江西省南昌中學2024-2025學年高二上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁南昌中學2024—2025學年度上學期期末考試高二數(shù)學試卷一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的)1.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】D【解析】【分析】利用正態(tài)曲線的對稱性進行求解.【詳解】因為隨機變量X服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，又，所以，則.故選:D.2.命題“”是命題“直線與直線平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】當兩直線平行時，，當m=2時，兩直線均為x+y=0，不符．當m=-2時，兩直線分別為x-y-4=0,x-y-2=0不重合，符合．所以m=-2是兩直線平行的充要條件，選C.3.在平行六面體中，與的交點為．設(shè)，是下列向量中與相等的向量是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法法則及減法法則即得.【詳解】解：因為，所以.故選：A.4.一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實數(shù)m的值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】求出樣本的中心點，再利用回歸直線必過樣本的中心點計算作答.【詳解】依題意，，則這個樣本的中心點為，因此，，解得，所以實數(shù)m的值為6.故選：B5.如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法的有()種A.540 B.360 C.300 D.420【答案】D【解析】【分析】分②和④涂同種顏色和不同種顏色是討論即可.【詳解】分兩種情況討論即可：(i)②和④涂同種顏色時，從①開始涂，①有5種涂法，②有4種涂法，④有1種涂法，③有3種涂法，⑤有3種涂法，∴此時有5×4×1×3×3＝180種涂法；(ii)②和④涂不同種顏色時，從①開始涂，①有5種涂法，②有4種涂法，④有3種涂法，③有2種涂法，⑤有2種涂法，∴此時有5×4×3×2×2＝240種涂法；∴總共有180＋240＝420種涂色方法．故選：D﹒6.已知，為雙曲線的左，右焦點，O為坐標原點，M為雙曲線上一點，且，則M到x軸的距離為（

）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線定義，結(jié)合三角形余弦定理及面積公式列式計算得解.【詳解】雙曲線的焦點，，在中，由余弦定理，得，即，解得，又，令M到x軸的距離為，則，即，解得，所以M到x軸的距離為2.故選：C.7.在的展開式中常數(shù)項為（）A.721 B.-61 C.181 D.-59【答案】D【解析】【分析】先求出展開式的通項公式=,其中的展開式的通項公式為，令x的冪指數(shù)等于0，求得r，k的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值.【詳解】=的展開式的通項公式為=，其中的展開式的通項公式為，當時，，，常數(shù)項為；當時，，，常數(shù)項；當時，，，常數(shù)項為；故常數(shù)項為++.故選：D8.已知正方體的棱長為2，、分別是側(cè)面和的中心．過點的平面與垂直，則平面截正方體所得的截面積S為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量確定截面形狀，再計算截面面積作答.【詳解】正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，側(cè)面的中心，側(cè)面的中心，且，則，顯然點M在平面與平面的交線上，設(shè)為這條交線上任意一點，則，而平面，則，即，令，得點，令，得點，連，平面與平面必相交，設(shè)為這條交線上任意一點，則，由，即，令，得點，連，因為平面平面，則平面與平面的交線過點G，與直線FE平行，過G作交于，則，由得，即，顯然平面與平面都相交，則平面與直線相交，令交點為，，由得，連接得截面五邊形，即截面S為五邊形，則，取中點，連接，則，在中，，的面積，在中，，邊上的高，梯形面積，所以S的面積為.故選：B.【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.對于曲線，下列說法正確的有（）A.曲線C不可能是圓 B.曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線C.若，則曲線C為橢圓 D.若曲線C為雙曲線，則【答案】AD【解析】【分析】A選項，令，無解，得到結(jié)論；B選項，令，無解，故B錯誤；C選項，當時，，不表示橢圓；D選項，根據(jù)曲線C雙曲線，列出不等式，求出.【詳解】變形為，令，無解，故曲線C不可能是圓，A正確；變形為，令，解得：，故曲線C不能表示焦點在y軸上的雙曲線，B錯誤；變形為，當時，，不表示橢圓，故C錯誤；若曲線C為雙曲線，則，解得：，D正確.故選：AD10.已知在直三棱柱中，底面是一個等腰直角三角形，且，E、F、G、M分別為的中點．則（）A.與平面夾角余弦值為 B.與所成角為C.平面EFB D.平面⊥平面【答案】BCD【解析】【分析】建系，利用坐標法，根據(jù)線面角，線線角的向量求法可判斷AB，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷C，利用線面垂直的判定定理先證平面，可得，再證平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理即得．【詳解】如圖1，建立空間之間坐標系，設(shè)，則有：，∴，，，，，設(shè)平面ACC1A1的法向量為則有，令x＝1，則，則，∴與平面夾角的正弦值為，則余弦值為，A錯誤；∵，∴AB1與BC1所成角的余弦值為，則夾角為，B正確；如圖2：連接，設(shè)，連接OF，E、M分別為的中點，則且，∴為平行四邊形，則O為的中點，又∵F為的中點，則，平面EFB，平面EFB，∴平面EFB，C正確；由題可知平面即為平面，由題意可得：，又，平面，∴平面，平面，則，又∵為正方形，則，又，平面，所以平面，平面，∴平面⊥平面，即平面⊥平面，D正確.故選：BCD．11.已知橢圓：（）與雙曲線：（，）有公共焦點，，與在第一象限的交點為，且，記，的離心率分別為，．下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，則C.的最小值為1D.記的內(nèi)心為，的右頂點為，則軸【答案】ABD【解析】【分析】運用橢圓與雙曲線的定義、離心率、焦點三角形等知識，通過利用橢圓和雙曲線的定義以及勾股定理求出相關(guān)量，再根據(jù)離心率的定義對各選項進行判斷.【詳解】對于選項A，根據(jù)橢圓定義，已知，，則，所以.根據(jù)雙曲線定義，則，所以.因為，根據(jù)勾股定理，將，代入得，即，，解得.雙曲線的離心率，因為，，所以，故選項A正確.對于選項B，設(shè)，，由橢圓定義，由雙曲線定義，解得，.因為，所以，即，化簡得.已知，設(shè)，，代入得，解得.雙曲線的離心率，故選項B正確.對于選項C，由，則根據(jù)均值不等式，所以，當且僅當時取等號，，橢圓和雙曲線離心率不可能取等，故選項C錯誤.對于選項D，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為.根據(jù)三角形面積公式，.又，，可得，，.，.設(shè)，的橫坐標為，（，為，的橫坐標），因為，，，所以軸，選項D正確.故選：ABD.三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分．）12.有10件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中任取3件，若表示取得次品的個數(shù)，則__________．【答案】##3.4

【解析】【分析】根據(jù)超幾何分布的期望公式，和期望的性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得：服從超幾何分布，．所以.故答案為：．13.已知曲線為坐標原點．給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形；②經(jīng)過坐標原點的直線與曲線有且僅有一個公共點；③直線與曲線所圍成的圖形的面積為；④設(shè)直線，當時，直線與曲線恰有三個公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】①③④【解析】【分析】分的正負四種情況去掉絕對值符號得到曲線方程后，由圖可得①正確；當斜率為時結(jié)合漸近線可得②錯誤；由四分之一圓面積減去三角形面積可得③正確；由圖形可得④正確.【詳解】，因為當時，無意義，無此曲線，故舍去，所以曲線表示為：，作出曲線圖象為對于①，由圖象可得曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形，故①正確；對于②，由于左上和右下部分雙曲線的，所以漸近線方程為，所以當直線的斜率為時，過原點的直線與曲線無交點，故②錯誤；對于③，設(shè)直線與交點分別為，因圓方程中半徑為2，且點，所以直線與曲線圍成的圖形的面積為，故③正確；對于④，由于直線恒過0,2，當時，直線與平行，有一個交點；當時，與漸近線平行，此時有兩個交點，當，結(jié)合斜率的范圍可得有三個交點，如圖：所以，④正確；故答案為：①③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是能根據(jù)的正負去掉絕對值符號得到曲線方程，作出圖象，數(shù)形結(jié)合分析.14.四面體中，，其余棱長都為2，動點在的內(nèi)部（含邊界），設(shè)，二面角的平面角的大小為，和的面積分別為，，且滿足，則Q到BC的最大距離為__．【答案】【解析】【分析】取的中點，連接，，則即可得到為二面角的平面角，從而求出，設(shè)到的距離為，即可推導出，點的軌跡為以點為焦點，以為準線的拋物線在三角形內(nèi)部（含邊界）的一段弧，建立平面直角坐標系，求出拋物線的方程與的方程，求出交點橫坐標，即可得解.【詳解】四面體中，，其余棱長都為2，取的中點，連接，，則，，故為二面角的平面角，因為等邊三角形，，故，故，設(shè)到的距離為，則，化簡得，，故點的軌跡為以點為焦點，以為準線的拋物線在三角形內(nèi)部（含邊界）的一段弧，如圖建立平面直角坐標系，則，，，則拋物線的方程為，直線的方程為：，聯(lián)立，得，解得或（舍去），故圓弧與的交點橫坐標為，則到的最大距離.故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是推導出點的軌跡為以點為焦點，以為準線的拋物線在三角形內(nèi)部（含邊界）的一段弧，再合理建立平面直角坐標系，求出拋物線方程，從而求出交點橫坐標.四、解答題（共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖，過圓外一點向圓引切線.（1）求過點P的圓的切線方程；（2）若切點為，，求過切點，的直線方程.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出直線方程，利用直線和圓相切的性質(zhì)可求切線方程；（2）求出切點坐標可得方程或者利用兩圓的公共弦求出答案.【小問1詳解】設(shè)過點P的圓的切線方程為，的圓心為，半徑為；則，解得或，故切線方程為或.【小問2詳解】解法1：將切線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組，由可得，由可得，即和，故過切點，的直線方程為，整理得.解法2：因為O，，P，四點共圓，所以，在以O(shè)P為直徑的圓上，圓心為，半徑為，即方程為與已知圓相減，得過切點，的直線方程為.16.2023年，5月18日至19日，中國－中亞峰會在陜西省西安市舉辦.多家外媒積極評價，認為這次峰會非常重要，中亞國家正在深化合作，共同致力于實現(xiàn)各國人民和平與繁榮.報道中指出“中國－中亞峰會致力于發(fā)展新能源綠色經(jīng)濟，符合中亞國家共同利益.”新能源汽車、電動汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，為了解某一地區(qū)電動汽車銷售情況，一機構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到表格如下：月份6月7月8月9月10月月份代碼12345產(chǎn)值（億元）1620233140（1）求電動汽車產(chǎn)值（億元）關(guān)于（月份）的線性回歸方程；（2）該機構(gòu)隨機調(diào)查了該地區(qū)100位購車車主的性別與購車種類，其中購買非電動汽車的男性45人，女性35人；購買電動汽車的男性5人，女性15人.請問是否有95％的把握認為是否購買電動汽車與性別有關(guān).（參考公式如下）0.100.050.012.7063.8416.635①；②；③.【答案】（1）（2）有95％的把握認為是否購買電動汽車與性別有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)回歸直線方程的求解公式，可得答案；（2）根據(jù)獨立性檢驗的解題步驟，可得答案.【小問1詳解】設(shè)所求回歸直線方程為，則，，，，，故所求回歸直線方程為.【小問2詳解】根據(jù)題意，得2×2列聯(lián)表如下：性別購買非電動汽車購買電動汽車合計男性45550女性351550合計8020100，故有95％的把握認為是否購買電動汽車與性別有關(guān).17.在三棱錐中，，，，，．（1）如圖1，G為△PBC的重心，若平面PAB，求的值；（2）如圖2，當，且二面角的余弦值為時，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接CG并延長與PB交于點E，連接AE，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，繼而利于重心的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標系，利于線面角的坐標表示進行計算即可.【小問1詳解】連接CG并延長與PB交于點E，連接AE，所以平面平面．因為平面PAB，平面ACE，所以．又因為G為△PBC的重心，所以．所以．所以，即．【小問2詳解】設(shè)O為BC的中點，連接AO．因為，，所以，；又，平面,所以平面PAO,又平面,所以平面平面ABC，過點O在平面PAO內(nèi)作AO的垂線OZ，如圖所示，分別以，，為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，所以，，，因為，所以．因為是二面角的平面角，二面角的余弦值為，，所以．所以，，．不妨設(shè)平面PBC的法向量，所以所以可取設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為，所以.18.某學校組織游戲活動，規(guī)則是學生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個球，每次摸球結(jié)果相互獨立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．（1）學生甲和乙各摸一次球，求兩人得分相等的概率；（2）若學生甲摸球2次，其總得分記為X，求隨機變量X的分布列與期望；（3）學生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎勵；若不同，則得分多者獲得獎勵．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎勵的概率．【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，甲乙同時摸到1分球或2分球，結(jié)合概率的乘法公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，變量的可能取值為，求得相應的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（3）記“甲最終得分為分”，其中，“乙獲得獎勵”，結(jié)合相互獨立事件的概率公式以及條件概率和全概率公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為，若學生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，則甲乙同時摸到1分球或2分球，所以兩人得分相等的概率為.【小問2詳解】解：