值為1．（1）求的值和的最小正周期；（2）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若成立，求的取值范圍．【答案】（1），最小正周期（2）（3）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式與輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)最值待定的值與最小正周期；（2）利用整體角代換求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；（3）將有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題求解參數(shù)范圍.【小問(wèn)1詳解】，由題意，解得，的最小正周期．【小問(wèn)2詳解】令，則．因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間是，由，得；，得；所以，在的單調(diào)遞增區(qū)間是．【小問(wèn)3詳解】由題意知，，即，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即．所以，即．所以的取值范圍是．19.現(xiàn)定義了一種新運(yùn)算“”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，都有且．（1）當(dāng)時(shí)，計(jì)算；（2）證明：，都有；（3）設(shè)，若在區(qū)間上的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用題中新運(yùn)算“”的定義可計(jì)算出的值；（2）利用題中新運(yùn)算“”的定義驗(yàn)證等式兩邊等于同一個(gè)代數(shù)式即可；（3）推導(dǎo)出，分析函數(shù)在上單調(diào)性，結(jié)合題意可得出，即，兩式作差可得出，進(jìn)而可知、是函數(shù)在上的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?/p>